$course$/QCM de maths/Terminale spécialité/Fonction logarithme népérien Logarithme népérien comme réciproque de l'exponentielle,
propriétés algébriques, dérivée et variations, limites en $0$ et
en $+\infty$, croissances comparées, équations et inéquations,
lien entre les courbes de $\ln$ et de $\exp$.

]]> Fonction logarithme népérien — Q01 : Valeurs de référence Que vaut $\ln(1)$ ?

]]> $\ln$ est la réciproque de $\exp$ : $\ln(x) = y$ signifie
$e^y = x$. Comme $e^0 = 1$, on a $\ln(1) = 0$ ; comme
$e^1 = e$, on a $\ln(e) = 1$.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $0$

]]> Bonne réponse : $\ln(1) = 0$ car $e^0 = 1$. La courbe de
$\ln$ coupe l'axe des abscisses en $x = 1$.

]]> $1$

]]> Erreur : c'est $\ln(e)$ qui vaut $1$ (car $e^1 = e$).
Retiens le couple : $\ln(1) = 0$ et $\ln(e) = 1$.

]]> $e$

]]> Erreur : $e \approx 2{,}718$ est la base de
l'exponentielle. Le logarithme répond à la question « à
quelle puissance élever $e$ ? » ; pour obtenir $1$, la
réponse est $0$.

]]> Ce nombre n'est pas défini

]]> Erreur : $\ln$ est définie sur $]0\,;\,+\infty[$, et
$1 > 0$. C'est $\ln(0)$ ou $\ln$ d'un nombre négatif qui
n'existe pas.

]]> Fonction logarithme népérien — Q02 : Logarithme d'un produit Pour tous réels $a > 0$ et $b > 0$, que vaut $\ln(ab)$ ?

]]> Équation fonctionnelle du logarithme :
$\ln(ab) = \ln(a) + \ln(b)$. On en déduit
$\ln(a/b) = \ln a - \ln b$ et $\ln(a^n) = n\ln(a)$.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $\ln(a) + \ln(b)$

]]> Bonne réponse : le logarithme transforme les produits en
sommes. C'est la propriété fondamentale, héritée de
$e^{x+y} = e^x \, e^y$.

]]> $\ln(a) \times \ln(b)$

]]> Erreur classique : le logarithme ne « distribue » pas sur le
produit en produit. Teste : $\ln(e \times e) = \ln(e^2) = 2$
alors que $\ln(e) \times \ln(e) = 1$.

]]> $\ln(a + b)$

]]> Erreur : $\ln(a+b)$ ne se simplifie pas. La formule
transforme le produit $ab$ en somme des logarithmes,
pas l'inverse.

]]> $\ln(a) - \ln(b)$

]]> Erreur : la différence correspond au quotient :
$\ln\!\left(\dfrac{a}{b}\right) = \ln(a) - \ln(b)$.

]]> Fonction logarithme népérien — Q03 : Simplifier $\ln(e^3)$ Que vaut $\ln(e^3)$ ?

]]> Réciprocité : $\ln(e^x) = x$ pour tout $x$ réel, et
$e^{\ln(x)} = x$ pour tout $x > 0$. Donc $\ln(e^3) = 3$.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $3$

]]> Bonne réponse : $\ln(e^x) = x$ pour tout réel $x$, car
$\ln$ et $\exp$ sont réciproques l'une de l'autre.

]]> $e^3$

]]> Erreur : appliquer $\ln$ à $e^3$ « défait » l'exponentielle
et rend l'exposant : le résultat est $3$, pas
$e^3 \approx 20$.

]]> $3e$

]]> Erreur : aucun produit par $e$ n'apparaît.
$\ln(e^3) = 3\ln(e) = 3 \times 1 = 3$.

]]> $\ln(3)$

]]> Erreur : tu as remplacé $e^3$ par $3$ avant d'appliquer
$\ln$. La règle est $\ln(e^x) = x$ : le logarithme extrait
l'exposant.

