$course$/QCM de maths/Seconde/Information chiffrée et statistiques Proportions et pourcentages (dont pourcentage de pourcentage),
évolutions : variation absolue et relative, coefficient
multiplicateur, évolutions successives et réciproques ; moyenne
(linéarité, pondération par classes), écart-type et dispersion,
classe médiane.

]]> Information chiffrée et statistiques — Q01 : Calculer une proportion Dans une classe de $30$ élèves, il y a $12$ filles. Quelle est
la proportion de filles ?

]]> Proportion $= \dfrac{\text{effectif de la partie}}
{\text{effectif total}} = \dfrac{12}{30} = 0{,}4$, exprimable
en fraction, en décimal ou en pourcentage ($40\ \%$).

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $40\ \%$

]]> Bonne réponse : $\dfrac{12}{30} = \dfrac{4}{10} = 0{,}4 =
40\ \%$.

]]> $12\ \%$

]]> Erreur : $12$ est l'effectif, pas la proportion. Il
faut le rapporter au total : $\dfrac{12}{30}$.

]]> $2{,}5\ \%$

]]> Erreur : $2{,}5 = \dfrac{30}{12}$ renverse la fraction (et
n'est d'ailleurs pas un pourcentage). Proportion =
$\dfrac{\text{partie}}{\text{tout}}$.

]]> $60\ \%$

]]> Erreur : $60\ \%$ est la proportion des garçons
($18/30$). Attention au groupe dont on parle.

]]> Information chiffrée et statistiques — Q02 : Pourcentage de pourcentage Dans un lycée, $40\ \%$ des élèves sont en seconde, et
$50\ \%$ de ces élèves de seconde mangent à la cantine. Quelle
proportion des élèves du lycée sont des élèves de seconde
mangeant à la cantine ?

]]> Ensembles de référence emboîtés (au programme) : la proportion
de la partie dans le tout est le produit des proportions
intermédiaires : $50\ \%$ de $40\ \%$ $= 20\ \%$.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $20\ \%$

]]> Bonne réponse : les proportions emboîtées se
multiplient : $0{,}5 \times 0{,}4 = 0{,}2 = 20\ \%$.

]]> $90\ \%$

]]> Erreur : additionner $40$ et $50$ n'a pas de sens, les
deux pourcentages ne portent pas sur le même ensemble.
On multiplie : $50\ \%$ de $40\ \%$.

]]> $45\ \%$

]]> Erreur : la moyenne des deux pourcentages ne correspond à
rien ici. Le mot « de » se traduit par une
multiplication.

]]> $10\ \%$

]]> Erreur de calcul : $0{,}5 \times 0{,}4 = 0{,}2$, soit
$20\ \%$, pas $10\ \%$.

]]> Information chiffrée et statistiques — Q03 : Augmenter de 5 % Augmenter une quantité de $5\ \%$ revient à la multiplier par
quel coefficient ?

]]> Formulation multiplicative des évolutions (au programme) :
$+t\ \% \leftrightarrow \times\left(1 + \frac{t}{100}\right)$
et $-t\ \% \leftrightarrow \times\left(1 - \frac{t}{100}
\right)$. Ici : $\times\,1{,}05$.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $1{,}05$

]]> Bonne réponse : $+5\ \%$ signifie garder les $100\ \%$ et
ajouter $5\ \%$ : coefficient $1 + 0{,}05 = 1{,}05$.

]]> $0{,}05$

]]> Erreur : multiplier par $0{,}05$ réduit la quantité à
$5\ \%$ d'elle-même (une chute de $95\ \%$). Le
coefficient d'une hausse dépasse $1$.

]]> $1{,}5$

]]> Erreur : $1{,}5$ correspond à $+50\ \%$. Pour $+5\ \%$ :
$1{,}05$ (attention à la place du zéro).

]]> $5$

]]> Erreur : multiplier par $5$ est une hausse de $400\ \%$.
Le passage en coefficient se fait par $1 +
\frac{5}{100}$.

]]> Information chiffrée et statistiques — Q04 : Diminuer de 20 % Un article coûte $80$ euros. Son prix baisse de $20\ \%$.
Quel est le nouveau prix ?

]]> $-20\ \%$ : coefficient $0{,}8$. Nouveau prix
$= 80 \times 0{,}8 = 64$ euros. Le réflexe multiplicatif
évite les erreurs et prépare les évolutions successives.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $64$ euros

]]> Bonne réponse : $80 \times (1 - 0{,}20) = 80 \times 0{,}8
= 64$ euros.

