$course$/QCM de maths/Première tronc commun/Modélisation quadratique Fonctions polynômes de degré 2 : allure de la parabole, axe de
symétrie (obtenu sans formule, par exemple en résolvant
$f(x) = c$), sommet, tableau de variations, racines et signe
d'une forme factorisée (le discriminant n'est pas au
programme), modèles (trajectoires, chiffre d'affaires).

]]> Modélisation quadratique — Q01 : Orientation d'une parabole La courbe de la fonction $f(x) = -2x^2 + 3x + 1$ est une
parabole. Dans quel sens est-elle tournée ?

]]> Allure de la parabole $y = ax^2 + bx + c$ : $a > 0$ tournée
vers le haut (sommet minimum), $a < 0$ tournée vers le bas
(sommet maximum). Premier réflexe de lecture d'un modèle
quadratique.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Vers le bas, car le coefficient de $x^2$ est négatif

]]> Bonne réponse : le signe du coefficient de $x^2$ commande
l'allure : négatif, branches vers le bas, sommet au
plus haut.

]]> Vers le haut, car $3$ et $1$ sont positifs

]]> Erreur : seuls le coefficient de $x^2$ décide de
l'orientation ; les autres termes déplacent la parabole
sans la retourner.

]]> Vers le bas, car la courbe passe par $1$ en $x = 0$

]]> La conclusion est bonne mais l'argument non :
l'ordonnée à l'origine positionne la courbe, elle ne dit
rien de son orientation.

]]> On ne peut pas savoir sans tracer

]]> Erreur : le signe de $-2$ suffit : parabole tournée vers
le bas, sans aucun tracé.

]]> Modélisation quadratique — Q02 : Racines lues sur la parabole Repère orthonormé avec une parabole tournée vers le bas, de sommet (1 ; 4), coupant l'axe des abscisses en x = -1 et x = 3, et l'axe des ordonnées en y = 3.

La parabole $\mathcal{P}$ ci-dessous représente une fonction
polynôme de degré 2. Quelles sont ses racines ?

]]> Racines $=$ abscisses des intersections avec l'axe des
abscisses (là où $f(x) = 0$). Ici $-1$ et $3$ : la fonction
s'écrit d'ailleurs $f(x) = -(x + 1)(x - 3)$.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $-1$ et $3$

]]> Bonne réponse : les racines sont les abscisses des points
où la parabole coupe l'axe des abscisses.

]]> $1$ et $4$

]]> Erreur : $(1\,;\,4)$ sont les coordonnées du sommet.
Les racines se lisent sur l'axe horizontal.

]]> $3$ seulement

]]> Incomplet : la parabole traverse l'axe deux fois,
aussi en $x = -1$, à gauche de l'origine.

]]> $0$ et $3$

]]> Erreur : en $x = 0$ la parabole vaut $3$ (elle coupe
l'axe des ordonnées) : $0$ n'est pas une racine.

]]> Modélisation quadratique — Q03 : Axe de symétrie Repère orthonormé avec une parabole tournée vers le bas, de sommet (1 ; 4), coupant l'axe des abscisses en x = -1 et x = 3, et l'axe des ordonnées en y = 3.

Pour la même parabole (racines $-1$ et $3$, sommet en
hauteur $4$), quel est l'axe de symétrie ?

]]> L'axe de symétrie passe au milieu des racines (ou de tout
couple de points de même hauteur : méthode $f(x) = c$ du
programme) : $x = \frac{-1+3}{2} = 1$. Le sommet est dessus.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc La droite verticale $x = 1$, à mi-chemin des racines

]]> Bonne réponse : par symétrie, l'axe passe au milieu
des racines : $\dfrac{-1 + 3}{2} = 1$, et par le sommet.

]]> La droite horizontale $y = 4$

]]> Erreur : l'axe de symétrie d'une parabole est
vertical ($4$ est la hauteur du sommet, pas un axe).

