$course$/QCM de maths/Seconde/Calcul littéral, équations et inéquations
Identités remarquables, développement et factorisation,
puissances et racines carrées ($\sqrt{ab} = \sqrt{a}\sqrt{b}$,
$\sqrt{a^2} = |a|$), équations du premier degré, produit nul,
quotient, $x^2 = a$, inéquations et opérations sur les
inégalités, isoler une variable dans une formule.]]>
Calcul littéral, équations et inéquations — Q01 : Développer $(x + 3)^2$
Quel est le développement de $(x + 3)^2$ ?]]>
Identité remarquable : $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$. Ici
$(x+3)^2 = x^2 + 6x + 9$. Vérification rapide avec une valeur :
$x = 1$ donne $16$ des deux côtés.]]>
1.0
0.0
0
true
true
abc
$x^2 + 6x + 9$]]>
Bonne réponse : $(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$, avec le
double produit $2 \times x \times 3 = 6x$.]]>
$x^2 + 9$]]>
L'erreur la plus répandue du lycée : le carré d'une somme
n'est pas la somme des carrés. Le double produit $6x$ est
indispensable (teste avec $x = 1$ : $(1+3)^2 = 16 \neq
10$).]]>
$x^2 + 3x + 9$]]>
Erreur : le terme croisé est le double produit
$2 \times 3 \times x = 6x$, pas $3x$.]]>
$x^2 + 6x + 3$]]>
Erreur : le dernier terme est le carré de $3$, soit
$9$, pas $3$.]]>
Calcul littéral, équations et inéquations — Q02 : Factoriser $x^2 - 25$
Quelle est la factorisation de $x^2 - 25$ ?]]>
Troisième identité remarquable :
$a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$. Ici $x^2 - 25 = (x - 5)(x + 5)$,
point de départ des équations produit nul.]]>
1.0
0.0
0
true
true
abc
$(x - 5)(x + 5)$]]>
Bonne réponse : différence de deux carrés,
$a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$ avec $a = x$ et $b = 5$.]]>
$(x - 5)^2$]]>
Erreur : $(x-5)^2 = x^2 - 10x + 25$, avec un double
produit et un $+25$. La différence de carrés se
factorise en produit de facteurs conjugués.]]>
$(x - 25)(x + 1)$]]>
Erreur : ce produit vaut $x^2 - 24x - 25$. C'est $b^2 =
25$ donc $b = 5$ qui entre dans la factorisation.]]>
Cette expression ne se factorise pas]]>
Erreur : toute différence de deux carrés se factorise :
$x^2 - 25 = x^2 - 5^2 = (x-5)(x+5)$.]]>
Calcul littéral, équations et inéquations — Q03 : Équation produit nul
Quelles sont les solutions de l'équation
$(x - 2)(x + 5) = 0$ ?]]>
Règle du produit nul : $A \times B = 0 \Leftrightarrow A = 0$
ou $B = 0$. Ici : $x = 2$ ou $x = -5$. C'est la raison d'être
de la factorisation.]]>
1.0
0.0
0
true
true
abc
$x = 2$ ou $x = -5$]]>
Bonne réponse : un produit est nul si et seulement si l'un
de ses facteurs est nul : $x - 2 = 0$ ou $x + 5 = 0$.]]>
$x = 2$ ou $x = 5$]]>
Erreur de signe : $x + 5 = 0$ donne $x = -5$. Le signe de
la solution est l'opposé de celui écrit dans le
facteur.]]>
$x = -2$ ou $x = 5$]]>
Signes inversés sur les deux facteurs : $x - 2 = 0
\Rightarrow x = 2$ et $x + 5 = 0 \Rightarrow x = -5$.]]>
$x = -10$]]>
Erreur : tu as peut-être multiplié $2 \times (-5)$. On ne
combine pas les solutions : chaque facteur nul en donne
une.]]>
Calcul littéral, équations et inéquations — Q04 : Résoudre $x^2 = 5$
Quelles sont les solutions réelles de l'équation $x^2 = 5$ ?]]>
Équation $x^2 = a$ : deux solutions $\pm\sqrt{a}$ si $a > 0$,
une seule ($0$) si $a = 0$, aucune si $a < 0$.]]>
1.0
0.0
0
true
true
abc
$x = \sqrt{5}$ ou $x = -\sqrt{5}$]]>
Bonne réponse : deux nombres opposés ont le même carré :
l'équation $x^2 = a$ (avec $a > 0$) a deux solutions,
$\pm\sqrt{a}$.]]>
$x = \sqrt{5}$ seulement]]>
Oubli : $(-\sqrt{5})^2 = 5$ aussi. Le réflexe « racine
carrée » ne donne que la solution positive.]]>
$x = 2{,}5$]]>
Erreur : $2{,}5 = 5 \div 2$ confond carré et double.
