$course$/QCM de maths/Terminale spécialité/Combinatoire et dénombrement Principes additif et multiplicatif, $k$-uplets d'un ensemble
($n^k$), $k$-uplets d'éléments distincts, permutations et
factorielle, nombre de parties d'un ensemble ($2^n$),
combinaisons $\binom{n}{k}$, symétrie et triangle de Pascal,
modélisation (mots, chemins, tirages).

]]> Combinatoire et dénombrement — Q01 : Principe multiplicatif Un menu se compose d'une entrée choisie parmi $3$ et d'un plat
choisi parmi $4$. Combien de menus différents peut-on
composer ?

]]> Principe multiplicatif : une situation en étapes successives à
$n_1$, puis $n_2$ choix, offre $n_1 \times n_2$ possibilités.
Le principe additif ($+$) sert pour des cas disjoints (l'un
ou l'autre).

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $12$

]]> Bonne réponse : les choix sont successifs et indépendants :
$3 \times 4 = 12$ menus (principe multiplicatif).

]]> $7$

]]> Erreur : $3 + 4$ compterait un choix ou l'autre
(principe additif, pour des cas disjoints). Ici on choisit
une entrée et un plat : on multiplie.

]]> $3^4$

]]> Erreur : $3^4 = 81$ compterait $4$ choix successifs parmi
$3$ options. Ici il n'y a que deux choix : un parmi $3$,
puis un parmi $4$.

]]> $4^3$

]]> Erreur : $4^3 = 64$ compterait $3$ choix successifs parmi
$4$ options. La situation n'a que deux étapes :
$3 \times 4$.

]]> Combinatoire et dénombrement — Q02 : Permutations De combien de façons peut-on aligner $5$ livres distincts sur
une étagère ?

]]> Le nombre de permutations d'un ensemble à $n$ éléments est
$n! = n \times (n-1) \times \cdots \times 1$. Ici $5! = 120$.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $5! = 120$

]]> Bonne réponse : $5$ choix pour la première place, $4$ pour
la deuxième, etc. : $5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1
= 120$ permutations.

]]> $5^5 = 3125$

]]> Erreur : $5^5$ autoriserait de replacer le même livre à
plusieurs endroits. Les livres étant tous placés une seule
fois, les choix diminuent à chaque étape : c'est $5!$.

]]> $25$

]]> Erreur : $5 \times 5$ ne modélise que deux étapes avec
remise. Un alignement complet en compte cinq, sans remise :
$5!$.

]]> $5$

]]> Erreur : $5$ est le nombre de choix pour la première
place seulement. Chaque place suivante multiplie encore les
possibilités.

]]> Combinatoire et dénombrement — Q03 : $k$-uplets avec répétition Combien existe-t-il de codes à $4$ chiffres (chaque chiffre
allant de $0$ à $9$) ?

]]> Nombre de $k$-uplets d'un ensemble à $n$ éléments (répétitions
autorisées) : $n^k$. Ici $10^4 = 10\,000$ codes.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $10^4 = 10\,000$

]]> Bonne réponse : $10$ choix pour chacune des $4$ positions,
répétitions permises : $10 \times 10 \times 10 \times 10 =
10^4$ ($4$-uplets d'un ensemble à $10$ éléments).

]]> $4^{10}$

]]> Exposant inversé : la base est le nombre d'options par
position ($10$), l'exposant le nombre de positions ($4$).
$4^{10}$ compterait des mots de $10$ lettres sur $4$
symboles.

]]> $10 \times 9 \times 8 \times 7 = 5\,040$

]]> Erreur : ce calcul interdit les répétitions (chiffres tous
distincts). Or un code comme $7\,7\,2\,2$ est permis :
$10^4$.

]]> $40$

]]> Erreur : $10 \times 4$ ne correspond à aucun principe de
dénombrement ici. Les choix se multiplient position par
position : $10^4$.

]]> Combinatoire et dénombrement — Q04 : $k$-uplets d'éléments distincts Huit coureurs disputent une finale. Combien y a-t-il de podiums
possibles (premier, deuxième, troisième) ?

]]> Nombre de $k$-uplets d'éléments distincts d'un ensemble à
$n$ éléments : $n \times (n-1) \times \cdots \times (n-k+1)$.
Ici $8 \times 7 \times 6 = 336$ : l'ordre compte, pas de
répétition.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $8 \times 7 \times 6 = 336$

]]> Bonne réponse : les places sont ordonnées et un coureur
n'occupe qu'une place : $8$ choix pour l'or, $7$ pour
l'argent, $6$ pour le bronze.

