$course$/QCM de maths/Première tronc commun/Variation exponentielle Suites géométriques à termes strictement positifs (récurrence,
terme de rang $n$, sens de variation, représentation),
fonctions exponentielles $x \mapsto a^x$ ($a > 0$,
$x \geq 0$) : propriétés admises des puissances, exposant
$\frac{1}{n}$, taux d'évolution moyen, problèmes de seuil,
ordres de grandeur.

]]> Variation exponentielle — Q01 : Reconnaître une croissance exponentielle Un capital placé à intérêts composés de $5\ \%$ par an
est multiplié par $1{,}05$ chaque année. La suite des
capitaux annuels est :

]]> Taux d'évolution constant $\Leftrightarrow$ suite géométrique
de raison le coefficient multiplicateur ($1{,}05$ pour
$+5\ \%$). C'est le modèle de toutes les croissances
exponentielles.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Géométrique, de raison $1{,}05$

]]> Bonne réponse : un taux d'évolution constant se
traduit par un facteur multiplicatif constant : modèle
géométrique (croissance exponentielle).

]]> Arithmétique, de raison $1{,}05$

]]> Erreur : arithmétique signifierait ajouter $1{,}05$
euro par an. Ici on multiplie : les intérêts produisent
des intérêts.

]]> Géométrique, de raison $0{,}05$

]]> Erreur : multiplier par $0{,}05$ effondrerait le capital
à $5\ \%$ de sa valeur. Le coefficient d'une hausse de
$5\ \%$ est $1 + 0{,}05 = 1{,}05$.

]]> Arithmétique, de raison $5$

]]> Erreur : $+5$ euros par an correspondrait à des intérêts
simples (calculés sur le capital initial seulement).

]]> Variation exponentielle — Q02 : Formule explicite Un capital initial de $2000$ euros est multiplié par
$1{,}05$ chaque année. Quelle formule donne le capital
$u(n)$ après $n$ années ?

]]> Terme de rang $n$ d'une suite géométrique :
$u(n) = u(0) \times q^n$. Ici $2000 \times 1{,}05^n$ :
après $10$ ans, environ $3258$ euros.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $u(n) = 2000 \times 1{,}05^n$

]]> Bonne réponse : $n$ multiplications successives par
$1{,}05$ se condensent en une puissance : $1{,}05^n$.

]]> $u(n) = 2000 + 0{,}05\,n$

]]> Erreur : cette formule ajoute $5$ centimes par an
(modèle linéaire, et mal calibré). Les intérêts composés
multiplient.

]]> $u(n) = 2000 \times 0{,}05^n$

]]> Erreur : élever $0{,}05$ à la puissance écrase le
capital vers $0$. Le facteur annuel est $1{,}05$.

]]> $u(n) = 2000 \times 1{,}05 \times n$

]]> Erreur : multiplier par $n$ donne une croissance
linéaire. La répétition du facteur exige une
puissance : $1{,}05^n$.

]]> Variation exponentielle — Q03 : Sens de variation Soit la suite géométrique $u(n) = 50 \times 0{,}9^n$
(termes strictement positifs). Quel est son sens de
variation ?

]]> Suite géométrique à termes positifs : croissante si $q > 1$,
décroissante si $0 < q < 1$, constante si $q = 1$.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Décroissante, car la raison $0{,}9$ est entre $0$ et $1$

]]> Bonne réponse : multiplier une quantité positive par
$0{,}9$ la diminue de $10\ \%$ à chaque rang : $50$ ;
$45$ ; $40{,}5$…

]]> Croissante, car $50$ est positif

]]> Erreur : le premier terme donne l'échelle, pas la
direction. C'est la position de la raison par rapport à
$1$ qui décide.

]]> Décroissante, car $0{,}9$ est négatif

]]> Erreur d'argument : $0{,}9 > 0$. La décroissance vient de
$0{,}9 < 1$ (chaque multiplication réduit), pas d'un
signe négatif.

