$course$/QCM de maths/Terminale spécialité/Continuité Continuité en un point et sur un intervalle, lien avec la
dérivabilité, image d'une suite convergente par une fonction
continue (suites définies par $u_{n+1} = f(u_n)$), théorème des
valeurs intermédiaires, cas des fonctions strictement monotones,
méthode de dichotomie.

]]> Continuité — Q01 : Continuité en un point Soit $f$ une fonction définie sur un intervalle contenant $a$.
Que signifie « $f$ est continue en $a$ » ?

]]> Définition : $f$ est continue en $a$ si
$\lim_{x \to a} f(x) = f(a)$. Trois exigences en une : la
fonction est définie en $a$, la limite existe, et les deux
coïncident.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $\lim\limits_{x \to a} f(x) = f(a)$

]]> Bonne réponse : la limite en $a$ existe et coïncide avec
la valeur $f(a)$. Graphiquement, la courbe se trace sans
lever le crayon au voisinage de $a$.

]]> $f$ est définie en $a$

]]> Insuffisant : une fonction peut être définie en $a$ avec un
saut (par exemple $f(x) = -1$ si $x < 0$, $f(x) = 1$ si
$x \geq 0$, définie en $0$ mais discontinue).

]]> $\lim\limits_{x \to a} f(x)$ existe

]]> Incomplet : il faut de plus que cette limite soit égale
à $f(a)$. Une limite existante mais différente de $f(a)$
laisse un point décroché.

]]> $f$ est dérivable en $a$

]]> Erreur de sens : la dérivabilité entraîne la continuité,
mais ce n'est pas la définition, et la réciproque est fausse
(valeur absolue en $0$).

]]> Continuité — Q02 : Continuité et dérivabilité Quelle affirmation est vraie ?

]]> Hiérarchie à retenir : dérivable $\Rightarrow$ continue, mais
continue $\not\Rightarrow$ dérivable. Contre-exemple canonique :
$x \mapsto |x|$ en $0$ (continue, point anguleux).

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Toute fonction dérivable sur un intervalle est continue sur
cet intervalle

]]> Bonne réponse : c'est un théorème du cours. La dérivabilité
est une exigence plus forte que la continuité.

]]> Toute fonction continue sur un intervalle est dérivable sur
cet intervalle

]]> Faux : $x \mapsto |x|$ est continue sur $\mathbb{R}$ mais
pas dérivable en $0$ (la courbe a un point anguleux).

]]> Continuité et dérivabilité sont équivalentes

]]> Faux : l'implication ne marche que dans un sens. La valeur
absolue est continue partout sans être dérivable en $0$.

]]> Une fonction continue n'est jamais dérivable

]]> Faux : toutes les fonctions dérivables (polynômes,
exponentielle…) sont continues. Les deux propriétés
coexistent très souvent.

]]> Continuité — Q03 : Théorème des valeurs intermédiaires Soit $f$ continue sur $[1\,;\,4]$ avec $f(1) = -2$ et
$f(4) = 5$. Que peut-on affirmer sur l'équation $f(x) = 0$ ?

]]> TVI : si $f$ est continue sur $[a\,;\,b]$, alors $f$ prend
toute valeur comprise entre $f(a)$ et $f(b)$ au moins une fois.
Ici $0 \in [-2\,;\,5]$, donc $f(x) = 0$ a au moins une solution.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Elle admet au moins une solution dans $[1\,;\,4]$

]]> Bonne réponse : $0$ est compris entre $f(1) = -2$ et
$f(4) = 5$, et $f$ est continue : le théorème des valeurs
intermédiaires garantit au moins un antécédent de $0$.

]]> Elle admet exactement une solution dans $[1\,;\,4]$

]]> Trop fort : sans monotonie stricte, la courbe peut traverser
l'axe plusieurs fois. L'unicité demande une hypothèse
supplémentaire.

]]> Elle n'admet aucune solution

]]> Erreur : la fonction passe d'une valeur négative à une
valeur positive en restant continue ; elle ne peut pas
« sauter » par-dessus $0$.

]]> On ne peut rien dire sans connaître l'expression de $f$

]]> Erreur : c'est justement la force du théorème des valeurs
intermédiaires, il conclut à partir de la continuité et des
valeurs aux bornes, sans formule.

