$course$/QCM de maths/Terminale spécialité/Concentration et loi des grands nombres Inégalité de Bienaymé-Tchebychev, inégalité de concentration pour
la moyenne d'un échantillon, loi des grands nombres :
interprétation, calculs de bornes, détermination d'une taille
d'échantillon, limites de ces majorations.

]]> Concentration et loi des grands nombres — Q01 : Énoncé de l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev Soit $X$ une variable aléatoire d'espérance $\mu$ et de
variance $V$. Que dit l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev pour
tout réel $\delta > 0$ ?

]]> Bienaymé-Tchebychev : $P(|X - \mu| \geq \delta) \leq
\dfrac{V(X)}{\delta^2}$. Plus la variance est petite ou le
seuil grand, plus les grands écarts sont improbables.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $P\left(|X - \mu| \geq \delta\right) \leq
\dfrac{V}{\delta^2}$

]]> Bonne réponse : la probabilité d'un écart à la moyenne d'au
moins $\delta$ est majorée par $\dfrac{V}{\delta^2}$.

]]> $P\left(|X - \mu| \geq \delta\right) \geq
\dfrac{V}{\delta^2}$

]]> Sens inversé : l'inégalité majore la probabilité des
grands écarts (c'est une garantie de rareté), elle ne la
minore pas.

]]> $P\left(|X - \mu| \geq \delta\right) \leq
\dfrac{V}{\delta}$

]]> Erreur d'exposant : le seuil $\delta$ intervient au
carré, en cohérence avec la variance (qui est en unités
au carré).

]]> $P\left(X \geq \delta\right) \leq \dfrac{V}{\delta^2}$

]]> Erreur : l'inégalité contrôle l'écart à l'espérance
$|X - \mu|$, pas la valeur brute de $X$.

]]> Concentration et loi des grands nombres — Q02 : Appliquer l'inégalité Soit $X$ d'espérance $\mu = 10$ et de variance $V = 4$. Que
donne l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev pour
$P\left(|X - 10| \geq 4\right)$ ?

]]> $P(|X - \mu| \geq \delta) \leq \dfrac{V}{\delta^2} =
\dfrac{4}{4^2} = 0{,}25$ : au plus une chance sur quatre de
s'écarter d'au moins $4$ (soit $2\sigma$) de la moyenne.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $P\left(|X - 10| \geq 4\right) \leq 0{,}25$

]]> Bonne réponse : $\dfrac{V}{\delta^2} = \dfrac{4}{16} =
0{,}25$.

]]> $P\left(|X - 10| \geq 4\right) \leq 1$

]]> Erreur de calcul : $\dfrac{4}{4}$ oublie le carré du seuil.
$\delta^2 = 16$, la borne vaut $\dfrac{4}{16} = 0{,}25$.
(Une borne de $1$ ne dirait d'ailleurs rien.)

]]> $P\left(|X - 10| \geq 4\right) = 0{,}25$

]]> Attention au statut : l'inégalité fournit une
majoration, pas la valeur exacte. La probabilité réelle
peut être bien plus petite.

]]> $P\left(|X - 10| \geq 4\right) \leq 0{,}5$

]]> Erreur : $0{,}5 = \dfrac{2}{4}$ mélange l'écart-type
($\sigma = 2$) et la variance. La formule utilise la
variance : $\dfrac{4}{16}$.

]]> Concentration et loi des grands nombres — Q03 : Rôle de la variance Dans l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev, que traduit le fait
que la borne $\dfrac{V}{\delta^2}$ est proportionnelle à la
variance $V$ ?

]]> L'écart-type $\sigma$ est l'unité naturelle de dispersion : la
borne se réécrit $P(|X - \mu| \geq k\sigma) \leq
\dfrac{1}{k^2}$. Les écarts de plusieurs écarts-types
deviennent vite improbables.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Moins une variable est dispersée, plus ses grands écarts à
la moyenne sont improbables

]]> Bonne réponse : la variance mesure la dispersion ; une
petite variance rend les écarts importants d'autant plus
rares. C'est le sens profond de l'inégalité.

]]> Plus la variance est grande, plus la variable est proche de
sa moyenne

]]> Contresens : une grande variance signifie une grande
dispersion, donc des écarts plus fréquents ; la borne
grossit avec $V$.

]]> La variance donne la probabilité exacte des écarts

]]> Erreur : l'inégalité ne fournit qu'une majoration
universelle, valable pour toute loi. La probabilité exacte
dépend de la loi précise de $X$.

