$course$/QCM de maths/Terminale spécialité/Dérivation et convexité Dérivées usuelles et opérations (produit, quotient, composée
$e^{u}$), tangente, lien signe de la dérivée / variations,
convexité : dérivée seconde, position par rapport aux tangentes,
points d'inflexion, inégalités de convexité.

]]> Dérivation et convexité — Q01 : Dérivée de $x^3$ Quelle est la dérivée de la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$
par $f(x) = x^3$ ?

]]> Formule $(x^n)' = n\,x^{n-1}$ : l'exposant descend en facteur et
diminue de $1$. Donc $(x^3)' = 3x^2$.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $f'(x) = 3x^2$

]]> Bonne réponse : $(x^n)' = n\,x^{n-1}$, ici $n = 3$ donne
$3x^2$.

]]> $f'(x) = x^2$

]]> Oubli du coefficient : l'exposant descend en facteur.
$(x^3)' = 3x^2$, pas $x^2$.

]]> $f'(x) = 3x^3$

]]> Erreur : l'exposant doit diminuer de $1$. On multiplie
par $3$ puis on passe à $x^2$.

]]> $f'(x) = \dfrac{x^4}{4}$

]]> Erreur de sens : $\dfrac{x^4}{4}$ est une primitive de
$x^3$, c'est l'opération inverse de la dérivation.

]]> Dérivation et convexité — Q02 : Équation de la tangente Soit $f$ dérivable en $a$. Quelle est l'équation de la tangente à
la courbe de $f$ au point d'abscisse $a$ ?

]]> Tangente en $a$ : $y = f'(a)(x - a) + f(a)$. Elle passe par
$(a\,;\,f(a))$ et a pour coefficient directeur le nombre dérivé
$f'(a)$.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $y = f'(a)(x - a) + f(a)$

]]> Bonne réponse : droite de pente $f'(a)$ passant par le point
$(a\,;\,f(a))$.

]]> $y = f(a)(x - a) + f'(a)$

]]> Erreur d'échange : la pente est le nombre dérivé
$f'(a)$, et le point de passage a pour ordonnée $f(a)$, pas
l'inverse.

]]> $y = f'(a)\,x + f(a)$

]]> Erreur : il manque le décalage $-a$. Cette droite passe par
$(0\,;\,f(a))$ et non par le point de tangence
$(a\,;\,f(a))$ (sauf si $a = 0$).

]]> $y = f'(x)(x - a) + f(a)$

]]> Erreur : la pente d'une tangente est un nombre, $f'(a)$,
évalué au point de tangence. Avec $f'(x)$, l'équation ne
décrit plus une droite.

]]> Dérivation et convexité — Q03 : Dérivée d'un produit Soient $u$ et $v$ deux fonctions dérivables. Quelle est la
dérivée du produit $uv$ ?

]]> Règle du produit : $(uv)' = u'v + uv'$. À distinguer de la somme
($(u+v)' = u' + v'$) et du quotient
($\left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$).

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $(uv)' = u'v + uv'$

]]> Bonne réponse : chaque facteur est dérivé à tour de rôle,
l'autre restant intact, puis on additionne.

]]> $(uv)' = u'v'$

]]> Erreur très fréquente : la dérivée d'un produit n'est
pas le produit des dérivées. Contre-exemple :
$(x \cdot x)' = 2x$ alors que $x' \cdot x' = 1$.

]]> $(uv)' = u'v - uv'$

]]> Erreur de signe : le moins apparaît dans la dérivée d'un
quotient (au numérateur), pas dans celle d'un produit.

]]> $(uv)' = u' + v'$

]]> Erreur : $u' + v'$ est la dérivée de la somme $u + v$.
Le produit suit la règle $u'v + uv'$.

]]> Dérivation et convexité — Q04 : Dérivée de $e^{2x}$ Quelle est la dérivée de la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$
par $f(x) = e^{2x}$ ?

]]> $(e^{u})' = u'\,e^{u}$. Avec $u(x) = 2x$ :
$f'(x) = 2\,e^{2x}$.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $f'(x) = 2\,e^{2x}$

]]> Bonne réponse : $(e^{u})' = u'\,e^{u}$ avec $u(x) = 2x$ et
$u'(x) = 2$.