]]> Constante

]]> Erreur : constante exigerait une raison $q = 1$. Ici
chaque terme perd $10\ \%$.

]]> Variation exponentielle — Q04 : L'exposant $\frac{1}{n}$ Que vaut $2^{1/2}$ (deux à la puissance un demi) ?

]]> Extension des puissances (admise au programme) : $a^{1/n} =$
racine $n$-ième de $a$, seule valeur compatible avec
$\left(a^{1/n}\right)^n = a^1$. Clé du taux d'évolution
moyen.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $\sqrt{2} \approx 1{,}41$

]]> Bonne réponse : $a^{1/n}$ est la racine $n$-ième de $a$ :
le nombre positif dont la puissance $n$ redonne $a$.
Contrôle : $\left(2^{1/2}\right)^2 = 2^1 = 2$.

]]> $1$

]]> Erreur : $2^0 = 1$, mais l'exposant vaut ici
$\frac{1}{2}$, pas $0$ : $2^{1/2} = \sqrt{2}$.

]]> $\dfrac{2}{2} = 1$

]]> Erreur : l'exposant fractionnaire n'est pas une
division de la base. La règle des puissances impose
$\left(2^{1/2}\right)^2 = 2$ : c'est $\sqrt{2}$.

]]> $1{,}5$

]]> Erreur : $1{,}5^2 = 2{,}25 \neq 2$. La valeur exacte est
$\sqrt{2} \approx 1{,}414$.

]]> Variation exponentielle — Q05 : Propriétés de $a^x$ Pour $a > 0$ et $x, y \geq 0$, que vaut
$a^x \times a^y$ ?

]]> Les fonctions exponentielles $x \mapsto a^x$ héritent des
règles des puissances : $a^x a^y = a^{x+y}$,
$\left(a^x\right)^y = a^{xy}$, $a^0 = 1$.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $a^{x+y}$

]]> Bonne réponse : la règle des puissances entières
s'étend (elle est admise) aux exposants réels : produit
des puissances $=$ somme des exposants.

]]> $a^{xy}$

]]> Erreur : le produit des exposants correspond à
$\left(a^x\right)^y$, la puissance de puissance.

]]> $2a^{x+y}$

]]> Erreur : aucun facteur $2$ n'apparaît :
$a^x a^y = a^{x+y}$ tout court.

]]> $a^x + a^y$

]]> Erreur : le produit des puissances ne devient pas
une somme de puissances ; ce sont les exposants qui
s'additionnent.

]]> Variation exponentielle — Q06 : Taux d'évolution moyen Une grandeur a augmenté de $21\ \%$ en deux ans. Quel est le
taux d'évolution annuel moyen ?

]]> Taux moyen sur $n$ périodes : le coefficient global élevé à
la puissance $\frac{1}{n}$ (racine $n$-ième). Ici
$1{,}21^{1/2} = 1{,}1$ : $+10\ \%$ par an. Jamais de
division du taux global.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $10\ \%$ par an, car $1{,}1^2 = 1{,}21$

]]> Bonne réponse : le taux moyen est celui qui, répété deux
fois, reproduit l'évolution globale : coefficient
$1{,}21^{1/2} = 1{,}1$, soit $+10\ \%$ par an.

]]> $10{,}5\ \%$ par an, la moitié de $21\ \%$

]]> Le piège de la division : les taux ne se moyennent pas
arithmétiquement, car ils se composent par produit.
Vérifie : $1{,}105^2 = 1{,}221 \neq 1{,}21$.

]]> $21\ \%$ par an

]]> Erreur : $21\ \%$ est le taux global sur deux ans,
pas le taux annuel.

]]> $4{,}58\ \%$ par an

]]> Erreur : ce serait environ le taux moyen d'une hausse de
$21\ \%$ étalée sur... plus d'années. Sur deux ans :
$\sqrt{1{,}21} = 1{,}1$, soit $10\ \%$.

