$course$/QCM de maths/Seconde/Variations et extremums Croissance et décroissance sur un intervalle, tableaux de
variations, maximum et minimum, variations des fonctions affines
(signe du coefficient directeur), des fonctions carré et inverse,
lectures graphiques et problèmes d'optimisation.

]]> Variations et extremums — Q01 : Définition d'une fonction croissante Que signifie « $f$ est croissante sur l'intervalle $I$ » ?

]]> $f$ croissante sur $I$ : pour tous $a, b \in I$, $a < b
\Rightarrow f(a) \leq f(b)$ (ordre conservé) ; décroissante :
ordre renversé. À bien distinguer du signe de $f$.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Pour tous $a$ et $b$ de $I$, si $a < b$ alors
$f(a) \leq f(b)$

]]> Bonne réponse : une fonction croissante conserve
l'ordre : des antécédents rangés donnent des images
rangées dans le même sens.

]]> $f(x) > 0$ pour tout $x$ de $I$

]]> Confusion signe/variations : une fonction peut être
négative et croissante (elle monte en restant sous
l'axe). Le signe dit où est la courbe, pas où elle va.

]]> La courbe de $f$ est au-dessus de l'axe des abscisses

]]> Même confusion : être au-dessus de l'axe signifie
$f > 0$. La croissance parle du sens de parcours de la
courbe (elle monte).

]]> $f(a) < f(b)$ pour certains $a < b$ de $I$

]]> Insuffisant : « pour certains » ne suffit pas ; la
définition exige la conservation de l'ordre pour tous
les couples de $I$.

]]> Variations et extremums — Q02 : Lire un maximum sur la courbe Repère orthonormé avec une courbe qui monte depuis (-4 ; -0,9) environ, passe par l'origine, culmine au point (1 ; 2) marqué en pointillés, puis redescend vers (4 ; 0,9). Elle possède aussi un minimum en (-1 ; -2), marqué en pointillés.

La courbe ci-dessous représente une fonction $f$ définie sur
$[-4\,;\,4]$. Quel est le maximum de $f$, et en quelle valeur
est-il atteint ?

]]> Le maximum de $f$ est la plus grande valeur prise
(ordonnée du point le plus haut), « atteint en » son
antécédent : ici $f(1) = 2$. Formulation complète : « le
maximum de $f$ vaut $2$, atteint en $x = 1$ ».

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Le maximum vaut $2$, atteint en $x = 1$

]]> Bonne réponse : le point le plus haut de la courbe est
$(1\,;\,2)$ : la plus grande image est $2$, prise en
l'antécédent $1$.

]]> Le maximum vaut $1$, atteint en $x = 2$

]]> Inversion classique : le maximum est l'ordonnée du
sommet ($2$), et il est atteint en l'abscisse $1$.
Ne pas échanger les deux nombres.

]]> Le maximum vaut $4$

]]> Erreur : $4$ est la borne de l'intervalle de définition
(un antécédent extrême), pas la plus grande image. La
courbe ne monte jamais au-dessus de $2$.

]]> Il n'y a pas de maximum, car la courbe redescend

]]> Contresens : c'est justement parce qu'elle monte puis
redescend que le sommet $(1\,;\,2)$ est un maximum,
atteint par la fonction.

]]> Variations et extremums — Q03 : Lire les variations sur la courbe Repère orthonormé avec une courbe qui descend de (-4 ; -0,9) environ jusqu'au minimum (-1 ; -2), monte ensuite jusqu'au maximum (1 ; 2) en traversant l'origine, puis redescend vers (4 ; 0,9). Les points extrêmes sont marqués en pointillés.

D'après la courbe ci-dessous, sur quel intervalle la fonction
$f$ est-elle croissante ?

]]> Les intervalles de variations se délimitent aux abscisses
des extremums : décroissante sur $[-4\,;\,-1]$, croissante
sur $[-1\,;\,1]$, décroissante sur $[1\,;\,4]$. On les
consigne dans un tableau de variations.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Sur $[-1\,;\,1]$

]]> Bonne réponse : la courbe monte du creux $(-1\,;\,-2)$
jusqu'au sommet $(1\,;\,2)$ : c'est l'intervalle de
croissance.