]]> La droite $x = 2$

]]> Erreur : $2$ n'est pas le milieu de $-1$ et $3$
($\frac{-1+3}{2} = 1$). Attention au signe de la racine
négative.

]]> L'axe des ordonnées

]]> Erreur : l'axe des ordonnées ($x = 0$) ne partage pas la
parabole en deux moitiés symétriques ici (racines $-1$
et $3$ non symétriques par rapport à $0$).

]]> Modélisation quadratique — Q04 : Sommet sans formule Une fonction polynôme de degré 2 a pour racines $2$ et $8$,
et sa parabole est tournée vers le haut. En quelle abscisse
son minimum est-il atteint ?

]]> Méthode du programme : l'abscisse du sommet est le milieu
des racines (ou de deux antécédents d'une même valeur). Ici
$x = 5$ : les paraboles se dominent par symétrie, pas par
formules.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc En $x = 5$, milieu des racines

]]> Bonne réponse : le sommet est sur l'axe de symétrie, à
mi-chemin des racines : $\dfrac{2 + 8}{2} = 5$. Aucune
formule à mémoriser : la symétrie suffit.

]]> En $x = 6$, car $8 - 2 = 6$

]]> Erreur : $6$ est l'écart entre les racines. Le
sommet est à leur milieu : $\frac{2+8}{2} = 5$.

]]> En $x = 2$, la première racine

]]> Erreur : aux racines, la fonction vaut $0$ ; entre elles,
elle descend jusqu'au creux, atteint au milieu $5$.

]]> Impossible à dire sans le discriminant

]]> Erreur : le discriminant n'est pas au programme, et pour
cause : la symétrie de la parabole donne le sommet
sans aucun calcul de ce type.

]]> Modélisation quadratique — Q05 : Racines d'une forme factorisée Soit $f(x) = 2(x - 1)(x - 5)$. Quelles sont les racines de
$f$ ?

]]> Forme factorisée $a(x - x_1)(x - x_2)$ : les racines $x_1$
et $x_2$ se lisent directement (produit nul). Ici $1$ et
$5$.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $1$ et $5$

]]> Bonne réponse : un produit est nul quand un facteur est
nul : $x - 1 = 0$ ou $x - 5 = 0$.

]]> $-1$ et $-5$

]]> Erreur de signe : $x - 1 = 0$ donne $x = +1$. Les
racines sont les valeurs qui annulent les facteurs.

]]> $2$, $1$ et $5$

]]> Erreur : le facteur constant $2$ ne s'annule jamais, il
ne fournit pas de racine (il règle l'ouverture de la
parabole).

]]> $1$ et $-5$

]]> Erreur sur la seconde : $x - 5 = 0 \Rightarrow x = +5$.

]]> Modélisation quadratique — Q06 : Signe d'une forme factorisée Toujours avec $f(x) = 2(x - 1)(x - 5)$, sur quel intervalle
$f(x)$ est-il strictement négatif ?

]]> Signe d'un polynôme de degré 2 factorisé : du signe de $a$ à
l'extérieur des racines, du signe contraire entre
elles. Ici : négatif sur $]1\,;\,5[$.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Sur $]1\,;\,5[$

]]> Bonne réponse : entre les racines, les deux facteurs
sont de signes contraires : produit négatif (le
coefficient $2 > 0$ ne change rien au signe).

]]> Sur $]-\infty\,;\,1[$

]]> Erreur : avant $1$, les deux facteurs sont négatifs :
produit positif.

]]> Sur $]5\,;\,+\infty[$

]]> Erreur : après $5$, les deux facteurs sont positifs :
produit positif.

]]> Nulle part, car $2 > 0$

]]> Erreur : le facteur $2$ positif n'empêche pas le produit
$(x-1)(x-5)$ d'être négatif entre les racines.

]]> Modélisation quadratique — Q07 : Associer expression et courbe Quelle est l'allure de la courbe de $f(x) = x^2 + 3$ ?

