$course$/QCM de maths/Seconde/Nombres réels et intervalles Ensembles de nombres ($\mathbb{N}$, $\mathbb{Z}$, $\mathbb{D}$,
$\mathbb{Q}$, $\mathbb{R}$), droite numérique, intervalles et
appartenance, valeur absolue comme distance, inéquations
$|x - a| \leq r$, encadrements décimaux et arrondis.

]]> Nombres réels et intervalles — Q01 : Borne ouverte ou fermée Le nombre $5$ appartient-il à l'intervalle $[2\,;\,5[$ ?

]]> $[2\,;\,5[ \,= \{x \in \mathbb{R} \mid 2 \leq x < 5\}$ :
borne gauche incluse (crochet fermé), borne droite exclue
(crochet ouvert). Donc $2 \in [2\,;\,5[$ mais
$5 \notin [2\,;\,5[$.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Non : le crochet ouvert exclut la borne $5$

]]> Bonne réponse : $[2\,;\,5[$ contient les réels $x$ tels
que $2 \leq x < 5$. L'inégalité stricte exclut $5$.

]]> Oui : $5$ est écrit dans l'intervalle

]]> Erreur : les bornes écrites délimitent l'intervalle mais
n'y appartiennent que si le crochet est fermé (tourné
vers l'intérieur). Ici il est ouvert : $5$ exclu.

]]> Oui, car $5 \geq 2$

]]> Incomplet : il faut vérifier les deux conditions.
$5 \geq 2$ certes, mais la seconde exige $x < 5$, ce que
$5$ ne vérifie pas.

]]> Non, car $5$ n'est pas entre $2$ et $5$

]]> Raison imprécise : $2$ appartient bien à l'intervalle (sa
borne est fermée). C'est le crochet ouvert en $5$ qui
exclut $5$, pas une position « entre ».

]]> Nombres réels et intervalles — Q02 : Traduire une inégalité en intervalle À quel intervalle correspond la condition $x \geq 3$ ?

]]> $x \geq 3 \Leftrightarrow x \in [3\,;\,+\infty[$. Large
($\geq$, $\leq$) = crochet fermé sur la borne ; strict
($>$, $<$) = crochet ouvert ; du côté de $\pm\infty$, le
crochet est toujours ouvert.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $[3\,;\,+\infty[$

]]> Bonne réponse : « supérieur ou égal » inclut $3$ (crochet
fermé), et l'infini est toujours exclu (crochet ouvert).

]]> $]3\,;\,+\infty[$

]]> Erreur : ce crochet ouvert exclut $3$, ce qui traduirait
l'inégalité stricte $x > 3$.

]]> $]-\infty\,;\,3]$

]]> Sens inversé : cet intervalle contient les nombres
inférieurs ou égaux à $3$.

]]> $[3\,;\,+\infty]$

]]> Notation incorrecte : $+\infty$ n'est pas un nombre, on ne
peut jamais fermer le crochet de son côté.

]]> Nombres réels et intervalles — Q03 : Valeur absolue et distance Pour deux réels $x$ et $a$, que représente $|x - a|$ ?

]]> $|x - a|$ = distance entre les points d'abscisses $x$ et $a$.
Cas particulier : $|x| = |x - 0|$ est la distance de $x$ à
$0$.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc La distance entre $x$ et $a$ sur la droite numérique

]]> Bonne réponse : c'est l'interprétation officielle de la
valeur absolue au programme : $|5 - 2| = 3$, distance
entre $5$ et $2$.

]]> Le nombre $x - a$ rendu positif seulement si $x > 0$

]]> Erreur : la valeur absolue rend la différence positive
quel que soit le signe de $x$ : $|2 - 5| = 3$ aussi.

]]> Le plus grand des deux nombres $x$ et $a$

]]> Erreur : $|x - a|$ mesure leur écart, pas leur
maximum : $|7 - 4| = 3$, alors que le plus grand est $7$.

]]> Le milieu de $x$ et $a$

]]> Erreur : le milieu est $\dfrac{x + a}{2}$. La valeur
absolue de la différence donne la longueur du segment,
pas son centre.