]]> Sur $[0\,;\,2]$

]]> Erreur de bornes : la montée commence dès le minimum en
$x = -1$ et s'arrête au maximum en $x = 1$ (après quoi la
courbe redescend).

]]> Sur $[-2\,;\,2]$

]]> Trop large : en $x = -1{,}5$ la courbe descend encore, et
en $x = 1{,}5$ elle redescend déjà. Les variations changent
exactement aux extremums.

]]> Sur $[-4\,;\,-1]$

]]> Erreur : sur cet intervalle la courbe descend (elle
plonge vers le minimum). C'est un intervalle de
décroissance.

]]> Variations et extremums — Q04 : Comparer des images sans calcul Soit $f$ une fonction croissante sur $[0\,;\,10]$. Comment se
comparent $f(3)$ et $f(7)$ ?

]]> Utilisation type des variations : $f$ croissante sur $I$ et
$a < b$ dans $I$ $\Rightarrow$ $f(a) \leq f(b)$. Comparer des
images sans formule, juste avec le tableau de variations.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $f(3) \leq f(7)$

]]> Bonne réponse : $3 < 7$ et $f$ croissante : l'ordre des
antécédents se transmet aux images.

]]> $f(3) \geq f(7)$

]]> Erreur : c'est le comportement d'une fonction
décroissante (qui renverse l'ordre).

]]> $f(3) = f(7)$

]]> Erreur : l'égalité systématique caractérise une fonction
constante. La croissance ne l'impose pas.

]]> On ne peut pas comparer sans connaître la formule de $f$

]]> Erreur : c'est toute la puissance de l'information
« croissante » : elle permet de comparer les images
sans aucun calcul.

]]> Variations et extremums — Q05 : Variations d'une fonction affine Quel est le sens de variation de la fonction affine
$f(x) = -2x + 7$ sur $\mathbb{R}$ ?

]]> Variations d'une affine $f(x) = mx + p$ (démonstration au
programme) : croissante si $m > 0$, décroissante si $m < 0$,
constante si $m = 0$. L'ordonnée à l'origine $p$ n'y joue
aucun rôle.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Décroissante, car son coefficient directeur $-2$ est
négatif

]]> Bonne réponse : pour une affine $f(x) = mx + p$, tout se
lit sur le signe de $m$ : ici $m = -2 < 0$, la fonction
descend.

]]> Croissante, car $7$ est positif

]]> Erreur : $7$ est l'ordonnée à l'origine, elle place la
droite mais ne donne pas son inclinaison. Le sens de
variation dépend de $m = -2$.

]]> Croissante puis décroissante

]]> Erreur : une fonction affine est représentée par une
droite : elle garde le même sens de variation sur tout
$\mathbb{R}$. Les changements de sens appartiennent aux
courbes.

]]> Constante

]]> Erreur : constante correspond à $m = 0$ (droite
horizontale). Ici $m = -2 \neq 0$.

]]> Variations et extremums — Q06 : Retrouver une fonction affine Soit $f$ une fonction affine telle que $f(0) = 2$ et
$f(4) = 10$. Quelle est son expression ?

]]> Déterminer une affine : $p = f(0)$ (ordonnée à l'origine) et
$m = \dfrac{f(b) - f(a)}{b - a}$ (taux d'accroissement). Ici
$f(x) = 2x + 2$, à vérifier sur les deux valeurs données.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $f(x) = 2x + 2$

]]> Bonne réponse : $p = f(0) = 2$, et le taux
d'accroissement $m = \dfrac{f(4) - f(0)}{4 - 0} =
\dfrac{8}{4} = 2$.

]]> $f(x) = 2x + 10$

]]> Erreur : l'ordonnée à l'origine est $f(0) = 2$, pas
$10$. Contrôle : ta formule donnerait $f(0) = 10$.

]]> $f(x) = 4x + 2$

]]> Erreur de taux : $m = \dfrac{10 - 2}{4 - 0} = 2$, pas
$4$. Contrôle : $4 \times 4 + 2 = 18 \neq 10$.

