$course$/QCM de maths/Première tronc commun/Variation linéaire Suites arithmétiques (définition par récurrence, terme de rang
$n$, sens de variation, représentation graphique) et fonctions
affines (taux d'accroissement, coefficient directeur) :
modéliser les croissances à accroissement constant, résoudre
des problèmes de seuil.

]]> Variation linéaire — Q01 : Reconnaître une croissance linéaire Un livret rapporte des intérêts simples : chaque année,
le capital augmente de $20$ euros exactement. La suite des
capitaux annuels est :

]]> Croissance linéaire $=$ accroissement constant $=$ suite
arithmétique ($u(n+1) = u(n) + r$). À opposer à la
croissance exponentielle (taux constant, suite géométrique).

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Arithmétique, de raison $20$

]]> Bonne réponse : un accroissement constant en valeur
absolue ($+20$ euros par an) est la signature du modèle
arithmétique (croissance linéaire).

]]> Géométrique, de raison $20$

]]> Erreur : géométrique signifierait multiplier par $20$
chaque année. Ici on ajoute un montant fixe.

]]> Géométrique, de raison $1{,}20$

]]> Erreur : $\times\,1{,}20$ modéliserait des intérêts
composés de $20\ \%$. Les intérêts simples ajoutent
toujours le même montant : modèle arithmétique.

]]> Ni l'une ni l'autre

]]> Erreur : « $+20$ chaque année » est exactement la
définition d'une suite arithmétique de raison $20$.

]]> Variation linéaire — Q02 : Terme de rang donné Un abonnement coûte $500$ euros à l'ouverture (rang $0$)
puis $200$ euros par mois : $u(n) = 500 + 200n$. Combien
a-t-on dépensé au total au rang $n = 12$ ?

]]> Formule explicite d'une suite arithmétique :
$u(n) = u(0) + n \times r$. Elle donne directement le terme
de rang $n$, sans dérouler tous les rangs intermédiaires.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $2900$ euros

]]> Bonne réponse : $u(12) = 500 + 200 \times 12 = 500 +
2400 = 2900$ euros.

]]> $8400$ euros

]]> Erreur : $700 \times 12$ multiplie la somme $500 + 200$
par $12$. Seul le terme mensuel est multiplié par $n$ :
$500 + 200 \times 12$.

]]> $2700$ euros

]]> Erreur d'indice : $500 + 200 \times 11 = 2700$
correspond au rang $11$. Au rang $12$ : $2900$.

]]> $700$ euros

]]> Erreur : $700 = u(1)$ est la dépense au premier mois.
Pour $n = 12$, la formule donne $2900$.

]]> Variation linéaire — Q03 : Sens de variation Soit la suite arithmétique définie par $u(n+1) = u(n) - 3$
et $u(0) = 100$. Quel est son sens de variation ?

]]> Suite arithmétique de raison $r$ : croissante si $r > 0$,
décroissante si $r < 0$, constante si $r = 0$. Parallèle
exact avec le coefficient directeur des fonctions affines.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Décroissante, car la raison $-3$ est négative

]]> Bonne réponse : chaque terme perd $3$ : $100$, $97$,
$94$… Le signe de la raison commande tout.

]]> Croissante, car $u(0) = 100$ est grand

]]> Erreur : le premier terme fixe le point de départ, pas la
direction. C'est la raison $-3 < 0$ qui fait
descendre la suite.

]]> Constante

]]> Erreur : constante exigerait une raison nulle. Ici on
retire $3$ à chaque rang.

]]> Croissante puis décroissante

]]> Erreur : une suite arithmétique garde le même sens de
variation du début à la fin (ses points sont alignés).

]]> Variation linéaire — Q04 : Représentation graphique d'une suite arithmétique On représente les termes d'une suite arithmétique par les
points de coordonnées $(n\,;\,u(n))$. Qu'observe-t-on ?

]]> Suite arithmétique $\leftrightarrow$ points alignés (version
discrète de la fonction affine). Ce lien visuel permet de
reconnaître une croissance linéaire sur un graphique.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Des points alignés sur une droite

]]> Bonne réponse : l'accroissement constant $r$ joue le rôle
d'un coefficient directeur : les points $(n\,;\,u(0) +
rn)$ suivent la droite $y = rx + u(0)$.

