$course$/QCM de maths/Seconde/Fonctions de référence et tableaux de signes Fonctions carré, inverse, racine carrée, cube et valeur absolue :
ensembles de définition, courbes, symétries. Signe d'une fonction
affine, tableau de signes d'un produit ou d'un quotient,
équations et inéquations du type $x^2 = a$, $x^2 \leq a$.

]]> Fonctions de référence et tableaux de signes — Q01 : La courbe de la fonction carré Comment s'appelle la courbe représentative de la fonction
carré $x \mapsto x^2$, et quelle est son allure ?

]]> Images mentales à connaître : carré = parabole (sommet $O$,
vers le haut) ; inverse = hyperbole ; racine = demi-parabole
couchée ; cube = courbe en S ; valeur absolue = V.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Une parabole de sommet l'origine, tournée vers le haut

]]> Bonne réponse : la parabole passe par l'origine (son
minimum) et remonte symétriquement des deux côtés.

]]> Une hyperbole en deux branches

]]> Erreur : l'hyperbole est la courbe de la fonction
inverse, avec ses deux branches séparées par les axes.

]]> Une droite passant par l'origine

]]> Erreur : les droites représentent les fonctions
linéaires ($x \mapsto ax$). Le carré n'est pas
proportionnel : sa courbe s'incurve.

]]> Une demi-parabole partant de l'origine

]]> Erreur : la demi-parabole (couchée) est l'allure de la
courbe de la racine carrée, définie seulement sur
$[0\,;\,+\infty[$.

]]> Fonctions de référence et tableaux de signes — Q02 : Reconnaître une courbe de référence Repère orthonormé avec une hyperbole en deux branches : une branche dans le quart supérieur droit qui descend vers l'axe des abscisses, une branche symétrique dans le quart inférieur gauche. La courbe passe par (1 ; 1) et (-1 ; -1) et ne touche jamais les axes.

La courbe ci-dessous est celle d'une fonction de référence.
Laquelle ?

]]> Signature de l'inverse : deux branches (une par signe de $x$),
points de repère $(1\,;\,1)$ et $(-1\,;\,-1)$, valeur
interdite $0$, symétrie par rapport à l'origine.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc La fonction inverse $x \mapsto \dfrac{1}{x}$

]]> Bonne réponse : hyperbole en deux branches, passant par
$(1\,;\,1)$ et $(-1\,;\,-1)$, jamais définie en $0$, les
axes pour asymptotes.

]]> La fonction carré $x \mapsto x^2$

]]> Erreur : la parabole du carré est d'un seul tenant,
entièrement au-dessus de l'axe des abscisses.

]]> La fonction racine carrée $x \mapsto \sqrt{x}$

]]> Erreur : la racine carrée n'existe que pour $x \geq 0$ :
sa courbe est une demi-branche partant de l'origine, sans
partie négative.

]]> La fonction cube $x \mapsto x^3$

]]> Erreur : la courbe du cube est d'un seul tenant et
traverse l'origine ; ici la courbe évite $0$ et se casse
en deux branches.

]]> Fonctions de référence et tableaux de signes — Q03 : Ensemble de définition de l'inverse Quel est l'ensemble de définition de la fonction inverse
$x \mapsto \dfrac{1}{x}$ ?

]]> Domaines des fonctions de référence : carré, cube, valeur
absolue : $\mathbb{R}$ ; inverse : $\mathbb{R}$ privé de $0$ ;
racine carrée : $[0\,;\,+\infty[$.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $]-\infty\,;\,0[ \,\cup\, ]0\,;\,+\infty[$

]]> Bonne réponse : tout réel a un inverse, sauf $0$ (la
division par zéro n'existe pas).

]]> $\mathbb{R}$

]]> Erreur : $\dfrac{1}{0}$ n'existe pas : il faut retirer
$0$.

]]> $]0\,;\,+\infty[$

]]> Trop restrictif : les négatifs ont un inverse
($\frac{1}{-2} = -0{,}5$). C'est la racine carrée qui
exige du positif.

]]> $\mathbb{R}$ privé de $1$

]]> Erreur : $1$ a très bien un inverse (lui-même). La seule
valeur interdite est $0$.

]]> Fonctions de référence et tableaux de signes — Q04 : Ensemble de définition de la racine carrée Quel est l'ensemble de définition de la fonction
$x \mapsto \sqrt{x}$ ?

]]> $\sqrt{x}$ est défini pour $x \geq 0$ : domaine
$[0\,;\,+\infty[$, borne $0$ comprise. La courbe part de
l'origine et monte de plus en plus lentement.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $[0\,;\,+\infty[$

]]> Bonne réponse : la racine d'un négatif n'existe pas dans
$\mathbb{R}$, mais $\sqrt{0} = 0$ existe : $0$ est inclus
(crochet fermé).

