$course$/QCM de maths/Seconde/Droites du plan Équation réduite et équation cartésienne d'une droite, pente
(coefficient directeur), ordonnée à l'origine, vecteur directeur,
appartenance d'un point, droites parallèles ou sécantes, point
d'intersection, alignement.

]]> Droites du plan — Q01 : Lire la pente Quelle est la pente (coefficient directeur) de la droite
d'équation réduite $y = 2x - 1$ ?

]]> Équation réduite $y = mx + p$ : $m$ est la pente (variation de
$y$ pour un pas de $1$ en $x$), $p$ l'ordonnée à l'origine.
Ici $m = 2$, $p = -1$.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $2$

]]> Bonne réponse : dans $y = mx + p$, la pente est $m$, le
coefficient de $x$. Chaque pas de $1$ vers la droite fait
monter de $2$.

]]> $-1$

]]> Erreur : $-1$ est l'ordonnée à l'origine $p$ (la
hauteur du point d'intersection avec l'axe des ordonnées).

]]> $\dfrac{1}{2}$

]]> Erreur : la pente se lit directement sur le coefficient de
$x$, sans l'inverser : $m = 2$.

]]> $2x$

]]> Erreur de nature : la pente est un nombre fixe, pas
une expression en $x$.

]]> Droites du plan — Q02 : Équation d'une droite tracée Repère orthonormé avec une droite croissante passant par les points (0 ; -1) et (1 ; 1), marqués en bleu : elle coupe l'axe des ordonnées en -1 et monte de 2 pour chaque pas de 1 vers la droite.

Quelle est l'équation réduite de la droite $d$ tracée
ci-dessous ?

]]> Lecture en deux temps : l'ordonnée à l'origine au croisement
avec l'axe vertical ($p = -1$), puis la pente entre deux
points du quadrillage ($m = \frac{1 - (-1)}{1 - 0} = 2$).
D'où $y = 2x - 1$.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $y = 2x - 1$

]]> Bonne réponse : la droite coupe l'axe des ordonnées en
$-1$ (donc $p = -1$) et monte de $2$ entre les deux points
marqués (donc $m = 2$).

]]> $y = x - 1$

]]> Erreur de pente : entre $(0\,;\,-1)$ et $(1\,;\,1)$, la
droite monte de $2$, pas de $1$ : $m = 2$.

]]> $y = 2x + 1$

]]> Erreur d'ordonnée à l'origine : la droite coupe l'axe des
ordonnées en dessous de l'origine, en $-1$.

]]> $y = -2x - 1$

]]> Erreur de signe : la droite monte de gauche à droite,
sa pente est positive.

]]> Droites du plan — Q03 : Vecteur directeur d'une droite en équation réduite Quel vecteur est directeur de la droite d'équation
$y = 3x + 2$ ?

]]> Pour $y = mx + p$, le vecteur $(1\,;\,m)$ est directeur :
« j'avance de $1$, je monte de $m$ ». Ici $(1\,;\,3)$ (ou
tout multiple non nul).

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $\vec{u}(1\,;\,3)$

]]> Bonne réponse : un pas de $1$ en abscisse fait varier
l'ordonnée de la pente $m = 3$ : le vecteur
$(1\,;\,m)$ dirige toujours la droite $y = mx + p$.

]]> $\vec{u}(3\,;\,1)$

]]> Coordonnées inversées : la pente $3$ est la variation
verticale pour $1$ d'avance horizontale : $(1\,;\,3)$.

]]> $\vec{u}(0\,;\,2)$

]]> Erreur : $(0\,;\,2)$ est vertical, il dirigerait une
droite parallèle à l'axe des ordonnées. Le $2$ de
l'équation est l'ordonnée à l'origine, pas une direction.

]]> $\vec{u}(3\,;\,2)$

]]> Erreur : tu as recopié les deux coefficients de
l'équation. La direction ne dépend que de la pente :
$(1\,;\,3)$.

]]> Droites du plan — Q04 : Vecteur directeur en équation cartésienne Quel vecteur est directeur de la droite d'équation
cartésienne $2x - y + 3 = 0$ ?