]]> Nombres réels et intervalles — Q04 : Résoudre $|x| \leq 4$ Quel est l'ensemble des réels $x$ tels que $|x| \leq 4$ ?

]]> $|x| \leq r$ (avec $r > 0$) $\Leftrightarrow$
$-r \leq x \leq r$ $\Leftrightarrow$ $x \in [-r\,;\,r]$ :
l'ensemble des points à distance au plus $r$ de $0$.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $[-4\,;\,4]$

]]> Bonne réponse : $|x| \leq 4$ signifie « $x$ est à distance
au plus $4$ de $0$ », donc entre $-4$ et $4$.

]]> $[0\,;\,4]$

]]> Oubli des négatifs : $|-3| = 3 \leq 4$, donc $-3$ est
solution. La distance à $0$ ignore le signe.

]]> $]-\infty\,;\,4]$

]]> Erreur : $-10$ vérifierait $x \leq 4$ mais
$|-10| = 10 > 4$. La valeur absolue borne des deux
côtés.

]]> $\{-4\,;\,4\}$

]]> Erreur : ces deux nombres sont les solutions de
l'équation $|x| = 4$. L'inéquation large admet tout
l'intervalle entre eux.

]]> Nombres réels et intervalles — Q05 : La nature de $\dfrac{1}{3}$ Quelle est la nature du nombre $\dfrac{1}{3}$ ?

]]> Emboîtements : $\mathbb{N} \subset \mathbb{Z} \subset
\mathbb{D} \subset \mathbb{Q} \subset \mathbb{R}$.
$\dfrac{1}{3} \in \mathbb{Q}$ mais $\dfrac{1}{3} \notin
\mathbb{D}$ : tout rationnel n'est pas décimal.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Rationnel, mais pas décimal

]]> Bonne réponse : c'est un quotient d'entiers (rationnel),
mais son écriture décimale $0{,}333\ldots$ ne s'arrête
jamais : il n'est pas décimal (démonstration au
programme).

]]> Décimal, car il s'écrit $0{,}33$

]]> Erreur : $0{,}33$ n'est qu'une valeur approchée :
$3 \times 0{,}33 = 0{,}99 \neq 1$. Aucune écriture décimale
finie n'égale $\dfrac{1}{3}$.

]]> Irrationnel, car son écriture décimale est infinie

]]> Erreur : une écriture infinie ne suffit pas à rendre un
nombre irrationnel. $\dfrac{1}{3}$ est un quotient
d'entiers, donc rationnel (son développement est infini
mais périodique).

]]> Entier, une fois simplifié

]]> Erreur : $\dfrac{1}{3}$ est déjà irréductible et vaut
environ $0{,}33$ : ce n'est pas un entier.

]]> Nombres réels et intervalles — Q06 : La nature de $\sqrt{2}$ Quelle est la nature du nombre $\sqrt{2}$ ?

]]> $\sqrt{2}$ est réel (constructible géométriquement) mais
irrationnel : aucune fraction d'entiers ne l'égale. Les
irrationnels remplissent $\mathbb{R} \setminus \mathbb{Q}$,
avec $\pi$ comme autre exemple du programme.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Irrationnel : il n'est le quotient d'aucun couple d'entiers

]]> Bonne réponse : l'irrationalité de $\sqrt{2}$ est une
démonstration du programme (raisonnement par l'absurde
avec la parité).

]]> Rationnel, car $\sqrt{2} = \dfrac{2}{\sqrt{2}}$

]]> Erreur : un rationnel est un quotient de deux
entiers ; or $\sqrt{2}$ au dénominateur n'est pas
entier. Cette écriture ne prouve rien.

]]> Décimal : $\sqrt{2} = 1{,}414$

]]> Erreur : $1{,}414$ est une approximation
($1{,}414^2 = 1{,}999396 \neq 2$). Aucun décimal n'a un
carré exactement égal à $2$.