]]> Continuité — Q04 : Unicité de la solution Soit $f$ continue et strictement croissante sur
$[1\,;\,4]$, avec $f(1) = -2$ et $f(4) = 5$. Que peut-on dire
de l'équation $f(x) = 0$ ?

]]> Corollaire du TVI (fonctions strictement monotones) : $f$
continue et strictement monotone sur $[a\,;\,b]$, avec $k$
compris entre $f(a)$ et $f(b)$ : l'équation $f(x) = k$ admet
une unique solution dans $[a\,;\,b]$.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Elle admet une unique solution dans $[1\,;\,4]$

]]> Bonne réponse : l'existence vient du théorème des valeurs
intermédiaires, l'unicité de la stricte monotonie (la
fonction ne peut pas repasser deux fois par la même
valeur).

]]> Elle admet au moins deux solutions

]]> Impossible : une fonction strictement croissante prend
chaque valeur au plus une fois ; deux antécédents de $0$
contrediraient la croissance stricte.

]]> Elle peut ne pas avoir de solution

]]> Erreur : $0$ est entre $f(1) = -2$ et $f(4) = 5$ et $f$ est
continue : l'existence est garantie.

]]> La solution est $x = 2{,}5$, milieu de l'intervalle

]]> Erreur : rien n'indique où la courbe coupe l'axe. Le
théorème donne existence et unicité, pas la valeur (on
l'approche ensuite, par exemple par dichotomie).

]]> Continuité — Q05 : L'hypothèse de continuité est essentielle Soit $f$ définie sur $[0\,;\,2]$ (mais pas nécessairement
continue) avec $f(0) = -1$ et $f(2) = 1$. L'équation
$f(x) = 0$ a-t-elle forcément une solution ?

]]> Réflexe de vérification des hypothèses : le TVI demande la
continuité. Contre-exemple sans elle : la fonction en escalier
qui vaut $-1$ puis $1$ change de signe sans s'annuler.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Non : sans continuité, la fonction peut sauter par-dessus
$0$

]]> Bonne réponse : par exemple $f(x) = -1$ sur $[0\,;\,1[$ et
$f(x) = 1$ sur $[1\,;\,2]$ change de signe sans jamais
s'annuler. La continuité est une hypothèse indispensable du
théorème.

]]> Oui, par le théorème des valeurs intermédiaires

]]> Erreur : le théorème exige la continuité. Sans elle, sa
conclusion s'effondre : une fonction en escalier change de
signe sans s'annuler.

]]> Oui, car $f$ change de signe

]]> Erreur : le changement de signe ne suffit que pour une
fonction continue. Une fonction discontinue peut passer
de $-1$ à $1$ d'un coup.

]]> Oui, si de plus $f$ est croissante

]]> Erreur : même croissante, une fonction discontinue peut
sauter par-dessus $0$ (escalier croissant de $-1$ à $1$).
C'est bien la continuité qui interdit le saut.

]]> Continuité — Q06 : Limite d'une suite $u_{n+1} = f(u_n)$ Soit $f$ une fonction continue sur $\mathbb{R}$ et $(u_n)$ la
suite définie par $u_{n+1} = f(u_n)$. On suppose que $(u_n)$
converge vers un réel $\ell$. Que vérifie $\ell$ ?

]]> Si $u_n \to \ell$ et $f$ est continue en $\ell$, alors
$f(u_n) \to f(\ell)$. Or $f(u_n) = u_{n+1} \to \ell$. Par
unicité de la limite : $f(\ell) = \ell$.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $f(\ell) = \ell$

]]> Bonne réponse : par continuité de $f$, en passant à la
limite dans $u_{n+1} = f(u_n)$, on obtient
$\ell = f(\ell)$ : la limite est un point fixe de $f$.

]]> $f(\ell) = 0$

]]> Erreur : rien ne relie la limite aux zéros de $f$. Le
passage à la limite dans $u_{n+1} = f(u_n)$ donne
$\ell = f(\ell)$, pas $f(\ell) = 0$.

]]> $\ell = u_0$

]]> Erreur : la suite évolue à partir de $u_0$, elle n'a aucune
raison d'y rester. Sa limite est déterminée par l'équation
de point fixe.

]]> $f'(\ell) = 0$

]]> Erreur : la dérivée n'intervient pas dans ce passage à la
limite (et $f$ n'est même pas supposée dérivable). La
propriété utilisée est la continuité.