]]> $]0\,;\,+\infty[$

]]> Presque : $\sqrt{0} = 0$ existe parfaitement. C'est
l'inverse qui exclut $0$, pas la racine.

]]> $\mathbb{R}$

]]> Erreur : $\sqrt{-4}$ n'existe pas dans $\mathbb{R}$ :
aucun réel au carré ne donne $-4$.

]]> $[1\,;\,+\infty[$

]]> Erreur : $\sqrt{0{,}25} = 0{,}5$ existe très bien. La
seule contrainte est $x \geq 0$.

]]> Fonctions de référence et tableaux de signes — Q05 : Symétrie de la parabole La courbe de la fonction carré est symétrique par rapport à
quel objet ?

]]> $(-x)^2 = x^2$ : la fonction carré prend les mêmes valeurs en
$x$ et $-x$, d'où la symétrie de sa courbe par rapport à
l'axe des ordonnées. Cube et inverse, eux, sont symétriques
par rapport à l'origine.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc L'axe des ordonnées

]]> Bonne réponse : $(-x)^2 = x^2$ : deux abscisses opposées
ont la même image, la parabole se reflète dans l'axe
vertical.

]]> L'origine du repère

]]> Erreur : la symétrie par rapport à l'origine caractérise
les courbes de l'inverse et du cube
($(-x)^3 = -x^3$).

]]> L'axe des abscisses

]]> Erreur : une courbe de fonction ne peut pas être
symétrique par rapport à l'axe des abscisses (chaque $x$
n'a qu'une image).

]]> La droite d'équation $y = x$

]]> Erreur : cette symétrie échange abscisses et ordonnées
(elle relie une fonction et sa réciproque), ce n'est pas
la symétrie de la parabole.

]]> Fonctions de référence et tableaux de signes — Q06 : Cube d'un négatif Que vaut $(-2)^3$ ?

]]> Le cube conserve le signe : $x^3 > 0$ si $x > 0$, $x^3 < 0$ si
$x < 0$. D'où la courbe du cube qui traverse l'origine en
passant du négatif au positif.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $-8$

]]> Bonne réponse : $(-2) \times (-2) \times (-2) =
4 \times (-2) = -8$. Le cube conserve le signe.

]]> $8$

]]> Erreur : trois facteurs négatifs donnent un résultat
négatif. C'est le carré (deux facteurs) qui efface le
signe.

]]> $-6$

]]> Erreur : $-6 = -2 \times 3$ confond puissance et
multiplication. $(-2)^3$ multiplie $-2$ par lui-même trois
fois.

]]> $6$

]]> Double erreur : ni la valeur ($2^3 = 8$, pas $6$) ni le
signe (le cube d'un négatif est négatif).

]]> Fonctions de référence et tableaux de signes — Q07 : Signe d'un produit de facteurs affines Sur quel intervalle le produit $(x - 1)(x + 2)$ est-il
strictement négatif ?

]]> Tableau de signes d'un produit d'affines : chaque facteur
change de signe à sa racine ($-2$ et $1$), et le produit est
négatif là où les signes diffèrent : sur $]-2\,;\,1[$.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Sur $]-2\,;\,1[$

]]> Bonne réponse : entre les racines $-2$ et $1$, les deux
facteurs sont de signes contraires ($x + 2 > 0$ et
$x - 1 < 0$) : produit négatif.

]]> Sur $]1\,;\,+\infty[$

]]> Erreur : au-delà de $1$, les deux facteurs sont
positifs : produit positif. Le tableau de signes le montre
colonne par colonne.

]]> Sur $]-\infty\,;\,-2[$

]]> Erreur : avant $-2$, les deux facteurs sont négatifs :
produit positif (moins par moins).

]]> Nulle part : un produit de deux facteurs est toujours
positif

]]> Erreur : un produit est négatif dès que ses facteurs sont
de signes contraires, ce qui arrive entre les racines.

]]> Fonctions de référence et tableaux de signes — Q08 : Signe d'un quotient Quel est le signe de $\dfrac{x - 3}{x + 1}$ sur l'intervalle
$]-1\,;\,3[$ ?

]]> Un quotient suit les mêmes règles de signes qu'un produit,
avec en plus une valeur interdite au dénominateur (double
barre dans le tableau). Sur $]-1\,;\,3[$ :
$\frac{-}{+} = -$.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Strictement négatif

]]> Bonne réponse : sur cet intervalle, $x + 1 > 0$ et
$x - 3 < 0$ : signes contraires, quotient négatif.