]]> $f(x) = 8x + 2$

]]> Erreur : $8$ est la variation totale $f(4) - f(0)$ ;
le coefficient directeur la rapporte à l'écart des
antécédents : $8 \div 4 = 2$.

]]> Variations et extremums — Q07 : Variations de la fonction carré Quel est le tableau de variations de la fonction carré sur
$\mathbb{R}$ ?

]]> La fonction carré décroît sur $]-\infty\,;\,0]$ et croît sur
$[0\,;\,+\infty[$ (démonstration au programme) ; son minimum
est $0$, atteint en $0$. Image mentale : la parabole.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Décroissante sur $]-\infty\,;\,0]$, croissante sur
$[0\,;\,+\infty[$

]]> Bonne réponse : la parabole descend jusqu'à son sommet
$(0\,;\,0)$ puis remonte : minimum $0$ atteint en $0$.

]]> Croissante sur $\mathbb{R}$ tout entier

]]> Erreur : $(-3)^2 = 9 > (-2)^2 = 4$ alors que $-3 < -2$ :
sur les négatifs, le carré décroît.

]]> Croissante sur $]-\infty\,;\,0]$, décroissante sur
$[0\,;\,+\infty[$

]]> Sens inversés : ce tableau décrirait une parabole tournée
vers le bas (comme $x \mapsto -x^2$).

]]> Décroissante sur $\mathbb{R}$ tout entier

]]> Erreur : sur les positifs, le carré croît sans conteste
($2^2 < 3^2$). Le sens change en $0$.

]]> Variations et extremums — Q08 : L'inverse est-elle décroissante partout ? La fonction inverse est décroissante sur $]0\,;\,+\infty[$ et
sur $]-\infty\,;\,0[$. Peut-on dire qu'elle est décroissante
sur l'ensemble $]-\infty\,;\,0[ \,\cup\, ]0\,;\,+\infty[$ tout
entier ?

]]> Subtilité au programme : la fonction inverse est décroissante
sur chacun des intervalles $]-\infty\,;\,0[$ et
$]0\,;\,+\infty[$, mais pas sur leur réunion (contre-exemple :
$f(-1) < f(1)$). La monotonie est une notion d'intervalle.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Non : par exemple $-1 < 1$ alors que $f(-1) = -1 <
f(1) = 1$, l'ordre n'est pas renversé

]]> Bonne réponse : entre les deux branches, l'ordre est
conservé et non renversé : la décroissance ne vaut que
sur chaque intervalle séparément. La monotonie se déclare
toujours sur un intervalle.

]]> Oui : elle est décroissante des deux côtés, donc partout

]]> Piège : le recollement échoue en traversant $0$ :
$-1 < 1$ mais $\frac{1}{-1} = -1 < 1 = \frac{1}{1}$.
Ordre conservé, pas renversé.

]]> Oui, car sa courbe descend toujours

]]> Erreur de lecture : chaque branche descend, mais la
branche de droite est entièrement au-dessus de celle
de gauche : globalement, l'ordre n'est pas renversé.

]]> Non, car la fonction inverse est croissante sur les
négatifs

]]> Erreur : sur $]-\infty\,;\,0[$, l'inverse est bien
décroissante ($-2 < -1$ et $-\frac{1}{2} > -1$). Le
problème est le passage d'une branche à l'autre.

]]> Variations et extremums — Q09 : Extremum d'une expression $(x - 2)^2 + 1$ Soit $f(x) = (x - 2)^2 + 1$. Que peut-on dire de l'extremum de
$f$ sur $\mathbb{R}$ ?

]]> Lecture d'une forme $a(x - \alpha)^2 + \beta$ avec $a > 0$ :
minimum $\beta$ atteint en $x = \alpha$, car le carré est
positif et s'annule en $\alpha$. Ici : minimum $1$ en $2$.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $f$ admet un minimum égal à $1$, atteint en $x = 2$

]]> Bonne réponse : $(x-2)^2 \geq 0$ avec égalité seulement en
$x = 2$ : donc $f(x) \geq 1$ et $f(2) = 1$.