]]> Droite $ax + by + c = 0$ : vecteur directeur $(-b\,;\,a)$.
Ici $a = 2$, $b = -1$ : $\vec{u}(1\,;\,2)$. Vérification par
l'équation réduite $y = 2x + 3$ : pente $2$, directeur
$(1\,;\,2)$.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $\vec{u}(1\,;\,2)$

]]> Bonne réponse : pour $ax + by + c = 0$, le vecteur
$(-b\,;\,a)$ est directeur : ici $(-(-1)\,;\,2) =
(1\,;\,2)$. (Cohérent : l'équation se réécrit
$y = 2x + 3$, pente $2$.)

]]> $\vec{u}(2\,;\,-1)$

]]> Piège : $(a\,;\,b) = (2\,;\,-1)$ recopie les coefficients
dans l'ordre. Le vecteur directeur les croise :
$(-b\,;\,a)$.

]]> $\vec{u}(2\,;\,3)$

]]> Erreur : $3$ est le terme constant $c$, qui positionne la
droite mais n'influence pas sa direction.

]]> $\vec{u}(0\,;\,0)$

]]> Erreur : le vecteur nul ne dirige aucune droite (il n'a
pas de direction).

]]> Droites du plan — Q05 : Un point est-il sur la droite ? Le point $A(1\,;\,5)$ appartient-il à la droite d'équation
$y = 3x + 2$ ?

]]> $A(x_A\,;\,y_A)$ appartient à la droite d'équation
$y = mx + p$ si et seulement si $y_A = m\,x_A + p$. Ici
$5 = 3 + 2$ : oui.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Oui, car $3 \times 1 + 2 = 5$

]]> Bonne réponse : les coordonnées de $A$ vérifient
l'équation ($y_A = 3x_A + 2$) : le point est sur la
droite.

]]> Non, car $1 \neq 5$

]]> Erreur : rien n'exige que l'abscisse égale l'ordonnée
(cela ne vaut que pour la droite $y = x$). On teste
l'équation de cette droite.

]]> Non, car $5 \times 3 + 2 = 17 \neq 1$

]]> Erreur de substitution : c'est $x = 1$ qu'on injecte dans
$3x + 2$, et on compare le résultat à $y = 5$. Tu as
échangé les rôles de $x$ et $y$.

]]> On ne peut pas savoir sans tracer la droite

]]> Erreur : le test algébrique est exact et immédiat :
remplacer $x$ et $y$ par les coordonnées du point.

]]> Droites du plan — Q06 : Reconnaître des droites parallèles Les droites $d_1 : y = 3x + 1$ et $d_2 : y = 3x - 4$
sont-elles parallèles ?

]]> Droites $y = mx + p$ et $y = m'x + p'$ : parallèles
$\Leftrightarrow$ $m = m'$ (confondues si de plus $p = p'$).
Ici : parallèles strictes.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Oui : même pente, ordonnées à l'origine différentes

]]> Bonne réponse : deux droites (non verticales) sont
parallèles si et seulement si elles ont la même pente.
Ici $m = 3$ pour les deux, et $1 \neq -4$ : strictement
parallèles.

]]> Non, car $1 \neq -4$

]]> Erreur : les ordonnées à l'origine différentes empêchent
seulement les droites d'être confondues. Le
parallélisme se lit sur la pente.

]]> Elles sont confondues

]]> Erreur : confondues exigerait la même équation complète
(même pente et même ordonnée à l'origine). Ici elles
sont distinctes.

]]> Elles sont sécantes au point $(3\,;\,3)$

]]> Erreur : $3x + 1 = 3x - 4$ donnerait $1 = -4$, impossible.
Deux droites de même pente ne se coupent jamais.

]]> Droites du plan — Q07 : Point d'intersection Quel est le point d'intersection des droites
$d_1 : y = 2x - 1$ et $d_2 : y = -x + 5$ ?

]]> Intersection de deux droites en équations réduites : égaler
les expressions de $y$, résoudre en $x$, puis calculer $y$.
$2x - 1 = -x + 5 \Rightarrow x = 2$, $y = 3$ : point
$(2\,;\,3)$.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $(2\,;\,3)$

]]> Bonne réponse : on égale les deux expressions :
$2x - 1 = -x + 5$, d'où $3x = 6$, $x = 2$, puis
$y = 2 \times 2 - 1 = 3$.

]]> $(3\,;\,2)$

]]> Coordonnées inversées : l'équation $3x = 6$ donne
l'abscisse $x = 2$, puis l'ordonnée $y = 3$.