]]> Ce n'est pas un nombre réel

]]> Erreur : $\sqrt{2}$ est parfaitement réel : c'est la
longueur de la diagonale d'un carré de côté $1$, un point
précis de la droite numérique.

]]> Nombres réels et intervalles — Q07 : Encadrement décimal Quel est l'encadrement de $\pi$ d'amplitude $10^{-2}$ par des
décimaux ?

]]> Encadrer un réel à $10^{-n}$ près : le placer entre deux
décimaux consécutifs à $n$ chiffres. Pour $\pi$ :
$3{,}14 < \pi < 3{,}15$ (amplitude $10^{-2}$).

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $3{,}14 < \pi < 3{,}15$

]]> Bonne réponse : les deux bornes sont des décimaux à deux
chiffres après la virgule et leur écart vaut exactement
$10^{-2} = 0{,}01$.

]]> $3{,}1 < \pi < 3{,}2$

]]> Erreur d'amplitude : cet encadrement est correct mais son
amplitude vaut $0{,}1 = 10^{-1}$, dix fois trop large.

]]> $3{,}14 < \pi < 3{,}16$

]]> Erreur : l'amplitude vaut ici $0{,}02 = 2 \times 10^{-2}$.
L'encadrement demandé serre $\pi$ entre deux décimaux
consécutifs au centième.

]]> $\pi = 3{,}14$

]]> Erreur : $3{,}14$ est une valeur approchée, pas une
égalité : $\pi$ est irrationnel, aucun décimal ne l'égale.
D'où l'intérêt des encadrements.

]]> Nombres réels et intervalles — Q08 : Intersection d'intervalles Que vaut l'intersection $[1\,;\,5] \cap [3\,;\,8]$ ?

]]> Sur la droite numérique, l'intersection est la zone de
recouvrement : $[1\,;\,5] \cap [3\,;\,8] = [3\,;\,5]$
(du plus grand début au plus petit bout).

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $[3\,;\,5]$

]]> Bonne réponse : l'intersection regroupe les nombres
communs, ceux qui vérifient à la fois $1 \leq x \leq 5$ et
$3 \leq x \leq 8$, soit $3 \leq x \leq 5$.

]]> $[1\,;\,8]$

]]> Confusion avec la réunion : $[1\,;\,8]$ regroupe les
nombres qui sont dans l'un ou l'autre. L'intersection
garde le « et ».

]]> $[5\,;\,3]$

]]> Notation invalide : les bornes d'un intervalle s'écrivent
dans l'ordre croissant. La zone commune est $[3\,;\,5]$.

]]> $\varnothing$

]]> Erreur : les deux intervalles se chevauchent (par exemple
$4$ appartient aux deux). L'intersection est vide
seulement quand ils sont disjoints.

]]> Nombres réels et intervalles — Q09 : Réunion d'intervalles Que vaut la réunion $[1\,;\,3[ \,\cup\, [3\,;\,5]$ ?

]]> Réunion = tous les nombres appartenant à l'un ou l'autre.
Les deux intervalles se raccordent exactement en $3$ :
$[1\,;\,3[ \,\cup\, [3\,;\,5] = [1\,;\,5]$.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $[1\,;\,5]$

]]> Bonne réponse : le nombre $3$, exclu du premier
intervalle, est récupéré par le second (crochet fermé) :
aucun trou, la réunion est l'intervalle complet.

]]> $[1\,;\,5] \setminus \{3\}$

]]> Erreur : $3$ appartient bien à la réunion, car
$3 \in [3\,;\,5]$. Il suffit d'être dans au moins un
des deux intervalles.

]]> $[1\,;\,3[$

]]> Erreur : la réunion ne garde pas que le premier
intervalle ; elle ajoute tout $[3\,;\,5]$.

]]> $\{3\}$

]]> Confusion avec l'intersection (qui vaudrait d'ailleurs
$\varnothing$ ici, $3$ n'étant pas dans le premier). La
réunion rassemble tout : $[1\,;\,5]$.

]]> Nombres réels et intervalles — Q10 : Résoudre $|x - 3| \leq 1$ Quel est l'ensemble des solutions de l'inéquation
$|x - 3| \leq 1$ ?