]]> La borne ne sert que si $V = 0$

]]> Erreur : si $V = 0$ la variable est constante et tout est
trivial. C'est justement pour $V > 0$ que l'inégalité
quantifie la rareté des écarts.

]]> Concentration et loi des grands nombres — Q04 : Inégalité de concentration Soit $M_n$ la moyenne d'un échantillon de taille $n$ d'une
variable d'espérance $\mu$ et de variance $V$. Que dit
l'inégalité de concentration pour $\delta > 0$ ?

]]> Inégalité de concentration :
$P(|M_n - \mu| \geq \delta) \leq \dfrac{V}{n\delta^2}$. Quand
$n$ grandit, la borne tend vers $0$ : la moyenne d'échantillon
se concentre autour de $\mu$.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $P\left(|M_n - \mu| \geq \delta\right) \leq
\dfrac{V}{n\,\delta^2}$

]]> Bonne réponse : c'est Bienaymé-Tchebychev appliquée à
$M_n$, dont la variance vaut $\dfrac{V}{n}$. Le facteur $n$
au dénominateur fait toute la force du résultat.

]]> $P\left(|M_n - \mu| \geq \delta\right) \leq
\dfrac{V}{\delta^2}$

]]> Il manque le facteur $n$ : la moyenne d'échantillon est
moins dispersée qu'une observation isolée
($V(M_n) = V/n$), la borne doit en profiter.

]]> $P\left(|M_n - \mu| \geq \delta\right) \leq
\dfrac{nV}{\delta^2}$

]]> Erreur : $nV$ est la variance de la somme $S_n$, pas de
la moyenne. Pour $M_n$, on divise : $\dfrac{V}{n}$.

]]> $P\left(|M_n - \mu| \geq \delta\right) = \dfrac{V}{n\,
\delta^2}$

]]> Statut incorrect : c'est une majoration ($\leq$), pas
une égalité. La probabilité réelle est souvent bien plus
faible.

]]> Concentration et loi des grands nombres — Q05 : Déterminer une taille d'échantillon Soit une variable de variance $V = 1$. On veut garantir, via
l'inégalité de concentration, que
$P\left(|M_n - \mu| \geq 0{,}5\right) \leq 0{,}05$. Quelle
taille $n$ suffit ?

]]> Méthode (capacité attendue) : imposer
$\dfrac{V}{n\delta^2} \leq \alpha$ et isoler $n$ :
$n \geq \dfrac{V}{\alpha\,\delta^2} =
\dfrac{1}{0{,}05 \times 0{,}25} = 80$.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $n \geq 80$

]]> Bonne réponse : la borne est $\dfrac{V}{n\delta^2} =
\dfrac{1}{0{,}25\,n}$ ; exiger $\dfrac{1}{0{,}25\,n} \leq
0{,}05$ donne $n \geq \dfrac{1}{0{,}25 \times 0{,}05} =
80$.

]]> $n \geq 20$

]]> Erreur : avec $n = 20$, la borne vaut
$\dfrac{1}{0{,}25 \times 20} = 0{,}2$, quatre fois trop
grand. Le carré de $\delta = 0{,}5$ au dénominateur
pénalise fortement.

]]> $n \geq 400$

]]> Erreur : $400 = \dfrac{1}{0{,}05^2}$ mélange le risque et
le seuil. Le calcul correct : $n \geq
\dfrac{V}{\delta^2 \times 0{,}05} = 80$.

]]> $n \geq 8$

]]> Erreur d'un facteur $10$ : $\dfrac{1}{0{,}25 \times 8} =
0{,}5$, dix fois au-dessus du risque visé.

]]> Concentration et loi des grands nombres — Q06 : Loi des grands nombres Que dit la loi des grands nombres pour la moyenne $M_n$ d'un
échantillon d'une variable d'espérance $\mu$ ?

]]> Loi des grands nombres : pour tout $\delta > 0$,
$P(|M_n - \mu| \geq \delta) \to 0$ quand $n \to +\infty$
(conséquence directe de l'inégalité de concentration). La
moyenne empirique converge vers l'espérance.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Pour tout $\delta > 0$, $P\left(|M_n - \mu| \geq
\delta\right)$ tend vers $0$ quand $n$ tend vers $+\infty$

]]> Bonne réponse : la probabilité qu'un écart donné persiste
s'évanouit quand l'échantillon grandit : $M_n$ se concentre
sur $\mu$.

