$course$/QCM de maths/Terminale spécialité/Fonctions sinus et cosinus Fonctions trigonométriques : parité, périodicité, courbes
représentatives, dérivées et variations, valeurs remarquables,
équations du type $\cos(x) = a$ et inéquations sur
$[-\pi\,;\,\pi]$.

]]> Fonctions sinus et cosinus — Q01 : Dérivée de sinus Quelle est la dérivée de la fonction sinus ?

]]> Dérivées à connaître : $(\sin x)' = \cos x$ et
$(\cos x)' = -\sin x$. Le cycle des dérivations successives
revient au point de départ en quatre étapes.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $x \mapsto \cos(x)$

]]> Bonne réponse : $(\sin x)' = \cos x$. Cohérent en $0$ : la
courbe de sinus y a une pente de $\cos(0) = 1$.

]]> $x \mapsto -\cos(x)$

]]> Erreur de signe : le moins apparaît en dérivant
cosinus, pas sinus. Retiens le cycle :
$\sin \to \cos \to -\sin \to -\cos \to \sin$.

]]> $x \mapsto \sin(x)$

]]> Erreur : sinus n'est pas sa propre dérivée (ce privilège
appartient à l'exponentielle). Sa dérivée est cosinus.

]]> $x \mapsto -\sin(x)$

]]> Erreur : $-\sin$ est la dérivée seconde de sinus (la
dérivée de $\cos$). Au premier ordre : $(\sin x)' = \cos x$.

]]> Fonctions sinus et cosinus — Q02 : Dérivée de cosinus Quelle est la dérivée de la fonction cosinus ?

]]> $(\cos x)' = -\sin x$. Vérification rapide du signe : cosinus
passe de $1$ à $-1$ sur $[0\,;\,\pi]$, il décroît, et
$-\sin x \leq 0$ sur cet intervalle.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $x \mapsto -\sin(x)$

]]> Bonne réponse : $(\cos x)' = -\sin x$. Le signe moins
traduit le fait que cosinus décroît juste après $0$.

]]> $x \mapsto \sin(x)$

]]> Oubli du signe : sur $]0\,;\,\pi[$, cosinus décroît, sa
dérivée doit y être négative ; or $\sin x > 0$ sur cet
intervalle. La bonne dérivée est $-\sin x$.

]]> $x \mapsto -\cos(x)$

]]> Erreur : $-\cos$ est la dérivée seconde de cosinus. Au
premier ordre : $(\cos x)' = -\sin x$.

]]> $x \mapsto \dfrac{1}{\sin(x)}$

]]> Erreur : aucun quotient n'apparaît en dérivant cosinus.
(Tu penses peut-être à la dérivée de $\ln$ ?)

]]> Fonctions sinus et cosinus — Q03 : Parité de sinus et cosinus Pour tout réel $x$, quelles égalités sont correctes ?

]]> Sur le cercle trigonométrique, $x$ et $-x$ donnent deux points
symétriques par rapport à l'axe des abscisses : même abscisse
($\cos$ paire), ordonnées opposées ($\sin$ impaire).

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $\cos(-x) = \cos(x)$ et $\sin(-x) = -\sin(x)$

]]> Bonne réponse : cosinus est paire (courbe symétrique
par rapport à l'axe des ordonnées) et sinus est impaire
(courbe symétrique par rapport à l'origine).

]]> $\cos(-x) = -\cos(x)$ et $\sin(-x) = \sin(x)$

]]> Parités inversées : sur le cercle trigonométrique, changer
$x$ en $-x$ conserve l'abscisse (cosinus) et change le
signe de l'ordonnée (sinus).

]]> $\cos(-x) = \cos(x)$ et $\sin(-x) = \sin(x)$

]]> Erreur sur sinus : $\sin\!\left(-\frac{\pi}{2}\right) = -1
\neq 1 = \sin\!\left(\frac{\pi}{2}\right)$. Sinus est
impaire.

]]> $\cos(-x) = -\cos(x)$ et $\sin(-x) = -\sin(x)$

]]> Erreur sur cosinus : $\cos(-0) = \cos(0) = 1$, pas $-1$.
Cosinus est paire.

]]> Fonctions sinus et cosinus — Q04 : Période des fonctions sinus et cosinus Quelle est la période des fonctions sinus et cosinus ?

]]> Un tour complet du cercle trigonométrique mesure $2\pi$
radians : $\cos$ et $\sin$ sont $2\pi$-périodiques. Leur courbe
se répète à l'identique de $2\pi$ en $2\pi$.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $2\pi$

]]> Bonne réponse : $\cos(x + 2\pi) = \cos(x)$ et
$\sin(x + 2\pi) = \sin(x)$ pour tout $x$ : un tour complet
du cercle trigonométrique.

]]> $\pi$

]]> Erreur : $\cos(0) = 1$ mais $\cos(\pi) = -1$ : ajouter
$\pi$ ne redonne pas la même valeur (cela donne l'opposé).
La vraie période est $2\pi$.