]]> Formes de référence (capacité attendue) : $x \mapsto ax^2$
(sommet à l'origine), $x \mapsto ax^2 + c$ (sommet
$(0\,;\,c)$), $x \mapsto a(x - x_1)(x - x_2)$ (racines
lisibles). Ici : sommet $(0\,;\,3)$, pas de racine.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Une parabole tournée vers le haut, de sommet
$(0\,;\,3)$ sur l'axe des ordonnées

]]> Bonne réponse : c'est la parabole de $x^2$ translatée de
$3$ vers le haut : sommet $(0\,;\,3)$, axe de symétrie
$x = 0$.

]]> Une parabole de sommet $(3\,;\,0)$

]]> Erreur : le $+3$ agit sur les ordonnées (décalage
vertical), pas sur les abscisses. Sommet $(0\,;\,3)$.

]]> Une parabole coupant l'axe des abscisses en $-3$ et $3$

]]> Erreur : $x^2 + 3 \geq 3 > 0$ pour tout $x$ : cette
parabole ne coupe jamais l'axe des abscisses (aucune
racine).

]]> Une droite de pente $3$

]]> Erreur : le terme $x^2$ impose une courbe parabolique,
pas une droite.

]]> Modélisation quadratique — Q08 : Trajectoire parabolique La hauteur d'un ballon est modélisée par $h(t) = -5t^2 +
10t$ ($h$ en mètres, $t$ en secondes). À quel instant la
hauteur est-elle maximale, et que vaut-elle ?

]]> Modèle physique type : $h(t) = -5t(t - 2)$, racines $0$ et
$2$ (décollage et retour au sol), sommet au milieu
($t = 1$, $h = 5$ m). La parabole capture la montée puis la
chute.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc À $t = 1$ s, hauteur $5$ m

]]> Bonne réponse : $h(t) = -5t(t - 2)$ s'annule en $0$ et
$2$ : sommet au milieu, $t = 1$, et $h(1) = -5 + 10 =
5$ m.

]]> À $t = 2$ s, hauteur $10$ m

]]> Erreur : à $t = 2$ le ballon retombe au sol
($h(2) = 0$) : c'est la seconde racine, pas le sommet.

]]> À $t = 1$ s, hauteur $10$ m

]]> Erreur de hauteur : $h(1) = -5 \times 1 + 10 \times 1 =
5$ m ($10$ est le coefficient, pas la hauteur maximale).

]]> La hauteur augmente sans fin

]]> Erreur : le coefficient $-5 < 0$ tourne la parabole vers
le bas : montée puis descente, avec un maximum au
sommet.

]]> Modélisation quadratique — Q09 : Axe de symétrie par la méthode $f(x) = c$ Soit $f(x) = x^2 - 6x + 2$. En résolvant $f(x) = 2$, on
trouve $x = 0$ ou $x = 6$. Qu'en déduit-on pour l'axe de
symétrie de la parabole ?

]]> Méthode explicite du programme (aucune formule attendue) :
résoudre $f(x) = c$ pour un $c$ commode (ici $c = 2$, le
terme constant : $x^2 - 6x = 0$ se factorise en $x(x-6)$),
puis prendre le milieu des solutions : axe $x = 3$,
sommet $(3\,;\,f(3)) = (3\,;\,-7)$.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc C'est la droite $x = 3$, milieu des deux antécédents de
$2$

]]> Bonne réponse : $0$ et $6$ ont la même image : ils sont
symétriques par rapport à l'axe, qui passe donc en
$x = \dfrac{0 + 6}{2} = 3$ (méthode du programme, sans
formule).

]]> C'est la droite $x = 6$

]]> Erreur : $6$ est l'un des deux antécédents ; l'axe
passe à mi-chemin entre les deux : $x = 3$.