]]> $8^3 = 512$

]]> Erreur : $8^3$ autoriserait un même coureur sur plusieurs
marches. Les éléments doivent être distincts : les
choix décroissent, $8 \times 7 \times 6$.

]]> $\dbinom{8}{3} = 56$

]]> Erreur : la combinaison ignore l'ordre, elle compterait
les trios de médaillés sans distinguer or, argent, bronze.
Un podium est ordonné : $56 \times 3! = 336$.

]]> $24$

]]> Erreur : $24 = 3!$ est le nombre de façons d'ordonner un
trio déjà choisi. Il faut aussi choisir le trio parmi
les huit coureurs.

]]> Combinatoire et dénombrement — Q05 : Choisir sans ordre Combien de façons y a-t-il de choisir $3$ délégués parmi $8$
élèves (les trois rôles étant identiques) ?

]]> Une combinaison compte les parties à $k$ éléments d'un
ensemble à $n$ éléments : $\binom{n}{k} =
\dfrac{n(n-1)\cdots(n-k+1)}{k!}$. L'ordre du choix ne compte
pas. Ici $\binom{8}{3} = 56$.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $\dbinom{8}{3} = 56$

]]> Bonne réponse : les rôles étant interchangeables, seul le
groupe compte : c'est une combinaison,
$\binom{8}{3} = \dfrac{8 \times 7 \times 6}{3!} = 56$.

]]> $336$

]]> Erreur : $8 \times 7 \times 6$ compte les choix
ordonnés. Chaque groupe de $3$ y apparaît $3! = 6$
fois : il faut diviser, $336 / 6 = 56$.

]]> $24$

]]> Erreur : $24 = 8 \times 3$ ne correspond à aucun
dénombrement de la situation. La formule est
$\binom{8}{3} = 56$.

]]> $512$

]]> Erreur : $8^3$ compte des triplets avec répétition (un
élève cumulant plusieurs postes). On choisit ici une
partie à 3 éléments : $\binom{8}{3}$.

]]> Combinatoire et dénombrement — Q06 : Nombre de parties d'un ensemble Combien un ensemble à $5$ éléments possède-t-il de parties
(sous-ensembles, y compris $\varnothing$ et lui-même) ?

]]> Un ensemble à $n$ éléments a $2^n$ parties : chaque élément est
indépendamment retenu ou écarté. C'est aussi
$\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k} = 2^n$.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $2^5 = 32$

]]> Bonne réponse : pour chaque élément, deux possibilités
(dedans ou dehors), d'où $2 \times 2 \times 2 \times 2
\times 2 = 32$ parties.

]]> $5^2 = 25$

]]> Exposant et base inversés : c'est $2$ choix (présent ou
absent) répété $5$ fois, donc $2^5$, pas $5^2$.

]]> $5! = 120$

]]> Erreur : la factorielle compte les ordres (les
permutations). Une partie n'est pas ordonnée : $2^5 = 32$.

]]> $10$

]]> Erreur : $10 = \binom{5}{2}$ ne compte que les parties à
deux éléments. Il faut toutes les tailles, de $0$ à
$5$ : $32$ en tout.

]]> Combinatoire et dénombrement — Q07 : Calculer $\dbinom{6}{2}$ Que vaut $\dbinom{6}{2}$ ?

]]> $\binom{n}{2} = \dfrac{n(n-1)}{2}$. Ici
$\dfrac{6 \times 5}{2} = 15$ : quinze paires possibles parmi
six éléments.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $15$

]]> Bonne réponse : $\binom{6}{2} = \dfrac{6 \times 5}{2!} =
\dfrac{30}{2} = 15$.

]]> $30$

]]> Oubli de la division par $2!$ : $6 \times 5 = 30$ compte
les couples ordonnés. Chaque paire y figure deux fois :
$30/2 = 15$.

]]> $12$

]]> Erreur : $6 \times 2 = 12$ n'est pas la formule. On
calcule $\dfrac{6 \times 5}{2} = 15$.

]]> $720$

]]> Erreur : $720 = 6!$ compte toutes les permutations de $6$
éléments, pas les paires. $\binom{6}{2} =
\dfrac{6!}{2!\,4!} = 15$.

]]> Combinatoire et dénombrement — Q08 : Utiliser la symétrie des combinaisons Que vaut $\dbinom{10}{8}$ ?