]]> $f'(x) = e^{2x}$

]]> Oubli du facteur $u'$ : seule $e^x$ est sa propre dérivée.
Pour $e^{2x}$, la dérivation fait sortir le facteur $2$.

]]> $f'(x) = 2\,e^{x}$

]]> Erreur : l'exposant ne change pas en dérivant. On garde
$e^{2x}$ et on multiplie par $u' = 2$.

]]> $f'(x) = 2x\,e^{2x - 1}$

]]> Erreur : tu as appliqué la règle des puissances
$(x^n)' = nx^{n-1}$ à une exponentielle. Ici la variable est
en exposant : la règle est $(e^u)' = u'e^u$.

]]> Dérivation et convexité — Q05 : Du signe de $f'$ aux variations Soit $f$ dérivable sur $\mathbb{R}$ avec
$f'(x) = (x - 2)(x + 1)$. Sur quel intervalle $f$ est-elle
décroissante ?

]]> $f'(x) = (x-2)(x+1)$ est négatif exactement entre ses racines
$-1$ et $2$ (trinôme à coefficient dominant positif). Donc $f$
est décroissante sur $[-1\,;\,2]$ et croissante ailleurs.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Sur $[-1\,;\,2]$

]]> Bonne réponse : $f'$ est un trinôme de racines $-1$ et $2$
avec coefficient dominant positif : $f' < 0$ entre ses
racines, donc $f$ décroît sur $[-1\,;\,2]$.

]]> Sur $]-\infty\,;\,-1]$

]]> Erreur : pour $x < -1$, les deux facteurs sont négatifs et
leur produit est positif : $f$ y est croissante.

]]> Sur $[2\,;\,+\infty[$

]]> Erreur : pour $x > 2$, les deux facteurs sont positifs,
donc $f' > 0$ et $f$ croît.

]]> Nulle part : un produit de deux facteurs est toujours positif

]]> Erreur : un produit est négatif quand ses deux facteurs sont
de signes contraires, ce qui arrive ici pour
$-1 < x < 2$.

]]> Dérivation et convexité — Q06 : Convexité et dérivée seconde Soit $f$ deux fois dérivable sur un intervalle $I$. À quelle
condition $f$ est-elle convexe sur $I$ ?

]]> Hiérarchie à retenir : le signe de $f$ dit où est la courbe, le
signe de $f'$ dit si elle monte, le signe de $f''$ dit comment
elle tourne : $f'' \geq 0$ sur $I$ $\Leftrightarrow$ $f$ convexe
sur $I$.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $f''(x) \geq 0$ pour tout $x$ de $I$

]]> Bonne réponse : $f$ convexe sur $I$ équivaut à $f''$ positive
sur $I$ (c'est-à-dire $f'$ croissante).

]]> $f''(x) \leq 0$ pour tout $x$ de $I$

]]> Erreur : $f'' \leq 0$ caractérise la concavité. Moyen
mémo : la parabole $x^2$ est convexe et $(x^2)'' = 2 > 0$.

]]> $f'(x) \geq 0$ pour tout $x$ de $I$

]]> Erreur : $f' \geq 0$ donne la croissance, pas la
convexité. Une fonction peut être décroissante et convexe
(comme $e^{-x}$).

]]> $f(x) \geq 0$ pour tout $x$ de $I$

]]> Erreur : le signe de $f$ elle-même n'a aucun lien avec sa
forme. La convexité parle de la courbure, lue sur $f''$.

]]> Dérivation et convexité — Q07 : Point d'inflexion Soit $f$ deux fois dérivable. Que faut-il pour que la courbe de
$f$ admette un point d'inflexion en $x = a$ ?

]]> Point d'inflexion $\Leftrightarrow$ changement de convexité
$\Leftrightarrow$ $f''$ change de signe. L'annulation seule de
$f''$ ne suffit pas ($x^4$ en $0$).

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Que $f''$ s'annule en $a$ en changeant de signe

]]> Bonne réponse : l'inflexion est un changement de courbure
(convexe/concave), donc un changement de signe de $f''$.