]]> $M_n$ devient exactement égale à $\mu$ pour $n$ assez grand

]]> Erreur : $M_n$ reste aléatoire pour tout $n$ ; c'est la
probabilité des écarts qui s'éteint, pas l'aléa
lui-même.

]]> $M_n$ devient constante pour $n$ assez grand

]]> Erreur : chaque nouvel échantillon donne une moyenne
légèrement différente. La dispersion diminue
(en $1/\sqrt{n}$) sans jamais s'annuler.

]]> La somme $S_n$ tend vers $n\mu$

]]> Erreur d'objet : la somme s'écarte de $n\mu$ de plus en
plus en valeur absolue (écart-type $\sigma\sqrt{n}$).
C'est la moyenne qui se stabilise.

]]> Concentration et loi des grands nombres — Q07 : Fréquences et pile ou face On lance une pièce équilibrée un grand nombre de fois. Que dit
la loi des grands nombres sur la fréquence de « pile » ?

]]> La loi des grands nombres relie fréquences et probabilités :
la fréquence observée converge vers la probabilité théorique.
Aucune « mémoire » de la pièce n'est en jeu : l'écart absolu
peut croître, mais il est dilué par $n$.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Elle se rapproche de $0{,}5$ avec une probabilité d'écart
qui tend vers $0$

]]> Bonne réponse : la fréquence est la moyenne d'un
échantillon de Bernoulli d'espérance $0{,}5$ : elle se
concentre sur $0{,}5$.

]]> Après une série de « pile », un « face » devient plus
probable pour compenser

]]> C'est l'illusion du joueur : les lancers sont
indépendants, la pièce n'a pas de mémoire. La
compensation se fait par dilution (les écarts pèsent de
moins en moins dans la fréquence), pas par correction.

]]> Le nombre de « pile » égale exactement le nombre de
« face » dès que $n$ est pair

]]> Erreur : l'égalité exacte est même de plus en plus rare.
C'est la proportion qui se rapproche de $0{,}5$, pas
les effectifs qui s'égalisent.

]]> La fréquence oscille sans se stabiliser

]]> Erreur : c'est précisément ce que la loi des grands nombres
exclut (en probabilité) : la fréquence se stabilise autour
de $0{,}5$.

]]> Concentration et loi des grands nombres — Q08 : Une borne universelle mais grossière Pour une variable $X$ d'espérance $\mu$ et d'écart-type
$\sigma$, que donne l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev pour
$P\left(|X - \mu| \geq 2\sigma\right)$ ?

]]> Avec $\delta = k\sigma$ : $P(|X - \mu| \geq k\sigma) \leq
\dfrac{1}{k^2}$. Pour $k = 2$ : au plus $25\,\%$. La force de
l'inégalité est son universalité, sa faiblesse est d'être
souvent très pessimiste (simulations : autour de $5\,\%$).

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Au plus $\dfrac{1}{4}$, quelle que soit la loi de $X$

]]> Bonne réponse : $\dfrac{V}{(2\sigma)^2} =
\dfrac{\sigma^2}{4\sigma^2} = \dfrac{1}{4}$. C'est
universel, valable pour toute loi admettant une
variance.

]]> Environ $0{,}05$, comme le montrent les simulations

]]> Piège du programme : $0{,}05$ est un ordre de grandeur
empirique observé pour beaucoup de lois usuelles, pas
la borne de Tchebychev. L'inégalité, universelle, ne
garantit que $\dfrac{1}{4}$ : elle est loin d'être
optimale.

]]> Exactement $\dfrac{1}{4}$

]]> Statut incorrect : $\dfrac{1}{4}$ est une majoration.
Pour la plupart des lois, la probabilité réelle est très
inférieure.

]]> Au plus $\dfrac{1}{2}$

]]> Erreur de calcul : $\dfrac{\sigma^2}{(2\sigma)^2} =
\dfrac{1}{4}$, pas $\dfrac{1}{2}$ (le seuil entre au
carré).

]]> Concentration et loi des grands nombres — Q09 : Quadrupler l'échantillon Dans l'inégalité de concentration, on multiplie la taille
d'échantillon $n$ par $4$ (à $\delta$ fixé). Que devient la
borne $\dfrac{V}{n\delta^2}$ ?

]]> La borne $\dfrac{V}{n\delta^2}$ est en $\dfrac{1}{n}$ :
multiplier $n$ par $4$ la divise par $4$. (L'écart-type de
$M_n$, lui, n'est divisé que par $2$ : deux échelles à ne pas
confondre.)

