$course$/QCM de maths/Seconde/Fonctions, images et antécédents Vocabulaire des fonctions : image, antécédent, ensemble de définition,
courbe représentative. Calculs d'images et d'antécédents à partir d'une
formule, d'un tableau de valeurs ou d'une lecture graphique.

]]> Fonctions, images et antécédents — Q01 : Lire une égalité $f(2)=5$ Soit $f$ une fonction. Que signifie l'égalité $f(2) = 5$ ?

]]> Dans l'écriture $f(2)=5$ : le nombre qui entre ($2$) a pour
image le nombre qui sort ($5$), et $2$ est un antécédent
de $5$. Le sens de lecture ne s'inverse jamais.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc L'image de $2$ par $f$ est $5$

]]> Bonne réponse : $f(2)$ désigne l'image de $2$ par la fonction
$f$. On peut aussi dire que $2$ est un antécédent de $5$.

]]> L'image de $5$ par $f$ est $2$

]]> Erreur d'inversion : l'image de $5$ s'écrirait $f(5)$. Ici
c'est bien $2$ qui entre dans la fonction, et $5$ qui en sort.

]]> $f(5) = 2$

]]> Erreur : rien ne permet d'échanger les rôles de $2$ et $5$.
En général $f(5)$ n'a aucune raison de valoir $2$.

]]> $5$ est un antécédent de $2$ par $f$

]]> Erreur d'inversion du vocabulaire : c'est $2$ qui est un
antécédent de $5$, car $f$ transforme $2$ en $5$.

]]> Fonctions, images et antécédents — Q02 : Calculer une image Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = 3x - 5$.
Quelle est l'image de $4$ par $f$ ?

]]> Calculer l'image de $4$, c'est remplacer $x$ par $4$ :
$f(4) = 3 \times 4 - 5 = 7$.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $7$

]]> Bonne réponse : $f(4) = 3 \times 4 - 5 = 12 - 5 = 7$.

]]> $12$

]]> Erreur : tu as calculé $3 \times 4 = 12$ mais oublié de
soustraire $5$. Il faut appliquer toute la formule.

]]> $17$

]]> Erreur de signe : $3 \times 4 + 5 = 17$ correspond à la
fonction $x \mapsto 3x + 5$, pas à $3x - 5$.

]]> $3$

]]> Erreur : tu as résolu $3x - 5 = 4$, c'est-à-dire cherché un
antécédent de $4$. On demande l'image de $4$ : on
remplace $x$ par $4$ dans la formule.

]]> Fonctions, images et antécédents — Q03 : Calculer un antécédent Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = 3x - 5$.
Quel est l'antécédent de $7$ par $f$ ?

]]> Un antécédent de $7$ est une solution de l'équation $f(x) = 7$ :
$3x - 5 = 7 \Leftrightarrow 3x = 12 \Leftrightarrow x = 4$.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $4$

]]> Bonne réponse : on résout $3x - 5 = 7$, soit $3x = 12$,
donc $x = 4$.

]]> $16$

]]> Erreur : $3 \times 7 - 5 = 16$ est l'image de $7$.
Chercher un antécédent de $7$, c'est résoudre $f(x) = 7$.

]]> $\dfrac{2}{3}$

]]> Erreur d'algèbre : $\dfrac{7-5}{3} = \dfrac{2}{3}$ vient d'un
mauvais transfert du $-5$. Dans $3x - 5 = 7$, le $-5$ passe de
l'autre côté en $+5$ : $3x = 7 + 5 = 12$.

]]> $-4$

]]> Erreur de signe dans la résolution : $3x = 12$ donne $x = 4$,
pas $x = -4$.

]]> Fonctions, images et antécédents — Q04 : Nombre d'images d'un nombre Soit $f$ une fonction et $a$ un nombre de son ensemble de
définition. Combien $a$ possède-t-il d'images par $f$ ?