]]> Des points sur une courbe qui monte de plus en plus vite

]]> Erreur : l'accélération est la signature des suites
géométriques (croissance exponentielle). Le modèle
arithmétique avance à pas constant : alignement.

]]> Une droite continue

]]> Nuance importante : une suite est discrète, sa
représentation est un ensemble de points isolés (alignés),
pas un trait continu.

]]> Des points disposés au hasard

]]> Erreur : la régularité du pas $r$ produit au contraire un
alignement parfait.

]]> Variation linéaire — Q05 : Taux d'accroissement d'une fonction affine Soit la fonction affine $f(x) = 2x + 3$. Quand $x$ augmente
de $1$, de combien varie $f(x)$ ?

]]> Fonction affine $f(x) = mx + p$ : accroissement constant
$m$ par unité de $x$ (coefficient directeur de la droite).
Version continue de la suite arithmétique.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc De $+2$ : le taux d'accroissement est le coefficient
directeur

]]> Bonne réponse : $f(x+1) - f(x) = 2(x+1) + 3 - 2x - 3 =
2$ : variation constante, égale au coefficient de $x$.

]]> De $+3$

]]> Erreur : $3$ est l'ordonnée à l'origine (la valeur en
$x = 0$), pas la variation par unité.

]]> De $+5$

]]> Erreur : $5 = f(1)$ est une valeur de la fonction,
pas son accroissement (qui vaut $f(1) - f(0) = 5 - 3 =
2$).

]]> Cela dépend de la valeur de $x$

]]> Erreur : c'est le propre des fonctions affines :
l'accroissement par unité est constant (c'est même ce
qui les caractérise).

]]> Variation linéaire — Q06 : Degrés Celsius et Fahrenheit La conversion s'écrit $F = 1{,}8\,C + 32$. Quelle
température Fahrenheit correspond à $20$ degrés Celsius ?

]]> Modèle affine typique (au programme) : $F = 1{,}8C + 32$
combine un facteur d'échelle ($1{,}8$) et un décalage
d'origine ($32$). $20$ °C $= 68$ °F.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $68$ degrés Fahrenheit

]]> Bonne réponse : $1{,}8 \times 20 + 32 = 36 + 32 = 68$.

]]> $52$ degrés Fahrenheit

]]> Erreur : $20 + 32 = 52$ oublie le facteur $1{,}8$
appliqué aux Celsius.

]]> $36$ degrés Fahrenheit

]]> Incomplet : $1{,}8 \times 20 = 36$, mais il reste à
ajouter le décalage $+32$.

]]> $93{,}6$ degrés Fahrenheit

]]> Erreur : $1{,}8 \times (20 + 32)$ ajoute avant de
multiplier. La formule multiplie d'abord : $1{,}8C + 32$.

]]> Variation linéaire — Q07 : Problème de seuil linéaire Avec $u(n) = 500 + 200n$ (dépense cumulée au rang $n$), à
partir de quel rang la dépense dépasse-t-elle $2000$
euros ?

]]> Problème de seuil (capacité attendue) : résoudre
l'inéquation $500 + 200n > 2000$, puis prendre le premier
rang entier convenable : $n = 8$.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc À partir de $n = 8$

]]> Bonne réponse : $500 + 200n > 2000 \Leftrightarrow n >
7{,}5$ : le premier rang entier au-delà est $n = 8$
($u(8) = 2100$).

]]> À partir de $n = 7$

]]> Erreur : $u(7) = 1900 < 2000$ : le seuil n'est pas encore
franchi au rang $7$.

]]> À partir de $n = 7{,}5$

]]> Erreur de nature : un rang est un entier ; la
solution $n > 7{,}5$ de l'inéquation s'arrondit au
premier entier supérieur : $8$.

]]> Jamais : la suite est bornée

]]> Erreur : une suite arithmétique de raison positive
dépasse tout seuil (croissance sans plafond, quoique
lente).

]]> Variation linéaire — Q08 : Intérêts simples ou composés ? Quelle est la différence entre intérêts simples et intérêts
composés ?

]]> Deux modèles d'évolution au cœur du programme : intérêts
simples $\to$ arithmétique (linéaire) ; intérêts composés
$\to$ géométrique (exponentiel). Le chapitre suivant explore
le second.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Simples : même montant ajouté chaque année (linéaire) ;
composés : même pourcentage appliqué chaque année
(exponentiel)

]]> Bonne réponse : les intérêts simples se calculent
toujours sur le capital initial (suite arithmétique) ;
les composés sur le capital courant (suite
géométrique).