$2{,}5^2 = 6{,}25 \neq 5$.]]>
L'équation n'a pas de solution]]>
Erreur : c'est $x^2 = -5$ qui n'a pas de solution réelle
(un carré n'est jamais négatif). Pour $5 > 0$, il y en a
deux.]]>
Calcul littéral, équations et inéquations — Q05 : Équation quotient
Quelles sont les solutions de l'équation
$\dfrac{x + 1}{x - 3} = 0$ ?]]>
$\dfrac{A(x)}{B(x)} = 0 \Leftrightarrow A(x) = 0$ et
$B(x) \neq 0$. Réflexe : commencer par noter la valeur
interdite (ici $x = 3$), puis résoudre le numérateur.]]>
1.0
0.0
0
true
true
abc
$x = -1$ seulement]]>
Bonne réponse : un quotient est nul quand son
numérateur est nul et son dénominateur non nul :
$x = -1$ (et la valeur interdite $x = 3$ est écartée).]]>
$x = -1$ ou $x = 3$]]>
Erreur : $x = 3$ annule le dénominateur : le quotient
n'y existe même pas. C'est une valeur interdite, pas une
solution.]]>
$x = 3$ seulement]]>
Erreur : $3$ est la valeur interdite. La nullité d'un
quotient se joue au numérateur : $x + 1 = 0$.]]>
L'équation n'a pas de solution]]>
Erreur : $x = -1$ convient : $\dfrac{0}{-4} = 0$, et le
dénominateur n'est pas nul en $-1$.]]>
Calcul littéral, équations et inéquations — Q06 : Inéquation et division par un négatif
Quel est l'ensemble des solutions de l'inéquation
$-2x + 6 > 0$ ?]]>
Règle d'or : multiplier ou diviser une inégalité par un nombre
strictement négatif change son sens. $-2x + 6 > 0
\Leftrightarrow -2x > -6 \Leftrightarrow x < 3$.]]>
1.0
0.0
0
true
true
abc
$]-\infty\,;\,3[$]]>
Bonne réponse : $-2x > -6$ puis, en divisant par $-2$,
l'inégalité se renverse : $x < 3$.]]>
$]3\,;\,+\infty[$]]>
L'erreur classique : diviser par un nombre négatif
renverse le sens de l'inégalité. Vérifie avec $x = 0$ :
$-2(0) + 6 = 6 > 0$, donc $0$ est solution, et $0 < 3$.]]>
$]-\infty\,;\,-3[$]]>
Erreur de signe sur la borne : $-2x > -6$ donne $x < 3$,
pas $x < -3$.]]>
$]-3\,;\,3[$]]>
Erreur : une inéquation du premier degré délimite une
demi-droite, pas un intervalle borné.]]>
Calcul littéral, équations et inéquations — Q07 : Produit de puissances
Que vaut $a^3 \times a^5$ (pour $a$ réel non nul) ?]]>
Règles des puissances : $a^m \times a^n = a^{m+n}$ ;
$\dfrac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$ ; $(a^m)^n = a^{mn}$. Le produit
ajoute les exposants.]]>
1.0
0.0
0
true
true
abc
$a^8$]]>
Bonne réponse : on ajoute les exposants :
$a^3 \times a^5 = a^{3+5}$ (trois facteurs $a$ suivis de
cinq facteurs $a$).]]>
$a^{15}$]]>
Erreur : multiplier les exposants correspond à la
puissance de puissance $(a^3)^5$. Pour un produit, on les
ajoute.]]>
$a^2$]]>
Erreur : soustraire les exposants correspond au
quotient $\dfrac{a^5}{a^3}$.]]>
$2a^8$]]>
Erreur : aucun facteur $2$ n'apparaît. Compter les
facteurs $a$ suffit : $3 + 5 = 8$ facteurs.]]>
Calcul littéral, équations et inéquations — Q08 : Simplifier $\sqrt{50}$
Quelle est l'écriture simplifiée de $\sqrt{50}$ ?]]>
Pour simplifier une racine : extraire le plus grand carré
parfait. $\sqrt{50} = \sqrt{25 \times 2} = 5\sqrt{2}$, grâce à