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Elle est divisée par $4$

]]> Bonne réponse : la borne est inversement proportionnelle à
$n$ : quatre fois plus de données, une garantie quatre fois
plus forte.

]]> Elle est divisée par $2$

]]> Erreur : la division par $2$ concernerait l'écart-type de
$M_n$ (en $1/\sqrt{n}$). La borne de concentration, elle,
est en $1/n$ : division par $4$.

]]> Elle est divisée par $16$

]]> Erreur : la borne dépend de $n$ à la puissance $1$, pas au
carré. Facteur $4$, pas $16$.

]]> Elle est inchangée, seul $\delta$ compte

]]> Erreur : le dénominateur contient le produit $n\delta^2$ :
la taille d'échantillon améliore directement la garantie.

]]> Concentration et loi des grands nombres — Q10 : Passer à l'événement contraire Soit $X$ d'espérance $\mu$ et de variance $V$. Que peut-on
déduire de l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev pour
$P\left(|X - \mu| < \delta\right)$ ?

]]> Version « rassurante » de l'inégalité :
$P(|X - \mu| < \delta) \geq 1 - \dfrac{V}{\delta^2}$. C'est
sous cette forme qu'on garantit qu'une variable reste proche
de sa moyenne avec un niveau de confiance donné.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $P\left(|X - \mu| < \delta\right) \geq 1 -
\dfrac{V}{\delta^2}$

]]> Bonne réponse : l'événement $|X - \mu| < \delta$ est le
contraire de $|X - \mu| \geq \delta$ : sa probabilité est
minorée par $1 - \dfrac{V}{\delta^2}$.

]]> $P\left(|X - \mu| < \delta\right) \leq 1 -
\dfrac{V}{\delta^2}$

]]> Sens inversé : en passant au complémentaire, la majoration
des grands écarts devient une minoration de la
probabilité de rester proche.

]]> $P\left(|X - \mu| < \delta\right) \leq
\dfrac{V}{\delta^2}$

]]> Erreur : $\dfrac{V}{\delta^2}$ majore la probabilité des
grands écarts, pas celle de l'événement contraire.

]]> On ne peut rien en déduire

]]> Erreur : le passage au complémentaire est immédiat :
$P(A) = 1 - P(\bar{A})$ transforme la majoration en
minoration.

]]> Concentration et loi des grands nombres — Q11 : Variance d'une fréquence Soit $S_n \sim \mathcal{B}(n\,;\,p)$ et $F_n = \dfrac{S_n}{n}$
la fréquence de succès. Que vaut $V(F_n)$ ?

]]> $F_n = M_n$ pour un échantillon de Bernoulli : $E(F_n) = p$ et
$V(F_n) = \dfrac{p(1-p)}{n}$. Appliquer la concentration à
$F_n$ fonde l'estimation d'une proportion par sondage.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $\dfrac{p(1-p)}{n}$

]]> Bonne réponse : $V(F_n) = \dfrac{V(S_n)}{n^2} =
\dfrac{np(1-p)}{n^2} = \dfrac{p(1-p)}{n}$. La fréquence se
concentre sur $p$ quand $n$ grandit.

]]> $np(1-p)$

]]> Erreur : $np(1-p)$ est la variance de la somme $S_n$.
Diviser par $n$ élève $n$ au carré dans la variance :
$V(S_n/n) = V(S_n)/n^2$.

]]> $p(1-p)$

]]> Erreur : $p(1-p)$ est la variance d'une épreuve de
Bernoulli. En moyennant $n$ épreuves, la variance est
divisée par $n$.

]]> $\dfrac{p}{n}$

]]> Erreur : il manque le facteur $(1-p)$. La variance d'une
Bernoulli est $p(1-p)$, d'où $\dfrac{p(1-p)}{n}$ pour la
fréquence.

]]> Concentration et loi des grands nombres — Q12 : Force et faiblesse de l'inégalité Quel est l'intérêt principal de l'inégalité de
Bienaymé-Tchebychev, malgré des bornes souvent grossières ?

]]> À retenir en deux phrases : l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev
est universelle (aucune hypothèse sur la loi) mais loin d'être
optimale. Elle suffit pourtant à démontrer la loi des grands
nombres et à dimensionner des échantillons par condition
suffisante.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Elle vaut pour toute variable aléatoire admettant une
variance, sans rien connaître de sa loi

]]> Bonne réponse : son universalité. Elle permet des garanties
a priori (tailles d'échantillon, loi des grands nombres)
là où la loi exacte est inconnue.