]]> Variation exponentielle — Q07 : Un autre taux moyen Le chiffre d'affaires d'une entreprise a été multiplié par
$1{,}44$ en deux ans. Quel taux annuel moyen cela
représente-t-il ?

]]> Même méthode : coefficient moyen $= 1{,}44^{1/2} = 1{,}2$,
taux moyen $= 20\ \%$. L'exposant $\frac{1}{n}$ du programme
sert exactement à cela.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $+20\ \%$ par an, car $1{,}44^{1/2} = 1{,}2$

]]> Bonne réponse : $\sqrt{1{,}44} = 1{,}2$ : deux hausses
successives de $20\ \%$ reconstituent bien
$1{,}2 \times 1{,}2 = 1{,}44$.

]]> $+22\ \%$ par an, car $44 \div 2 = 22$

]]> Le piège de la division : $1{,}22^2 = 1{,}4884 \neq
1{,}44$. Le taux moyen passe par la racine carrée du
coefficient global.

]]> $+44\ \%$ par an

]]> Erreur : $+44\ \%$ est l'évolution totale sur deux
ans, pas annuelle.

]]> $+1{,}2\ \%$ par an

]]> Confusion : $1{,}2$ est le coefficient annuel moyen ;
le taux correspondant est sa partie au-delà de $1$ :
$20\ \%$.

]]> Variation exponentielle — Q08 : Décroissance par demi-vie Un échantillon radioactif perd la moitié de ses noyaux à
chaque demi-vie. Quelle proportion des noyaux initiaux
reste-t-il après trois demi-vies ?

]]> Décroissance exponentielle type (datation au carbone 14) :
après $n$ demi-vies, il reste $\left(\frac{1}{2}\right)^n$
de la quantité initiale. Trois demi-vies : $\frac{1}{8}$.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $\dfrac{1}{8}$

]]> Bonne réponse : $\left(\dfrac{1}{2}\right)^3 =
\dfrac{1}{8}$ : moitié, puis quart, puis huitième.

]]> $\dfrac{1}{6}$

]]> Erreur : $\frac{1}{2} \times 3$ au dénominateur ? Les
moitiés se composent par produit :
$\left(\frac{1}{2}\right)^3 = \frac{1}{8}$.

]]> $\dfrac{1}{3}$

]]> Erreur : perdre la moitié trois fois ne laisse pas un
tiers, mais un huitième (chaque moitié porte sur le
reste).

]]> $0$ : tout a disparu

]]> Erreur : une décroissance exponentielle ne s'annule
jamais exactement : il reste toujours une fraction
(ici $12{,}5\ \%$).

]]> Variation exponentielle — Q09 : Problème de seuil exponentiel Une population de bactéries double chaque heure. Elle
compte $100$ individus à l'instant initial. Au bout de
combien d'heures dépasse-t-elle $1500$ individus ?

]]> Seuil exponentiel (capacité attendue) : dérouler les
puissances ($100 \times 2^n$) jusqu'à franchir le seuil, à
la main, au tableur ou par calculatrice : $n = 4$.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $4$ heures

]]> Bonne réponse : $100 \to 200 \to 400 \to 800 \to 1600$ :
après $4$ doublements, $100 \times 2^4 = 1600 > 1500$
(et $800 < 1500$ après $3$).

]]> $15$ heures

]]> Erreur de modèle : $15 = 1500/100$ raisonne
linéairement. Le doublement répété va beaucoup plus
vite : $4$ heures suffisent.

]]> $3$ heures

]]> Erreur : $100 \times 2^3 = 800 < 1500$ : le seuil n'est
pas encore franchi.

]]> $8$ heures

]]> Erreur : après $8$ heures, $100 \times 2^8 = 25\,600$ :
le seuil de $1500$ est dépassé depuis longtemps
(dès la quatrième heure).