]]> Symétrie : $\binom{n}{k} = \binom{n}{n-k}$, car choisir les
élus équivaut à choisir les exclus. Toujours basculer vers le
petit indice : $\binom{10}{8} = \binom{10}{2} = 45$.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $\dbinom{10}{2} = 45$

]]> Bonne réponse : par symétrie $\binom{n}{k} =
\binom{n}{n-k}$ : choisir les $8$ retenus revient à choisir
les $2$ écartés. $\binom{10}{2} = \dfrac{10 \times 9}{2} =
45$.

]]> $90$

]]> Oubli de la division par $2!$ : $10 \times 9 = 90$ compte
les couples ordonnés d'écartés ; il faut diviser par $2$.

]]> $80$

]]> Erreur : $10 \times 8$ n'est pas une formule de
combinaison. Le raccourci est la symétrie :
$\binom{10}{8} = \binom{10}{2} = 45$.

]]> $5$

]]> Erreur : $10 - 8 + 3$ ? Aucun calcul simple ne donne $5$.
Symétrie puis formule : $\binom{10}{2} = 45$.

]]> Combinatoire et dénombrement — Q09 : Relation de Pascal Quelle égalité constitue la relation de Pascal (pour
$0 \leq k \leq n - 1$) ?

]]> Relation de Pascal : $\binom{n}{k} + \binom{n}{k+1} =
\binom{n+1}{k+1}$. Interprétation combinatoire : pour choisir
$k+1$ objets parmi $n+1$, on sépare les choix contenant ou non
un objet fixé.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $\dbinom{n}{k} + \dbinom{n}{k+1} = \dbinom{n+1}{k+1}$

]]> Bonne réponse : chaque coefficient du triangle de Pascal
est la somme des deux coefficients situés juste au-dessus
de lui.

]]> $\dbinom{n}{k} \times \dbinom{n}{k+1} = \dbinom{n+1}{k+1}$

]]> Erreur : la relation est additive (une somme), pas
multiplicative. Teste : $\binom{2}{0} + \binom{2}{1} = 3 =
\binom{3}{1}$.

]]> $\dbinom{n}{k} + \dbinom{n}{k+1} = \dbinom{n}{k+2}$

]]> Erreur : la somme fait passer à la ligne suivante du
triangle ($n+1$), pas deux cases plus loin sur la même
ligne.

]]> $\dbinom{n}{k} = \dbinom{n-1}{k} \times n$

]]> Erreur : ce n'est pas la relation de Pascal (et l'égalité
est fausse en général : $\binom{4}{2} = 6 \neq
\binom{3}{2} \times 4 = 12$).

]]> Combinatoire et dénombrement — Q10 : Somme d'une ligne du triangle de Pascal Que vaut la somme
$\dbinom{5}{0} + \dbinom{5}{1} + \dbinom{5}{2} + \dbinom{5}{3}
+ \dbinom{5}{4} + \dbinom{5}{5}$ ?

]]> $\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k} = 2^n$ : regrouper les parties d'un
ensemble à $n$ éléments par taille $k$ redonne le nombre total
de parties. Pour $n = 5$ : $1+5+10+10+5+1 = 32$.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $2^5 = 32$

]]> Bonne réponse : $\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k} = 2^n$
(démonstration au programme : on compte les parties d'un
ensemble à $n$ éléments de deux façons).

]]> $25$

]]> Erreur : $5^2$ inverse base et exposant. La somme d'une
ligne du triangle de Pascal double à chaque ligne : c'est
$2^n$.

]]> $31$

]]> Presque : $31 = 2^5 - 1$ oublie un terme (souvent
$\binom{5}{0} = 1$, la partie vide). La somme complète vaut
$32$.

]]> $64$

]]> Erreur : $64 = 2^6$ est la somme de la ligne suivante
($n = 6$). Pour $n = 5$ : $2^5 = 32$.

]]> Combinatoire et dénombrement — Q11 : Mots binaires à nombre de « 1 » fixé Combien existe-t-il de mots de longueur $6$ formés de $0$ et de
$1$ contenant exactement deux « 1 » ?

]]> Lien fondamental du programme : les mots de longueur $n$ sur
$\{0\,;\,1\}$ ayant exactement $k$ « 1 » sont au nombre de
$\binom{n}{k}$ (choix des positions). C'est le même comptage
que les chemins d'un arbre et les issues d'un schéma de
Bernoulli.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $\dbinom{6}{2} = 15$

]]> Bonne réponse : un tel mot est entièrement déterminé par le
choix des $2$ positions des « 1 » parmi les $6$ :
$\binom{6}{2} = 15$.