]]> C'est la droite $y = 2$

]]> Erreur : $y = 2$ est la droite horizontale utilisée
pour couper la parabole ; l'axe de symétrie, lui, est
vertical.

]]> On ne peut rien en déduire

]]> Erreur : c'est précisément la méthode attendue : deux
antécédents d'une même valeur encadrent symétriquement
l'axe.

]]> Modélisation quadratique — Q10 : Tableau de variations Une fonction polynôme de degré 2 a un coefficient de $x^2$
négatif et son sommet en $x = 2$. Quel est son tableau
de variations ?

]]> Tableau de variations d'un degré 2 : monotone de part et
d'autre du sommet. $a < 0$ : croissante puis décroissante
(maximum au sommet) ; $a > 0$ : l'inverse (minimum).

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Croissante sur $]-\infty\,;\,2]$, décroissante sur
$[2\,;\,+\infty[$

]]> Bonne réponse : parabole tournée vers le bas : la
fonction monte jusqu'au sommet ($x = 2$), qui est son
maximum, puis redescend.

]]> Décroissante puis croissante

]]> Erreur : ce profil (descendre puis remonter) correspond
à un coefficient positif (sommet minimum).

]]> Croissante sur tout $\mathbb{R}$

]]> Erreur : aucun polynôme de degré 2 n'est monotone sur
$\mathbb{R}$ : la parabole change toujours de sens à son
sommet.

]]> Décroissante sur $]-\infty\,;\,2]$, car le coefficient
est négatif

]]> Erreur de lecture : le coefficient négatif met le sommet
en haut : avant lui, la fonction monte.

]]> Modélisation quadratique — Q11 : Chiffre d'affaires et prix Le chiffre d'affaires d'un produit vendu au prix unitaire
$p$ est modélisé par $R(p) = p\,(100 - 2p)$ (en euros).
Quel prix maximise le chiffre d'affaires ?

]]> Modèle économique du programme : $R(p) = p(100 - 2p)$, nul
en $0$ et $50$, maximal au milieu $p = 25$. La parabole
exprime le compromis prix-volume.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $p = 25$ euros

]]> Bonne réponse : $R$ s'annule en $p = 0$ et $p = 50$
(racines de la forme factorisée) : le maximum est au
milieu, $p = 25$, avec $R(25) = 25 \times 50 = 1250$
euros.

]]> $p = 50$ euros

]]> Erreur : à $50$ euros, plus personne n'achète
($100 - 2 \times 50 = 0$) : chiffre d'affaires nul.
C'est une racine, pas le sommet.

]]> Le plus cher possible

]]> Erreur : augmenter le prix fait fuir les acheteurs (le
facteur $100 - 2p$ chute) : le modèle quadratique capture
ce compromis, avec un optimum intermédiaire.

]]> $p = 100$ euros

]]> Erreur : à ce prix, la demande modélisée est négative :
hors du domaine pertinent. L'optimum est à mi-chemin des
racines $0$ et $50$.

]]> Modélisation quadratique — Q12 : Quand choisir un modèle quadratique ? Quel phénomène appelle naturellement une modélisation par
une fonction polynôme de degré 2 ?

]]> Choisir le modèle d'après le comportement : constant $\to$
constante ; accroissement fixe $\to$ affine ; taux fixe
$\to$ exponentiel ; montée puis descente $\to$
quadratique. C'est la carte mentale du programme.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Une grandeur qui croît puis décroît (ou l'inverse), avec
un maximum ou un minimum

]]> Bonne réponse : l'intérêt du degré 2 est la
non-monotonie : un sommet unique entre une montée et
une descente (trajectoire, chiffre d'affaires, population
sur un temps court).

]]> Une grandeur qui augmente du même montant chaque année

]]> Erreur : accroissement constant $=$ modèle linéaire
(affine, suite arithmétique).

]]> Une grandeur qui double à intervalles réguliers

]]> Erreur : doublement répété $=$ croissance
exponentielle (suite géométrique, fonction
$a^x$).

