$course$/QCM de maths/Seconde/Arithmétique Notations $\mathbb{N}$ et $\mathbb{Z}$, multiples et diviseurs,
nombres pairs et impairs, fractions irréductibles, premiers
raisonnements (somme de multiples, carré d'un impair) et tests
algorithmiques.

]]> Arithmétique — Q01 : Reconnaître un multiple Le nombre $51$ est-il un multiple de $17$ ?

]]> Définition : $a$ est multiple de $b$ s'il existe un entier $k$
tel que $a = kb$. Ici $51 = 3 \times 17$ : $51$ est multiple de
$17$ (et $17$ est un diviseur de $51$).

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Oui, car $51 = 3 \times 17$

]]> Bonne réponse : il existe un entier $k$ (ici $k = 3$) tel
que $51 = k \times 17$ : c'est la définition d'un multiple.

]]> Non, car $51$ est impair

]]> Erreur : la parité ne concerne que la divisibilité par
$2$. Un nombre impair peut très bien être multiple de
$17$ : $51 = 3 \times 17$.

]]> Non, car $17 + 17 = 34 \neq 51$

]]> Erreur : tu t'es arrêté trop tôt. Les multiples de $17$
sont $17$, $34$, $51$, $68$… : $51$ en fait partie
($3 \times 17$).

]]> Oui, car $51$ se termine par $1$ comme... $17$ ?

]]> La conclusion est bonne mais la raison est fausse : aucun
critère de divisibilité ne se lit sur le dernier chiffre
pour $17$. La seule justification valable est
$51 = 3 \times 17$.

]]> Arithmétique — Q02 : Écriture d'un nombre pair Comment caractérise-t-on un entier pair $n$ ?

]]> $n$ pair $\Leftrightarrow$ $n = 2k$ avec $k$ entier ;
$n$ impair $\Leftrightarrow$ $n = 2k + 1$. Ces écritures
littérales servent à démontrer (par exemple que le carré d'un
impair est impair).

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Il existe un entier $k$ tel que $n = 2k$

]]> Bonne réponse : pair = multiple de $2$. Cette écriture
$n = 2k$ est l'outil de toutes les démonstrations de
parité.

]]> Il existe un entier $k$ tel que $n = 2k + 1$

]]> Erreur : $2k + 1$ est l'écriture d'un nombre impair
(un pair plus un).

]]> $n$ se termine par $2$

]]> Insuffisant : $14$, $36$, $58$, $70$ sont pairs sans se
terminer par $2$. Le critère du dernier chiffre est
« $0$, $2$, $4$, $6$ ou $8$ », mais la définition est
$n = 2k$.

]]> $n$ est positif

]]> Erreur : le signe n'a rien à voir avec la parité. $-6$ est
pair ($-6 = 2 \times (-3)$).

]]> Arithmétique — Q03 : Le cas de zéro Le nombre $0$ est-il un multiple de $7$ ?

]]> $0 = 0 \times b$ pour tout entier $b$ : $0$ est multiple de
tous les entiers. En revanche, $0$ ne divise aucun entier
non nul.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Oui, car $0 = 0 \times 7$

]]> Bonne réponse : la définition demande un entier $k$ tel que
$0 = k \times 7$, et $k = 0$ convient. $0$ est multiple de
tout entier.

]]> Non, car $0$ n'est dans la table de personne

]]> Erreur : la « table de 7 » commence bien par
$0 \times 7 = 0$. L'intuition des tables récitées à partir
de $1$ fait oublier ce premier terme.

]]> Non, car on ne peut pas diviser par $0$

]]> Confusion : on ne divise pas par $0$, mais ici c'est
$0$ qu'on divise par $7$ ($0 \div 7 = 0$, sans problème).

]]> Oui, mais seulement si on admet $k$ non entier

]]> Erreur : $k = 0$ est un entier parfaitement valable. Aucune
extension n'est nécessaire.

]]> Arithmétique — Q04 : Somme de deux multiples Soient $m$ et $n$ deux multiples de $7$. Que peut-on dire de
leur somme $m + n$ ?

]]> Démonstration type (au programme) : $m = 7k$, $n = 7j$, donc
$m + n = 7(k + j)$ : multiple de $7$. La factorisation par $7$
est tout l'argument.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc C'est toujours un multiple de $7$

]]> Bonne réponse : $m = 7k$ et $n = 7j$ donnent
$m + n = 7(k + j)$, avec $k + j$ entier : c'est la
démonstration du programme.

]]> C'est un multiple de $14$

]]> Erreur : $7 + 14 = 21$ est multiple de $7$ mais pas de
$14$. La somme reste dans les multiples de $7$, sans
doubler la base.

]]> Ce n'est un multiple de $7$ que si $m = n$

]]> Erreur : aucune condition n'est nécessaire :
$7(k + j)$ fonctionne pour tous entiers $k$ et $j$.

]]> On ne peut rien dire en général

]]> Erreur : la factorisation $m + n = 7k + 7j = 7(k+j)$
conclut dans tous les cas.