$\sqrt{ab} = \sqrt{a}\,\sqrt{b}$ (pour $a, b \geq 0$).]]>
1.0
0.0
0
true
true
abc
$5\sqrt{2}$]]>
Bonne réponse : $\sqrt{50} = \sqrt{25 \times 2} =
\sqrt{25}\,\sqrt{2} = 5\sqrt{2}$ (la règle
$\sqrt{ab} = \sqrt{a}\sqrt{b}$ est démontrée en cours).]]>
$25\sqrt{2}$]]>
Erreur : $\sqrt{25} = 5$, pas $25$. La racine « défait »
le carré : $25 = 5^2$ sort en $5$.]]>
$2\sqrt{5}$]]>
Erreur de décomposition : $2\sqrt{5} = \sqrt{4 \times 5} =
\sqrt{20}$, pas $\sqrt{50}$. Il faut extraire le plus
grand carré : $50 = 25 \times 2$.]]>
$10\sqrt{5}$]]>
Erreur : $10\sqrt{5} = \sqrt{100 \times 5} = \sqrt{500}$.
Contrôle utile : $\sqrt{50} \approx 7{,}07$ et
$5\sqrt{2} \approx 7{,}07$.]]>
Calcul littéral, équations et inéquations — Q09 : La relation $\sqrt{a^2} = |a|$
Que vaut $\sqrt{(-3)^2}$ ?]]>
$\sqrt{a^2} = |a|$ pour tout réel $a$ : la racine carrée est
positive par définition. $\sqrt{(-3)^2} = \sqrt{9} = 3 =
|-3|$.]]>
1.0
0.0
0
true
true
abc
$3$]]>
Bonne réponse : $(-3)^2 = 9$ et $\sqrt{9} = 3$. En
général, $\sqrt{a^2} = |a|$ : la racine carrée renvoie
toujours un résultat positif.]]>
$-3$]]>
Erreur : la racine et le carré ne « s'annulent » pas
purement : $\sqrt{a^2} = |a|$, jamais négatif. Le signe de
départ est perdu par le carré.]]>
$\pm 3$]]>
Confusion : le symbole $\sqrt{9}$ désigne le nombre
positif de carré $9$. Le « $\pm$ » apparaît en résolvant
l'équation $x^2 = 9$, pas dans la valeur de la racine.]]>
$9$]]>
Erreur : $9$ est le carré ; la racine le ramène à $3$.]]>
Calcul littéral, équations et inéquations — Q10 : Isoler une variable dans une formule
La loi d'Ohm s'écrit $U = R \times I$. Comment exprime-t-on
$I$ en fonction de $U$ et $R$ (avec $R \neq 0$) ?]]>
Isoler une variable : appliquer aux deux membres l'opération
inverse. $U = RI \Rightarrow I = \dfrac{U}{R}$. Même méthode
pour $d = vt$, $S = \pi r^2$, etc.]]>
1.0
0.0
0
true
true
abc
$I = \dfrac{U}{R}$]]>
Bonne réponse : $I$ est multiplié par $R$ ; pour
l'isoler, on divise les deux membres par $R$.]]>
$I = \dfrac{R}{U}$]]>
Fraction renversée : contrôle par les ordres de grandeur :
si $U = 12$ et $R = 4$, alors $I = 3$, ce qui correspond à
$U/R$ et non $R/U = 1/3$.]]>
$I = U - R$]]>
Erreur d'opération : $U = RI$ est un produit ; on le
défait par une division, pas par une soustraction.]]>
$I = U \times R$]]>
Erreur : multiplier encore par $R$ éloigne de la
solution. On divise pour défaire la multiplication.]]>
Calcul littéral, équations et inéquations — Q11 : Opérations sur les inégalités
Soient des réels tels que $a < b$ et $c < d$. Laquelle de ces
inégalités est toujours vraie ?]]>
Seule l'addition membre à membre est toujours licite :
$a < b$ et $c < d \Rightarrow a + c < b + d$. Soustraction,
produit et quotient demandent des précautions de signe, ou
sont carrément faux.]]>
1.0
0.0
0
true
true
abc
$a + c < b + d$]]>
Bonne réponse : les inégalités de même sens
s'additionnent toujours.]]>
$a - c < b - d$]]>
Faux : on ne soustrait pas des inégalités membre à membre.