]]> Fonction logarithme népérien — Q04 : Dérivée du logarithme Quelle est la dérivée de la fonction $\ln$ sur
$]0\,;\,+\infty[$ ?

]]> Résultat du cours (démonstration au programme, la dérivabilité
étant admise) : $(\ln x)' = \dfrac{1}{x}$ sur
$]0\,;\,+\infty[$. Positif, donc $\ln$ strictement croissante.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $x \mapsto \dfrac{1}{x}$

]]> Bonne réponse : $(\ln x)' = \dfrac{1}{x}$, strictement
positive sur $]0\,;\,+\infty[$, ce qui prouve que $\ln$ est
strictement croissante.

]]> $x \mapsto -\dfrac{1}{x^2}$

]]> Erreur : $-\dfrac{1}{x^2}$ est la dérivée de la fonction
inverse $x \mapsto \dfrac{1}{x}$, pas celle de $\ln$.

]]> $x \mapsto \ln(x) \cdot \dfrac{1}{x}$

]]> Erreur : aucune règle ne fait réapparaître $\ln$ dans sa
propre dérivée. Le résultat est simplement $\dfrac{1}{x}$.

]]> $x \mapsto e^x$

]]> Erreur : $e^x$ est la dérivée de l'exponentielle. Être
réciproques ne donne pas la même dérivée.

]]> Fonction logarithme népérien — Q05 : Dérivée de $\ln(u)$ Quelle est la dérivée de $f(x) = \ln(x^2 + 1)$ sur
$\mathbb{R}$ ?

]]> $(\ln u)' = \dfrac{u'}{u}$ (avec $u > 0$). Ici
$u(x) = x^2 + 1 > 0$ pour tout $x$, donc $f$ est définie sur
$\mathbb{R}$ et $f'(x) = \dfrac{2x}{x^2+1}$.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $f'(x) = \dfrac{2x}{x^2 + 1}$

]]> Bonne réponse : $(\ln u)' = \dfrac{u'}{u}$ avec
$u(x) = x^2 + 1$ et $u'(x) = 2x$.

]]> $f'(x) = \dfrac{1}{x^2 + 1}$

]]> Oubli du facteur $u'$ : la formule de la composée est
$\dfrac{u'}{u}$, pas $\dfrac{1}{u}$. Il manque $2x$ au
numérateur.

]]> $f'(x) = 2x \, \ln(x^2 + 1)$

]]> Erreur : le logarithme disparaît en dérivant ; il ne reste
jamais de $\ln$ en facteur dans la dérivée de $\ln(u)$.

]]> $f'(x) = \dfrac{1}{2x}$

]]> Erreur : tu as dérivé comme si l'intérieur était la
variable, puis inversé $u'$. La règle exacte :
$(\ln u)' = \dfrac{u'}{u} = \dfrac{2x}{x^2+1}$.

]]> Fonction logarithme népérien — Q06 : Résoudre $e^x = 5$ Quelle est la solution de l'équation $e^x = 5$ ?

]]> Pour tout $k > 0$, l'équation $e^x = k$ a pour unique solution
$x = \ln(k)$. C'est l'utilisation type de la réciprocité
$\ln(e^x) = x$.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $x = \ln(5)$

]]> Bonne réponse : on applique $\ln$ aux deux membres :
$\ln(e^x) = x$ et l'équation devient $x = \ln 5 \approx
1{,}61$.

]]> $x = \dfrac{5}{e}$

]]> Erreur : l'exponentielle n'est pas une multiplication par
$e$ ; on ne « divise » pas par $e$ pour isoler $x$. On
applique la fonction réciproque $\ln$.

]]> $x = e^5$

]]> Erreur de sens : $e^5 \approx 148$ est l'image de $5$ par
l'exponentielle. On cherche au contraire l'antécédent de
$5$, c'est $\ln 5$.

]]> $x = 5 - e$

]]> Erreur : aucune soustraction ne défait une exponentielle.
L'outil adapté est le logarithme : $x = \ln 5$.