]]> Elle donne la valeur exacte des probabilités d'écart

]]> Erreur : c'est une majoration, souvent très pessimiste
(pour $2\sigma$ : borne $0{,}25$ contre environ $0{,}05$
observé sur les lois usuelles).

]]> Elle ne s'applique qu'aux lois binomiales

]]> Erreur : elle s'applique à toute variable ayant une
variance, binomiale ou non. C'est précisément sa force.

]]> Elle remplace le calcul de l'espérance

]]> Erreur : elle utilise l'espérance et la variance ; elle
ne les fournit pas.

]]> Concentration et loi des grands nombres — Q13 : Doubler le seuil d'écart Dans l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev, que devient la
borne $\dfrac{V(X)}{a^2}$ quand on double le seuil $a$ ?

]]> $P(|X - \mu| \geq a) \leq \frac{V(X)}{a^2}$ : la décroissance
en $\frac{1}{a^2}$ est le message quantitatif de
l'inégalité : s'éloigner deux fois plus est au moins quatre
fois plus rare.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Elle est divisée par $4$

]]> Bonne réponse : le seuil intervient au carré :
doubler $a$ quadruple $a^2$ : les grands écarts sont
quadratiquement plus rares.

]]> Elle est divisée par $2$

]]> Carré oublié : la borne dépend de $a^2$, pas de $a$ :
facteur $4$, pas $2$.

]]> Elle double

]]> Sens inverse : un seuil plus exigeant (plus grand)
rend l'événement plus rare : la borne descend.

]]> Elle ne change pas

]]> Erreur : le seuil est au dénominateur : la borne dépend
directement de lui.

]]> Concentration et loi des grands nombres — Q14 : Fréquence sur un grand échantillon On simule $10\,000$ lancers d'un dé équilibré. Autour de
quelle valeur la fréquence d'apparition du six
doit-elle se stabiliser ?

]]> Loi des grands nombres : la moyenne (ou fréquence)
d'échantillon converge vers l'espérance (ou probabilité)
théorique. La simulation la rend visible : courbe des
fréquences qui s'aplatit sur $\frac{1}{6}$.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Autour de $\dfrac{1}{6} \approx 0{,}167$

]]> Bonne réponse : loi des grands nombres : la fréquence
observée converge vers la probabilité théorique
$\frac{1}{6}$ quand le nombre de lancers grandit.

]]> Autour de $\dfrac{1}{2}$

]]> Erreur : $\frac{1}{2}$ vaudrait pour pile ou face ; le
six est une face sur six : fréquence limite
$\frac{1}{6}$.

]]> Autour de $6$

]]> Confusion : une fréquence est une proportion entre
$0$ et $1$, pas la valeur de la face.

]]> Nulle part : une fréquence ne se stabilise jamais

]]> Erreur : c'est précisément le contenu de la loi des
grands nombres : les fluctuations s'amortissent et la
fréquence se cale sur $\frac{1}{6}$.

]]> Concentration et loi des grands nombres — Q15 : Appliquer l'inégalité avec des valeurs $X$ a pour espérance $\mu = 100$ et pour variance $V(X) =
25$. Que garantit l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev pour
$P(|X - 100| \geq 10)$ ?

]]> Application mécanique : identifier $\mu$, $V$, $a$, puis
$\frac{V}{a^2}$. Bien dire « au plus » : l'inégalité borne,
elle n'évalue pas.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $P(|X - 100| \geq 10) \leq \dfrac{25}{100} = 0{,}25$

]]> Bonne réponse : $\dfrac{V(X)}{a^2} = \dfrac{25}{10^2}$ :
au plus une chance sur quatre de s'écarter d'au moins
$10$ de la moyenne.

]]> $P(|X - 100| \geq 10) \leq \dfrac{25}{10} = 2{,}5$

]]> Carré oublié : le dénominateur est $a^2 = 100$ (et une
borne de $2{,}5$ pour une probabilité ne dirait de toute
façon rien).

]]> $P(|X - 100| \geq 10) = 0{,}25$ exactement

]]> Nature du résultat : Tchebychev fournit une
majoration, jamais la valeur exacte : la vraie
probabilité peut être bien plus petite.

]]> $P(|X - 100| \geq 10) \leq \dfrac{10}{25} = 0{,}4$

]]> Fraction renversée : la variance est au numérateur, le
carré du seuil au dénominateur.