Contre-exemple : $0 < 1$ et $0 < 10$, mais
$0 - 0 = 0 > 1 - 10 = -9$.]]>
$ac < bd$]]>
Faux sans hypothèse de signe : $-3 < 1$ et $-3 < 1$, mais
$(-3)(-3) = 9 > 1$. La multiplication exige des nombres
positifs.]]>
$\dfrac{a}{c} < \dfrac{b}{d}$]]>
Faux en général (et $c$ ou $d$ pourrait être nul). Même
avec des positifs, diviser des inégalités membre à membre
n'est pas une règle valide.]]>
Calcul littéral, équations et inéquations — Q12 : Multiplier une inégalité par un négatif
Soient $a$ et $b$ deux réels tels que $a < b$. Que peut-on
dire de $-2a$ et $-2b$ ?]]>
Multiplication d'une inégalité : par un réel positif, le
sens est conservé ; par un réel négatif, il est renversé.
$a < b \Rightarrow -2a > -2b$ (lien avec la décroissance de
$x \mapsto -2x$).]]>
1.0
0.0
0
true
true
abc
$-2a > -2b$]]>
Bonne réponse : multiplier par $-2 < 0$ renverse
l'inégalité. Exemple : $1 < 3$ donne $-2 > -6$.]]>
$-2a < -2b$]]>
Erreur : teste $a = 1$, $b = 3$ : $-2a = -2$ et
$-2b = -6$, or $-2 > -6$. Le facteur négatif inverse
l'ordre.]]>
$-2a = -2b$]]>
Erreur : multiplier par une même constante non nulle
conserve la différence entre les nombres, elle ne les
égalise pas.]]>
On ne peut pas comparer sans connaître les signes de $a$
et $b$]]>
Erreur : la règle vaut pour tous les réels : le signe
du multiplicateur ($-2$) suffit à déterminer le sens.]]>
Calcul littéral, équations et inéquations — Q13 : Réduire une expression
Comment se réduit l'expression $3x + 5 + 2x - 1$ ?]]>
Réduire = regrouper les termes de même nature : les $x$
ensemble, les constantes ensemble. Chaque famille se
combine, jamais les familles entre elles.]]>
1.0
0.0
0
true
true
abc
$5x + 4$]]>
Bonne réponse : on regroupe les termes en $x$ ($3x + 2x
= 5x$) et les constantes ($5 - 1 = 4$).]]>
$9x$]]>
Mélange interdit : $5$ et $-1$ ne portent pas de $x$ :
on ne peut pas les fusionner avec $3x$ et $2x$.]]>
$5x - 4$]]>
Signe : $5 - 1 = +4$ (le moins ne porte que sur le
$1$).]]>
$6x + 4$]]>
Erreur de somme : $3x + 2x = 5x$ (additionner les
coefficients : $3 + 2$).]]>
Calcul littéral, équations et inéquations — Q14 : Résoudre $2x + 1 = 7$
Quelle est la solution de l'équation $2x + 1 = 7$ ?]]>
Résolution en deux gestes, dans l'ordre : défaire l'addition
($-1$ des deux côtés), puis défaire la multiplication
($\div 2$). Et toujours vérifier en remplaçant.]]>
1.0
0.0
0
true
true
abc
$x = 3$]]>
Bonne réponse : $2x = 6$ (retirer $1$ des deux côtés),
puis $x = 3$ (diviser par $2$). Contrôle : $2 \times 3 +
1 = 7$ ✓.]]>
$x = 4$]]>
Ordre des opérations : diviser $7 + 1 = 8$ par $2$
suppose d'avoir ajouté $1$ : or on doit le
retrancher : $\frac{7 - 1}{2} = 3$.]]>
$x = 6$]]>
Division oubliée : $2x = 6$ n'est pas fini : il reste à
diviser par $2$.]]>
$x = \dfrac{7}{2}$]]>
Le $+1$ a été ignoré : avant de diviser, il faut