]]> $(6\,;\,11)$

]]> Erreur : $x = 6$ vient d'un oubli de division par $3$
dans $3x = 6$. Et vérifie toujours dans les deux
équations : $-6 + 5 = -1 \neq 11$.

]]> Ces droites ne se coupent pas

]]> Erreur : leurs pentes ($2$ et $-1$) sont différentes :
elles sont sécantes en exactement un point.

]]> Droites du plan — Q08 : Pente à partir de deux points Quelle est la pente de la droite passant par $A(1\,;\,2)$ et
$B(3\,;\,8)$ ?

]]> Pente d'une droite par deux points :
$m = \dfrac{y_B - y_A}{x_B - x_A}$ (variation verticale sur
variation horizontale). Ici $m = 3$.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $3$

]]> Bonne réponse : $m = \dfrac{y_B - y_A}{x_B - x_A} =
\dfrac{8 - 2}{3 - 1} = \dfrac{6}{2} = 3$.

]]> $\dfrac{1}{3}$

]]> Fraction renversée : la pente met la variation des
ordonnées au numérateur :
$\dfrac{\Delta y}{\Delta x} = \dfrac{6}{2}$.

]]> $6$

]]> Incomplet : $6 = y_B - y_A$ n'est que la variation
verticale ; il faut la rapporter à la variation
horizontale $\Delta x = 2$.

]]> $10$

]]> Erreur : $\dfrac{y_B + y_A}{x_B - x_A} = \dfrac{10}{2}$ ?
La formule utilise des différences au numérateur comme
au dénominateur.

]]> Droites du plan — Q09 : La droite verticale Quelle équation correspond à une droite verticale
(parallèle à l'axe des ordonnées) ?

]]> Deux familles : les droites non verticales ($y = mx + p$) et
les verticales ($x = c$), qui échappent à la forme réduite.
C'est pourquoi l'équation cartésienne $ax + by + c = 0$ est
plus générale.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $x = 2$

]]> Bonne réponse : tous les points d'abscisse $2$, quelle que
soit l'ordonnée : une verticale. Elle n'a pas
d'équation réduite ($y = mx + p$), car sa pente serait
infinie.

]]> $y = 2$

]]> Erreur : $y = 2$ regroupe les points d'ordonnée $2$ :
une droite horizontale (pente nulle).

]]> $y = 2x$

]]> Erreur : c'est une droite oblique de pente $2$ passant par
l'origine ; elle n'est pas verticale.

]]> Une droite verticale n'a pas d'équation

]]> Erreur : elle n'a pas d'équation réduite, mais elle a
bien une équation cartésienne, de la forme $x = c$.

]]> Droites du plan — Q10 : Signe de la pente et sens de la droite Que peut-on dire de la droite d'équation
$y = -0{,}5x + 3$ ?

]]> Le signe de la pente donne le sens de variation de la fonction
affine associée : $m > 0$ croissante, $m < 0$ décroissante,
$m = 0$ constante. Ici : décroissante.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Elle descend de gauche à droite (fonction affine
décroissante)

]]> Bonne réponse : pente $m = -0{,}5 < 0$ : chaque pas vers
la droite fait descendre d'un demi-carreau.

]]> Elle monte de gauche à droite

]]> Erreur : une droite monte quand sa pente est
positive. Ici $m = -0{,}5 < 0$.

]]> Elle est horizontale

]]> Erreur : horizontale correspond à une pente nulle
($y = 3$ par exemple). Ici $m = -0{,}5 \neq 0$.

]]> Elle passe par l'origine

]]> Erreur : en $x = 0$, $y = 3 \neq 0$ : la droite coupe
l'axe des ordonnées en $(0\,;\,3)$.

]]> Droites du plan — Q11 : Trois points alignés ? Les points $A(0\,;\,1)$, $B(2\,;\,4)$ et $C(4\,;\,7)$
sont-ils alignés ?

]]> Trois points sont alignés si les droites $(AB)$ et $(BC)$ ont
la même pente (elles partagent déjà $B$). Ici $\frac{3}{2}$
des deux côtés : alignés. Variante : déterminant de
$\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AC}$ nul.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Oui : les pentes de $(AB)$ et de $(BC)$ valent toutes deux
$\dfrac{3}{2}$

]]> Bonne réponse : $m_{AB} = \dfrac{4-1}{2-0} = \dfrac{3}{2}$
et $m_{BC} = \dfrac{7-4}{4-2} = \dfrac{3}{2}$ : mêmes
pentes avec un point commun $B$, donc même droite.