]]> Fonction logarithme népérien — Q07 : Résoudre $\ln(x) \leq 2$ Quel est l'ensemble des solutions de l'inéquation
$\ln(x) \leq 2$ ?

]]> Deux étapes : (1) domaine : $x > 0$ ; (2) croissance de
$\exp$ : $\ln x \leq 2 \Leftrightarrow x \leq e^2$.
Solutions : $]0\,;\,e^2]$.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $]0\,;\,e^2]$

]]> Bonne réponse : il faut d'abord $x > 0$ (domaine de
$\ln$), puis $\ln x \leq 2 \Leftrightarrow x \leq e^2$ car
$\exp$ est croissante. D'où $0 < x \leq e^2$.

]]> $]-\infty\,;\,e^2]$

]]> Oubli du domaine : $\ln(x)$ n'existe que pour $x > 0$. Les
nombres négatifs ne peuvent pas être solutions d'une
inéquation qui n'a pas de sens pour eux.

]]> $[e^2\,;\,+\infty[$

]]> Sens inversé : $\ln$ est croissante, donc
$\ln x \leq 2$ correspond aux petites valeurs de $x$
(jusqu'à $e^2$), pas aux grandes.

]]> $]0\,;\,2]$

]]> Erreur : le seuil se convertit par l'exponentielle,
$\ln x \leq 2 \Leftrightarrow x \leq e^2 \approx 7{,}39$,
pas $x \leq 2$.

]]> Fonction logarithme népérien — Q08 : Limite en $0^+$ Quelle est la limite de $\ln(x)$ quand $x$ tend vers $0$ par
valeurs supérieures ?

]]> Limites de référence : $\lim_{x \to 0^+} \ln x = -\infty$ et
$\lim_{x \to +\infty} \ln x = +\infty$. La courbe longe l'axe
des ordonnées vers le bas.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $-\infty$

]]> Bonne réponse : près de $0$, le logarithme plonge vers
$-\infty$ ; l'axe des ordonnées est asymptote verticale à
la courbe.

]]> $0$

]]> Erreur : c'est en $x = 1$ que $\ln$ s'annule. Près de $0$,
$\ln(0{,}001) \approx -6{,}9$ : les valeurs dévissent vers
$-\infty$.

]]> $+\infty$

]]> Erreur de sens : $+\infty$ est la limite en $+\infty$. En
$0^+$, le logarithme des tout petits nombres est très
négatif.

]]> Elle n'existe pas

]]> Erreur : la limite existe au sens des limites infinies :
$\lim_{x \to 0^+} \ln x = -\infty$.

]]> Fonction logarithme népérien — Q09 : Croissance comparée $\ln x$ contre $x$ Quelle est la limite de $\dfrac{\ln(x)}{x}$ quand $x$ tend vers
$+\infty$ ?

]]> Croissance comparée (au programme) : pour tout entier
$n \geq 1$, $\lim_{x \to +\infty} \dfrac{\ln x}{x^n} = 0$.
Hiérarchie à mémoriser : $\ln x \ll x^n \ll e^x$.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $0$

]]> Bonne réponse : par croissance comparée, toute puissance de
$x$ l'emporte sur $\ln x$ en $+\infty$ : le quotient tend
vers $0$.

]]> $+\infty$

]]> Erreur : le logarithme croît vers $+\infty$, mais
beaucoup plus lentement que $x$ : pour $x = e^{10}
\approx 22\,000$, le quotient vaut à peine $0{,}00045$.

]]> $1$

]]> Erreur : numérateur et dénominateur ne sont pas du même
ordre de grandeur. Le logarithme est écrasé par $x$.

]]> $e$

]]> Erreur : $e$ ne joue aucun rôle particulier dans cette
limite. La croissance comparée donne $0$.

]]> Fonction logarithme népérien — Q10 : Courbes de $\ln$ et de $\exp$ Repère orthonormé avec trois courbes : l'exponentielle en bleu (croissante, passe par (0 ; 1)), le logarithme népérien en rouge (croissant, passe par (1 ; 0)) et la droite y = x en pointillés. Les deux courbes sont symétriques l'une de l'autre par rapport à cette droite.