]]> $f$ admet un maximum égal à $1$, atteint en $x = 2$

]]> Erreur de sens : le carré, positif, s'ajoute à $1$ :
les valeurs partent de $1$ vers le haut. $1$ est un
plancher, pas un plafond.

]]> $f$ admet un minimum égal à $2$, atteint en $x = 1$

]]> Nombres échangés : le carré s'annule quand $x - 2 = 0$,
c'est-à-dire en $x = 2$, et la valeur minimale est
alors $0 + 1 = 1$.

]]> $f$ n'a pas d'extremum, car elle est définie sur
$\mathbb{R}$

]]> Erreur : un domaine infini n'empêche pas un extremum : la
parabole a bien un point le plus bas, $(2\,;\,1)$.

]]> Variations et extremums — Q10 : Maximum sur un intervalle Soit $f$ une fonction croissante sur $[1\,;\,5]$. Où $f$
atteint-elle son maximum sur cet intervalle ?

]]> Fonction croissante sur $[a\,;\,b]$ : minimum $f(a)$ à
gauche, maximum $f(b)$ à droite. (L'inverse pour une
décroissante.) Distinguer toujours l'extremum (une image) de
l'endroit où il est atteint (un antécédent).

]]> 1.0 0.0 0 true true abc En $x = 5$, et ce maximum vaut $f(5)$

]]> Bonne réponse : une fonction croissante culmine à la borne
droite de l'intervalle : les images grandissent avec
les antécédents.

]]> En $x = 1$

]]> Erreur : la borne gauche porte le minimum d'une
fonction croissante (elle part d'en bas).

]]> Le maximum vaut $5$

]]> Confusion antécédent/image : $5$ est l'abscisse où le
maximum est atteint ; le maximum lui-même est la valeur
$f(5)$, inconnue sans plus d'information.

]]> Elle n'a pas de maximum

]]> Erreur : sur un intervalle fermé $[1\,;\,5]$, une
fonction croissante atteint ses deux extrêmes aux bornes.

]]> Variations et extremums — Q11 : Un problème d'optimisation Avec $20$ mètres de grillage, on veut délimiter un enclos
rectangulaire (les quatre côtés grillagés). Quelle est l'aire
maximale possible ?

]]> Modélisation : $x + \ell = 10$, aire $A(x) = x(10 - x)$,
parabole tournée vers le bas de sommet $x = 5$ : maximum
$A(5) = 25$ m$^2$. À périmètre fixé, le carré maximise l'aire.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $25$ m$^2$, avec un carré de côté $5$

]]> Bonne réponse : périmètre $20$ donne largeur $x$ et
longueur $10 - x$ ; l'aire $x(10 - x)$ culmine en $x = 5$
(sommet de la parabole) : un carré $5 \times 5$.

]]> $24$ m$^2$, avec un rectangle $6 \times 4$

]]> Presque : $6 \times 4 = 24$ respecte bien le périmètre,
mais le carré $5 \times 5 = 25$ fait mieux. Le sommet de
la parabole $x(10-x)$ est en $x = 5$.

]]> $100$ m$^2$

]]> Erreur : $100 = 10 \times 10$ exigerait $40$ m de
grillage. Avec un périmètre de $20$, largeur $+$ longueur
$= 10$.

]]> Il n'y a pas de maximum : plus l'enclos est long, plus il
est grand

]]> Erreur : allonger oblige à amincir (le périmètre est
fixe) : un enclos $9 \times 1$ ne fait que $9$ m$^2$.
L'aire monte puis redescend : maximum au carré.

]]> Variations et extremums — Q12 : Exploiter un tableau de variations Une fonction $f$ définie sur $[0\,;\,7]$ décroît de $f(0) = 5$
à $f(3) = -2$, puis croît de $f(3) = -2$ à $f(7) = 4$. Quel
est le minimum de $f$ sur $[0\,;\,7]$ ?