]]> Non, car $AB \neq BC$

]]> Erreur : l'alignement n'exige pas des distances égales
(ce serait « $B$ milieu »). On compare les pentes ou
on utilise la colinéarité des vecteurs.

]]> Non, car aucun des trois n'a la même abscisse

]]> Erreur : des abscisses égales caractérisent une droite
verticale seulement. Une droite oblique traverse
toutes les abscisses.

]]> Oui, car leurs coordonnées sont toutes positives

]]> La conclusion est bonne, l'argument non : le signe des
coordonnées ne dit rien de l'alignement. Seul le calcul
(pentes égales ou déterminant nul) conclut.

]]> Droites du plan — Q12 : De la cartésienne à la réduite Quelle est l'équation réduite de la droite d'équation
cartésienne $4x + 2y - 6 = 0$ ?

]]> Pour passer en équation réduite : isoler $y$.
$4x + 2y - 6 = 0 \Rightarrow 2y = -4x + 6 \Rightarrow
y = -2x + 3$ : pente $-2$, ordonnée à l'origine $3$.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $y = -2x + 3$

]]> Bonne réponse : $2y = -4x + 6$ puis, en divisant par $2$ :
$y = -2x + 3$.

]]> $y = 2x - 3$

]]> Erreur de signes : en passant $4x$ et $-6$ de l'autre
côté, ils changent de signe : $2y = -4x + 6$.

]]> $y = -4x + 6$

]]> Oubli de la division : il reste $2y$ à gauche. On divise
tout par $2$ : $y = -2x + 3$.

]]> $y = -2x - 3$

]]> Erreur de signe sur la constante : $-(-6)/2 = +3$.
Vérifie avec un point : $x = 0$ donne $2y = 6$, donc
$y = 3$.

]]> Droites du plan — Q13 : Ordonnée à l'origine Quelle est l'ordonnée à l'origine de la droite d'équation
$y = 3x - 5$ ?

]]> $y = mx + p$ : $m$ = pente, $p$ = ordonnée à l'origine
(l'altitude au départ, en $x = 0$). Les deux nombres se
lisent directement et racontent toute la droite.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $-5$

]]> Bonne réponse : en $x = 0$ : $y = -5$ : la droite coupe
l'axe des ordonnées au point $(0\ ;\ -5)$.

]]> $3$

]]> Confusion : $3$ est le coefficient directeur (la
pente) : l'ordonnée à l'origine est le terme constant.

]]> $5$

]]> Signe perdu : le terme constant est $-5$ : la droite
coupe l'axe SOUS l'origine.

]]> $\dfrac{5}{3}$

]]> Confusion : $\frac{5}{3}$ est l'abscisse où $y = 0$ (le
point sur l'axe des abscisses) : l'ordonnée à
l'origine se lit en $x = 0$.

]]> Droites du plan — Q14 : La droite $y = 2$ Que représente l'équation $y = 2$ dans le plan ?

]]> $y = c$ : horizontale (pente $0$) ; $x = c$ : verticale (pas
de pente). Les deux cas « dégénérés » de l'équation de
droite, à reconnaître au premier coup d'œil.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Une droite horizontale : tous les points d'ordonnée $2$

]]> Bonne réponse : la condition ne porte que sur $y$ : $x$
est libre : ligne horizontale à hauteur $2$, de pente
nulle.

]]> Une droite verticale

]]> Inversé : les verticales s'écrivent $x = c$ (abscisse
fixée) : ici c'est l'ordonnée qui est fixée :
horizontale.

]]> Le seul point $(0\ ;\ 2)$

]]> Trop pauvre : $(1\ ;\ 2)$, $(-7\ ;\ 2)$… conviennent
aussi : une équation à une condition dans le plan
dessine une ligne.

]]> La droite passant par l'origine de pente $2$

]]> Confusion : cette droite-là s'écrit $y = 2x$ : ici, pas
de $x$ : pente nulle, hauteur constante.

]]> Droites du plan — Q15 : Parallèle passant par un point Quelle est l'équation de la droite parallèle à $y = 2x + 1$
passant par le point $(0\ ;\ 4)$ ?

]]> Parallèle : recopier la pente, recalculer l'ordonnée à
l'origine avec le point donné (immédiat quand le point est
sur l'axe ; sinon résoudre $y_A = m\,x_A + p$).