]]> Une fonction associe à chaque nombre de son ensemble de définition
exactement une image. En revanche, un nombre peut avoir zéro,
un ou plusieurs antécédents.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Exactement une

]]> Bonne réponse : c'est la définition même d'une fonction.
À chaque nombre de l'ensemble de définition, elle associe
une unique image.

]]> Au plus deux

]]> Erreur : tu confonds avec les antécédents, qui peuvent
être plusieurs (par exemple $9$ a deux antécédents par
$x \mapsto x^2$). L'image, elle, est toujours unique.

]]> Autant qu'on veut

]]> Erreur : si un même $a$ avait plusieurs images, $f$ ne serait
pas une fonction. C'est le nombre d'antécédents qui peut
varier.

]]> Aucune, sauf si la courbe coupe l'axe des ordonnées

]]> Erreur : tout nombre de l'ensemble de définition a une image,
indépendamment de l'axe des ordonnées.

]]> Fonctions, images et antécédents — Q05 : Antécédents par la fonction carré Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = x^2$.
Quels sont les antécédents de $9$ par $f$ ?

]]> Chercher les antécédents de $9$, c'est résoudre $x^2 = 9$ :
les solutions sont $3$ et $-3$. Pour $k > 0$, l'équation $x^2 = k$
a deux solutions : $\sqrt{k}$ et $-\sqrt{k}$.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $-3$ et $3$

]]> Bonne réponse : $x^2 = 9$ a deux solutions, $x = 3$ et
$x = -3$, car $(-3)^2 = 9$ aussi.

]]> $3$ seulement

]]> Oubli classique : $(-3)^2 = 9$ également. Une équation
$x^2 = k$ avec $k > 0$ a toujours deux solutions opposées.

]]> $81$

]]> Erreur : $81 = 9^2$ est l'image de $9$. On demande les
antécédents, c'est-à-dire les solutions de $x^2 = 9$.

]]> $4{,}5$

]]> Erreur : $9 \div 2 = 4{,}5$ n'a rien à voir avec l'équation
$x^2 = 9$. Le carré n'est pas une multiplication par $2$.

]]> Fonctions, images et antécédents — Q06 : Lire une image sur la courbe Repère orthonormé avec une parabole tournée vers le haut, de sommet (0 ; -1), passant par les points (-1 ; 0), (1 ; 0) et (2 ; 3). C'est la courbe de f(x) = x² - 1.

La courbe $\mathcal{C}_f$ ci-dessous représente une fonction $f$.
Quelle est l'image de $1$ par $f$ ?

]]> Pour lire $f(1)$ : on repère $x = 1$ sur l'axe des abscisses, on
monte (ou descend) jusqu'à la courbe, puis on lit l'ordonnée du
point atteint. Ici le point est $(1\,;\,0)$, donc $f(1) = 0$.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $0$

]]> Bonne réponse : le point de la courbe d'abscisse $1$ est sur
l'axe des abscisses, donc $f(1) = 0$.

]]> $-1$

]]> Erreur : $-1$ est l'image de $0$ (le sommet de la courbe est
en $(0\,;\,-1)$). Pour lire $f(1)$, on part de $x = 1$ sur
l'axe des abscisses.

]]> $1$

]]> Erreur : tu as relu l'abscisse de départ. L'image se lit sur
l'axe des ordonnées, à la verticale de $x = 1$.

]]> $3$

]]> Erreur : $3$ est l'image de $2$ (le point $(2\,;\,3)$ est sur
la courbe), pas celle de $1$.

]]> Fonctions, images et antécédents — Q07 : Lire des antécédents sur la courbe Repère orthonormé avec une parabole tournée vers le haut, de sommet (0 ; -1), passant par les points (-1 ; 0), (1 ; 0) et (2 ; 3). C'est la courbe de f(x) = x² - 1.

