$course$/QCM de maths/Seconde/Croisement de deux variables qualitatives Tableaux croisés d'effectifs, fréquences marginales et fréquences
conditionnelles, inversion du conditionnement (« parmi les X,
quelle part de Y » contre « parmi les Y, quelle part de X »),
lecture et complétion de tableaux, situation type « faux
positifs ».

]]> Croisement de deux variables qualitatives — Q01 : Fréquence marginale Dans un lycée de $100$ élèves, on compte $60$ filles, dont
$24$ demi-pensionnaires. Quelle est la fréquence
marginale des filles ?

]]> Dans un tableau croisé, les fréquences marginales se
lisent sur les marges (totaux de lignes ou de colonnes)
rapportées au total général : filles $= \dfrac{60}{100} =
60\ \%$.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $60\ \%$

]]> Bonne réponse : la fréquence marginale rapporte l'effectif
d'une modalité au total général : $\dfrac{60}{100}$.

]]> $24\ \%$

]]> Erreur : $24\ \%$ est la fréquence de l'intersection
« fille et demi-pensionnaire ». La marginale des
filles ignore l'autre variable : $60/100$.

]]> $40\ \%$

]]> Erreur : $40\ \%$ est la fréquence marginale des
garçons. Les filles représentent $60\ \%$.

]]> $\dfrac{24}{60} = 40\ \%$

]]> Erreur : $\dfrac{24}{60}$ est une fréquence
conditionnelle (la part de demi-pensionnaires parmi
les filles), pas une marginale.

]]> Croisement de deux variables qualitatives — Q02 : Fréquence conditionnelle Toujours dans ce lycée ($60$ filles dont $24$
demi-pensionnaires), quelle est la proportion de
demi-pensionnaires parmi les filles ?

]]> Fréquence conditionnelle : l'expression « parmi les X » donne
le dénominateur. Parmi les filles :
$\dfrac{24}{60} = 40\ \%$.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $\dfrac{24}{60} = 40\ \%$

]]> Bonne réponse : « parmi les filles » restreint l'ensemble
de référence aux $60$ filles : $24$ sur $60$.

]]> $\dfrac{24}{100} = 24\ \%$

]]> Erreur de référence : $24/100$ rapporte au lycée entier
(fréquence de l'intersection). « Parmi les filles »
impose de diviser par $60$.

]]> $\dfrac{24}{44} \approx 54{,}5\ \%$

]]> Conditionnement inversé : $24/44$ est la part de filles
parmi les demi-pensionnaires. La question conditionne
par les filles, pas par la demi-pension.

]]> $\dfrac{60}{24} = 250\ \%$

]]> Fraction renversée (une proportion ne dépasse jamais
$100\ \%$) : l'effectif de la sous-catégorie va au
numérateur.

]]> Croisement de deux variables qualitatives — Q03 : Que représente ce quotient ? Dans le même lycée ($44$ demi-pensionnaires dont $24$
filles), que représente le quotient $\dfrac{24}{44}$ ?

]]> Lire un quotient d'effectifs : $\dfrac{24}{44}$ = part de
l'intersection (filles demi-pensionnaires) dans le groupe du
dénominateur (les demi-pensionnaires) : environ
$54{,}5\ \%$.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc La proportion de filles parmi les demi-pensionnaires

]]> Bonne réponse : le dénominateur $44$ est l'effectif des
demi-pensionnaires : on regarde la composition de ce
groupe.

]]> La proportion de demi-pensionnaires parmi les filles

]]> Conditionnement inversé : cette proportion serait
$\dfrac{24}{60} = 40\ \%$. Le dénominateur dit toujours
« parmi qui » on se place.

]]> La proportion de filles demi-pensionnaires dans le lycée

]]> Erreur : cette proportion rapporte au total :
$\dfrac{24}{100} = 24\ \%$. Ici on divise par $44$, pas
par $100$.

]]> Le nombre moyen de repas des filles

]]> Hors sujet : aucun comptage de repas dans ces données. Le
quotient compare deux effectifs du tableau croisé.

]]> Croisement de deux variables qualitatives — Q04 : Fréquence de l'intersection Quelle est la proportion, dans tout le lycée ($100$ élèves),
des élèves qui sont à la fois filles et
demi-pensionnaires ?

]]> Trois niveaux de lecture d'un tableau croisé : la case
(intersection : $24/100$), la marge (marginale : $60/100$ ou
$44/100$), et la case rapportée à sa marge (conditionnelle :
$24/60$ ou $24/44$).

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $24\ \%$

]]> Bonne réponse : l'effectif de la case « fille et
demi-pensionnaire » ($24$) rapporté au total ($100$).

]]> $40\ \%$

]]> Erreur : $40\ \% = 24/60$ est la fréquence
conditionnelle parmi les filles. Ici la référence est
le lycée entier.

]]> $44\ \%$

]]> Erreur : $44\ \%$ est la fréquence marginale des
demi-pensionnaires (filles et garçons confondus).

]]> $84\ \%$

]]> Erreur : additionner $60\ \%$ et $24\ \%$ n'a pas de
sens ; l'intersection se lit dans une case du tableau,
pas en sommant des colonnes.