La figure ci-dessous montre les courbes de $\exp$ (en bleu) et
de $\ln$ (en rouge). Par quelle transformation la courbe de
$\ln$ se déduit-elle de celle de $\exp$ ?

]]> $\ln$ étant la réciproque de $\exp$, leurs courbes sont
symétriques par rapport à la droite $y = x$ : $(a\,;\,b)$ sur
l'une équivaut à $(b\,;\,a)$ sur l'autre. Exemple :
$(0\,;\,1)$ sur $\exp$, $(1\,;\,0)$ sur $\ln$.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc La symétrie par rapport à la droite d'équation $y = x$

]]> Bonne réponse : c'est la propriété des courbes de deux
fonctions réciproques. Le point $(a\,;\,b)$ est sur la
courbe de $\exp$ si et seulement si $(b\,;\,a)$ est sur
celle de $\ln$.

]]> La symétrie par rapport à l'axe des abscisses

]]> Erreur : cette symétrie transformerait $e^x$ en $-e^x$
(courbe entièrement sous l'axe), pas en $\ln x$.

]]> La symétrie par rapport à l'axe des ordonnées

]]> Erreur : cette symétrie donnerait $x \mapsto e^{-x}$
(décroissante), pas le logarithme.

]]> Une translation

]]> Erreur : aucune translation ne transforme l'une en l'autre
(leurs domaines diffèrent : $\mathbb{R}$ pour $\exp$,
$]0\,;\,+\infty[$ pour $\ln$). L'échange des rôles de $x$
et $y$ est une symétrie par rapport à $y = x$.

]]> Fonction logarithme népérien — Q11 : Limite de $x \ln(x)$ en $0^+$ Quelle est la limite de $x \ln(x)$ quand $x$ tend vers $0$ par
valeurs supérieures ?

]]> Limite de référence (démonstration au programme) :
$\lim_{x \to 0^+} x\ln(x) = 0$. Dans le duel
« $0 \times \infty$ », la puissance de $x$ l'emporte sur le
logarithme.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $0$

]]> Bonne réponse : forme « $0 \times \infty$ », mais le facteur
$x$ écrase le logarithme : $x\ln x \to 0$ (limite au
programme).

]]> $-\infty$

]]> Erreur : $\ln x \to -\infty$, certes, mais il est multiplié
par $x \to 0$, qui gagne ce bras de fer. Pour
$x = 0{,}001$ : $x\ln x \approx -0{,}0069$, déjà minuscule.

]]> $+\infty$

]]> Erreur : le produit est négatif près de $0$ (car
$\ln x < 0$), il ne peut pas tendre vers $+\infty$. Et son
module s'écrase vers $0$.

]]> $1$

]]> Erreur : aucune compensation exacte n'a lieu ; le facteur
$x$ l'emporte et le produit s'annule à la limite.

]]> Fonction logarithme népérien — Q12 : Simplifier $\ln(2) + \ln(3)$ Que vaut $\ln(2) + \ln(3)$ ?

]]> La propriété $\ln a + \ln b = \ln(ab)$ se lit dans les deux
sens : elle regroupe une somme de logarithmes en un seul, ou
éclate un logarithme de produit. Ici :
$\ln 2 + \ln 3 = \ln 6$.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $\ln(6)$

]]> Bonne réponse : $\ln a + \ln b = \ln(ab)$, donc
$\ln 2 + \ln 3 = \ln(2 \times 3) = \ln 6$.

]]> $\ln(5)$

]]> Erreur classique : la somme des logarithmes correspond au
produit des arguments, pas à leur somme.
$\ln 2 + \ln 3 = \ln 6$, et $\ln(2+3) = \ln 5$ est un autre
nombre.

]]> $\ln(9)$

]]> Erreur : $\ln 9 = \ln(3^2) = 2\ln 3$. Ici on additionne
$\ln 2$ et $\ln 3$, ce qui donne $\ln(2 \times 3)$.