]]> Concentration et loi des grands nombres — Q16 : Une borne qui ne dit rien Avec $V(X) = 25$, l'inégalité donne $P(|X - \mu| \geq 4)
\leq \dfrac{25}{16} \approx 1{,}56$. Que faut-il en
conclure ?

]]> Tchebychev n'informe que pour $a > \sigma$ (borne $< 1$).
En deçà de l'écart-type, les écarts sont fréquents : aucune
inégalité universelle ne peut les rendre rares.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Rien : une probabilité est toujours $\leq 1$, la borne
est ici sans contenu

]]> Bonne réponse : majorer par $1{,}56$ une quantité qui ne
dépasse jamais $1$ n'apprend rien : Tchebychev n'est
utile que pour $a > \sigma$ (ici $a = 4 < 5 = \sigma$).

]]> Que l'événement est certain

]]> Erreur : une majoration ne rend rien certain : elle
plafonne. Et un plafond au-dessus de $1$ ne plafonne
rien du tout.

]]> Que l'inégalité est fausse dans ce cas

]]> Erreur : l'inégalité reste vraie ($P \leq 1 \leq
1{,}56$) : elle est simplement inutile, nuance
importante.

]]> Qu'il faut recalculer la variance

]]> Erreur : le calcul est correct : c'est le seuil $a$,
trop petit devant l'écart-type, qui vide la borne de
son intérêt.

]]> Concentration et loi des grands nombres — Q17 : Dimensionner un échantillon $F$ est la fréquence de succès sur $n$ tirages ($V(F) \leq
\dfrac{1}{4n}$). Quelle taille $n$ garantit, par
Bienaymé-Tchebychev, $P(|F - p| \geq 0{,}05) \leq
0{,}05$ ?

]]> Schéma d'estimation : $V(F) \leq \frac{1}{4n}$, borne
$\frac{1}{4n\delta^2}$, qu'on force sous le risque voulu.
Précision fine + risque faible = grand échantillon : le
coût, chiffré, des sondages sérieux.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $n \geq 2000$, car $\dfrac{1}{4n \times 0{,}05^2} \leq
0{,}05 \iff n \geq \dfrac{1}{4 \times 0{,}05^3}$

]]> Bonne réponse : borne $\dfrac{1/(4n)}{0{,}0025} =
\dfrac{100}{n}$ ; exiger $\dfrac{100}{n} \leq
0{,}05$ donne $n \geq 2000$.

]]> $n \geq 400$

]]> Erreur : $n = 400$ donne une borne $\frac{100}{400} =
0{,}25$ : cinq fois trop lâche pour l'objectif
$0{,}05$.

]]> $n \geq 20$

]]> Erreur d'échelle : avec $n = 20$, la borne vaut $5$ :
totalement vide. La double exigence (écart fin ET risque
faible) coûte cher en taille.

]]> Aucun $n$ ne suffit

]]> Erreur : la borne $\frac{100}{n}$ fond avec $n$ : tout
objectif est atteignable, ici dès $n = 2000$.

]]> Concentration et loi des grands nombres — Q18 : La fréquence vise juste $F$ est la fréquence de succès sur $n$ tirages indépendants
de probabilité $p$. Que vaut $E(F)$ ?

]]> $E(F) = p$ et $V(F) = \frac{p(1-p)}{n}$ : viser juste
(espérance) et trembler de moins en moins (variance en
$\frac{1}{n}$) : les deux moteurs de la loi des grands
nombres.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $E(F) = p$ : la fréquence vise la bonne cible, quelle
que soit la taille $n$

]]> Bonne réponse : $F = \frac{X}{n}$ avec $X$ binomiale :
$E(F) = \frac{np}{n} = p$ : l'estimateur est sans
biais ; $n$ ne joue que sur la dispersion autour de
$p$.

]]> $E(F) = np$

]]> Division oubliée : $np$ est l'espérance du nombre de
succès $X$ ; la fréquence divise par $n$ : $E(F) = p$.

]]> $E(F)$ se rapproche de $p$ seulement quand $n$ grandit

]]> Nuance mal placée : l'espérance vaut exactement $p$
dès $n = 1$ : c'est la fréquence observée (pas son
espérance) qui converge quand $n$ grandit.

]]> $E(F) = \dfrac{p}{n}$

]]> Erreur : $\frac{p}{n}$ tendrait vers $0$ : la fréquence
moyenne serait systématiquement trop basse. La division
par $n$ s'applique à $X$, dont l'espérance est $np$.

]]>