]]> Simples : petits montants ; composés : gros montants

]]> Erreur : la distinction porte sur le mécanisme de
calcul, pas sur la taille des sommes.

]]> Les deux reviennent au même à long terme

]]> Erreur : c'est tout le contraire : à long terme, les
composés (exponentiels) creusent un écart de plus en plus
grand sur les simples (linéaires).

]]> Composés : les intérêts sont versés deux fois par an

]]> Erreur : « composés » signifie que les intérêts
produisent eux-mêmes des intérêts, quelle que soit la
fréquence de versement.

]]> Variation linéaire — Q09 : Offre, demande et point d'équilibre L'offre est modélisée par $y = 2x + 1$ et la demande par
$y = -x + 10$ ($x$ : prix unitaire). En quel prix $x$
l'offre égale-t-elle la demande (point d'équilibre) ?

]]> Modèle affine de l'offre et de la demande (au programme) :
le point d'équilibre est l'intersection des deux droites.
Égaler les expressions : $x = 3$, $y = 7$.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $x = 3$

]]> Bonne réponse : $2x + 1 = -x + 10 \Leftrightarrow 3x = 9
\Leftrightarrow x = 3$ (et la quantité d'équilibre vaut
$y = 7$).

]]> $x = 9$

]]> Oubli de la division : $3x = 9$ donne $x = 3$, pas
$x = 9$.

]]> $x = 7$

]]> Confusion : $7$ est l'ordonnée du point d'équilibre
(la quantité), pas le prix $x$.

]]> Il n'y a pas d'équilibre : les droites sont parallèles

]]> Erreur : les pentes $2$ et $-1$ diffèrent : les droites
se coupent en exactement un point.

]]> Variation linéaire — Q10 : Coefficient directeur par deux points Une droite passe par les points $(2\,;\,5)$ et
$(6\,;\,13)$. Quel est son coefficient directeur ?

]]> Automatisme du programme : $m = \dfrac{y_B - y_A}{x_B -
x_A} = 2$ : la droite monte de $2$ par pas de $1$ vers la
droite.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $2$

]]> Bonne réponse : $m = \dfrac{13 - 5}{6 - 2} =
\dfrac{8}{4} = 2$.

]]> $\dfrac{1}{2}$

]]> Fraction renversée : la variation des ordonnées
($8$) se divise par celle des abscisses ($4$).

]]> $8$

]]> Incomplet : $8$ est la variation vertic ale totale ; le
coefficient la rapporte à l'avancée horizontale ($4$) :
$2$ par unité.

]]> $18$

]]> Erreur : $\dfrac{13 + 5}{6 - 2}$ additionne au lieu de
soustraire au numérateur. Formule :
$\frac{y_B - y_A}{x_B - x_A}$.

]]> Variation linéaire — Q11 : Impôt et taux marginal Un barème d'impôt prévoit : $0\ \%$ jusqu'à $10\,000$ euros
de revenu, puis $30\ \%$ sur la partie au-delà de
$10\,000$ euros. Quel est l'impôt pour un revenu de
$15\,000$ euros ?

]]> Modèle affine par morceaux (au programme) : chaque taux
s'applique à sa tranche. Impôt $= 0{,}3 \times (15\,000 -
10\,000) = 1500$ euros ; le taux moyen effectif vaut
$10\ \%$, bien moins que le taux marginal de $30\ \%$.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $1500$ euros : $30\ \%$ des $5000$ euros au-dessus du
seuil

]]> Bonne réponse : le taux marginal de $30\ \%$ ne
s'applique qu'à la tranche au-delà de $10\,000$ euros :
$0{,}3 \times 5000 = 1500$.

]]> $4500$ euros : $30\ \%$ de tout le revenu

]]> L'erreur répandue sur les impôts : le taux d'une tranche
ne s'applique jamais à tout le revenu, seulement à la
partie située dans la tranche.

]]> $3000$ euros

]]> Erreur : $30\ \%$ de $10\,000$ calcule sur la mauvaise
partie : la première tranche est à $0\ \%$, la taxation
porte sur les $5000$ euros excédentaires.