]]> $6$

]]> Erreur : le logarithme ne disparaît pas. Le résultat est
$\ln 6 \approx 1{,}79$, pas $6$.

]]> Fonction logarithme népérien — Q13 : Logarithme d'un inverse Comment s'écrit $\ln\left(\dfrac{1}{4}\right)$ ?

]]> $\ln\frac{1}{a} = -\ln a$ et $\ln\frac{a}{b} = \ln a - \ln
b$ : le logarithme convertit la structure multiplicative en
structure additive. Les inverses deviennent des opposés.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $-\ln 4$, soit $-2\ln 2$

]]> Bonne réponse : $\ln\frac{1}{a} = -\ln a$ (l'inverse
devient un opposé), puis $\ln 4 = \ln 2^2 = 2\ln 2$.

]]> $\dfrac{1}{\ln 4}$

]]> Erreur : le logarithme ne « traverse » pas la fraction :
il transforme l'inverse en opposé, pas en inverse du
logarithme.

]]> $\ln 1 - 4$

]]> Erreur d'écriture : la règle du quotient donne $\ln 1 -
\ln 4 = 0 - \ln 4$ : le $4$ reste sous logarithme.

]]> $4^{-1}$

]]> Erreur : $4^{-1} = \frac{1}{4}$ est le nombre de départ,
pas son logarithme (qui vaut environ $-1{,}39$).

]]> Fonction logarithme népérien — Q14 : Logarithme d'une puissance Comment s'écrit $\ln 8$ en fonction de $\ln 2$ ?

]]> $\ln(a^n) = n\ln a$ : la propriété la plus utilisée du
chapitre (résolutions de $q^n < \varepsilon$, sommes
géométriques…). Toujours décomposer : $8 = 2^3$, $81 = 3^4$…

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $\ln 8 = 3\ln 2$

]]> Bonne réponse : $8 = 2^3$, et $\ln(a^n) = n\ln a$ :
l'exposant descend en facteur.

]]> $\ln 8 = (\ln 2)^3$

]]> Erreur : l'exposant sort en facteur, pas en
puissance du logarithme : $(\ln 2)^3 \approx 0{,}33$
alors que $\ln 8 \approx 2{,}08$.

]]> $\ln 8 = \ln 2 + 6$

]]> Erreur : $8 = 2 \times 4$ donnerait $\ln 2 + \ln 4$ : le
$6$ additif ne correspond à aucune règle.

]]> $\ln 8 = 4\ln 2$

]]> Erreur d'exposant : $8 = 2^3$ (et non $2^4 = 16$) :
facteur $3$.

]]> Fonction logarithme népérien — Q15 : Signe de $\ln x$ Pour quels réels $x$ a-t-on $\ln x < 0$ ?

]]> Signe de $\ln$ : négatif sur $]0\ ;\ 1[$, nul en $1$,
positif sur $]1\ ;\ +\infty[$. À superposer mentalement à la
courbe : la traversée de l'axe se fait en $x = 1$.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Pour $0 < x < 1$

]]> Bonne réponse : le logarithme s'annule en $1$ et croît :
négatif avant $1$, positif après. $\ln(0{,}5) \approx
-0{,}69$.

]]> Pour $x < 0$

]]> Erreur de domaine : $\ln x$ n'existe pas pour $x
\leq 0$ : la question du signe ne se pose que sur
$]0\ ;\ +\infty[$.

]]> Pour $x < e$

]]> Erreur de repère : le point d'annulation est $1$ ($\ln 1
= 0$), pas $e$ ($\ln e = 1$). Entre $1$ et $e$, $\ln$
est déjà positif.

]]> Jamais : un logarithme est toujours positif

]]> Erreur : $\ln(0{,}1) \approx -2{,}3$. Sur $]0\ ;\ 1[$,
le logarithme est négatif (et plonge vers $-\infty$ en
$0^+$).

]]> Fonction logarithme népérien — Q16 : Domaine de $\ln(u)$ Sur quel ensemble la fonction $f(x) = \ln(2x - 6)$
est-elle définie ?