]]> $60$ euros

]]> Erreur : tu as retiré $20$ euros au lieu de $20\ \%$.
La baisse vaut $20\ \%$ de $80$, soit $16$ euros.

]]> $16$ euros

]]> Erreur : $16$ euros est le montant de la baisse
($0{,}2 \times 80$), pas le prix final ($80 - 16 = 64$).

]]> $96$ euros

]]> Erreur de sens : $80 \times 1{,}2 = 96$ est une
hausse de $20\ \%$. Une baisse multiplie par $0{,}8$.

]]> Information chiffrée et statistiques — Q05 : Hausse puis baisse de 10 % Un prix augmente de $10\ \%$, puis diminue de $10\ \%$.
Quelle est l'évolution globale ?

]]> Évolutions successives : on multiplie les coefficients,
jamais on n'additionne les taux. $1{,}1 \times 0{,}9 =
0{,}99$, soit $-1\ \%$ au total.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Une baisse de $1\ \%$

]]> Bonne réponse : $1{,}1 \times 0{,}9 = 0{,}99$ : le prix
final vaut $99\ \%$ du prix initial. La baisse porte sur
un montant plus élevé que la hausse.

]]> Un retour exact au prix initial

]]> Le piège classique : les pourcentages ne s'annulent pas,
car ils ne portent pas sur la même base. $100 \to 110 \to
99$.

]]> Une hausse de $1\ \%$

]]> Erreur de sens : $1{,}1 \times 0{,}9 = 0{,}99 < 1$ :
l'effet net est une baisse.

]]> Une baisse de $10\ \%$

]]> Erreur : la hausse initiale compense l'essentiel de la
baisse. Seul le produit des coefficients ($0{,}99$) donne
le bilan exact : $-1\ \%$.

]]> Information chiffrée et statistiques — Q06 : Évolution réciproque Un prix a augmenté de $25\ \%$. Quel pourcentage de baisse le
ramènerait exactement à sa valeur initiale ?

]]> Évolution réciproque : coefficient inverse.
$\times 1{,}25$ se défait par $\times \dfrac{1}{1{,}25} =
\times 0{,}8$, c'est-à-dire $-20\ \%$ (et non $-25\ \%$).

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $20\ \%$

]]> Bonne réponse : le coefficient réciproque est
$\dfrac{1}{1{,}25} = 0{,}8$, soit une baisse de
$20\ \%$. Contrôle : $100 \to 125 \to 100$.

]]> $25\ \%$

]]> Le piège symétrique : $125 \times 0{,}75 = 93{,}75 \neq
100$. La baisse porte sur une base plus grande, il en faut
moins en pourcentage.

]]> $12{,}5\ \%$

]]> Erreur : la moitié du taux ne correspond à rien. La
réciproque se calcule par l'inverse du coefficient :
$1/1{,}25 = 0{,}8$.

]]> $80\ \%$

]]> Confusion : $0{,}8$ est le coefficient multiplicateur
de la baisse ; le taux de baisse correspondant est
$1 - 0{,}8 = 20\ \%$.

]]> Information chiffrée et statistiques — Q07 : Calculer un taux d'évolution Le nombre d'abonnés d'une chaîne passe de $40$ à $46$
milliers. Quel est le taux d'évolution ?

]]> Taux d'évolution $= \dfrac{V_2 - V_1}{V_1}$ (variation
relative, base = valeur initiale). Ici $\dfrac{6}{40} =
+15\ \%$ ; coefficient multiplicateur $1{,}15$.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $+15\ \%$

]]> Bonne réponse : $\dfrac{46 - 40}{40} = \dfrac{6}{40} =
0{,}15$ : hausse de $15\ \%$.

]]> $+6\ \%$

]]> Erreur : $6$ est la variation absolue (en milliers).
Le taux la rapporte à la valeur de départ :
$6/40 = 15\ \%$.

]]> $+13\ \%$

]]> Erreur : $\dfrac{6}{46} \approx 13\ \%$ divise par la
valeur d'arrivée. Le taux d'évolution se calcule
toujours par rapport à la valeur initiale.

]]> $+1{,}15\ \%$

]]> Confusion : $1{,}15$ est le coefficient
multiplicateur ($46/40$), pas le taux. Le taux en est la
partie au-delà de $1$ : $15\ \%$.

]]> Information chiffrée et statistiques — Q08 : Moyenne pondérée Un élève a obtenu $10$ (coefficient $2$) et $16$ (coefficient
$1$). Quelle est sa moyenne pondérée ?

]]> Moyenne pondérée $= \dfrac{\sum (\text{coefficient} \times
\text{valeur})}{\sum \text{coefficients}} = \dfrac{36}{3} =
12$. Même formule pour une moyenne par classes (les effectifs
pondèrent les centres).