]]> $2^6 = 64$

]]> Erreur : $2^6$ compte tous les mots de longueur $6$,
sans contrainte sur le nombre de « 1 ». La contrainte
réduit à $\binom{6}{2}$.

]]> $6 \times 5 = 30$

]]> Erreur : ce produit ordonne les deux positions (première
puis deuxième), comptant chaque mot deux fois. Il faut
diviser par $2$ : $15$.

]]> $12$

]]> Erreur : $6 \times 2$ ne modélise pas le choix des
positions. Le bon objet est une combinaison :
$\binom{6}{2} = 15$.

]]> Combinatoire et dénombrement — Q12 : Tirage simultané On tire simultanément $2$ cartes dans un jeu de $32$
cartes. Combien y a-t-il de tirages possibles ?

]]> Traduire l'énoncé en modèle : « simultanément » = sans ordre =
combinaisons ; « successivement sans remise » = $k$-uplets
distincts ; « avec remise » = $k$-uplets quelconques ($n^k$).
Ici : $\binom{32}{2} = 496$.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $\dbinom{32}{2} = 496$

]]> Bonne réponse : « simultanément » signifie sans ordre :
on compte les paires, $\binom{32}{2} =
\dfrac{32 \times 31}{2} = 496$.

]]> $32 \times 31 = 992$

]]> Erreur : ce produit compte les tirages successifs sans
remise (ordre retenu). En tirage simultané, la paire
{as, roi} et {roi, as} sont le même tirage : on divise par
$2$.

]]> $32^2 = 1024$

]]> Erreur : $32^2$ compte les tirages successifs avec
remise (la même carte pouvant sortir deux fois), ce qui
est impossible simultanément.

]]> $64$

]]> Erreur : $32 \times 2$ ne correspond à aucun principe de
comptage. Paires parmi $32$ : $\binom{32}{2} = 496$.

]]> Combinatoire et dénombrement — Q13 : La convention $0! = 1$ Que vaut $0!$ ?

]]> $0! = 1$ : le produit de zéro facteur vaut $1$ (élément
neutre de la multiplication). Indispensable pour
$\binom{n}{0} = \binom{n}{n} = 1$ : les cas extrêmes des
formules.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $1$

]]> Bonne réponse : convention cohérente : il y a exactement
une façon d'ordonner zéro objet (ne rien faire), et elle
fait marcher toutes les formules ($\binom{n}{0} =
\frac{n!}{0!\,n!} = 1$).

]]> $0$

]]> Erreur : avec $0! = 0$, toutes les formules en
factorielle diviseraient par zéro : la convention
$0! = 1$ est justement choisie pour les sauver.

]]> Non défini

]]> Erreur : $0!$ est parfaitement défini, par convention
égale à $1$ : le produit vide vaut $1$ (comme une somme
vide vaut $0$).

]]> $-1$

]]> Erreur : une factorielle compte des façons d'ordonner :
jamais négative.

]]> Combinatoire et dénombrement — Q14 : Les poignées de main Huit personnes se serrent toutes la main une fois. Combien
de poignées de main sont échangées ?

]]> Choisir $2$ objets parmi $n$ sans ordre : $\binom{n}{2} =
\frac{n(n-1)}{2}$. Modèle des poignées de main, des matchs
d'un tournoi, des segments joignant $n$ points…

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $\dbinom{8}{2} = 28$

]]> Bonne réponse : une poignée de main = une paire de
personnes, sans ordre : $\binom{8}{2} = \frac{8 \times
7}{2} = 28$.

]]> $8 \times 7 = 56$

]]> Double comptage : $56$ compte les paires ordonnées
(Alice-Bob et Bob-Alice) : une poignée de main n'a pas
de sens : diviser par $2$.

]]> $8^2 = 64$

]]> Erreur : $64$ inclut les couples ordonnés ET les
« poignées avec soi-même » : la bonne structure est la
paire non ordonnée d'éléments distincts.

]]> $8! = 40320$

]]> Erreur : $8!$ ordonne les huit personnes en file : rien
à voir avec le choix de $2$ personnes parmi $8$.

]]> Combinatoire et dénombrement — Q15 : Le podium Dix coureurs disputent une course. Combien de podiums
(premier, deuxième, troisième) sont possibles ?