]]> Continuité — Q07 : Une étape de dichotomie Soit $f$ continue et strictement croissante sur $[1\,;\,2]$,
avec $f(1) < 0 < f(2)$. On calcule $f(1{,}5) < 0$. Dans quel
intervalle la méthode de dichotomie localise-t-elle la solution
de $f(x) = 0$ ?

]]> Dichotomie : on évalue $f$ au milieu $m$ de l'intervalle. Si
$f(m)$ a le même signe que la borne gauche, la racine est dans
$[m\,;\,b]$ ; sinon dans $[a\,;\,m]$. Ici $f(1{,}5) < 0$ comme
$f(1)$ : on garde $[1{,}5\,;\,2]$.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $[1{,}5\,;\,2]$

]]> Bonne réponse : le changement de signe se produit entre
$f(1{,}5) < 0$ et $f(2) > 0$ : la racine est dans la moitié
droite.

]]> $[1\,;\,1{,}5]$

]]> Erreur de lecture des signes : sur $[1\,;\,1{,}5]$, la
fonction reste négative aux deux bornes ($f(1) < 0$ et
$f(1{,}5) < 0$) : pas de traversée de zéro garantie là.

]]> $[1{,}25\,;\,1{,}75]$

]]> Erreur : la dichotomie ne recentre pas l'intervalle autour
du milieu, elle choisit la moitié où le signe change.

]]> On ne peut pas savoir

]]> Erreur : c'est tout le principe de la méthode. Le signe de
$f$ au milieu désigne sans ambiguïté la moitié qui contient
la racine.

]]> Continuité — Q08 : Continuité des fonctions usuelles Laquelle de ces fonctions est continue sur $\mathbb{R}$ tout
entier ?

]]> Sont continues sur leur ensemble de définition toutes les
fonctions construites usuellement (polynômes, exponentielle,
racine, inverse…). Pour être continue sur $\mathbb{R}$, il
faut d'abord être définie sur $\mathbb{R}$ : seul le polynôme
convient ici.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $x \mapsto x^3 - 2x + 1$

]]> Bonne réponse : les fonctions polynômes sont continues sur
$\mathbb{R}$, comme les fonctions exponentielle, sinus et
cosinus.

]]> $x \mapsto \dfrac{1}{x}$

]]> Erreur : la fonction inverse n'est pas définie en $0$, elle
n'est donc pas continue sur $\mathbb{R}$ (elle l'est sur
chacun des intervalles $]-\infty\,;\,0[$ et
$]0\,;\,+\infty[$).

]]> $x \mapsto \sqrt{x}$

]]> Erreur : la racine carrée n'est définie que sur
$[0\,;\,+\infty[$, elle ne peut pas être continue sur
$\mathbb{R}$ entier.

]]> La fonction qui vaut $-1$ si $x < 0$ et $1$ si $x \geq 0$

]]> Erreur : cette fonction saute de $-1$ à $1$ en $0$ : elle
est définie sur $\mathbb{R}$ mais discontinue en $0$.

]]> Continuité — Q09 : Localiser la solution après un calcul Soit $f$ continue et strictement croissante sur $[0\,;\,1]$,
avec $f(0) = -1$ et $f(1) = 3$. On note $\alpha$ l'unique
solution de $f(x) = 0$. Sachant que $f(0{,}5) = 0{,}8$, que
peut-on dire de $\alpha$ ?

]]> On encadre $\alpha$ par les points où $f$ change de signe :
$f(0) < 0 < f(0{,}5)$ et $f$ strictement croissante donnent
$\alpha \in \,]0\,;\,0{,}5[$. Chaque nouvelle évaluation de $f$
resserre l'encadrement (principe de la dichotomie).

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $\alpha \in \,]0\,;\,0{,}5[$

]]> Bonne réponse : $f(0) = -1 < 0$ et $f(0{,}5) = 0{,}8 > 0$ :
le changement de signe (donc $\alpha$) se situe entre $0$ et
$0{,}5$.

]]> $\alpha \in \,]0{,}5\,;\,1[$

]]> Erreur de lecture : $f(0{,}5) = 0{,}8 > 0$ signifie qu'en
$0{,}5$ la fonction a déjà dépassé $0$. Comme elle
croît, elle s'est annulée avant.

]]> $\alpha = 0{,}8$

]]> Confusion : $0{,}8$ est la valeur $f(0{,}5)$, une
ordonnée. $\alpha$ est une abscisse, l'endroit où $f$
s'annule.