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $12$

]]> Bonne réponse : $\dfrac{2 \times 10 + 1 \times 16}{2 + 1}
= \dfrac{36}{3} = 12$.

]]> $13$

]]> Erreur : $13$ est la moyenne simple $(10 + 16)/2$,
qui ignore les coefficients. Le $10$, compté double, tire
la moyenne vers le bas.

]]> $14$

]]> Erreur : tu as peut-être pondéré à l'envers (le $16$
compté double) : $(10 + 32)/3 = 14$. Ici c'est le $10$
qui a le coefficient $2$.

]]> $36$

]]> Oubli de la division : $36$ est la somme pondérée ; il
reste à diviser par la somme des coefficients ($3$).

]]> Information chiffrée et statistiques — Q09 : Linéarité de la moyenne La moyenne d'une série de notes est $11$. Si l'on ajoute $2$
points à chaque note, que devient la moyenne ?

]]> Linéarité de la moyenne (au programme) : ajouter $k$ à toutes
les valeurs ajoute $k$ à la moyenne ; multiplier toutes les
valeurs par $a$ multiplie la moyenne par $a$.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $13$

]]> Bonne réponse : ajouter une constante à toutes les valeurs
décale la moyenne de la même constante (linéarité de la
moyenne).

]]> $11$, elle ne change pas

]]> Erreur : la moyenne suit les valeurs. C'est
l'écart-type, mesure de dispersion, qui resterait
inchangé par un décalage.

]]> $13$, mais seulement si toutes les notes sont égales

]]> Erreur : aucune condition n'est requise, la linéarité vaut
pour n'importe quelle série : $\overline{x + 2} =
\overline{x} + 2$.

]]> On ne peut pas savoir sans les notes

]]> Erreur : c'est l'intérêt de la linéarité : conclure sur la
moyenne sans recalculer toute la série.

]]> Information chiffrée et statistiques — Q10 : Interpréter l'écart-type Deux classes ont la même moyenne de $12$ ; la classe A a un
écart-type de $1$, la classe B un écart-type de $4$. Comment
interpréter ces valeurs ?

]]> Deux indicateurs complémentaires : la moyenne situe le
centre de la série, l'écart-type mesure l'étalement
autour de ce centre. Comparer deux séries exige de regarder le
couple (moyenne ; écart-type).

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Les notes de B sont plus dispersées autour de $12$ que
celles de A

]]> Bonne réponse : l'écart-type mesure la dispersion
autour de la moyenne : notes resserrées en A (autour de
$11$-$13$), très étalées en B.

]]> La classe B a un meilleur niveau que la classe A

]]> Erreur : le niveau se compare avec la moyenne, ici
identique ($12$). L'écart-type parle d'homogénéité, pas
de niveau.

]]> La classe B compte $4$ fois plus d'élèves

]]> Erreur : l'écart-type ne dit rien de l'effectif. Il
s'exprime dans l'unité des valeurs (des points), pas en
nombre d'élèves.

]]> Il y a une erreur : deux classes de même moyenne ont le
même écart-type

]]> Erreur : moyenne et dispersion sont indépendantes.
$\{11\,;\,13\}$ et $\{8\,;\,16\}$ ont la même moyenne
$12$ et des dispersions très différentes.

]]> Information chiffrée et statistiques — Q11 : Moyenne d'une série regroupée en classes Une série est regroupée en classes : $[0\,;\,10[$ avec $4$
valeurs et $[10\,;\,20[$ avec $6$ valeurs (répartition
supposée uniforme dans chaque classe). Quelle est la moyenne
estimée de la série ?

]]> Série regroupée : chaque classe est représentée par son
centre (répartition uniforme), et la moyenne est la
moyenne pondérée des centres par les effectifs :
$\frac{4 \times 5 + 6 \times 15}{10} = 11$.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $11$

]]> Bonne réponse : on pondère les centres des classes
($5$ et $15$) par les effectifs :
$\dfrac{4 \times 5 + 6 \times 15}{10} = \dfrac{110}{10} =
11$.

]]> $10$

]]> Erreur : $10$ est la moyenne des centres sans
pondération $(5 + 15)/2$. La classe la plus nombreuse
($6$ valeurs) doit peser davantage.

]]> $12{,}5$

]]> Erreur : tu as peut-être moyenné les bornes $(10 + 20)/2
\ldots$ ? La méthode : centres de classes ($5$ et $15$)
pondérés par les effectifs ($4$ et $6$).