La courbe $\mathcal{C}_f$ ci-dessous représente une fonction $f$.
Quels sont les antécédents de $3$ par $f$ ?

]]> Pour lire les antécédents de $3$ : on trace la droite horizontale
$y = 3$ et on lit les abscisses des points d'intersection avec
la courbe. Ici, elle coupe $\mathcal{C}_f$ en $(-2\,;\,3)$ et
$(2\,;\,3)$ : les antécédents sont $-2$ et $2$.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $-2$ et $2$

]]> Bonne réponse : la droite horizontale $y = 3$ coupe la courbe
en deux points, d'abscisses $-2$ et $2$.

]]> $2$ seulement

]]> Oubli : la droite $y = 3$ coupe aussi la courbe du côté des
abscisses négatives, au point $(-2\,;\,3)$.

]]> $3$

]]> Erreur : tu cherches les antécédents de $3$, c'est-à-dire
les abscisses des points d'ordonnée $3$. Le nombre $3$ est ici
une ordonnée, pas une abscisse.

]]> $8$

]]> Erreur : $8 = f(3)$ serait l'image de $3$ (hors du
graphique). Les antécédents se lisent en coupant la courbe
par la droite horizontale $y = 3$.

]]> Fonctions, images et antécédents — Q08 : Courbe représentative Soit $f$ une fonction définie sur un intervalle $I$. Qu'est-ce que
la courbe représentative de $f$ dans un repère ?

]]> La courbe représentative de $f$ est l'ensemble des points
$M(x\,;\,f(x))$ pour tous les $x$ de l'ensemble de définition.
L'équation de la courbe est $y = f(x)$.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc L'ensemble des points de coordonnées $(x\,;\,f(x))$ pour $x$
dans $I$

]]> Bonne réponse : un point $M(x\,;\,y)$ appartient à la courbe
si et seulement si $y = f(x)$.

]]> L'ensemble des points de coordonnées $(f(x)\,;\,x)$ pour $x$
dans $I$

]]> Erreur d'inversion : l'abscisse est la variable $x$, et
l'ordonnée est l'image $f(x)$, pas l'inverse.

]]> Le tableau des valeurs de $f$

]]> Erreur : un tableau de valeurs ne donne que quelques points ;
la courbe est l'ensemble de tous les points
$(x\,;\,f(x))$.

]]> La droite qui passe par tous les points où $f$ s'annule

]]> Erreur : les points où $f$ s'annule sont seulement les
intersections de la courbe avec l'axe des abscisses.

]]> Fonctions, images et antécédents — Q09 : Ensemble de définition Soit $f$ la fonction définie par $f(x) = \dfrac{1}{x - 2}$.
Quel est son ensemble de définition ?

]]> Un quotient est défini si et seulement si son dénominateur est non
nul : $x - 2 \neq 0$, donc $x \neq 2$. L'ensemble de définition
est $\mathbb{R}$ privé de $2$.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Tous les réels sauf $2$

]]> Bonne réponse : le dénominateur s'annule pour $x = 2$, et la
division par zéro est impossible. Partout ailleurs, le calcul
est possible.

]]> $\mathbb{R}$ tout entier

]]> Erreur : pour $x = 2$, le dénominateur vaut $0$ et le
quotient n'existe pas. Il faut exclure cette valeur.

]]> Tous les réels sauf $-2$

]]> Erreur de signe : on résout $x - 2 = 0$, qui donne $x = 2$,
pas $x = -2$.

]]> Les réels strictement supérieurs à $2$

]]> Erreur : un quotient existe dès que son dénominateur est non
nul, même s'il est négatif. Tu confonds avec la condition de
la racine carrée.

]]> Fonctions, images et antécédents — Q10 : Antécédents dans un tableau de valeurs Un tableau de valeurs d'une fonction $f$ donne :
$f(-2) = 5$, $f(-1) = 2$, $f(0) = 1$ et $f(1) = 2$.