]]> Strictement positif

]]> Erreur : teste $x = 0$ : $\dfrac{-3}{1} = -3 < 0$. Les
règles de signes d'un quotient sont celles d'un produit.

]]> Nul

]]> Erreur : le quotient ne s'annule qu'en $x = 3$ (numérateur
nul), qui est exclu de l'intervalle ouvert.

]]> Non défini

]]> Erreur : la seule valeur interdite est $x = -1$
(dénominateur nul), exclue de l'intervalle. Partout
ailleurs le quotient existe.

]]> Fonctions de référence et tableaux de signes — Q09 : Résoudre $x^2 = 7$ graphiquement Combien l'équation $x^2 = 7$ admet-elle de solutions, et
comment se lisent-elles sur la parabole ?

]]> Résolution graphique de $x^2 = k$ : intersection de la
parabole et de la droite $y = k$. Pour $k = 7 > 0$ : deux
solutions $\pm\sqrt{7} \approx \pm 2{,}65$.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Deux solutions, $\sqrt{7}$ et $-\sqrt{7}$ : abscisses des
intersections de la parabole avec la droite $y = 7$

]]> Bonne réponse : la droite horizontale $y = 7$ coupe la
parabole en deux points symétriques.

]]> Une seule solution, $\sqrt{7}$

]]> Oubli : la parabole est symétrique, la droite $y = 7$ la
coupe deux fois : en $\sqrt{7}$ et en $-\sqrt{7}$.

]]> Aucune solution, car $7$ n'est pas un carré parfait

]]> Erreur : « carré parfait » concerne les entiers. Tout réel
positif est le carré de sa racine : $(\sqrt{7})^2 = 7$.

]]> Une infinité de solutions

]]> Erreur : une droite horizontale coupe la parabole en au
plus deux points.

]]> Fonctions de référence et tableaux de signes — Q10 : Résoudre $x^2 \leq 9$ Quel est l'ensemble des solutions de l'inéquation
$x^2 \leq 9$ ?

]]> Pour $k > 0$ : $x^2 \leq k \Leftrightarrow -\sqrt{k} \leq x
\leq \sqrt{k}$. Ne jamais « prendre la racine » d'une
inégalité sans penser à la branche négative de la parabole.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $[-3\,;\,3]$

]]> Bonne réponse : sur la parabole, les points sous la droite
$y = 9$ ont leurs abscisses entre $-3$ et $3$.

]]> $]-\infty\,;\,3]$

]]> Piège majeur : $x \leq 3$ n'équivaut pas à $x^2 \leq 9$ :
pour $x = -10$, $x^2 = 100 > 9$. Les grands négatifs ont
de grands carrés.

]]> $[0\,;\,3]$

]]> Oubli des négatifs : $(-2)^2 = 4 \leq 9$, donc $-2$ est
solution. La parabole est symétrique.

]]> $\{-3\,;\,3\}$

]]> Erreur : ces deux nombres résolvent l'équation
$x^2 = 9$. L'inéquation large englobe tout l'intervalle
entre eux.

]]> Fonctions de référence et tableaux de signes — Q11 : Comparer des carrés de négatifs On sait que $-3 < -2$. Comment se comparent $(-3)^2$ et
$(-2)^2$ ?

]]> Variations de la fonction carré (démonstration au programme) :
décroissante sur $]-\infty\,;\,0]$, croissante sur
$[0\,;\,+\infty[$. Sur les négatifs, l'ordre des nombres et
l'ordre des carrés s'inversent.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $(-3)^2 > (-2)^2$ : sur les négatifs, la fonction carré
renverse l'ordre

]]> Bonne réponse : $9 > 4$. La fonction carré est
décroissante sur $]-\infty\,;\,0]$ : plus un négatif
est loin de zéro, plus son carré est grand.

]]> $(-3)^2 < (-2)^2$, car $-3 < -2$

]]> Erreur : mettre au carré ne conserve l'ordre que pour des
nombres positifs. Ici $9 > 4$ : l'ordre s'est
inversé.

]]> $(-3)^2 = (-2)^2$, car les signes disparaissent

]]> Erreur : les signes disparaissent mais les grandeurs
restent : $9 \neq 4$.

]]> On ne peut pas comparer des carrés de nombres négatifs

]]> Erreur : leurs carrés sont des nombres positifs ordinaires
($9$ et $4$), parfaitement comparables.

]]> Fonctions de référence et tableaux de signes — Q12 : Résoudre $|x| = 5$ Quelles sont les solutions de l'équation $|x| = 5$ ?