]]> $\ln(u(x))$ exige $u(x) > 0$ : résoudre cette inéquation est
le premier réflexe de tout exercice. Ici $2x - 6 > 0 \iff
x > 3$.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $]3\ ;\ +\infty[$

]]> Bonne réponse : il faut $2x - 6 > 0$, soit $x > 3$ :
l'intérieur du logarithme doit être strictement
positif.

]]> $[3\ ;\ +\infty[$

]]> Borne fausse : en $x = 3$, l'intérieur vaut $0$ et $\ln
0$ n'existe pas : intervalle ouvert en $3$.

]]> $]0\ ;\ +\infty[$

]]> Erreur : la condition porte sur $2x - 6$, pas sur $x$ :
c'est l'argument du logarithme qui doit être
positif.

]]> $\mathbb{R}$

]]> Erreur : $f(0) = \ln(-6)$ n'existe pas : le logarithme
n'accepte que du strictement positif.

]]> Fonction logarithme népérien — Q17 : Dérivée de $x\ln x$ Quelle est la dérivée de $f(x) = x\ln x$ sur
$]0\ ;\ +\infty[$ ?

]]> $(x\ln x)' = \ln x + 1$ : calcul fétiche du chapitre
(minimum en $x = e^{-1}$, primitives…). La règle du produit
s'applique dès qu'un facteur accompagne le logarithme.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $f'(x) = \ln x + 1$

]]> Bonne réponse : produit $u = x$, $v = \ln x$ : $u'v +
uv' = 1 \times \ln x + x \times \frac{1}{x} = \ln x +
1$.

]]> $f'(x) = \dfrac{1}{x}$

]]> Erreur : $\frac{1}{x}$ est la dérivée de $\ln x$ seul :
le facteur $x$ impose la règle du produit.

]]> $f'(x) = \ln x$

]]> Incomplet : il manque le terme $x \times \frac{1}{x} =
1$ : la dérivée est $\ln x + 1$.

]]> $f'(x) = 1 \times \dfrac{1}{x} = \dfrac{1}{x}$

]]> Erreur : le produit des dérivées n'est pas la dérivée du
produit : la règle est $u'v + uv'$.

]]> Fonction logarithme népérien — Q18 : Résoudre $0{,}8^n < 0{,}01$ Pour quels entiers $n$ a-t-on $0{,}8^n < 0{,}01$ ?

]]> Résolution type de $q^n < \varepsilon$ pour $0 < q < 1$ :
logarithme des deux côtés, division par $\ln q < 0$ en
retournant l'inégalité. L'oubli de l'inversion est
l'erreur numéro un du chapitre.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $n \geq 21$, car $n > \dfrac{\ln 0{,}01}{\ln 0{,}8}
\approx 20{,}6$ (l'inégalité change de sens : $\ln
0{,}8 < 0$)

]]> Bonne réponse : $n\ln 0{,}8 < \ln 0{,}01$, et la
division par $\ln 0{,}8$, négatif, retourne
l'inégalité.

]]> $n \leq 20$, car $n < \dfrac{\ln 0{,}01}{\ln 0{,}8}$

]]> Sens non inversé : diviser par $\ln 0{,}8 \approx
-0{,}22$, négatif, retourne le sens. (Contrôle :
$0{,}8^1 = 0{,}8$, loin d'être $< 0{,}01$.)

]]> Aucun : une puissance reste toujours au-dessus de
$0{,}01$

]]> Erreur : $0{,}8^n \to 0$ : la suite finit par passer
sous n'importe quel seuil positif : ici au rang $21$.

]]> $n \geq 5$, car $0{,}8 \times 5 > 0{,}01$… non, essayons
$n = 5$

]]> Erreur : $0{,}8^5 \approx 0{,}33$, très au-dessus de
$0{,}01$. La bonne méthode passe par le logarithme,
inversion de sens comprise.