]]> Dans un tableau de variations, le minimum global se lit au
point le plus bas des flèches (ici $-2$ en $x = 3$) et le
maximum au point le plus haut (ici $5$ en $x = 0$) : penser à
comparer toutes les valeurs charnières.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $-2$, atteint en $x = 3$

]]> Bonne réponse : le creux du tableau de variations est la
plus petite valeur : $-2$, prise en $x = 3$.

]]> $3$

]]> Confusion : $3$ est l'abscisse où le minimum est
atteint. Le minimum lui-même est l'image $-2$.

]]> $0$, car c'est le début de l'intervalle

]]> Erreur : ni la borne $0$ ni son image $f(0) = 5$ ne sont
minimales : la fonction descend en dessous, jusqu'à $-2$.

]]> $4$, la dernière valeur du tableau

]]> Erreur : $4 = f(7)$ n'est même pas la plus grande valeur
(c'est $5 = f(0)$). Le minimum se lit au creux du
tableau : $-2$.

]]> Variations et extremums — Q13 : Minimum de $x^2 + 3$ Quel est le minimum de la fonction $f(x) = x^2 + 3$ sur
$\mathbb{R}$ ?

]]> $x^2 + k$ : la parabole de référence décalée verticalement :
minimum $k$ en $x = 0$. L'argument complet en deux temps :
minorer ($f(x) \geq 3$) ET montrer que la borne est atteinte
($f(0) = 3$).

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $3$, atteint en $x = 0$

]]> Bonne réponse : $x^2 \geq 0$ avec égalité en $0$ : donc
$f(x) \geq 3$, et la valeur $3$ est atteinte : minimum
$3$ en $x = 0$.

]]> $0$, atteint en $x = 0$

]]> Constante oubliée : $f(0) = 0 + 3 = 3$ : le $+3$
soulève toute la parabole.

]]> $3$, atteint en $x = 3$

]]> Position fausse : $f(3) = 12$ : le creux de la parabole
reste en $x = 0$ (le $+3$ soulève sans décaler).

]]> Il n'y a pas de minimum

]]> Erreur : la parabole tournée vers le haut a un point le
plus bas : son sommet $(0\ ;\ 3)$.

]]> Variations et extremums — Q14 : Définition d'une fonction décroissante Que signifie « $f$ est décroissante sur l'intervalle $I$ » ?

]]> Croissante : conserve l'ordre ($a < b \Rightarrow f(a) \leq
f(b)$) ; décroissante : le renverse. Retenir le duo
« conserve/renverse » : il pilote toutes les comparaisons
d'images.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Pour tous $a, b$ de $I$ : si $a < b$, alors $f(a) \geq
f(b)$ : l'ordre des images est renversé

]]> Bonne réponse : quand $x$ avance, $f(x)$ recule : la
définition compare deux points quelconques, pas un
dessin.

]]> $f(x) < 0$ pour tout $x$ de $I$

]]> Confusion variations/signe : décroissante = qui
descend, pas qui est négative : $e^{-x}$ décroît en
restant positive.

]]> Si $a < b$, alors $f(a) \leq f(b)$

]]> Sens inversé : conserver l'ordre est la définition d'une
fonction croissante : décroître le renverse.

]]> La courbe finit plus bas qu'elle ne commence

]]> Trop faible : une courbe peut finir plus bas en ayant
fait des vagues : la définition exige la descente entre
TOUTE paire de points.

]]> Variations et extremums — Q15 : Comparer via un tableau de variations Le tableau indique que $f$ est croissante sur $[0\ ;\ 5]$.
Comment se comparent $f(1)$ et $f(4)$ ?

]]> Un tableau de variations est une machine à comparer : deux
antécédents dans un même intervalle monotone se classent
immédiatement. (Deux antécédents à cheval sur un extremum :
le tableau ne suffit plus.)

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $f(1) \leq f(4)$

]]> Bonne réponse : $1 < 4$, tous deux dans l'intervalle de
croissance : l'ordre des images suit celui des
antécédents.

]]> $f(1) \geq f(4)$

]]> Renversement injustifié : ce serait la conclusion sur un
intervalle de décroissance : ici la flèche monte.