]]> $|x| = k$ : deux solutions $\pm k$ si $k > 0$, une seule
($0$) si $k = 0$, aucune si $k < 0$. La courbe en V de la
valeur absolue rend ce compte de solutions visible.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $x = 5$ ou $x = -5$

]]> Bonne réponse : deux nombres sont à distance $5$ de zéro :
$5$ et $-5$. Graphiquement, la droite $y = 5$ coupe le
« V » de la valeur absolue en deux points.

]]> $x = 5$ seulement

]]> Oubli : $|-5| = 5$ aussi. La valeur absolue efface le
signe, deux antécédents pour chaque valeur positive.

]]> $x = -5$ seulement

]]> Erreur : $|5| = 5$ convient évidemment aussi. L'équation a
deux solutions.

]]> Aucune solution, car une valeur absolue est toujours
positive

]]> Contresens : c'est justement parce que $|x| \geq 0$ que
l'équation $|x| = 5$ (avec $5 > 0$) a des solutions :
$\pm 5$. (C'est $|x| = -5$ qui n'en aurait pas.)

]]> Fonctions de référence et tableaux de signes — Q13 : Signe de $2x - 4$ Quel est le signe de l'expression $2x - 4$ selon les
valeurs de $x$ ?

]]> Signe d'une affine $ax + b$ : racine en $-\frac{b}{a}$,
signe de $a$ après la racine (« signe de $a$ à droite »).
La brique de base de tous les tableaux de signes.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Négatif pour $x < 2$, nul en $2$, positif pour $x > 2$

]]> Bonne réponse : racine en $x = 2$ ($2x - 4 = 0$), et
coefficient directeur positif : signe « $-$ puis $+$ ».

]]> Positif pour $x < 2$, négatif pour $x > 2$

]]> Ordre inversé : le coefficient de $x$ est positif
($2$) : l'expression monte : négative avant sa racine,
positive après.

]]> Toujours positif

]]> Erreur : en $x = 0$ : $-4 < 0$ : toute fonction affine
non constante change de signe en sa racine.

]]> Négatif pour $x < 4$, positif pour $x > 4$

]]> Racine fausse : $2x - 4 = 0 \iff x = 2$ (diviser $4$
par le coefficient $2$).

]]> Fonctions de référence et tableaux de signes — Q14 : Comparer des inverses Sachant $0 < a < b$, comment se comparent $\dfrac{1}{a}$ et
$\dfrac{1}{b}$ ?

]]> Sur $]0\ ;\ +\infty[$, la fonction inverse est strictement
décroissante : $0 < a < b \Rightarrow \frac{1}{a} >
\frac{1}{b}$. Attention : la comparaison échoue si $a$ et
$b$ encadrent $0$ (deux branches séparées).

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $\dfrac{1}{a} > \dfrac{1}{b}$ : l'inverse renverse
l'ordre des positifs

]]> Bonne réponse : la fonction inverse est décroissante sur
$]0\ ;\ +\infty[$ : plus le nombre est grand, plus son
inverse est petit ($\frac{1}{2} > \frac{1}{3}$).

]]> $\dfrac{1}{a} < \dfrac{1}{b}$ : l'ordre se conserve

]]> Erreur : testez $a = 2$, $b = 3$ : $\frac{1}{2} = 0{,}5
> \frac{1}{3} \approx 0{,}33$ : passer à l'inverse
RENVERSE les inégalités (entre positifs).

]]> Impossible à comparer sans les valeurs

]]> Erreur : la décroissance de la fonction inverse conclut
pour TOUS les couples $0 < a < b$ : aucune valeur
nécessaire.

]]> $\dfrac{1}{a} = \dfrac{1}{b}$

]]> Erreur : deux nombres distincts ont des inverses
distincts (la fonction inverse ne repasse jamais par la
même valeur).

]]> Fonctions de référence et tableaux de signes — Q15 : Le carré d'un nombre entre $0$ et $1$ Soit $0 < a < 1$. Comment se comparent $a^2$ et $a$ ?

]]> Entre $0$ et $1$ : $a^2 < a$ (la parabole sous la
diagonale) ; au-delà de $1$ : $a^2 > a$. Les points de
croisement : $0$ et $1$. Une image graphique qui évite bien
des erreurs de majoration.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $a^2 < a$ : le carré rapetisse les nombres entre $0$ et
$1$

]]> Bonne réponse : $a^2 = a \times a < a \times 1 = a$
(multiplier par $a < 1$ diminue). Exemple : $0{,}5^2 =
0{,}25$.