D'après ce tableau, quels sont les antécédents de $2$ par $f$ ?

]]> Dans un tableau de valeurs, les antécédents de $2$ se trouvent en
repérant $2$ dans la ligne des images $f(x)$, puis en lisant les
valeurs de $x$ correspondantes : ici $-1$ et $1$.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $-1$ et $1$

]]> Bonne réponse : dans la ligne des images, $2$ apparaît deux
fois, pour $x = -1$ et pour $x = 1$.

]]> $-1$ seulement

]]> Oubli : il faut balayer toute la ligne des images. La
valeur $2$ apparaît aussi dans la colonne de $x = 1$.

]]> $5$

]]> Erreur : $5$ est l'image de $-2$. Pour trouver des
antécédents de $2$, on cherche $2$ dans la ligne du bas
et on remonte à la ligne du haut.

]]> $2$

]]> Erreur : tu as relu le nombre cherché. Les antécédents sont
les valeurs de $x$ dont l'image vaut $2$, ici $-1$ et $1$.

]]> Fonctions, images et antécédents — Q11 : L'égalité $f(a+b) = f(a) + f(b)$ Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = x^2$.
A-t-on toujours $f(a + b) = f(a) + f(b)$ ?

]]> $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$ : le double produit $2ab$ empêche
l'égalité $f(a+b) = f(a) + f(b)$ dès que $a$ et $b$ sont non nuls.
Contre-exemple : $f(1+1) = 4 \neq 2 = f(1) + f(1)$.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Non : par exemple $f(1+1) = 4$ alors que $f(1) + f(1) = 2$

]]> Bonne réponse : $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$ n'est en général
pas égal à $a^2 + b^2$. Un seul contre-exemple suffit à
réfuter l'égalité.

]]> Oui, car c'est vrai pour toute fonction

]]> Erreur très répandue : une fonction ne « distribue » pas sur
l'addition. Teste toujours sur des valeurs concrètes avant de
généraliser.

]]> Oui, car $f$ est donnée par une formule

]]> Erreur : avoir une formule ne donne aucune propriété
particulière. Ici $(1+1)^2 = 4 \neq 1^2 + 1^2 = 2$.

]]> Non, sauf si $a$ et $b$ sont positifs

]]> Erreur : même pour $a$ et $b$ positifs l'égalité échoue,
comme le montre $a = b = 1$. Elle n'est vraie que si $a$ ou
$b$ est nul.

]]> Fonctions, images et antécédents — Q12 : Résoudre $f(x) = 0$ graphiquement Repère orthonormé avec une parabole tournée vers le haut, de sommet (0 ; -1), passant par les points (-1 ; 0), (1 ; 0) et (2 ; 3). C'est la courbe de f(x) = x² - 1.

La courbe $\mathcal{C}_f$ ci-dessous représente une fonction $f$.
Quelles sont les solutions de l'équation $f(x) = 0$ ?

]]> Résoudre $f(x) = 0$ graphiquement, c'est lire les abscisses des
points d'intersection de la courbe avec l'axe des abscisses :
ici $-1$ et $1$.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $x = -1$ et $x = 1$

]]> Bonne réponse : la courbe coupe l'axe des abscisses aux
points d'abscisses $-1$ et $1$ ; ce sont les solutions de
$f(x) = 0$.

]]> $x = 0$

]]> Erreur : en $x = 0$, la courbe passe par $(0\,;\,-1)$, donc
$f(0) = -1 \neq 0$. Tu as confondu avec le sommet de la
courbe.

]]> $x = -1$ seulement

]]> Oubli : la courbe traverse l'axe des abscisses deux fois.
Il faut relever toutes les intersections.

]]> $(0\,;\,-1)$

]]> Erreur de nature : une solution de $f(x) = 0$ est un
nombre (une abscisse), pas un point. Et $(0\,;\,-1)$
n'est pas sur l'axe des abscisses.

]]>