]]> Fonction logarithme népérien — Q19 : Simplifier $\ln(e^x \times e)$ Pour tout réel $x$, que vaut $\ln\left(e^x \times e\right)$ ?

]]> Deux chemins équivalents : regrouper ($e^{x+1}$) puis
simplifier, ou éclater ($\ln e^x + \ln e$). Les allers
retours $\ln \leftrightarrow \exp$ doivent être des
automatismes : $\ln(e^a) = a$, $e^{\ln b} = b$ ($b > 0$).

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $x + 1$

]]> Bonne réponse : $e^x \times e = e^{x+1}$, et $\ln$
annule $\exp$ : reste $x + 1$. (Ou : $\ln e^x + \ln e =
x + 1$.)

]]> $x$

]]> Facteur oublié : le $\times\, e$ ajoute $\ln e = 1$ au
résultat.

]]> $e^{x+1}$

]]> Logarithme non appliqué : $\ln(e^{x+1}) = x + 1$ : les
deux fonctions réciproques s'annulent.

]]> $x\,e$

]]> Erreur : le produit dans le logarithme devient une
somme de logarithmes ($x + 1$), jamais un produit.

]]> Fonction logarithme népérien — Q20 : Limite de $\ln x$ en $+\infty$ Que vaut $\lim\limits_{x \to +\infty} \ln x$ ?

]]> $\lim_{+\infty} \ln x = +\infty$, mais plus lentement que
toute puissance ($\frac{\ln x}{x} \to 0$) : croissance
illimitée ET négligeable : les deux faits cohabitent.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $+\infty$ : le logarithme dépasse tout seuil, mais très
lentement

]]> Bonne réponse : $\ln x$ finit par dépasser $100$, $1000$…
(dès $x > e^{100}$, etc.) : limite $+\infty$, malgré une
croissance d'escargot.

]]> Une valeur plafond finie, car la courbe s'aplatit

]]> Illusion graphique classique : la courbe s'aplatit mais
ne plafonne pas : $\ln x > 100$ dès que $x > e^{100}$.
Aucune asymptote horizontale.

]]> $e$

]]> Erreur : $e$ est la base ($\ln e = 1$), pas une limite :
en $+\infty$ le logarithme croît sans borne.

]]> $0$

]]> Erreur : $\ln x \to 0$ quand $x \to 1$, pas à l'infini.
En $+\infty$, la limite est $+\infty$.

]]> Fonction logarithme népérien — Q21 : Concavité du logarithme La dérivée seconde de $\ln$ est $-\dfrac{1}{x^2} < 0$.
Quelle inégalité en découle ?

]]> $\ln$ est concave ($f'' < 0$) : courbe sous ses tangentes,
d'où $\ln x \leq x - 1$ : l'inégalité miroir de $e^x \geq
1 + x$ (les deux courbes sont symétriques par rapport à
$y = x$).

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $\ln x \leq x - 1$ pour tout $x > 0$ : la courbe est
sous sa tangente en $1$

]]> Bonne réponse : concave = courbe sous chacune de ses
tangentes ; celle en $x = 1$ a pour équation $y = x -
1$. Égalité seulement en $x = 1$.

]]> $\ln x \geq x - 1$ pour tout $x > 0$

]]> Sens inversé : c'est la position d'une courbe
convexe au-dessus de ses tangentes (comme $e^x \geq
1 + x$). Le logarithme, concave, est en dessous.

]]> $\ln x \leq 0$ pour tout $x > 0$

]]> Faux : $\ln 10 \approx 2{,}3 > 0$. La concavité parle de
la position par rapport aux tangentes, pas à l'axe.

]]> $\ln x \leq x^2$ seulement

]]> Vrai mais sans lien : l'inégalité de concavité associée
à la tangente en $1$ est la plus fine : $\ln x \leq x -
1$.

]]> Fonction logarithme népérien — Q22 : Équation avec deux logarithmes Combien l'équation $\ln x + \ln(x - 3) = \ln 4$ a-t-elle de
solutions ?