]]> Lecture géométrique (au programme) : $|x - a| \leq r$
$\Leftrightarrow$ $x \in [a - r\,;\,a + r]$, intervalle de
centre $a$ et de rayon $r$. Ici : $[2\,;\,4]$.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $[2\,;\,4]$

]]> Bonne réponse : $|x - 3| \leq 1$ signifie « $x$ à distance
au plus $1$ de $3$ » : l'intervalle de centre $3$ et de
rayon $1$, soit $[3 - 1\,;\,3 + 1]$.

]]> $[-1\,;\,1]$

]]> Erreur de centre : $[-1\,;\,1]$ résout $|x| \leq 1$
(distance à $0$). Ici la distance se mesure à $3$.

]]> $]2\,;\,4[$

]]> Erreur de bornes : l'inégalité est large ($\leq$),
donc $2$ et $4$ (à distance exactement $1$) sont
solutions : crochets fermés.

]]> $[3\,;\,4]$

]]> Oubli du côté gauche : $2{,}5$ vérifie
$|2{,}5 - 3| = 0{,}5 \leq 1$. La distance joue des deux
côtés de $3$.

]]> Nombres réels et intervalles — Q11 : La chaîne des ensembles de nombres Quelle chaîne d'inclusions est correcte ?

]]> $\mathbb{N} \subset \mathbb{Z} \subset \mathbb{D} \subset
\mathbb{Q} \subset \mathbb{R}$, chaque inclusion étant
stricte : $-2 \in \mathbb{Z}\setminus\mathbb{N}$,
$0{,}7 \in \mathbb{D}\setminus\mathbb{Z}$,
$\frac{1}{3} \in \mathbb{Q}\setminus\mathbb{D}$,
$\sqrt{2} \in \mathbb{R}\setminus\mathbb{Q}$.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $\mathbb{N} \subset \mathbb{Z} \subset \mathbb{D} \subset
\mathbb{Q} \subset \mathbb{R}$

]]> Bonne réponse : chaque ensemble élargit le précédent :
entiers naturels, relatifs, décimaux, rationnels, réels.

]]> $\mathbb{Z} \subset \mathbb{N} \subset \mathbb{Q} \subset
\mathbb{R}$

]]> Erreur au départ : $\mathbb{Z}$ contient les négatifs, que
$\mathbb{N}$ n'a pas : c'est $\mathbb{N} \subset
\mathbb{Z}$.

]]> $\mathbb{N} \subset \mathbb{Z} \subset \mathbb{Q} \subset
\mathbb{D} \subset \mathbb{R}$

]]> Erreur au milieu : $\mathbb{D} \subset \mathbb{Q}$ et non
l'inverse : $\dfrac{1}{3}$ est rationnel sans être
décimal.

]]> $\mathbb{R} \subset \mathbb{Q}$, car tout réel a une
écriture décimale

]]> Erreur : $\sqrt{2}$ et $\pi$ sont réels mais pas
rationnels : $\mathbb{Q}$ est strictement plus petit que
$\mathbb{R}$.

]]> Nombres réels et intervalles — Q12 : Arrondi au centième Quel est l'arrondi au centième du nombre $2{,}4567$ ?

]]> Arrondir au centième : garder deux chiffres après la virgule
et regarder le troisième : s'il vaut $5$ ou plus, on augmente
le dernier chiffre conservé. $2{,}45\underline{6}7 \to
2{,}46$.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $2{,}46$

]]> Bonne réponse : le chiffre suivant ($6 \geq 5$) fait
arrondir au-dessus : $2{,}4567 \approx 2{,}46$.

]]> $2{,}45$

]]> C'est la troncature (on coupe sans regarder la
suite). L'arrondi observe le chiffre suivant : $6$, donc
on monte à $2{,}46$.

]]> $2{,}5$

]]> Erreur de rang : $2{,}5$ est l'arrondi au dixième. Au
centième, on garde deux chiffres après la virgule.