]]> Que $f''(a) = 0$, cela suffit

]]> Piège classique : pour $f(x) = x^4$, $f''(0) = 0$ mais
$f'' = 12x^2 \geq 0$ ne change pas de signe : pas
d'inflexion en $0$, la courbe reste convexe.

]]> Que $f'(a) = 0$

]]> Erreur : $f'(a) = 0$ signale une tangente horizontale
(extremum possible), pas un changement de courbure.

]]> Que la tangente en $a$ soit horizontale

]]> Erreur : l'inflexion n'impose rien à la pente. En un point
d'inflexion, la tangente traverse la courbe, qu'elle
soit horizontale ou non.

]]> Dérivation et convexité — Q08 : Lire la convexité sur une courbe Repère orthonormé avec la courbe de f(x) = x³ - 3x : elle monte jusqu'au maximum local (-1 ; 2), redescend jusqu'au minimum local (1 ; -2) puis remonte. Elle traverse l'origine, bombée vers le haut à gauche de 0 et creusée vers le haut à droite de 0.

La courbe $\mathcal{C}_f$ ci-dessous représente la fonction $f$
définie par $f(x) = x^3 - 3x$. Sur quel intervalle $f$
est-elle convexe ?

]]> Graphiquement, $f$ est convexe là où sa courbe est tournée vers
le haut, au-dessus de ses tangentes : ici à partir de l'origine.
Par le calcul : $f''(x) = 6x \geq 0 \Leftrightarrow x \geq 0$.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Sur $[0\,;\,+\infty[$

]]> Bonne réponse : à droite de $0$, la courbe « tient l'eau »
(tournée vers le haut) et se situe au-dessus de ses
tangentes. Par le calcul : $f''(x) = 6x \geq 0$ pour
$x \geq 0$.

]]> Sur $]-\infty\,;\,0]$

]]> Erreur : à gauche de $0$ la courbe est bombée vers le haut,
sous ses tangentes : c'est la partie concave
($f''(x) = 6x \leq 0$).

]]> Sur $[-1\,;\,1]$

]]> Erreur : $-1$ et $1$ sont les abscisses des extremums
locaux (lus sur $f'$), pas des changements de courbure. La
courbure change en $0$.

]]> Nulle part : la fonction n'est pas convexe

]]> Erreur : la convexité se juge par intervalle. Cette
courbe est concave sur $]-\infty\,;\,0]$ puis convexe sur
$[0\,;\,+\infty[$.

]]> Dérivation et convexité — Q09 : Lire un point d'inflexion Repère orthonormé avec la courbe de f(x) = x³ - 3x : elle monte jusqu'au maximum local (-1 ; 2), redescend jusqu'au minimum local (1 ; -2) puis remonte. Elle traverse l'origine, bombée vers le haut à gauche de 0 et creusée vers le haut à droite de 0.

La courbe $\mathcal{C}_f$ ci-dessous représente
$f(x) = x^3 - 3x$. En quel(s) point(s) admet-elle un point
d'inflexion ?

]]> $f''(x) = 6x$ s'annule en $0$ en changeant de signe :
l'origine est l'unique point d'inflexion. Les abscisses $-1$ et
$1$ correspondent aux extremums (signe de $f'$), un autre étage
de lecture.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Au point d'abscisse $0$ uniquement

]]> Bonne réponse : la courbure passe de concave à convexe en
$x = 0$ ($f''(x) = 6x$ s'y annule en changeant de signe).

]]> Aux points d'abscisses $-1$ et $1$

]]> Confusion classique : $-1$ et $1$ sont les extremums
locaux (annulation de $f'$). L'inflexion concerne $f''$,
qui change de signe en $0$.

]]> Au point d'abscisse $1$ uniquement

]]> Erreur : en $x = 1$ la fonction atteint un minimum local ;
la courbe y reste convexe, sans changement de courbure.

]]> Elle n'en admet aucun

]]> Erreur : la courbe change bien de courbure à l'origine :
bombée vers le haut avant, creusée vers le haut après. La
tangente en $0$ traverse la courbe.

]]> Dérivation et convexité — Q10 : Position par rapport aux tangentes Soit $f$ une fonction convexe et dérivable sur un intervalle
$I$. Comment sa courbe se place-t-elle par rapport à ses
tangentes sur $I$ ?