]]> Une grandeur constante

]]> Erreur : une constante se modélise… par une constante.
Le degré 2 sert aux phénomènes qui se retournent.

]]> Modélisation quadratique — Q13 : Ordonnée à l'origine d'une forme factorisée Soit $f(x) = (x - 1)(x - 5)$. Où la parabole coupe-t-elle
l'axe des ordonnées ?

]]> Intersection avec l'axe des ordonnées : calculer $f(0)$
(unique). Intersections avec l'axe des abscisses : les
racines (ici $1$ et $5$). Deux axes, deux questions
distinctes.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc En $y = 5$, car $f(0) = (-1)(-5) = 5$

]]> Bonne réponse : l'axe des ordonnées correspond à $x =
0$ : on évalue $f(0)$, produit des deux parenthèses :
$(-1) \times (-5) = +5$.

]]> En $y = -5$

]]> Signe : $(-1) \times (-5) = +5$ : le produit de deux
négatifs est positif.

]]> En $y = 1$ et $y = 5$

]]> Confusion d'axes : $1$ et $5$ sont les racines, sur
l'axe des abscisses : l'axe des ordonnées se coupe en un
seul point, $f(0)$.

]]> En $y = 0$

]]> Erreur : $f(0) = 5 \neq 0$ : la parabole ne passe pas
par l'origine.

]]> Modélisation quadratique — Q14 : Sommet au milieu des racines La parabole $f(x) = (x - 1)(x - 5)$ a pour racines $1$ et
$5$. Quelle est l'abscisse de son sommet ?

]]> L'axe de symétrie passe au milieu des racines : $x_S =
\frac{x_1 + x_2}{2}$ : la voie la plus rapide vers le sommet
quand la forme factorisée est donnée (la valeur du sommet
s'obtient ensuite : $f(3) = -4$).

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $3$ : le milieu des racines

]]> Bonne réponse : par symétrie, le sommet se trouve à
mi-chemin des racines : $\dfrac{1 + 5}{2} = 3$.

]]> $4$ : la moyenne pondérée vers la grande racine

]]> Erreur : la parabole est parfaitement symétrique : le
sommet est au milieu exact : $3$.

]]> $5$

]]> Erreur : $5$ est une racine ($f(5) = 0$) : le sommet est
entre les deux racines, pas dessus.

]]> $6$ : la somme des racines

]]> Division oubliée : le milieu est la demi-somme :
$\frac{6}{2} = 3$.

]]> Modélisation quadratique — Q15 : Signe avec parabole renversée Soit $f(x) = -(x - 2)(x - 6)$. Sur quel intervalle $f$
est-elle positive ?

]]> Signe d'un trinôme factorisé : signe de $a$ à l'extérieur
des racines, signe opposé entre elles. Ici $a < 0$ : négatif
dehors, positif dedans. Toujours tester une valeur pour
confirmer.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Sur $[2\ ;\ 6]$ : entre les racines

]]> Bonne réponse : le signe moins retourne la parabole
(branches vers le bas) : elle passe AU-DESSUS de l'axe
entre ses racines : positive sur $[2\ ;\ 6]$.

]]> À l'extérieur des racines

]]> Valable pour $a > 0$ : ici le coefficient est négatif :
les positions s'inversent : positive ENTRE les racines.

]]> Nulle part : le signe moins rend tout négatif

]]> Erreur : testez $x = 4$ : $-(2)(-2) = +4 > 0$ : le
moins retourne la parabole sans l'enterrer.

]]> Partout

]]> Erreur : au-delà des racines ($x = 0$ : $-(-2)(-6) =
-12$), la fonction plonge : positive seulement entre $2$
et $6$.

]]> Modélisation quadratique — Q16 : Les solutions de $f(x) = c$ par symétrie Une parabole a son axe de symétrie en $x = 3$. L'équation
$f(x) = c$ admet une solution $x = 1$. Quelle est l'autre ?