]]> Méthode complète : 1) domaine ($x > 3$) ; 2) fusion $\ln a +
\ln b = \ln(ab)$ ; 3) équation polynomiale ; 4) tri des
racines par le domaine. L'étape 4 élimine presque toujours
un candidat : c'est le piège voulu.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Une seule : $x = 4$ (la racine $x = -1$ est hors
domaine)

]]> Bonne réponse : le domaine exige $x > 3$ ; l'équation
devient $x(x - 3) = 4$, soit $x^2 - 3x - 4 = 0$, racines
$4$ et $-1$ : seule $4$ survit au domaine.

]]> Deux : $x = 4$ et $x = -1$

]]> Domaine oublié : en $x = -1$, ni $\ln x$ ni $\ln(x-3)$
n'existent : toute résolution commence par « il faut
$x > 3$ ».

]]> Aucune

]]> Erreur : $x = 4$ convient : $\ln 4 + \ln 1 = \ln 4 + 0 =
\ln 4$.

]]> Une seule : $x = 7$, car $4 + 3 = 7$

]]> Erreur : la somme des logarithmes donne le logarithme du
produit $x(x-3)$, pas de la somme : l'équation est
$x(x-3) = 4$.

]]> Fonction logarithme népérien — Q23 : Équation en $e^x$ par changement de variable Quelles sont les solutions de $e^{2x} - 3e^x + 2 = 0$ ?

]]> $e^{2x} = (e^x)^2$ : poser $X = e^x$ ($X > 0$) ramène à un
second degré. Ne garder que les racines $X > 0$, puis
conclure par $x = \ln X$. Schéma incontournable au
baccalauréat.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $x = 0$ et $x = \ln 2$

]]> Bonne réponse : avec $X = e^x$ : $X^2 - 3X + 2 = 0$,
racines $X = 1$ et $X = 2$, puis retour : $e^x = 1 \iff
x = 0$ et $e^x = 2 \iff x = \ln 2$.

]]> $x = 1$ et $x = 2$

]]> Retour oublié : $1$ et $2$ sont les valeurs de $X =
e^x$, pas de $x$ : il reste à appliquer $\ln$.

]]> $x = \ln 3$

]]> Erreur : le coefficient $3$ n'est pas une racine : on
résout le trinôme en $X$ ($X = 1$ ou $2$), puis on
revient à $x$.

]]> Aucune : une exponentielle ne s'annule jamais

]]> Hors sujet : on ne cherche pas $e^x = 0$ mais les zéros
du trinôme en $e^x$ : ils existent ($x = 0$ et $\ln 2$,
à vérifier en remplaçant).

]]> Fonction logarithme népérien — Q24 : Le faux réflexe $\ln(a + b)$ L'égalité $\ln(a + b) = \ln a + \ln b$ est-elle vraie pour
tous réels $a, b > 0$ ?

]]> À graver : $\ln(ab) = \ln a + \ln b$, mais $\ln(a + b)$ ne
se développe pas. Le logarithme traduit le monde
multiplicatif en monde additif : il n'a rien à dire sur les
sommes.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Non : $\ln$ transforme les produits en sommes, pas les
sommes ($\ln(1 + 1) = \ln 2 \neq \ln 1 + \ln 1 = 0$)

]]> Bonne réponse : la propriété fondamentale est $\ln(ab) =
\ln a + \ln b$ : aucune formule ne simplifie
$\ln(a + b)$ en général.

]]> Oui : c'est la propriété fondamentale du logarithme

]]> Confusion : la propriété fondamentale porte sur le
produit : $\ln(ab) = \ln a + \ln b$. Pour la somme,
contre-exemple : $a = b = 1$.

]]> Oui, mais seulement si $a = b$

]]> Toujours faux : $a = b = 1$ : $\ln 2 \approx 0{,}69$
d'un côté, $0$ de l'autre.

]]> Non, sauf pour $a, b < 1$

]]> Erreur : aucun réglage de $a$ et $b$ ne sauve la formule
en général : elle confond addition et multiplication.

]]>