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $y = 2x + 4$

]]> Bonne réponse : parallèles = même pente ($2$) ; le point
$(0\ ;\ 4)$ est sur l'axe des ordonnées : $p = 4$
directement.

]]> $y = 4x + 1$

]]> Rôles inversés : le parallélisme conserve la pente
($2$), pas l'ordonnée à l'origine : c'est elle qui
s'ajuste au point.

]]> $y = 2x + 1$

]]> Point ignoré : cette droite passe par $(0\ ;\ 1)$, pas
par $(0\ ;\ 4)$ : il faut ajuster la constante.

]]> $y = -\dfrac{1}{2}x + 4$

]]> Erreur : $-\frac{1}{2}$ construirait une
perpendiculaire (notion de première) : parallèle = MÊME
coefficient directeur.

]]> Droites du plan — Q16 : Droite par un point et une pente Quelle est l'équation réduite de la droite de coefficient
directeur $-2$ passant par $A(0\ ;\ 3)$ ?

]]> Équation réduite $y = mx + p$ : deux paramètres, deux
informations nécessaires (pente + un point, ou deux points).
Quand le point est $(0\ ;\ p)$, tout est déjà donné.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $y = -2x + 3$

]]> Bonne réponse : pente $-2$ donnée, et $A$ sur l'axe des
ordonnées fournit $p = 3$ : l'équation s'assemble
directement.

]]> $y = 3x - 2$

]]> Rôles échangés : la pente ($-2$) multiplie $x$ ;
l'ordonnée à l'origine ($3$) est le terme constant.

]]> $y = -2x - 3$

]]> Signe : $A(0\ ;\ 3)$ impose $p = +3$ (la droite coupe
l'axe à $+3$).

]]> $y = 2x + 3$

]]> Signe de la pente : le coefficient directeur donné est
$-2$ : la droite descend.

]]> Droites du plan — Q17 : Intersection par le calcul Où se coupent les droites $y = x + 1$ et $y = -x + 5$ ?

]]> Intersection : égaler les deux expressions de $y$, résoudre
en $x$, remonter à $y$. Vérifier dans l'autre équation :
le point doit satisfaire les deux à la fois.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Au point $(2\ ;\ 3)$

]]> Bonne réponse : égaler : $x + 1 = -x + 5$ donne $2x =
4$, $x = 2$, puis $y = 3$. Contrôle dans la seconde :
$-2 + 5 = 3$ ✓.

]]> Au point $(3\ ;\ 2)$

]]> Coordonnées échangées : $x = 2$ d'abord (la solution de
l'équation), $y = 3$ ensuite (son image).

]]> Elles ne se coupent pas

]]> Erreur : pentes $1$ et $-1$ différentes : les
droites ne sont pas parallèles : intersection garantie
(et unique).

]]> Au point $(2\ ;\ 0)$

]]> Ordonnée non calculée : en $x = 2$, les deux droites
passent à $y = 3$, pas à $0$.

]]> Droites du plan — Q18 : Équation d'une droite par deux points Quelle est l'équation réduite de la droite passant par
$A(1\ ;\ 2)$ et $B(3\ ;\ 8)$ ?

]]> Par deux points : 1) pente $m = \frac{y_B - y_A}{x_B -
x_A}$ ; 2) ordonnée à l'origine via l'un des points ; 3)
contrôle avec l'autre. Trois étapes, deux vérifications
gratuites.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $y = 3x - 1$

]]> Bonne réponse : pente $m = \dfrac{8 - 2}{3 - 1} = 3$,
puis $A$ donne $2 = 3 \times 1 + p$, soit $p = -1$.
Contrôle avec $B$ : $3 \times 3 - 1 = 8$ ✓.

]]> $y = 3x + 2$

]]> Ordonnée bâclée : $p$ n'est pas l'ordonnée de $A$ (sauf
si $x_A = 0$) : on résout $2 = 3 + p$, donc $p = -1$.

]]> $y = \dfrac{1}{3}x - 1$

]]> Pente renversée : $m = \frac{\Delta y}{\Delta x} =
\frac{6}{2} = 3$ (les ordonnées au numérateur).

]]> $y = 6x - 4$

]]> Erreur : $6$ est l'écart des ordonnées seul : la pente
le divise par l'écart des abscisses ($2$) : $m = 3$.

]]>