]]> Ordre + sans répétition = $k$-uplet d'éléments distincts :
$n(n-1)\cdots(n-k+1)$. La question à se poser d'abord :
l'ordre compte-t-il ? Oui → produit décroissant ; non →
combinaison.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $10 \times 9 \times 8 = 720$

]]> Bonne réponse : trois choix successifs sans répétition,
et l'ordre compte (or, argent, bronze) : un
$3$-uplet d'éléments distincts.

]]> $\dbinom{10}{3} = 120$

]]> Ordre perdu : $120$ compte les groupes de trois
médaillés sans distinguer or, argent, bronze : chaque
groupe donne $3! = 6$ podiums : $120 \times 6 = 720$.

]]> $10^3 = 1000$

]]> Répétition indue : $1000$ autorise le même coureur aux
trois places : impossible dans une course.

]]> $10 + 9 + 8 = 27$

]]> Erreur : les choix successifs se multiplient
(principe multiplicatif), ils ne s'additionnent pas.

]]> Combinatoire et dénombrement — Q16 : Compter par le complémentaire Combien de mots binaires de longueur $5$ contiennent au
moins un $1$ ?

]]> « Au moins un » = total moins « aucun » : un seul calcul au
lieu d'une somme de cinq termes ($\binom{5}{1} + \dots +
\binom{5}{5} = 31$, le contrôle). Réflexe valable tel quel
en probabilités.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $2^5 - 1 = 31$

]]> Bonne réponse : le total ($2^5 = 32$) moins le seul mot
sans aucun $1$ ($00000$) : « au moins un » se compte
presque toujours par le complémentaire.

]]> $2^5 = 32$

]]> Un mot de trop : $00000$ ne contient aucun $1$ : il faut
le retirer du total.

]]> $5$

]]> Erreur : $5$ compte les mots avec exactement un $1$
($\binom{5}{1}$) : « au moins un » englobe un, deux…
jusqu'à cinq $1$.

]]> $2^4 = 16$

]]> Erreur : fixer un $1$ quelque part ne modélise pas « au
moins un » (surcomptage et sous-comptage mêlés). La voie
sûre : total moins le cas interdit.

]]> Combinatoire et dénombrement — Q17 : Anagrammes de MATHS Combien d'anagrammes (mots avec ou sans sens) peut-on former
avec les lettres du mot MATHS ?

]]> Permutation de $n$ objets distincts : $n!$. (Avec des
lettres répétées, on diviserait par les factorielles des
répétitions : hors programme, mais la question tombe avec
des lettres distinctes.)

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $5! = 120$

]]> Bonne réponse : cinq lettres toutes distinctes à
ordonner : une permutation de $5$ objets, soit $5! =
120$.

]]> $5^5 = 3125$

]]> Répétition indue : $5^5$ autorise MMMMM : chaque lettre
ne peut servir qu'une fois : factorielle, pas puissance.

]]> $\dbinom{5}{5} = 1$

]]> Erreur : la combinaison choisit sans ordonner :
choisir les $5$ lettres parmi $5$, certes une façon,
mais l'anagramme est un ordre : $5!$.

]]> $5 \times 4 = 20$

]]> Arrêt prématuré : le produit continue jusqu'au bout :
$5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 120$.

]]> Combinatoire et dénombrement — Q18 : Comité avec contrainte Un groupe compte $5$ filles et $4$ garçons. Combien de
comités de $3$ personnes contiennent exactement $2$ filles ?

]]> Schéma « exactement $k$ de type A » : $\binom{|A|}{k} \times
\binom{|B|}{r-k}$ : combinaison dans chaque catégorie,
produit entre catégories. La structure exacte des questions
de loi hypergéométrique déguisée… et des sujets de bac.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $\dbinom{5}{2} \times \dbinom{4}{1} = 10 \times 4 = 40$

]]> Bonne réponse : deux choix indépendants : les $2$ filles
parmi $5$, puis le garçon parmi $4$ : le principe
multiplicatif assemble les deux.

]]> $\dbinom{9}{3} = 84$

]]> Contrainte ignorée : $84$ compte tous les comités de
$3$, y compris ceux à $0$, $1$ ou $3$ filles.

]]> $\dbinom{5}{2} + \dbinom{4}{1} = 14$

]]> Addition au lieu de multiplication : on choisit les
filles et le garçon : étapes successives = produit
(la somme servirait pour des cas exclusifs).

]]> $\dbinom{5}{2} = 10$

]]> Incomplet : le comité a $3$ membres : après les $2$
filles, il reste à choisir le garçon ($4$ façons).

]]>