]]> Croisement de deux variables qualitatives — Q05 : Traduire une phrase en fréquence Quelle phrase correspond exactement au calcul
$\dfrac{24}{60} = 40\ \%$ dans notre lycée ?

]]> Travail sur la langue (au programme) : dans « $p\ \%$ des X
sont Y », le groupe X est l'ensemble de référence
(dénominateur). Inverser X et Y change le nombre : c'est
l'inversion du conditionnement.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc « $40\ \%$ des filles sont demi-pensionnaires »

]]> Bonne réponse : « des filles » signale que l'ensemble de
référence est celui des filles ($60$), et $24$ d'entre
elles sont demi-pensionnaires.

]]> « $40\ \%$ des demi-pensionnaires sont des filles »

]]> Inversion : cette phrase correspondrait à $\dfrac{24}{44}
\approx 54{,}5\ \%$. « Des demi-pensionnaires » ferait de
$44$ le dénominateur.

]]> « $40\ \%$ des élèves sont des filles demi-pensionnaires »

]]> Erreur : « des élèves » renvoie au total $100$ : cette
phrase correspondrait à $24\ \%$.

]]> « $40\ \%$ des filles mangent à la maison »

]]> Contresens : $40\ \%$ est la part des filles
demi-pensionnaires ; celles qui ne le sont pas
représentent $60\ \%$ des filles.

]]> Croisement de deux variables qualitatives — Q06 : Compléter le tableau croisé Dans notre lycée : $100$ élèves, $60$ filles, $44$
demi-pensionnaires, dont $24$ filles. Combien y a-t-il de
garçons non demi-pensionnaires ?

]]> Un tableau croisé se complète par différences avec les marges :
chaque ligne et chaque colonne doit sommer à son total. Ici la
case cherchée vaut $40 - 20 = 20$ (ou $56 - 36 = 20$ :
double contrôle).

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $20$

]]> Bonne réponse : garçons $= 100 - 60 = 40$ ; garçons
demi-pensionnaires $= 44 - 24 = 20$ ; garçons non
demi-pensionnaires $= 40 - 20 = 20$.

]]> $40$

]]> Incomplet : $40$ est le total des garçons ; la moitié
d'entre eux ($20$) sont demi-pensionnaires, il en reste
$20$.

]]> $36$

]]> Erreur : $36 = 60 - 24$ compte les filles non
demi-pensionnaires. Attention à la ligne du tableau.

]]> $56$

]]> Erreur : $56 = 100 - 44$ est le total des non
demi-pensionnaires (filles comprises). Il faut croiser
avec le sexe : $56 - 36 = 20$ garçons.

]]> Croisement de deux variables qualitatives — Q07 : Définition d'une fréquence Dans une série statistique, comment se calcule la fréquence
d'une modalité ?

]]> Fréquence $= \dfrac{\text{effectif}}{\text{total}}$ : c'est
le passage aux proportions qui rend comparables des groupes de
tailles différentes.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $\dfrac{\text{effectif de la modalité}}{\text{effectif
total}}$

]]> Bonne réponse : la fréquence est une proportion, toujours
comprise entre $0$ et $1$ (ou $0$ et $100\ \%$).

]]> $\dfrac{\text{effectif total}}{\text{effectif de la
modalité}}$

]]> Fraction renversée : ce quotient dépasse $1$, ce n'est
pas une proportion.

]]> L'effectif de la modalité, tout simplement

]]> Erreur : l'effectif est un nombre brut ($24$
élèves) ; la fréquence le rapporte au total pour permettre
les comparaisons ($24\ \%$).

]]> Le nombre de modalités de la variable

]]> Hors sujet : le nombre de modalités décrit la variable
(par exemple deux : fille/garçon), pas la répartition des
individus.

]]> Croisement de deux variables qualitatives — Q08 : Somme de fréquences conditionnelles Parmi les filles du lycée, $40\ \%$ sont demi-pensionnaires.
Quelle est la part des filles non demi-pensionnaires,
parmi les filles ?

]]> Dans un groupe de référence fixé, les fréquences
conditionnelles des modalités d'une variable somment à
$100\ \%$ : $40\ \% + 60\ \% = 100\ \%$ parmi les filles.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $60\ \%$

]]> Bonne réponse : au sein d'un même groupe de référence,
les fréquences conditionnelles des modalités
complémentaires somment à $100\ \%$ : $100 - 40 = 60$.

]]> $44\ \%$

]]> Erreur : $44\ \%$ est la fréquence marginale des
demi-pensionnaires dans le lycée : rien à voir avec la
répartition interne aux filles.

]]> $36\ \%$

]]> Erreur : $36$ est l'effectif des filles non
demi-pensionnaires ; leur part parmi les $60$ filles vaut
$36/60 = 60\ \%$.

]]> On ne peut pas savoir sans le tableau complet

]]> Erreur : le complémentaire suffit : dans le groupe des
filles, être ou ne pas être demi-pensionnaire se partage
$100\ \%$.