]]> $0$ euro, car le revenu dépasse à peine le seuil

]]> Erreur : dès que le revenu dépasse $10\,000$ euros, la
partie excédentaire est imposée : $1500$ euros ici.

]]> Variation linéaire — Q12 : Linéaire ou pas ? Parmi ces quatre évolutions annuelles, laquelle relève d'un
modèle linéaire (suite arithmétique) ?

]]> Test de reconnaissance : « $+$ le même montant » $\to$
linéaire ; « $\times$ le même facteur » (ou $\pm$ le même
pourcentage) $\to$ exponentiel. Diagnostic indispensable
avant tout choix de modèle.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Une forêt gagne $50$ hectares chaque année

]]> Bonne réponse : accroissement constant en valeur
absolue ($+50$ ha/an) : croissance linéaire, suite
arithmétique de raison $50$.

]]> Une population augmente de $2\ \%$ chaque année

]]> Erreur : un taux constant ($\times 1{,}02$) définit
une croissance exponentielle (suite géométrique).

]]> Un capital est multiplié par $1{,}5$ chaque année

]]> Erreur : multiplication répétée : modèle géométrique
(exponentiel), pas linéaire.

]]> Une quantité perd la moitié de sa valeur chaque année

]]> Erreur : $\times \frac{1}{2}$ répété est une
décroissance exponentielle (demi-vie), pas linéaire.

]]> Variation linéaire — Q13 : Avancer de terme en terme Une suite vérifie $u_0 = 20$ et $u_{n+1} = u_n + 5$. Que
vaut $u_3$ ?

]]> Suite arithmétique : $u_n = u_0 + n \times r$ (ici $20 +
5n$). Le rang $n$ compte le nombre de pas effectués
depuis $u_0$ : source du décalage classique d'une unité.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $35$

]]> Bonne réponse : trois pas de $+5$ depuis $20$ : $25$,
$30$, $35$ (ou directement $20 + 3 \times 5$).

]]> $40$

]]> Un pas de trop : $u_3$ est atteint en trois étapes
depuis $u_0$ ($40$ serait $u_4$).

]]> $60$

]]> Erreur : $20 \times 3$ multiplie le terme initial : la
suite AJOUTE $5$ par étape, elle ne multiplie pas.

]]> $25$

]]> Arrêt prématuré : $25 = u_1$ : il reste deux pas
jusqu'à $u_3$.

]]> Variation linéaire — Q14 : Pente négative Que dire de la fonction affine $f(x) = -3x + 12$ ?

]]> Modèle linéaire : le coefficient directeur est le taux
d'accroissement constant : $m > 0$ croissance, $m < 0$
décroissance, et $|m|$ donne la vitesse. Tout est dans la
pente.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Elle est décroissante : chaque unité de plus sur $x$
fait perdre $3$ à $f(x)$

]]> Bonne réponse : le coefficient directeur $-3$ est le
taux de variation : négatif, la droite descend, à
vitesse constante.

]]> Elle est croissante, car $12$ est positif

]]> Mauvais paramètre : $12$ est la valeur de départ (en
$x = 0$) : le sens de variation se lit sur le
coefficient de $x$.

]]> Elle est décroissante seulement pour $x > 4$

]]> Erreur : une droite garde la même pente partout : elle
descend AVANT et APRÈS $4$ ($4$ est juste là où elle
traverse zéro).

]]> Elle n'est ni croissante ni décroissante

]]> Erreur : seule une fonction constante ($m = 0$)
échappe au classement : ici $m = -3$ : décroissante.

]]> Variation linéaire — Q15 : Deux tarifs à comparer Tarif A : $30$ euros d'abonnement plus $2$ euros par séance.
Tarif B : $5$ euros par séance sans abonnement. À partir de
combien de séances le tarif A devient-il avantageux ?

]]> Comparer deux modèles linéaires : égaler les expressions
(point d'indifférence), puis raisonner sur les pentes : la
droite la moins pentue finit toujours par passer dessous. Le
schéma des choix d'abonnement, forfaits, locations.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc À partir de $11$ séances (les deux tarifs s'égalent à
$x = 10$)

]]> Bonne réponse : $30 + 2x = 5x \iff x = 10$ : égalité à
$10$ séances ($50$ euros), et au-delà l'abonnement
l'emporte ($3$ euros économisés par séance
supplémentaire).