]]> $2{,}457$

]]> Erreur de rang : trois chiffres après la virgule, c'est
l'arrondi au millième.

]]> Nombres réels et intervalles — Q13 : La nature de $\pi$ Dans quels ensembles de nombres se trouve $\pi$ ?

]]> $\pi$ et $\sqrt{2}$ : les deux irrationnels de référence :
dans $\mathbb{R}$, hors de $\mathbb{Q}$. Leur développement
décimal est infini SANS période : aucune fraction ne les
atteint.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $\pi \in \mathbb{R}$ mais $\pi \notin \mathbb{Q}$ :
c'est un irrationnel

]]> Bonne réponse : $\pi$ ne s'écrit comme aucune fraction
d'entiers (résultat admis) : réel, mais ni rationnel, ni
décimal, ni entier.

]]> $\pi \in \mathbb{Q}$, car $\pi = \dfrac{22}{7}$

]]> Erreur célèbre : $\frac{22}{7} \approx 3{,}142857$
n'est qu'une approximation : $\pi$ n'est égal à
aucune fraction.

]]> $\pi \in \mathbb{D}$, car $\pi = 3{,}14$

]]> Erreur : $3{,}14$ est un arrondi : les décimales de
$\pi$ ne s'arrêtent jamais (et ne se répètent pas).

]]> $\pi \notin \mathbb{R}$ : c'est un nombre « spécial »

]]> Erreur : $\pi$ est un point parfaitement réel de la
droite numérique (entre $3{,}14$ et $3{,}15$) :
« irrationnel » ne veut pas dire « irréel ».

]]> Nombres réels et intervalles — Q14 : Traduire $x \geq 2$ Quel intervalle traduit la condition $x \geq 2$ ?

]]> Inégalité large ($\geq$, $\leq$) : borne incluse, crochet
fermé ; stricte : crochet ouvert ; infini : toujours ouvert.
Trois règles, zéro exception.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $[2\ ;\ +\infty[$

]]> Bonne réponse : borne $2$ incluse (crochet fermé,
car $\geq$), et ouvert du côté de l'infini (qui n'est
pas un nombre).

]]> $]2\ ;\ +\infty[$

]]> Borne exclue à tort : $\geq$ inclut la valeur $2$ :
crochet fermé en $2$.

]]> $]-\infty\ ;\ 2]$

]]> Sens inversé : cet intervalle traduit $x \leq 2$ : la
condition $\geq$ regarde vers la droite.

]]> $[2\ ;\ +\infty]$

]]> Crochet impossible : $+\infty$ n'est pas un nombre : le
crochet est toujours ouvert du côté de l'infini.

]]> Nombres réels et intervalles — Q15 : $-3$ et les ensembles de nombres Quelle affirmation est correcte au sujet de $-3$ ?

]]> Emboîtement : $\mathbb{N} \subset \mathbb{Z} \subset
\mathbb{D} \subset \mathbb{Q} \subset \mathbb{R}$ : un
nombre appartient à son premier étage ET à tous les
suivants. $-3$ entre en $\mathbb{Z}$ et monte jusqu'à
$\mathbb{R}$.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $-3 \in \mathbb{Z}$ mais $-3 \notin \mathbb{N}$

]]> Bonne réponse : $\mathbb{N}$ ne contient que les entiers
positifs ou nul ; les négatifs entrent au niveau de
$\mathbb{Z}$ (entiers relatifs).

]]> $-3 \in \mathbb{N}$

]]> Erreur : $\mathbb{N} = \{0, 1, 2, \dots\}$ : aucun
négatif : $-3$ attend l'étage $\mathbb{Z}$.

]]> $-3 \notin \mathbb{Q}$

]]> Erreur : $-3 = \frac{-3}{1}$ est une fraction d'entiers :
tout entier relatif est aussi rationnel (les ensembles
s'emboîtent).

]]> $-3 \notin \mathbb{R}$

]]> Erreur : tout nombre de la droite numérique est réel :
$-3$ y a sa place, trois unités à gauche de zéro.