]]> Croisement de deux variables qualitatives — Q09 : De la fréquence à l'effectif Dans un autre établissement de $200$ élèves, $30\ \%$ des
élèves sont à la fois internes et sportifs. Combien d'élèves
cela représente-t-il ?

]]> Effectif $=$ fréquence $\times$ total : $0{,}3 \times 200 =
60$. Toujours contrôler la vraisemblance (un effectif ne peut
pas dépasser le total).

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $60$ élèves

]]> Bonne réponse : $30\ \%$ de $200$ vaut $0{,}3 \times 200
= 60$.

]]> $30$ élèves

]]> Erreur : $30$ serait l'effectif si le total était $100$.
Ici le total est $200$ : $0{,}3 \times 200 = 60$.

]]> $70$ élèves

]]> Erreur : $70\ \%$ est la fréquence complémentaire ;
et l'effectif demandé se calcule en multipliant la
fréquence par le total.

]]> $600$ élèves

]]> Erreur de virgule : $0{,}3 \times 200 = 60$, pas $600$
(qui dépasserait l'effectif du lycée !).

]]> Croisement de deux variables qualitatives — Q10 : Somme des fréquences marginales Dans un tableau croisé « sexe $\times$ régime », que vaut la
somme des fréquences marginales des modalités du sexe (filles
$+$ garçons) ?

]]> Cohérences d'un tableau croisé : les fréquences marginales de
chaque variable somment à $100\ \%$, et chaque case somme dans
sa ligne et sa colonne. Ces contrôles détectent les erreurs de
calcul.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $100\ \%$

]]> Bonne réponse : chaque élève est compté exactement une
fois dans l'une des modalités : les marginales d'une même
variable somment au total.

]]> $200\ \%$, car il y a deux variables

]]> Erreur : les marges d'une variable se partagent les
$100\ \%$ ; l'autre variable a ses propres marges, qui
somment aussi à $100\ \%$.

]]> Cela dépend du nombre de demi-pensionnaires

]]> Erreur : la répartition filles/garçons ne dépend pas de
l'autre variable : ses fréquences somment toujours à
$100\ \%$.

]]> $50\ \%$

]]> Erreur : $50\ \%$ supposerait une répartition
moitié-moitié, ce qui n'a rien d'automatique. C'est la
somme des marginales qui vaut $100\ \%$.

]]> Croisement de deux variables qualitatives — Q11 : La situation des « faux positifs » Sur $100$ personnes, $10$ sont malades. Un test dépiste $9$
des $10$ malades (positifs) mais se déclenche aussi, à tort,
chez $9$ personnes saines. Parmi les personnes dont le test
est positif, quelle est la proportion de personnes réellement
malades ?

]]> Situation type du programme (vocabulaire des tests) : le
tableau croisé donne positifs $= 9 + 9 = 18$, dont $9$
malades : $50\ \%$. Distinguer « positifs parmi les malades »
($90\ \%$) et « malades parmi les positifs » ($50\ \%$) : deux
conditionnements inverses.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $50\ \%$

]]> Bonne réponse : positifs $= 9 + 9 = 18$, dont $9$
malades : $\dfrac{9}{18} = 50\ \%$. Un test « fiable à
$90\ \%$ » ne donne qu'une chance sur deux d'être malade
quand il est positif : c'est l'effet de la rareté de la
maladie.

]]> $90\ \%$

]]> Inversion du conditionnement : $90\ \%$ est la part de
positifs parmi les malades ($9/10$). La question
demande la part de malades parmi les positifs
($9/18$).

]]> $9\ \%$

]]> Erreur : $9\ \%$ est la fréquence des vrais positifs dans
la population totale ($9/100$). La référence demandée est
le groupe des $18$ positifs.

]]> $18\ \%$

]]> Erreur : $18\ \%$ est la proportion de tests positifs
dans la population ($18/100$), pas la composition du
groupe des positifs.

]]> Croisement de deux variables qualitatives — Q12 : Conditionnelle chez les garçons Dans notre lycée, $20$ des $40$ garçons sont
demi-pensionnaires. Quelle est la proportion de
demi-pensionnaires parmi les garçons ?

]]> Même variable, groupes de référence différents : demi-pension
chez les filles $40\ \%$, chez les garçons $50\ \%$, dans le
lycée $44\ \%$. Comparer des fréquences conditionnelles, c'est
le cœur de l'analyse d'un tableau croisé.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $50\ \%$

]]> Bonne réponse : $\dfrac{20}{40} = 50\ \%$ : un garçon sur
deux est demi-pensionnaire.

]]> $20\ \%$

]]> Erreur : $20\ \%$ rapporterait l'effectif $20$ au total
du lycée ($100$). « Parmi les garçons » impose le
dénominateur $40$.

]]> $45{,}5\ \%$

]]> Conditionnement inversé : $\dfrac{20}{44} \approx
45{,}5\ \%$ est la part de garçons parmi les
demi-pensionnaires.

]]> $40\ \%$

]]> Erreur : $40\ \%$ est la proportion de demi-pensionnaires
parmi les filles. Chez les garçons, le calcul donne
$20/40 = 50\ \%$.

]]>