]]> Variation exponentielle — Q10 : Ordre de grandeur d'un doublement répété Une quantité double $10$ fois de suite. Par quel facteur
global est-elle environ multipliée ?

]]> Estimer les ordres de grandeur exponentiels (capacité
attendue) : $2^{10} = 1024 \approx 10^3$. L'intuition
linéaire (« $\times 20$ ») sous-estime massivement les
croissances exponentielles.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Environ $1000$, car $2^{10} = 1024$

]]> Bonne réponse : dix doublements font $2^{10} = 1024
\approx 10^3$. Ordre de grandeur précieux : « dix
doublements $\approx$ un facteur mille ».

]]> $20$, car $2 \times 10$

]]> L'erreur linéaire type : les doublements se multiplient
entre eux, ils ne s'additionnent pas :
$2^{10} \approx 1000$, cinquante fois plus que $20$.

]]> $100$

]]> Erreur : $100 = 10^2$ sous-estime : $2^{10} = 1024$,
soit environ $10^3$.

]]> $512$

]]> Presque : $512 = 2^9$ correspond à neuf doublements.
Le dixième porte à $1024$.

]]> Variation exponentielle — Q11 : Exponentiel contre linéaire Une population croît de $2\ \%$ par an (exponentiel) ; ses
ressources alimentaires croissent d'une quantité fixe par an
(linéaire). D'après ce modèle (dit de Malthus), que se
passe-t-il à long terme ?

]]> Modèle de Malthus (au programme) : géométrique contre
arithmétique. À long terme, l'exponentielle l'emporte
toujours sur le linéaire, quel que soit le taux. D'où
l'importance de reconnaître la nature d'une croissance.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc La population finit toujours par croître plus vite que
les ressources

]]> Bonne réponse : toute croissance exponentielle (même à
petit taux) finit par dépasser n'importe quelle
croissance linéaire : les courbes se croisent
inévitablement.

]]> Les ressources gardent l'avantage si leur croissance
annuelle est assez grande

]]> Erreur : un ajout constant, aussi généreux soit-il, est
tôt ou tard rattrapé par la multiplication répétée :
l'exponentielle gagne toujours à long terme.

]]> Les deux croissances restent proportionnelles

]]> Erreur : leurs formes diffèrent radicalement (droite
contre courbe qui s'accélère) : l'écart se creuse au lieu
de rester proportionnel.

]]> Le modèle ne permet aucune conclusion

]]> Erreur : le modèle conclut nettement (c'est sa force et
sa limite : la réalité peut ensuite dévier du modèle,
mais lui est sans ambiguïté).

]]> Variation exponentielle — Q12 : Le facteur de reproduction d'une épidémie Au début d'une épidémie, chaque malade en contamine en
moyenne $3$ (facteur de reproduction $R_0 = 3$). En partant
d'un cas, combien de nouveaux cas le modèle prévoit-il à
la quatrième génération de contaminations ?

]]> Modèle géométrique d'une épidémie naissante (au programme) :
cas à la génération $n$ $= R_0^n$. Avec $R_0 = 3$ :
croissance explosive ($81$ à la génération $4$, près de
$60\,000$ à la dixième) : d'où l'enjeu de faire passer
$R_0$ sous $1$.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $3^4 = 81$

]]> Bonne réponse : chaque génération multiplie par $3$ :
$1 \to 3 \to 9 \to 27 \to 81$ : suite géométrique de
raison $R_0$.

]]> $3 \times 4 = 12$

]]> L'erreur linéaire : les contaminations se multiplient de
génération en génération, elles ne s'additionnent pas :
$3^4 = 81$.

]]> $4^3 = 64$

]]> Base et exposant échangés : le facteur $3$ se répète
$4$ fois : $3^4$, pas $4^3$.

]]> $27$

]]> Presque : $27 = 3^3$ est la troisième génération. La
quatrième triple encore : $81$.