]]> Arithmétique — Q05 : Carré d'un nombre impair Soit $n = 2k + 1$ un entier impair. Sa mise au carré donne
$n^2 = 4k^2 + 4k + 1$. Que peut-on en conclure ?

]]> $(2k+1)^2 = 4k^2 + 4k + 1 = 2(2k^2 + 2k) + 1$ : la forme
$2 \times \text{entier} + 1$ prouve que le carré d'un impair
est impair, quel que soit $k$.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $n^2 = 2(2k^2 + 2k) + 1$ est impair

]]> Bonne réponse : $n^2$ s'écrit $2 \times \text{entier} + 1$,
la forme exacte d'un nombre impair. C'est la démonstration
du programme.

]]> $n^2$ est pair car $4k^2 + 4k$ est pair

]]> Erreur de lecture : $4k^2 + 4k$ est bien pair, mais il
reste le $+1$ final qui rend le total impair.

]]> $n^2$ est multiple de $4$

]]> Erreur : le $+1$ empêche la divisibilité par $4$ (et même
par $2$). Exemple : $3^2 = 9$, pas multiple de $4$.

]]> On ne peut rien conclure sans connaître $k$

]]> Erreur : l'écriture $2(2k^2 + 2k) + 1$ conclut pour
tout entier $k$ : c'est la force du calcul littéral.

]]> Arithmétique — Q06 : Compter les diviseurs Combien l'entier $12$ possède-t-il de diviseurs positifs ?

]]> Diviseurs de $12$ : $1, 2, 3, 4, 6, 12$. Méthode : chercher les
paires dont le produit vaut $12$. Diviseurs = nombre fini ;
multiples = infinité.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $6$ (à savoir $1$, $2$, $3$, $4$, $6$ et $12$)

]]> Bonne réponse : on les trouve par paires de produit $12$ :
$1 \times 12$, $2 \times 6$, $3 \times 4$.

]]> $4$

]]> Incomplet : n'oublie pas les extrêmes $1$ et $12$, qui sont
toujours diviseurs.

]]> $5$

]]> Presque : recompte par paires ($1 \times 12$,
$2 \times 6$, $3 \times 4$) : cela fait $6$ diviseurs.

]]> Une infinité

]]> Erreur : ce sont les multiples de $12$ qui sont en
nombre infini. Les diviseurs d'un entier non nul sont en
nombre fini.

]]> Arithmétique — Q07 : Fraction irréductible Quelle est la forme irréductible de la fraction
$\dfrac{42}{56}$ ?

]]> Irréductible = numérateur et dénominateur sans diviseur commun
autre que $1$. $\dfrac{42}{56} = \dfrac{42 \div 14}{56 \div 14}
= \dfrac{3}{4}$.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $\dfrac{3}{4}$

]]> Bonne réponse : $42 = 14 \times 3$ et $56 = 14 \times 4$ :
on simplifie par $14$ et il ne reste aucun diviseur commun.

]]> $\dfrac{21}{28}$

]]> Simplification inachevée : tu as divisé par $2$, mais $21$
et $28$ restent tous deux divisibles par $7$ :
$\dfrac{21}{28} = \dfrac{3}{4}$.

]]> $\dfrac{6}{8}$

]]> Simplification inachevée : $6$ et $8$ sont encore
divisibles par $2$ : $\dfrac{6}{8} = \dfrac{3}{4}$.

]]> $\dfrac{2}{3}$

]]> Erreur de calcul : $\dfrac{2}{3} \approx 0{,}67$ alors que
$\dfrac{42}{56} = 0{,}75$. La simplification correcte par
$14$ donne $\dfrac{3}{4}$.

]]> Arithmétique — Q08 : Les ensembles $\mathbb{N}$ et $\mathbb{Z}$ Quelle affirmation est correcte à propos du nombre $-3$ ?

]]> $\mathbb{N} = \{0\,;\,1\,;\,2\,;\,\ldots\}$ (entiers naturels)
et $\mathbb{Z} = \{\ldots\,;\,-2\,;\,-1\,;\,0\,;\,1\,;\,2\,;\,
\ldots\}$ (entiers relatifs) : $\mathbb{N} \subset \mathbb{Z}$
et $-3 \in \mathbb{Z} \setminus \mathbb{N}$.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $-3 \in \mathbb{Z}$ mais $-3 \notin \mathbb{N}$

]]> Bonne réponse : $\mathbb{N}$ contient les entiers
naturels ($0, 1, 2, \ldots$) et $\mathbb{Z}$ tous les
entiers relatifs, négatifs compris.

]]> $-3 \in \mathbb{N}$ et $-3 \in \mathbb{Z}$

]]> Erreur : $\mathbb{N}$ ne contient aucun nombre négatif.
Les négatifs entiers n'apparaissent qu'à partir de
$\mathbb{Z}$.