]]> $\alpha \in \,]0{,}4\,;\,0{,}5[$

]]> Trop précis : le seul calcul disponible localise $\alpha$
entre $0$ et $0{,}5$. Resserrer davantage exigerait
d'évaluer $f$ en d'autres points.

]]> Continuité — Q10 : Image d'une suite convergente Soit $f$ une fonction continue en $2$ avec $f(2) = 7$, et
$(u_n)$ une suite qui converge vers $2$. Que peut-on dire de la
suite $\left(f(u_n)\right)$ ?

]]> Propriété clé (au programme) : si $u_n \to a$ et $f$ est
continue en $a$, alors $f(u_n) \to f(a)$. C'est elle qui
justifie le passage à la limite dans $u_{n+1} = f(u_n)$.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Elle converge vers $7$

]]> Bonne réponse : c'est la caractérisation séquentielle de la
continuité : $u_n \to 2$ et $f$ continue en $2$ entraînent
$f(u_n) \to f(2) = 7$.

]]> Elle converge vers $2$

]]> Erreur : $2$ est la limite des antécédents $u_n$. La
suite des images $f(u_n)$ se rapproche de l'image de $2$,
c'est-à-dire $7$.

]]> Elle converge vers $f(7)$

]]> Erreur : $7$ est déjà une image ($f(2) = 7$) ; il n'y a
aucune raison de réappliquer $f$.

]]> On ne peut rien dire sans monotonie de $f$

]]> Erreur : aucune monotonie n'est requise. La continuité en
$2$ suffit à transporter la convergence des $u_n$ vers
celle des $f(u_n)$.

]]> Continuité — Q11 : Nombre de solutions d'après un tableau de variations Une fonction $f$, continue sur $[0\,;\,4]$, croît strictement
de $f(0) = -3$ à $f(2) = 5$, puis décroît strictement de
$f(2) = 5$ à $f(4) = 1$. Combien l'équation $f(x) = 0$
admet-elle de solutions sur $[0\,;\,4]$ ?

]]> Méthode : appliquer le corollaire du TVI sur chaque intervalle
de monotonie, en vérifiant si $0$ est compris entre les
valeurs aux bornes. Branche montante $[-3\,;\,5]$ : une
solution. Branche descendante $[1\,;\,5]$ : $0$ n'y figure pas,
aucune solution.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Exactement une

]]> Bonne réponse : sur $[0\,;\,2]$, $f$ passe de $-3$ à $5$ en
croissant strictement : une unique solution. Sur
$[2\,;\,4]$, $f$ reste entre $5$ et $1$, toujours
strictement positive : aucune solution.

]]> Exactement deux

]]> Réflexe trompeur « une par branche » : sur la branche
décroissante, $f$ va de $5$ à $1$ sans traverser $0$.
Il faut comparer $0$ aux valeurs extrêmes de chaque branche.

]]> Aucune

]]> Erreur : sur $[0\,;\,2]$, $f$ passe de $-3$ (négatif) à $5$
(positif) en étant continue : elle s'annule forcément.

]]> Une infinité

]]> Erreur : la stricte monotonie sur chaque branche interdit de
repasser plusieurs fois par la même valeur ; les solutions
se comptent branche par branche.

]]> Continuité — Q12 : Ce que dit exactement le théorème Soit $f$ continue sur $[a\,;\,b]$. Que garantit exactement le
théorème des valeurs intermédiaires ?

]]> Le TVI est un théorème d'existence : chaque valeur
intermédiaire admet au moins un antécédent. Il ne donne ni
unicité (il faut la stricte monotonie) ni localisation (il faut
des calculs, par exemple une dichotomie).

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Toute valeur comprise entre $f(a)$ et $f(b)$ est atteinte
au moins une fois sur $[a\,;\,b]$

]]> Bonne réponse : existence d'un antécédent pour chaque valeur
intermédiaire, sans précision sur leur nombre ni sur leur
position.

]]> Toute valeur comprise entre $f(a)$ et $f(b)$ est atteinte
exactement une fois

]]> Trop fort : sans stricte monotonie, une valeur peut être
atteinte plusieurs fois (courbe qui oscille).