]]> Méthode $f(x) = c$ : les solutions vont par paires
symétriques autour de l'axe, et leur milieu EST l'axe.
Cette symétrie remplace le discriminant dans le programme du
tronc commun.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $x = 5$ : le symétrique de $1$ par rapport à $3$

]]> Bonne réponse : les deux solutions de $f(x) = c$ se font
face autour de l'axe : $1$ est à distance $2$ de l'axe,
l'autre aussi : $3 + 2 = 5$.

]]> $x = -1$

]]> Symétrie par rapport à $0$ : la parabole se reflète
autour de $x = 3$, pas autour de l'axe des ordonnées.

]]> $x = 3$

]]> Erreur : $3$ est l'axe lui-même : les solutions
l'encadrent (sauf si $c$ est la valeur du sommet, cas
d'une solution unique).

]]> Il n'y en a pas d'autre

]]> Erreur : $1 \neq 3$ n'est pas sur l'axe : son reflet
$5$ donne la même image : deuxième solution garantie.

]]> Modélisation quadratique — Q17 : L'enclos d'aire maximale Avec $20$ mètres de grillage, on forme un rectangle dont un
côté mesure $x$ : l'aire vaut $A(x) = x(10 - x)$. Quelle
valeur de $x$ maximise l'aire ?

]]> Optimisation quadratique sans dérivée : racines du produit
($0$ et $10$), sommet au milieu ($5$). À périmètre fixé, le
rectangle optimal est le carré : conclusion à retenir comme
point de contrôle.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $x = 5$ : le sommet de la parabole, au milieu des
racines $0$ et $10$

]]> Bonne réponse : $A$ s'annule en $0$ et $10$ : le maximum
est au milieu, $x = 5$ (un carré de $25$ m²) : la
symétrie fait tout le travail.

]]> $x = 10$ : le côté le plus long possible

]]> Erreur : $A(10) = 10 \times 0 = 0$ : rectangle écrasé :
maximiser un côté tue l'autre.

]]> $x = 20$

]]> Erreur : $20$ est le grillage TOTAL : le demi-périmètre
vaut $10$, et $x$ ne peut pas le dépasser.

]]> Aucune : plus $x$ grandit, plus l'aire grandit

]]> Erreur : le produit $x(10 - x)$ monte puis redescend
(parabole renversée) : le pic est en $x = 5$.

]]> Modélisation quadratique — Q18 : La balle retombe La hauteur d'une balle est modélisée par $h(t) = -5t^2 +
10t$ (en mètres, $t$ en secondes). Quand retombe-t-elle au
sol, et quelle hauteur maximale atteint-elle ?

]]> Trajectoire parabolique : factoriser pour les racines
(départ, retombée), sommet au milieu pour l'apogée. Trois
informations physiques lues sur une seule factorisation :
le modèle quadratique en action.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Au sol à $t = 2$ s ; hauteur maximale $5$ m à $t = 1$ s

]]> Bonne réponse : $h(t) = -5t(t - 2)$ : racines $0$
(départ) et $2$ (retombée) ; sommet au milieu $t = 1$ :
$h(1) = 5$ m.

]]> Au sol à $t = 10$ s ; hauteur maximale $10$ m

]]> Erreur : factoriser donne $-5t(t - 2)$ : la deuxième
racine est $2$, pas $10$ (et $h(1) = 5$, pas $10$).

]]> Elle ne retombe jamais : le temps n'a pas de racine

]]> Erreur : $h(2) = -20 + 20 = 0$ : le modèle prévoit la
retombée à $2$ secondes.

]]> Au sol à $t = 2$ s ; hauteur maximale $10$ m à $t = 1$ s

]]> Valeur du sommet fausse : $h(1) = -5 + 10 = 5$ m (le
coefficient $-5$ écrase la moitié du $10t$).

]]>