d'abord isoler $2x$ en retirant $1$.]]>
Calcul littéral, équations et inéquations — Q15 : Puissance d'exposant négatif
Que vaut $10^{-3}$ ?]]>
$a^{-n} = \frac{1}{a^n}$ : notation des inverses. Pour les
puissances de $10$ : l'exposant compte les rangs de la
virgule ($10^{-3}$ : trois rangs vers la gauche) : la base
de l'écriture scientifique.]]>
1.0
0.0
0
true
true
abc
$0{,}001$]]>
Bonne réponse : $10^{-3} = \dfrac{1}{10^3} =
\dfrac{1}{1000}$ : l'exposant négatif signifie
« inverse ».]]>
$-1000$]]>
Erreur : l'exposant négatif ne rend pas le nombre
négatif : il le rend petit ($\frac{1}{1000}$),
toujours positif.]]>
$-30$]]>
Erreur : $10 \times (-3)$ multiplie au lieu d'élever en
puissance : $10^{-3}$ est un inverse de puissance.]]>
$0{,}0001$]]>
Un zéro de trop : $\frac{1}{1000} = 0{,}001$ (trois
rangs après la virgule pour l'exposant $3$).]]>
Calcul littéral, équations et inéquations — Q16 : Développer $(2x + 1)(x - 3)$
Quel est le développement de $(2x + 1)(x - 3)$ ?]]>
Double distributivité : chaque terme de la première
parenthèse multiplie chaque terme de la seconde ($2 \times 2
= 4$ produits), puis on réduit. Le terme du milieu concentre
toutes les erreurs : le calculer en premier.]]>
1.0
0.0
0
true
true
abc
$2x^2 - 5x - 3$]]>
Bonne réponse : quatre produits : $2x^2 - 6x + x - 3$,
puis réduction : $-6x + x = -5x$.]]>
$2x^2 - 3$]]>
Termes croisés oubliés : la double distributivité génère
quatre produits : les termes du milieu ($-6x$ et
$+x$) ne s'annulent pas ici.]]>
$2x^2 + 5x - 3$]]>
Signe : $2x \times (-3) = -6x$ domine le $+x$ : le
terme du milieu est $-5x$.]]>
$3x - 2$]]>
Erreur : additionner les parenthèses au lieu de les
multiplier : le produit crée un terme en $x^2$.]]>
Calcul littéral, équations et inéquations — Q17 : Factoriser par le facteur commun
Comment se factorise $6x^2 + 4x$ ?]]>
Factoriser par le facteur commun : repérer ce que TOUS les
termes partagent (ici $2$ et $x$), l'extraire, écrire le
reste entre parenthèses. Vérification systématique : le
développement doit redonner l'expression de départ.]]>
1.0
0.0
0
true
true
abc
$2x(3x + 2)$]]>
Bonne réponse : le facteur commun le plus grand est
$2x$ : $6x^2 = 2x \times 3x$ et $4x = 2x \times 2$.
Contrôle en redéveloppant.]]>
$x(6x + 4)$]]>
Factorisation incomplète : le $2$ commun à $6$ et $4$
peut encore sortir : on extrait toujours le facteur
maximal.]]>
$2x(3x + 4)$]]>
Contrôle : $2x \times 4 = 8x \neq 4x$ : après
extraction de $2x$, il reste $2$, pas $4$.]]>
$10x^3$]]>
Erreur : additionner $6x^2 + 4x$ en un seul terme est
impossible (degrés différents) : factoriser = mettre en
produit.]]>
Calcul littéral, équations et inéquations — Q18 : Développer $(x - 4)^2$
Quel est le développement de $(x - 4)^2$ ?]]>
$(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$ : trois termes, jamais deux.