]]> $-3 \notin \mathbb{Z}$ car il est négatif

]]> Erreur : c'est précisément la raison d'être de
$\mathbb{Z}$ : accueillir les entiers négatifs
($\ldots, -2, -1, 0, 1, 2, \ldots$).

]]> $-3 \in \mathbb{N}$ car $3 \in \mathbb{N}$

]]> Erreur : l'appartenance ne se transmet pas à l'opposé.
$3 \in \mathbb{N}$ mais $-3$ n'y est pas.

]]> Arithmétique — Q09 : Raisonner sur la parité de $n^2$ Soit $n$ un entier tel que $n^2$ est pair. Que peut-on en
déduire pour $n$ ?

]]> Raisonnement par contraposée : « $n$ impair $\Rightarrow$
$n^2$ impair » équivaut à « $n^2$ pair $\Rightarrow$ $n$
pair ». (C'est l'ingrédient clé de l'irrationalité de
$\sqrt{2}$.)

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $n$ est pair

]]> Bonne réponse : si $n$ était impair, son carré serait
impair (propriété démontrée en cours). Par contraposée,
$n^2$ pair force $n$ pair.

]]> $n$ est impair

]]> Erreur : teste $n = 4$ : $n^2 = 16$ pair et $n$ pair. Un
carré pair ne peut pas provenir d'un impair.

]]> On ne peut rien dire

]]> Erreur : la propriété « impair $\Rightarrow$ carré
impair » interdit à un impair d'avoir un carré pair. La
conclusion $n$ pair est certaine.

]]> $n = 2$

]]> Trop précis : $n$ peut être $0$, $\pm 2$, $\pm 4$, etc.
On déduit la parité de $n$, pas sa valeur.

]]> Arithmétique — Q10 : Somme d'un pair et d'un impair Que peut-on dire de la somme d'un entier pair et d'un entier
impair ?

]]> Table de parité, prouvée par le littéral : pair $+$ pair $=$
pair ; impair $+$ impair $=$ pair ; pair $+$ impair $=$
impair ($2k + 2j + 1 = 2(k+j) + 1$).

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Elle est toujours impaire

]]> Bonne réponse : $2k + (2j + 1) = 2(k + j) + 1$, forme d'un
nombre impair, quels que soient les entiers $k$ et $j$.

]]> Elle est toujours paire

]]> Erreur : $2 + 3 = 5$, impair. L'écriture littérale
$2(k+j) + 1$ montre que le $+1$ subsiste toujours.

]]> Sa parité dépend des nombres choisis

]]> Erreur : le calcul littéral tranche une fois pour toutes :
pair $+$ impair $= 2(k+j) + 1$, impair dans tous les
cas.

]]> Elle est multiple de $3$

]]> Erreur : la parité ne dit rien de la divisibilité par
$3$ ($2 + 3 = 5$ n'est pas multiple de $3$).

]]> Arithmétique — Q11 : Tester un multiple en Python En Python, quelle condition teste si l'entier a est un
multiple de l'entier b (avec b non nul) ?

]]> L'opérateur % (modulo) renvoie le reste de la division
euclidienne : a % b == 0 équivaut à « $a$ est multiple de
$b$ ». C'est l'algorithme du programme.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc a % b == 0

]]> Bonne réponse : a % b est le reste de la division
euclidienne de a par b ; un reste nul signifie
exactement que b divise a.

]]> b % a == 0

]]> Sens inversé : cette condition teste si b est multiple
de a. L'ordre des opérandes compte.

]]> a / b == 0

]]> Erreur : a / b est le quotient décimal ; il ne vaut $0$
que si a vaut $0$. C'est le reste % qui teste la
divisibilité.

]]> a == b

]]> Erreur : l'égalité est un cas très particulier. $51$ est
multiple de $17$ sans lui être égal.

]]> Arithmétique — Q12 : Multiples communs Un bus A passe toutes les $4$ minutes, un bus B toutes les $6$
minutes. Ils viennent de partir ensemble. Dans combien de
minutes repartiront-ils ensemble pour la première fois ?

]]> Les départs simultanés ont lieu aux multiples communs de $4$
et $6$ : $12$, $24$, $36$… Le premier est $12$. Lister les
premiers multiples de chaque nombre suffit à le trouver.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $12$ minutes

]]> Bonne réponse : on cherche le plus petit multiple commun
non nul de $4$ et $6$. Multiples de $4$ : $4, 8, 12$… ;
de $6$ : $6, 12$… : premier commun, $12$.

]]> $24$ minutes

]]> Erreur : $24 = 4 \times 6$ est un multiple commun,
mais pas le plus petit : $12$ convient déjà
($12 = 3 \times 4 = 2 \times 6$).

]]> $10$ minutes

]]> Erreur : $10 = 4 + 6$ additionne les périodes ; or $10$
n'est multiple ni de $4$ ni de $6$.

]]> $2$ minutes

]]> Erreur : $2$ est un diviseur commun de $4$ et $6$. On
cherche ici un multiple commun (les instants de départ
simultané).

]]>