]]> $f$ ne prend aucune valeur en dehors de
$[f(a)\,;\,f(b)]$

]]> Erreur : la fonction peut dépasser ses valeurs aux bornes à
l'intérieur de l'intervalle (un sommet au milieu). Le
théorème parle des valeurs intermédiaires, pas d'un
encadrement de $f$.

]]> $f$ est strictement monotone sur $[a\,;\,b]$

]]> Erreur : la monotonie est une hypothèse supplémentaire
qu'on ajoute pour obtenir l'unicité ; le théorème lui-même
n'en dit rien.

]]> Continuité — Q13 : Une fonction en escalier La fonction partie entière (qui à $x$ associe le plus grand
entier inférieur ou égal à $x$) est-elle continue en $2$ ?

]]> La partie entière est en escalier : discontinue en chaque
entier (saut de hauteur $1$), continue partout ailleurs.
L'exemple à citer pour montrer que « définie » n'implique
pas « continue ».

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Non : elle saute de $1$ à $2$ en $x = 2$

]]> Bonne réponse : juste avant $2$ ($x = 1{,}99$), elle
vaut $1$ ; en $2$, elle vaut $2$ : le saut interdit de
tracer la courbe sans lever le crayon.

]]> Oui : elle est définie en $2$

]]> Confusion : être définie ne suffit pas : la continuité
exige que les valeurs voisines rejoignent la valeur
au point, or à gauche elles restent à $1$.

]]> Oui : les fonctions usuelles sont toutes continues

]]> Erreur : la partie entière est justement LE
contre-exemple usuel : continue nulle part sur les
entiers.

]]> Non, car elle n'est pas définie en $2$

]]> Diagnostic faux : elle est parfaitement définie
($\lfloor 2 \rfloor = 2$) : c'est le saut à gauche
qui casse la continuité.

]]> Continuité — Q14 : Continuité d'une composée usuelle Pourquoi la fonction $f(x) = e^{x^2 + 1}$ est-elle continue
sur $\mathbb{R}$ ?

]]> Boîte à outils : polynômes, $e^x$, $\ln$, $\sqrt{\ }$,
$\sin$, $\cos$ sont continues sur leur domaine, et sommes,
produits, quotients (dénominateur non nul), composées de
continues restent continues : la justification standard
tient en une ligne.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc C'est la composée de fonctions continues (un polynôme,
puis l'exponentielle)

]]> Bonne réponse : polynômes et exponentielle sont continus
sur $\mathbb{R}$, et la composition préserve la
continuité : aucun calcul de limite nécessaire.

]]> Parce qu'elle est strictement positive

]]> Sans rapport : le signe d'une fonction ne dit rien de sa
continuité (la partie entière décalée peut être positive
et discontinue).

]]> Parce qu'elle est définie partout

]]> Insuffisant : la partie entière aussi est définie
partout : c'est la stabilité par composition des
fonctions continues qui conclut.

]]> Il faudrait vérifier la limite en chaque point

]]> Économie manquée : les théorèmes d'opérations (somme,
produit, composée de continues) évitent exactement ce
travail point par point.

]]> Continuité — Q15 : Appliquer le TVI à $x^3 + x - 1$ Soit $f(x) = x^3 + x - 1$. Pourquoi l'équation $f(x) = 0$
admet-elle une solution dans $[0\ ;\ 1]$ ?

]]> Schéma de rédaction TVI : 1) $f$ continue ; 2) $f(a)$ et
$f(b)$ calculées, de signes opposés ; 3) conclusion
d'existence. (Ici $f' = 3x^2 + 1 > 0$ offre en prime
l'unicité : corollaire du TVI.)

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $f$ est continue, $f(0) = -1 < 0$ et $f(1) = 1 > 0$ : le
TVI conclut

]]> Bonne réponse : le trio complet : continuité + valeurs
de signes opposés aux bornes : la courbe doit traverser
l'axe entre $0$ et $1$.

]]> $f(0{,}5) = 0$ exactement

]]> Faux : $f(0{,}5) = 0{,}125 + 0{,}5 - 1 = -0{,}375$ : le
TVI garantit l'existence sans exhiber la valeur.

]]> Tout polynôme s'annule quelque part

]]> Faux en général : $x^2 + 1$ ne s'annule jamais. C'est le
changement de signe observé qui fait fonctionner le
théorème.

]]> Parce que $f$ est croissante

]]> Incomplet : la croissance seule ne donne pas de zéro
(exponentielle !) : il faut le changement de signe ; la
croissance ajoutera l'unicité.