Le contrôle par une valeur ($x = 4$ donne $0$) démasque
immédiatement les développements faux.]]>
1.0
0.0
0
true
true
abc
$x^2 - 8x + 16$]]>
Bonne réponse : $(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$ : le
double produit vaut $-2 \times x \times 4 = -8x$, et le
carré de $-4$ est $+16$.]]>
$x^2 + 16$]]>
L'erreur classique : le carré d'une différence n'est pas
la différence des carrés : le double produit $-8x$ est
obligatoire (testez $x = 4$ : $(0)^2 = 0 \neq 32$).]]>
$x^2 - 16$]]>
Confusion : $x^2 - 16 = (x-4)(x+4)$ : c'est l'identité
$a^2 - b^2$, pas le carré de $(x - 4)$.]]>
$x^2 - 8x - 16$]]>
Dernier signe : $(-4)^2 = +16$ : un carré est toujours
positif.]]>
Calcul littéral, équations et inéquations — Q19 : Inconnues des deux côtés
Quelle est la solution de $3x - 2 = x + 6$ ?]]>
Avec des $x$ des deux côtés : regrouper (les inconnues d'un
côté, les constantes de l'autre), en changeant le signe de
tout terme qui traverse le signe égal. Puis diviser. Et
TOUJOURS contrôler dans l'équation de départ.]]>
1.0
0.0
0
true
true
abc
$x = 4$]]>
Bonne réponse : regrouper les $x$ à gauche ($3x - x =
2x$), les nombres à droite ($6 + 2 = 8$) : $2x = 8$,
$x = 4$. Contrôle : $12 - 2 = 10 = 4 + 6$ ✓.]]>
$x = 2$]]>
Contrôle : $3 \times 2 - 2 = 4$ mais $2 + 6 = 8$ : pas
égaux. Erreur probable : $6 - 2 = 4$ divisé par... les
transferts de termes demandent de changer les signes.]]>
$x = 8$]]>
Division oubliée : $2x = 8$ donne $x = 4$ : le
coefficient $2$ se retire en dernier.]]>
$x = 1$]]>
Contrôle : $3 - 2 = 1$ mais $1 + 6 = 7$ : le
regroupement correct donne $2x = 8$.]]>
Calcul littéral, équations et inéquations — Q20 : Racine d'une somme
Que vaut $\sqrt{9 + 16}$ ?]]>
La racine respecte les produits ($\sqrt{ab} =
\sqrt{a}\sqrt{b}$) mais jamais les sommes : $\sqrt{9 + 16}
= 5$ alors que $\sqrt{9} + \sqrt{16} = 7$. Ce contre-exemple
à $3$-$4$-$5$ est à garder en réserve.]]>
1.0
0.0
0
true
true
abc
$5$]]>
Bonne réponse : $\sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5$ : on
additionne D'ABORD sous la racine.]]>
$7$]]>
Le piège visé : $\sqrt{9} + \sqrt{16} = 3 + 4 = 7$,
mais la racine ne se distribue PAS sur l'addition :
$\sqrt{a + b} \neq \sqrt{a} + \sqrt{b}$.]]>
$12{,}5$]]>
Erreur : $\frac{25}{2}$ ne correspond à rien : la
racine de $25$ est le nombre positif dont le carré vaut
$25$ : c'est $5$.]]>
$625$]]>
Sens inverse : $625 = 25^2$ élève au carré au lieu de
prendre la racine.]]>
Calcul littéral, équations et inéquations — Q21 : Évaluer une expression en $x = -2$
Que vaut l'expression $x^2 - 3x$ pour $x = -2$ ?]]>
Substituer une valeur négative : TOUJOURS avec parenthèses :
$(-2)^2 = 4$, $-3 \times (-2) = +6$. La moitié des erreurs
de calcul littéral sont des parenthèses omises autour des
négatifs.]]>
1.0
0.0
0
true
true
abc
$10$]]>
Bonne réponse : $(-2)^2 - 3 \times (-2) = 4 + 6 = 10$ :
le carré efface le signe, et « moins fois moins » donne
plus.]]>
$-2$]]>
Deux erreurs de signe : $(-2)^2 = +4$ (pas $-4$) et $-3
\times (-2) = +6$ (pas $-6$).]]>
$2$]]>
Erreur sur le double produit : $-3 \times (-2) = +6$ :