]]> Fonction convexe dérivable : la courbe est au-dessus de toutes
ses tangentes (et sous ses cordes). Pour une fonction concave,
c'est l'inverse.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Au-dessus de chacune de ses tangentes

]]> Bonne réponse : c'est la caractérisation géométrique de la
convexité pour une fonction dérivable.

]]> En dessous de chacune de ses tangentes

]]> Erreur : c'est la propriété des fonctions concaves.
Pense à $x^2$ : sa parabole domine toutes ses tangentes.

]]> Elle traverse chacune de ses tangentes

]]> Erreur : la traversée de la tangente est le marqueur d'un
point d'inflexion, impossible au sein d'un intervalle de
stricte convexité.

]]> Au-dessus de ses sécantes

]]> Erreur d'objet : une fonction convexe est au-dessus de ses
tangentes mais en dessous de ses cordes (sécantes) :
les deux se répondent.

]]> Dérivation et convexité — Q11 : L'inégalité $e^x \geq 1 + x$ Que peut-on dire de l'inégalité $e^x \geq 1 + x$ ?

]]> $y = 1 + x$ est la tangente en $0$ à la courbe de $\exp$
(pente $e^0 = 1$, point $(0\,;\,1)$). Comme $\exp$ est convexe
($(e^x)'' = e^x > 0$), sa courbe est au-dessus de cette tangente
partout : $e^x \geq 1 + x$ pour tout $x$, avec égalité en $0$.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Elle est vraie pour tout réel $x$ : la courbe de $\exp$,
convexe, est au-dessus de sa tangente en $0$

]]> Bonne réponse : $y = 1 + x$ est la tangente à la courbe de
l'exponentielle au point $(0\,;\,1)$, et $\exp$ est convexe
sur $\mathbb{R}$ : sa courbe domine toutes ses tangentes.

]]> Elle est vraie uniquement pour $x \geq 0$

]]> Erreur : teste $x = -2$ : $e^{-2} \approx 0{,}14$ et
$1 + (-2) = -1$. L'inégalité tient aussi pour les négatifs,
et en fait partout par convexité.

]]> Elle est fausse : c'est $e^x \leq 1 + x$ qui est vraie

]]> Erreur de sens : en $x = 1$, $e \approx 2{,}72 > 2 = 1 + 1$.
La courbe convexe est au-dessus de sa tangente.

]]> Elle est vraie seulement au voisinage de $0$

]]> Erreur : la tangence a lieu en $0$ (égalité), mais la
convexité de $\exp$ rend l'inégalité globale, valable
sur tout $\mathbb{R}$.

]]> Dérivation et convexité — Q12 : Le piège de $f'(a) = 0$ Soit $f$ dérivable sur $\mathbb{R}$ avec $f'(a) = 0$.
La fonction $f$ admet-elle nécessairement un extremum local en
$a$ ?

]]> $f'(a) = 0$ est nécessaire mais pas suffisant pour un
extremum local en un point intérieur. Le critère opérationnel :
$f'$ change de signe en $a$. Contre-exemple canonique :
$f(x) = x^3$ en $0$.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Non : pour $f(x) = x^3$ en $a = 0$, $f'(0) = 0$ sans
extremum

]]> Bonne réponse : $x^3$ est strictement croissante sur
$\mathbb{R}$, sa tangente horizontale en $0$ n'y crée aucun
extremum. Il faut que $f'$ change de signe en $a$.

]]> Oui : tangente horizontale signifie sommet ou creux

]]> Erreur : la tangente horizontale peut aussi être traversée
par la courbe (point d'inflexion à tangente horizontale,
comme $x^3$ en $0$).

]]> Oui, dès que $f$ est deux fois dérivable

]]> Erreur : $x^3$ est indéfiniment dérivable et fournit quand
même le contre-exemple : $f'(0) = 0$, $f''(0) = 0$, aucun
extremum.

]]> Non : $f'(a) = 0$ signifie que $a$ est un point d'inflexion

]]> Erreur : la conclusion « non » est juste, mais la raison est
fausse. $f'(a) = 0$ ne dit rien de la courbure : pour $x^2$
en $0$, c'est un vrai minimum, pas une inflexion.

]]>