]]> $15$

]]> Erreur : $15$ est le centre de la seule deuxième classe ;
la première (centre $5$) tire la moyenne vers le bas :
$11$.

]]> Information chiffrée et statistiques — Q12 : Déterminer la classe médiane Une série de $20$ valeurs est regroupée ainsi : $[0\,;\,10[$ :
$8$ valeurs ; $[10\,;\,20[$ : $7$ valeurs ; $[20\,;\,30[$ :
$5$ valeurs. Quelle est la classe médiane ?

]]> Classe médiane : celle où les effectifs cumulés atteignent la
moitié de l'effectif total ($10$ sur $20$). Cumuls : $8$,
puis $15$ : la classe médiane est $[10\,;\,20[$. À ne pas
confondre avec la classe modale (la plus nombreuse).

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $[10\,;\,20[$

]]> Bonne réponse : la médiane partage les $20$ valeurs en
deux moitiés de $10$. Effectifs cumulés : $8$ après la
première classe, $15$ après la deuxième : la barre des
$10$ est franchie dans $[10\,;\,20[$.

]]> $[0\,;\,10[$

]]> Erreur : cette classe ne contient que les $8$ premières
valeurs, la moitié ($10^{\text{e}}$-$11^{\text{e}}$
valeurs) n'y est pas atteinte.

]]> $[20\,;\,30[$

]]> Erreur : avant cette classe, on a déjà cumulé $15$
valeurs, la moitié est dépassée depuis la classe
précédente.

]]> La classe la plus nombreuse, donc $[0\,;\,10[$

]]> Confusion : la classe la plus nombreuse est la classe
modale. La classe médiane se trouve avec les
effectifs cumulés, en cherchant où passe la moitié de
l'effectif.

]]> Information chiffrée et statistiques — Q13 : Étendue d'une série Les notes d'un groupe sont : $8, 11, 12, 15, 17$. Que vaut
l'étendue de la série ?

]]> Étendue = $\max - \min$ : l'indicateur de dispersion le plus
simple (et le plus fragile : une seule valeur extrême le
fait exploser). À distinguer des indicateurs de position
(moyenne, médiane).

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $9$

]]> Bonne réponse : étendue = maximum − minimum = $17 - 8 =
9$ : la largeur totale de la plage des valeurs.

]]> $17$

]]> Incomplet : $17$ est le maximum : l'étendue mesure
l'écart entre les deux extrêmes.

]]> $12$

]]> Confusion : $12$ est la médiane (valeur centrale) :
l'étendue compare les deux bouts : $17 - 8$.

]]> $12{,}6$

]]> Confusion : $12{,}6$ est la moyenne : l'étendue ignore
les valeurs intermédiaires : $\max - \min$.

]]> Information chiffrée et statistiques — Q14 : Médiane d'un effectif impair Quelle est la médiane de la série ordonnée $3, 5, 8, 9,
12, 14, 20$ (sept valeurs) ?

]]> Effectif impair $n$ : médiane = valeur de rang
$\frac{n+1}{2}$ (après tri !). Effectif pair : moyenne des
deux valeurs centrales. Premier geste, toujours : ordonner
la série.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $9$ : la quatrième valeur, qui partage la série en deux
moitiés de trois

]]> Bonne réponse : sept valeurs : la médiane est la
$\frac{7+1}{2} = 4^{\text{e}}$ : trois valeurs avant,
trois après.

]]> $10{,}1$ : la moyenne de la série

]]> Confusion : la médiane est une valeur de position
(le milieu de la liste ordonnée), pas la moyenne
arithmétique.

]]> $8$

]]> Décalage : $8$ est la troisième valeur : il en reste
quatre après elle : le vrai centre est la quatrième
($9$).

]]> $12$

]]> Décalage : $12$ laisse quatre valeurs avant et deux
après : le partage équitable se fait en $9$.

]]> Information chiffrée et statistiques — Q15 : Deux hausses successives Un prix augmente de $20\ \%$, puis de $30\ \%$. Quelle est
l'évolution globale ?

]]> Évolutions successives : multiplier les coefficients ($1 +
t$), jamais additionner les taux : $1{,}2 \times 1{,}3 =
1{,}56$ : $+56\ \%$ (les $6\ \%$ d'écart : la hausse sur la
hausse).

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $+56\ \%$, car $1{,}2 \times 1{,}3 = 1{,}56$

]]> Bonne réponse : les coefficients multiplicateurs se
multiplient : $1{,}56$ = hausse de $56\ \%$ : la
deuxième hausse porte aussi sur la première.