]]> $f(1) = f(4)$

]]> Erreur : l'égalité systématique caractérise les
fonctions constantes : une flèche croissante sépare les
images.

]]> Impossible sans les valeurs de $f$

]]> Erreur : c'est exactement le service rendu par le
tableau : comparer sans calculer, par le seul sens de
variation.

]]> Variations et extremums — Q16 : Variations de $f(x) = -2x + 7$ Quel est le sens de variation de la fonction $f(x) = -2x +
7$ sur $\mathbb{R}$ ?

]]> Affine $y = mx + p$ : croissante si $m > 0$, décroissante si
$m < 0$, constante si $m = 0$. Le signe de la pente EST le
sens de variation : la lecture la plus rapide du chapitre.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Strictement décroissante, car son coefficient directeur
$-2$ est négatif

]]> Bonne réponse : pour une affine, tout est dans le signe
de $m$ : $m = -2 < 0$ : la droite descend.

]]> Croissante, car $7$ est positif

]]> Mauvais paramètre : $7$ est l'ordonnée à l'origine : la
hauteur de départ ne dit rien de la pente : seul $m$
décide.

]]> Décroissante puis croissante

]]> Erreur : une droite ne change jamais de direction : les
variations en deux temps appartiennent aux paraboles.

]]> Constante

]]> Erreur : constante exigerait $m = 0$ : ici $m = -2$ :
la fonction descend de $2$ par unité.

]]> Variations et extremums — Q17 : Nombre de solutions d'après un tableau $f$ décroît de $8$ à $-2$ sur $[0\ ;\ 3]$, puis croît de
$-2$ à $6$ sur $[3\ ;\ 7]$. Combien de solutions a
l'équation $f(x) = 0$ ?

]]> Compter les solutions de $f(x) = k$ sur un tableau : une par
flèche dont les valeurs encadrent $k$ strictement. Esquisser
mentalement la courbe (descente, creux, remontée) sécurise
le décompte.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Deux : une dans chaque phase (descente et remontée)

]]> Bonne réponse : en descendant de $8$ à $-2$, la fonction
traverse $0$ une fois ; en remontant de $-2$ à $6$, une
seconde fois : deux passages par zéro.

]]> Une seule

]]> Remontée oubliée : après le creux à $-2$, la fonction
retraverse le niveau $0$ en remontant vers $6$.

]]> Aucune : $0$ n'apparaît pas dans le tableau

]]> Erreur de lecture : le tableau affiche les valeurs
extrêmes ; $0$, compris entre $-2$ et $8$, est atteint
en chemin (les fonctions du tableau sont continues).

]]> Trois

]]> Trop : chaque flèche monotone traverse un niveau donné
au plus une fois : deux flèches encadrant le creux :
deux solutions.

]]> Variations et extremums — Q18 : Maximum d'une expression $-(x - 1)^2 + 4$ Quel est le maximum de $f(x) = -(x - 1)^2 + 4$ sur
$\mathbb{R}$ ?

]]> Forme $-(x - \alpha)^2 + \beta$ : maximum $\beta$ atteint en
$x = \alpha$ (le carré, toujours positif, est retranché : au
mieux nul). Lire un extremum sans aucun calcul : la
récompense de la forme canonique.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $4$, atteint en $x = 1$

]]> Bonne réponse : $(x - 1)^2 \geq 0$, donc $-(x-1)^2 \leq
0$ et $f(x) \leq 4$, avec égalité quand le carré
s'annule : en $x = 1$.

]]> $4$, atteint en $x = -1$

]]> Signe du sommet : le carré $(x - 1)^2$ s'annule en $x =
+1$ (la valeur qui annule la parenthèse).

]]> $1$, atteint en $x = 4$

]]> Rôles échangés : $1$ est l'abscisse du sommet, $4$ sa
valeur : le maximum est la valeur $4$.

]]> Il n'y a pas de maximum : la fonction n'est pas bornée

]]> Erreur : le signe moins retourne la parabole : branches
vers le bas, sommet au plus haut : maximum $4$ (c'est
vers $-\infty$ qu'elle n'est pas bornée).

]]>