]]> Continuité — Q16 : Encadrer la solution par balayage $f$ est continue et strictement croissante, et la
calculatrice donne $f(1{,}32) \approx -0{,}004 < 0$ et
$f(1{,}33) \approx 0{,}011 > 0$. Que peut-on conclure sur la
solution $\alpha$ de $f(x) = 0$ ?

]]> Balayage : tableau de valeurs au pas $10^{-n}$, repérer le
changement de signe : encadrement d'amplitude $10^{-n}$.
(La dichotomie fait mieux : elle divise l'intervalle par $2$
à chaque étape.)

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $1{,}32 < \alpha < 1{,}33$ : un encadrement d'amplitude
$10^{-2}$

]]> Bonne réponse : changement de signe entre deux valeurs
consécutives du balayage : $\alpha$ est coincé dans cet
intervalle : encadrement au centième.

]]> $\alpha = 1{,}325$ exactement

]]> Trop précis : le milieu de l'intervalle est une
approximation raisonnable, pas la valeur exacte : le
balayage ne donne que des encadrements.

]]> $\alpha = 1{,}33$, la valeur où $f$ devient positive

]]> Erreur : $f(1{,}33) > 0$ strictement : le zéro est
franchi avant $1{,}33$, quelque part dans
l'intervalle.

]]> Rien : la calculatrice ne prouve rien

]]> Trop sévère : combinés au TVI (continuité + signes), les
calculs de la machine fournissent un encadrement
parfaitement rigoureux.

]]> Continuité — Q17 : Le corollaire du TVI $f$ est continue et strictement croissante sur
$[2\ ;\ 5]$, avec $f(2) = -3$ et $f(5) = 4$. Combien de
solutions l'équation $f(x) = 1$ a-t-elle dans $[2\ ;\ 5]$ ?

]]> Corollaire du TVI (théorème de la bijection) : continue +
strictement monotone sur $[a\ ;\ b]$ : pour tout $k$ entre
$f(a)$ et $f(b)$, l'équation $f(x) = k$ a exactement UNE
solution. Le mot « exactement » vaut des points.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Exactement une, car $1$ est compris entre $-3$ et $4$

]]> Bonne réponse : existence par le TVI ($1 \in [-3\ ;\
4]$), unicité par la stricte monotonie (la fonction ne
peut pas repasser deux fois par la même valeur).

]]> Au moins une, peut-être plusieurs

]]> Version faible : c'est le TVI sans monotonie ; la
stricte croissance interdit tout second passage :
exactement une.

]]> Aucune : $1$ n'est ni $f(2)$ ni $f(5)$

]]> Contresens du théorème : le TVI affirme justement que
les valeurs intermédiaires entre $f(2)$ et $f(5)$
sont toutes atteintes.

]]> Deux : une en montant, une en descendant

]]> Erreur : la fonction ne fait que monter (strictement
croissante) : un seul franchissement du niveau $1$.

]]> Continuité — Q18 : Sans continuité, le TVI s'effondre Une fonction $f$ définie sur $[0\ ;\ 2]$ vérifie $f(0) = -1$
et $f(2) = 1$, mais l'équation $f(x) = 0$ n'a aucune
solution. Comment est-ce possible ?

]]> L'hypothèse de continuité n'est pas décorative : c'est elle
qui force le passage par toutes les valeurs intermédiaires.
Toute rédaction du TVI doit la mentionner explicitement,
sous peine d'appliquer un théorème faux.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $f$ n'est pas continue : elle saute par-dessus la valeur
$0$

]]> Bonne réponse : sans continuité, rien n'oblige à passer
par les valeurs intermédiaires : une fonction en
escalier (par exemple $-1$ puis $1$) enjambe le zéro.

]]> C'est impossible : le TVI l'interdit

]]> Le TVI ne s'applique qu'aux fonctions continues :
l'énoncé décrit précisément une fonction qui ne l'est
pas.

]]> $f$ n'est pas définie en $0$

]]> Contradiction avec l'énoncé : $f(0) = -1$ : elle est
définie ; c'est la continuité, pas la définition, qui
manque.

]]> $f$ prend des valeurs complexes entre les deux

]]> Hors cadre : les fonctions du programme sont à valeurs
réelles : l'explication est le saut d'une fonction
discontinue.

]]>