]]> $a^2 > a$ : un carré est toujours plus grand

]]> Intuition à corriger : elle ne vaut que pour $a > 1$ :
entre $0$ et $1$, élever au carré écrase vers zéro
($0{,}1^2 = 0{,}01$).

]]> $a^2 = a$

]]> Erreur : l'égalité $a^2 = a$ n'a lieu qu'en $a = 0$ et
$a = 1$ : strictement entre les deux, le carré est
strictement plus petit.

]]> Cela dépend de $a$

]]> Erreur : sur TOUT l'intervalle $]0\ ;\ 1[$, la
conclusion est la même : $a^2 < a$ (la parabole passe
sous la droite $y = x$).

]]> Fonctions de référence et tableaux de signes — Q16 : Comparer $\sqrt{3}$ et $\sqrt{5}$ Sans calculatrice, comment justifier que $\sqrt{3} <
\sqrt{5}$ ?

]]> Comparer via les variations d'une fonction de référence :
croissante (racine, cube) = ordre conservé ; décroissante
(inverse sur $]0\ ;\ +\infty[$) = ordre renversé. L'argument
attendu cite la fonction et son sens.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc La fonction racine carrée est strictement croissante :
$3 < 5 \Rightarrow \sqrt{3} < \sqrt{5}$

]]> Bonne réponse : la croissance transporte l'inégalité des
nombres vers leurs racines : aucun calcul de valeurs
approchées nécessaire.

]]> Parce que $\sqrt{3} \approx 1{,}73$ et $\sqrt{5} \approx
2{,}24$

]]> Justification faible : les valeurs approchées viennent
de la calculatrice : l'argument de cours est la
croissance de la fonction racine.

]]> On ne peut pas : les racines ne se comparent pas

]]> Erreur : la croissance de $\sqrt{\ }$ permet justement
de comparer les racines par leurs radicandes.

]]> C'est faux : $\sqrt{3} > \sqrt{5}$

]]> Erreur : la racine conserve l'ordre (croissante) :
l'inversion d'ordre appartient à la fonction inverse.

]]> Fonctions de référence et tableaux de signes — Q17 : Résoudre $x^3 = -8$ Combien de solutions réelles a l'équation $x^3 = -8$ ?

]]> Contraste carré/cube : $x^2 = k > 0$ : deux solutions ;
$x^3 = k$ : toujours UNE solution, du signe de $k$ (cube
strictement croissant sur $\mathbb{R}$). La parité de
l'exposant fait toute la différence.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Une seule : $x = -2$

]]> Bonne réponse : $(-2)^3 = -8$, et la fonction cube,
strictement croissante sur $\mathbb{R}$, ne repasse
jamais deux fois par la même valeur : solution unique.

]]> Deux : $x = 2$ et $x = -2$

]]> Réflexe du carré transposé à tort : $2^3 = +8 \neq -8$ :
le cube conserve le signe : une seule solution.

]]> Aucune : un cube n'est jamais négatif

]]> Confusion avec le carré : le cube d'un négatif est
négatif ($(-2)^3 = -8$) : la fonction cube atteint tous
les réels.

]]> $x = -\dfrac{8}{3}$

]]> Erreur : diviser par $3$ ne défait pas un cube : on
cherche le nombre dont le CUBE vaut $-8$ : c'est $-2$.

]]> Fonctions de référence et tableaux de signes — Q18 : Parabole et diagonale sur $[0\ ;\ 1]$ Sur l'intervalle $[0\ ;\ 1]$, comment se situe la courbe de
$y = x^2$ par rapport à la droite $y = x$ ?

]]> Position relative = signe de la différence : $x^2 - x =
x(x - 1)$, négatif entre ses racines $0$ et $1$. La même
étude redonne $a^2 < a$ pour $0 < a < 1$ : deux habits d'un
même fait.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc En dessous (elles se touchent en $0$ et en $1$)

]]> Bonne réponse : $x^2 - x = x(x - 1) \leq 0$ sur
$[0\ ;\ 1]$ (produit d'un positif et d'un négatif) : la
parabole plonge sous la diagonale entre les deux points
de contact.

]]> Au-dessus

]]> Erreur : en $x = 0{,}5$ : $0{,}25 < 0{,}5$ : la
parabole est SOUS la droite (elle repasse au-dessus
après $1$).

]]> Elles ne se rencontrent jamais

]]> Erreur : $x^2 = x$ en $x = 0$ et $x = 1$ : deux points
communs, bornes exactes de l'intervalle.

]]> Elles sont confondues sur cet intervalle

]]> Erreur : $x^2 = x$ seulement aux deux extrémités :
entre les deux, l'écart $x - x^2$ est strictement
positif (maximal en $0{,}5$).

]]>