]]> Dès la première séance : l'abonnement fait gagner de
l'argent

]]> Erreur : à $1$ séance : $32$ euros contre $5$ : les
$30$ euros fixes pèsent lourd au départ : l'abonnement
se rentabilise avec le volume.

]]> Jamais : B est toujours moins cher

]]> Erreur : B grimpe de $5$ par séance contre $2$ pour A :
les droites se croisent (à $x = 10$) et A passe dessous.

]]> À partir de $6$ séances

]]> Contrôle : à $6$ séances : $42$ euros (A) contre $30$
(B) : B gagne encore : l'égalité n'arrive qu'à $10$.

]]> Variation linéaire — Q16 : Coût d'un abonnement Une salle de sport coûte $25$ euros d'inscription puis $3$
euros par séance. Quel est le coût total pour $10$
séances ?

]]> Modèle affine du coût : $C(x) = (\text{fixe}) +
(\text{taux}) \times x$ : la structure de tous les tarifs à
abonnement. La partie fixe se paie une fois, le taux à
chaque unité.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $55$ euros

]]> Bonne réponse : $C(x) = 25 + 3x$, et $C(10) = 25 + 30 =
55$ : partie fixe + partie proportionnelle.

]]> $30$ euros

]]> Partie fixe oubliée : $3 \times 10 = 30$ ne compte que
les séances : l'inscription s'ajoute.

]]> $280$ euros

]]> Erreur : $(25 + 3) \times 10$ fait payer l'inscription
à chaque séance : elle ne se paie qu'une fois.

]]> $250$ euros

]]> Erreur : $25 \times 10$ multiplie la partie fixe : la
formule est $25 + 3 \times 10$.

]]> Variation linéaire — Q17 : Retrouver la fonction affine Une fonction affine vérifie $f(2) = 7$ et $f(5) = 16$.
Quelle est son expression ?

]]> Affine par deux valeurs : 1) taux $m = \frac{f(b) -
f(a)}{b - a}$ ; 2) constante via l'un des points ; 3)
contrôle avec l'autre. Le même calcul que la droite par deux
points : c'en est une.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $f(x) = 3x + 1$

]]> Bonne réponse : taux $= \dfrac{16 - 7}{5 - 2} = 3$,
puis $f(2) = 7$ donne $6 + b = 7$, $b = 1$. Contrôle :
$f(5) = 16$ ✓.

]]> $f(x) = 3x + 7$

]]> Ordonnée bâclée : $7$ est $f(2)$, pas $f(0)$ : la
constante se calcule : $7 - 3 \times 2 = 1$.

]]> $f(x) = 9x + 3$

]]> Taux faux : $9$ est l'écart des images seul : le taux le
divise par l'écart des antécédents ($3$) : $m = 3$.

]]> $f(x) = \dfrac{7}{2}x$

]]> Proportionnalité supposée à tort : $\frac{7}{2}
\times 5 = 17{,}5 \neq 16$ : une fonction affine
générale a aussi une constante $b$.

]]> Variation linéaire — Q18 : Le tableau est-il linéaire ? Un tableau donne : $f(0) = 3$, $f(1) = 5$, $f(2) = 7$,
$f(3) = 10$. Un modèle linéaire (affine) convient-il ?

]]> Test du modèle linéaire : différences constantes à pas
constant ($f(x+1) - f(x)$ identiques). Test du modèle
exponentiel : quotients constants. Deux tests, deux
mondes : LA distinction structurante de l'année.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Non : les accroissements valent $+2$, $+2$, puis $+3$ :
le dernier casse la régularité

]]> Bonne réponse : un modèle affine exige des
accroissements constants à pas égal : le passage de
$7$ à $10$ ($+3$) dévie : le modèle est au mieux
approximatif.

]]> Oui : les valeurs augmentent régulièrement

]]> Trop vague : « augmenter » ne suffit pas : il faut
augmenter du MÊME montant à chaque pas, et $+3 \neq
+2$.

]]> Oui : quatre points sont toujours alignés

]]> Erreur : deux points sont toujours alignés, trois ou
plus rarement : ici le quatrième sort de la droite des
trois premiers.

]]> Non : il faudrait des accroissements multiplicatifs
constants

]]> Confusion de modèle : le quotient constant caractérise
le modèle exponentiel : le linéaire se teste par les
différences.

]]>