]]> Variation exponentielle — Q13 : La puissance $a^0$ Pour $a > 0$, que vaut $a^0$ ?

]]> $a^0 = 1$ : le point de départ de toute croissance
exponentielle ($V_0 \times a^0 = V_0$ : au temps zéro, la
valeur initiale). Les courbes $y = a^x$ passent toutes par
$(0\ ;\ 1)$.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $1$

]]> Bonne réponse : $a^0 = 1$ pour tout $a > 0$ : cohérent
avec la règle des quotients : $\frac{a^n}{a^n} = a^0 =
1$.

]]> $0$

]]> Erreur : l'exposant $0$ ne signifie pas « rien » mais
« produit vide » : la valeur neutre est $1$.

]]> $a$

]]> Décalage : $a = a^1$ : l'exposant $0$ descend d'un cran
en dessous : $1$.

]]> Cela dépend de $a$

]]> Erreur : $2^0 = 1$, $10^0 = 1$, $0{,}5^0 = 1$ : la
valeur est universelle (pour $a > 0$).

]]> Variation exponentielle — Q14 : Trois années de croissance Une population augmente de $2\ \%$ chaque année. Par quel
nombre est-elle multipliée au bout de $3$ ans ?

]]> Croissance à taux constant : $V_n = V_0 \times (1 + t)^n$ :
la durée en exposant. L'écart avec l'addition des taux
($6{,}12\ \%$ contre $6\ \%$) : les fameux intérêts
composés.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $1{,}02^3 \approx 1{,}0612$

]]> Bonne réponse : chaque année multiplie par $1{,}02$ :
trois années enchaînées : $1{,}02 \times 1{,}02 \times
1{,}02$, soit un peu PLUS que $+6\ \%$.

]]> $1{,}06$ exactement

]]> Addition des taux : $3 \times 2\ \% = 6\ \%$ néglige
les intérêts composés : le vrai facteur est $1{,}02^3
\approx 1{,}0612$.

]]> $3 \times 1{,}02 = 3{,}06$

]]> Erreur : multiplier par $3$ triplerait la population :
les évolutions s'enchaînent en puissance, pas en
produit par le nombre d'années.

]]> $1{,}02 + 3$

]]> Erreur : aucune addition entre coefficient et durée : la
durée devient l'exposant : $1{,}02^3$.

]]> Variation exponentielle — Q15 : Deux baisses de $10\ \%$ Une valeur baisse de $10\ \%$ par an pendant deux ans.
Quelle est la baisse totale ?

]]> Baisses répétées : multiplier les coefficients ($0{,}9^n$),
puis convertir en taux ($1 - 0{,}81 = 19\ \%$). Les baisses
successives s'amortissent : on ne peut jamais perdre plus de
$100\ \%$ !

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $19\ \%$, car $0{,}9^2 = 0{,}81$

]]> Bonne réponse : deux années à $\times 0{,}9$ : $0{,}81$,
soit $-19\ \%$ : la deuxième baisse porte sur une valeur
déjà réduite, elle retire donc un peu moins.

]]> $20\ \%$

]]> Addition des taux : presque, mais faux : $0{,}9 \times
0{,}9 = 0{,}81 \neq 0{,}80$ : le point d'écart est la
baisse « évitée » sur la partie déjà perdue.

]]> $81\ \%$

]]> Confusion : $81\ \%$ est ce qui reste, pas ce qui
disparaît : la baisse est le complément : $19\ \%$.

]]> $1\ \%$

]]> Erreur : $1\ \%$ est l'écart entre $20\ \%$ (addition
naïve) et $19\ \%$ (réalité) : la baisse totale est
bien $19\ \%$.

]]> Variation exponentielle — Q16 : Capital à intérêts composés Un capital de $1\,000$ euros est placé à $4\ \%$ par an
(intérêts composés). Que vaut-il après $2$ ans ?