on obtient $4 + 6$, pas $4 - 2$.]]>
$-10$]]>
Signe global : les deux termes sont positifs ($4$
et $6$) : total $+10$.]]>
Calcul littéral, équations et inéquations — Q22 : Équation avec une fraction
Quelle est la solution de $\dfrac{x}{3} - 2 = 4$ ?]]>
Défaire les opérations dans l'ordre inverse de leur
application : le $-2$ d'abord (opération la plus externe),
la division par $3$ ensuite. Chaque geste s'applique aux
DEUX membres.]]>
1.0
0.0
0
true
true
abc
$x = 18$]]>
Bonne réponse : $\dfrac{x}{3} = 6$ (ajouter $2$), puis
$x = 18$ (multiplier par $3$). Contrôle : $\frac{18}{3}
- 2 = 4$ ✓.]]>
$x = 6$]]>
Multiplication oubliée : $6$ est la valeur de
$\frac{x}{3}$ : il reste à multiplier par $3$.]]>
$x = 2$]]>
Erreur : $\frac{4 + 2}{3} = 2$ divise au lieu de
multiplier : pour défaire une division par $3$, on
multiplie par $3$.]]>
$x = \dfrac{4}{3} + 2$]]>
Ordre : le $-2$ se neutralise en premier (sur les deux
membres entiers), la division par $3$ en dernier : $x =
6 \times 3$.]]>
Calcul littéral, équations et inéquations — Q23 : Le faux réflexe $(a + b)^2 = a^2 + b^2$
L'égalité $(a + b)^2 = a^2 + b^2$ est-elle vraie pour tous
réels $a$ et $b$ ?]]>
$(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$ : le double produit n'est pas
une option. Un contre-exemple numérique (une seconde de
calcul) suffit à réfuter une « formule » douteuse : réflexe
à cultiver.]]>
1.0
0.0
0
true
true
abc
Non : $(1 + 1)^2 = 4$ alors que $1^2 + 1^2 = 2$ : il
manque le double produit $2ab$]]>
Bonne réponse : le carré d'une somme vaut $a^2 + 2ab +
b^2$ : l'égalité proposée n'est vraie que si $2ab = 0$
(l'un des deux est nul).]]>
Oui : le carré se distribue sur l'addition]]>
Le faux réflexe exact : la puissance se distribue sur
les produits ($(ab)^2 = a^2b^2$), jamais sur les
sommes : contre-exemple $a = b = 1$.]]>
Oui, pour $a$ et $b$ positifs]]>
Erreur : $a = b = 1$ sont positifs et l'égalité échoue
($4 \neq 2$) : le signe n'y change rien.]]>
Non, sauf pour $a = b$]]>
Erreur : $a = b = 1$ donne justement $4 \neq 2$ : le
seul salut est $ab = 0$.]]>
Calcul littéral, équations et inéquations — Q24 : Traduire un programme de calcul
Programme : « choisir un nombre, lui ajouter $3$, mettre le
résultat au carré ». Quelle expression traduit ce programme
appliqué à $x$ ?]]>
Traduire un programme de calcul : chaque étape enveloppe la
précédente, et les parenthèses matérialisent cet ordre.
Tester avec un nombre concret ($x = 1$ : $1 \to 4 \to 16$)
départage les candidats en quelques secondes.]]>
1.0
0.0
0
true
true
abc
$(x + 3)^2$]]>
Bonne réponse : l'addition se fait d'abord, PUIS le
carré s'applique au résultat entier : les parenthèses
traduisent l'ordre des étapes.]]>
$x^2 + 3$]]>
Ordre inversé : $x^2 + 3$ met au carré puis ajoute
$3$ : le programme fait l'inverse. (Test avec $x = 1$ :
$16$ contre $4$.)]]>
$x + 3^2$]]>
Erreur : ici le carré ne porte que sur le $3$ : $x + 9$ :
le programme élève au carré tout le résultat.]]>
$2(x + 3)$]]>
Confusion : « mettre au carré » signifie multiplier par
lui-même ($u^2$), pas par $2$.]]>