]]> Nombres réels et intervalles — Q16 : $\dfrac{1}{7}$ est-il décimal ? Le nombre $\dfrac{1}{7}$ est-il un nombre décimal ?

]]> Hiérarchie fine : décimal = développement fini ; rationnel =
fini OU périodique ; irrationnel = infini sans période.
$\frac{1}{4} = 0{,}25$ (décimal), $\frac{1}{7}$ (rationnel
non décimal), $\sqrt{2}$ (irrationnel).

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Non : son écriture décimale $0{,}142857142857\dots$ ne
s'arrête jamais

]]> Bonne réponse : décimal = un nombre FINI de chiffres
après la virgule : $\frac{1}{7}$ boucle sur le motif
$142857$ sans fin : rationnel, mais pas décimal.

]]> Oui : il a des chiffres après la virgule

]]> Critère erroné : avoir des décimales ne suffit pas : il
faut qu'elles s'arrêtent ($0{,}25$ oui,
$0{,}142857\dots$ non).

]]> Oui : toute fraction est décimale

]]> Erreur : seules les fractions dont le dénominateur
(simplifié) n'a que des facteurs $2$ et $5$ sont
décimales : $7$ n'en fait pas partie.

]]> Non : $\dfrac{1}{7}$ est irrationnel

]]> Trop loin : c'est une fraction d'entiers, donc
rationnel : il est non décimal, mais parfaitement
rationnel (ses décimales se répètent).

]]> Nombres réels et intervalles — Q17 : $\in$ ou $\subset$ ? Quelle écriture est correcte ?

]]> $\in$ : « est un élément de » (nombre → ensemble) ;
$\subset$ : « est contenu dans » (ensemble → ensemble). Test
rapide : ce qui est à gauche est-il un nombre ou une
collection ?

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $2 \in \mathbb{N}$ et $\mathbb{N} \subset \mathbb{Z}$

]]> Bonne réponse : $\in$ relie un élément à un ensemble
($2$ est un nombre), $\subset$ relie deux ensembles
($\mathbb{N}$ est contenu dans $\mathbb{Z}$).

]]> $2 \subset \mathbb{N}$

]]> Symbole inadapté : $2$ est un élément, pas un ensemble :
on écrit $2 \in \mathbb{N}$.

]]> $\mathbb{N} \in \mathbb{Z}$

]]> Symbole inadapté : $\mathbb{N}$ est un ensemble : sa
relation à $\mathbb{Z}$ est l'inclusion $\subset$
(tous ses éléments y sont).

]]> Les deux symboles sont interchangeables

]]> Erreur : ils décrivent deux relations de natures
différentes : appartenir (élément-ensemble) et être
inclus (ensemble-ensemble).

]]> Nombres réels et intervalles — Q18 : Comparer $\dfrac{3}{7}$ et $0{,}43$ Lequel des deux nombres $\dfrac{3}{7}$ et $0{,}43$ est le
plus grand ?

]]> Comparer fraction et décimal : mettre au même format
(division posée) ou produit en croix ($3 \times 100$ contre
$43 \times 7$). Les écarts minuscules ($300$ contre $301$)
justifient l'exigence de calcul exact.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $0{,}43$, car $\dfrac{3}{7} = 0{,}4285\dots < 0{,}43$

]]> Bonne réponse : diviser (ou comparer $3 \times 100$ et
$43 \times 7 = 301$ : $300 < 301$) : la fraction est
légèrement en dessous.

]]> $\dfrac{3}{7}$, car une fraction est plus précise

]]> Confusion : la précision d'écriture ne dit rien de la
taille : seul le calcul compare ($0{,}4286 <
0{,}43$).

]]> Ils sont égaux

]]> Erreur : $\frac{3}{7}$ n'est pas décimal : il ne peut
pas être exactement $0{,}43$ (produit en croix : $300
\neq 301$).

]]> $\dfrac{3}{7}$, car $3 + 7 = 10 > 0{,}43$

]]> Opération sans sens : additionner numérateur et
dénominateur ne mesure rien : on compare par division ou
produit en croix.

]]>