]]> Intérêts composés : $C_n = C_0 \times (1 + t)^n$ : le modèle
exponentiel du placement. La différence avec les intérêts
simples ($C_0(1 + nt)$, modèle linéaire) grandit avec les
années.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $1\,081{,}60$ euros

]]> Bonne réponse : $1000 \times 1{,}04^2 = 1000 \times
1{,}0816$ : la deuxième année rapporte des intérêts sur
les intérêts ($1{,}60$ euro de plus que $2 \times 40$).

]]> $1\,080$ euros

]]> Intérêts simples : $2 \times 40$ euros ignore les
intérêts produits par les premiers intérêts : composés,
on obtient $1\,081{,}60$.

]]> $1\,008$ euros

]]> Erreur d'échelle : $4\ \%$ de $1\,000$ vaut $40$ euros
par an, pas $4$ : après deux ans composés :
$1\,081{,}60$.

]]> $2\,080$ euros

]]> Erreur : le capital ne double pas en deux ans à
$4\ \%$ : chaque année multiplie par $1{,}04$, pas par
$2$.

]]> Variation exponentielle — Q17 : Le duel à long terme Modèle A : $+1\,000$ par an (linéaire). Modèle B :
$+1\ \%$ par an (exponentiel), départ $10\,000$. Que
dire du long terme ?

]]> Loi générale : toute exponentielle (raison $> 1$) finit par
dépasser toute suite linéaire, quel que soit le handicap de
départ. Le croisement peut être lointain : c'est la morale
des placements, des épidémies et des dettes.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc B finit toujours par dépasser A : une croissance
exponentielle dépasse tôt ou tard toute croissance
linéaire

]]> Bonne réponse : les gains de B grossissent avec la
valeur ($1\ \%$ d'une somme qui enfle), ceux de A
restent figés à $1\,000$ : l'exponentielle gagne le
marathon, même partie très lentement.

]]> A gagne toujours : $1\,000$ est plus grand que $1\ \%$
de $10\,000$

]]> Vrai au départ ($1\,000 > 100$), faux à terme : quand la
valeur de B atteint $100\,000$, son gain annuel rejoint
les $1\,000$ de A… puis les dépasse sans retour.

]]> Ils restent à égalité de rythme

]]> Erreur : l'un ajoute une constante, l'autre un
pourcentage croissant : les rythmes divergent
inexorablement.

]]> Impossible à dire sans la durée exacte

]]> Erreur : le résultat asymptotique est un théorème : SANS
connaître la date de croisement, on sait qu'elle existe.

]]> Variation exponentielle — Q18 : Deux demi-vies du carbone 14 Le carbone 14 perd la moitié de sa quantité tous les
$5\,730$ ans (demi-vie). Quelle proportion reste-t-il après
$11\,460$ ans (deux demi-vies) ?

]]> Décroissance par demi-vie : quantité restante $=
\left(\frac{1}{2}\right)^{n}$ après $n$ demi-vies : le
modèle exponentiel de la datation au carbone 14. Jamais
zéro : chaque période divise, elle ne soustrait pas.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $25\ \%$ : la moitié de la moitié

]]> Bonne réponse : chaque demi-vie multiplie par
$\frac{1}{2}$ : deux demi-vies : $\left(\frac{1}{2}
\right)^2 = \frac{1}{4}$.

]]> $0\ \%$ : deux moitiés font un tout

]]> Addition des baisses : faux : la deuxième moitié porte
sur ce qui reste : on ne descend jamais à zéro, on
divise par $2$ à chaque période.

]]> $50\ \%$

]]> Une seule demi-vie : $11\,460 = 2 \times 5\,730$ : DEUX
périodes se sont écoulées : $\frac{1}{4}$.

]]> $75\ \%$

]]> Confusion : $75\ \%$ est la proportion disparue :
il en reste $25\ \%$.

]]>