]]> $+50\ \%$

]]> L'addition des pourcentages : le réflexe faux : les taux
ne s'additionnent pas, les coefficients se
multiplient ($1{,}2 \times 1{,}3 \neq 1{,}5$).

]]> $+60\ \%$

]]> Erreur : $1{,}2 \times 1{,}3 = 1{,}56$, pas $1{,}6$
(le produit des taux $0{,}2 \times 0{,}3 = 0{,}06$
s'ajoute aux $0{,}5$).

]]> $+25\ \%$ en moyenne

]]> Hors sujet : la moyenne des taux ne décrit pas
l'évolution cumulée : composer, c'est multiplier.

]]> Information chiffrée et statistiques — Q16 : Lire un coefficient multiplicateur Un prix est multiplié par $0{,}85$. Quelle évolution cela
traduit-il ?

]]> Dictionnaire : coefficient $= 1 + t$ : $\times 1{,}2$ =
$+20\ \%$ ; $\times 0{,}85$ = $-15\ \%$. Lire l'écart à $1$,
dans les deux sens : la conversion doit être un automatisme.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Une baisse de $15\ \%$

]]> Bonne réponse : $0{,}85 = 1 - 0{,}15$ : coefficient
sous $1$ = baisse, et le taux est le complément à $1$.

]]> Une baisse de $85\ \%$

]]> Confusion : $85\ \%$ est ce qui reste, pas ce qui
part : la baisse est $1 - 0{,}85 = 15\ \%$.

]]> Une hausse de $85\ \%$

]]> Erreur : une hausse a un coefficient supérieur à
$1$ ($\times 1{,}85$ pour $+85\ \%$) : $0{,}85 < 1$ :
le prix diminue.

]]> Une baisse de $0{,}85\ \%$

]]> Confusion coefficient/taux : $0{,}85$ est le
multiplicateur, pas un pourcentage : l'écart à $1$
($0{,}15$) donne le taux.

]]> Information chiffrée et statistiques — Q17 : Retrouver la valeur initiale Après une hausse de $25\ \%$, un article coûte $150$ euros.
Quel était son prix initial ?

]]> Évolution réciproque : diviser par le coefficient (jamais
appliquer le taux opposé). Une hausse de $25\ \%$ se défait
par $\div 1{,}25$, soit $-20\ \%$ : les pourcentages ne sont
pas symétriques.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $120$ euros, car $\dfrac{150}{1{,}25} = 120$

]]> Bonne réponse : remonter une évolution = diviser par
son coefficient : $150 \div 1{,}25 = 120$. Contrôle :
$120 \times 1{,}25 = 150$ ✓.

]]> $112{,}50$ euros, car $150 - 25\ \%$ de $150$

]]> Le piège classique : retirer $25\ \%$ du prix FINAL
applique le taux à la mauvaise base : les $25\ \%$
portaient sur le prix initial : on divise par $1{,}25$.

]]> $125$ euros

]]> Erreur : $125 \times 1{,}25 = 156{,}25 \neq 150$ :
soustraire $25$ euros confond taux et montant.

]]> $187{,}50$ euros

]]> Sens inversé : multiplier par $1{,}25$ applique la
hausse une deuxième fois : pour remonter, on divise.

]]> Information chiffrée et statistiques — Q18 : La moyenne ne dit pas tout Deux classes ont la même moyenne de $12$ à un contrôle, mais
les écarts-types valent $1$ (classe A) et $5$ (classe B).
Comment interpréter ?

]]> Résumer une série exige DEUX indicateurs : position
(moyenne, médiane) ET dispersion (écart-type, étendue). Deux
séries de même moyenne peuvent être radicalement
différentes : réflexe critique face à toute moyenne isolée.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Les notes de A sont resserrées autour de $12$ ; celles
de B sont très étalées (excellentes ET faibles)

]]> Bonne réponse : même centre, dispersions opposées : A
est homogène, B hétérogène : deux réalités pédagogiques
très différentes derrière un même $12$.

]]> La classe B est meilleure : un plus grand écart-type
signifie de meilleures notes

]]> Erreur : l'écart-type mesure l'étalement, pas le
niveau : le niveau moyen est identique ($12$ partout).

]]> Les deux classes ont exactement les mêmes notes

]]> Erreur : même moyenne n'implique pas mêmes notes : les
écarts-types différents prouvent justement des
répartitions distinctes.

]]> Il y a une erreur : même moyenne implique même
écart-type

]]> Erreur : moyenne et écart-type sont indépendants :
$\{11, 12, 13\}$ et $\{2, 12, 22\}$ partagent la moyenne
$12$ avec des dispersions sans rapport.

]]>