]]> $360$

]]> Confusion degrés/radians : $360$ degrés correspondent bien à
un tour, mais en analyse les fonctions sinus et cosinus sont
définies en radians : période $2\pi$.

]]> $1$

]]> Erreur : $\cos(1) \approx 0{,}54 \neq \cos(0) = 1$. La
période est la longueur d'un tour du cercle : $2\pi$.

]]> Fonctions sinus et cosinus — Q05 : Une valeur sur le cercle Que vaut $\cos\!\left(\dfrac{\pi}{2}\right)$ ?

]]> Sur le cercle trigonométrique, l'angle $\pi/2$ correspond au
point $(0\,;\,1)$ : $\cos(\pi/2) = 0$, $\sin(\pi/2) = 1$.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $0$

]]> Bonne réponse : au quart de tour, le point du cercle
trigonométrique est $(0\,;\,1)$ : abscisse $0$, donc
$\cos(\pi/2) = 0$ (et $\sin(\pi/2) = 1$).

]]> $1$

]]> Erreur : $1$ est l'ordonnée de ce point, c'est-à-dire
$\sin(\pi/2)$. Le cosinus lit l'abscisse, qui vaut $0$.

]]> $-1$

]]> Erreur : $-1$ est $\cos(\pi)$, au demi-tour. Au quart de
tour, l'abscisse est $0$.

]]> $\dfrac{\pi}{2}$

]]> Erreur : $\pi/2$ est l'angle, pas la valeur du cosinus.
Un cosinus est toujours compris entre $-1$ et $1$.

]]> Fonctions sinus et cosinus — Q06 : Valeur remarquable Que vaut $\cos\!\left(\dfrac{\pi}{3}\right)$ ?

]]> Tableau des valeurs remarquables : pour $\dfrac{\pi}{6}$,
$\dfrac{\pi}{4}$, $\dfrac{\pi}{3}$, le cosinus vaut
$\dfrac{\sqrt{3}}{2}$, $\dfrac{\sqrt{2}}{2}$, $\dfrac{1}{2}$
(et le sinus les mêmes valeurs en ordre inverse).

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $\dfrac{1}{2}$

]]> Bonne réponse : $\cos(\pi/3) = \dfrac{1}{2}$ et
$\sin(\pi/3) = \dfrac{\sqrt{3}}{2}$.

]]> $\dfrac{\sqrt{3}}{2}$

]]> Confusion classique : $\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ est
$\sin(\pi/3)$, ou encore $\cos(\pi/6)$. Moyen mémo : plus
l'angle est proche de $0$, plus le cosinus est proche de
$1$, donc $\cos(\pi/3) < \cos(\pi/6)$.

]]> $\dfrac{\sqrt{2}}{2}$

]]> Erreur : $\dfrac{\sqrt{2}}{2}$ est la valeur commune de
$\cos(\pi/4)$ et $\sin(\pi/4)$, à mi-chemin.

]]> $\dfrac{1}{3}$

]]> Erreur : le cosinus ne se lit pas « un sur le
dénominateur ». Les valeurs remarquables se retrouvent sur
le cercle : $\cos(\pi/3) = \dfrac{1}{2}$.

]]> Fonctions sinus et cosinus — Q07 : Résoudre $\cos(x) = \dfrac{1}{2}$ Quelles sont les solutions de l'équation
$\cos(x) = \dfrac{1}{2}$ sur l'intervalle $]-\pi\,;\,\pi]$ ?

]]> $\cos(x) = a$ se résout sur le cercle : les solutions sont
$x = \alpha$ et $x = -\alpha$ (modulo $2\pi$), où $\alpha$ est
un angle de cosinus $a$. Ici $\alpha = \pi/3$ : solutions
$\pm\dfrac{\pi}{3}$ sur $]-\pi\,;\,\pi]$.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $x = \dfrac{\pi}{3}$ et $x = -\dfrac{\pi}{3}$

]]> Bonne réponse : la droite verticale d'abscisse $\frac{1}{2}$
coupe le cercle en deux points symétriques par rapport à
l'axe des abscisses : angles $\pi/3$ et $-\pi/3$.

]]> $x = \dfrac{\pi}{3}$ seulement

]]> Oubli : le cosinus étant pair, $-\pi/3$ convient aussi
($\cos(-\pi/3) = \cos(\pi/3) = 1/2$). Une équation en
cosinus a généralement deux solutions par tour.

]]> $x = \dfrac{\pi}{3}$ et $x = \dfrac{2\pi}{3}$

]]> Confusion avec le sinus : $\pi/3$ et $\pi - \pi/3 =
2\pi/3$ sont liés par la symétrie du sinus. Pour le cosinus,
les deux solutions sont opposées : $\pm\pi/3$.

]]> $x = \dfrac{\pi}{6}$ et $x = -\dfrac{\pi}{6}$

]]> Erreur de valeur : $\cos(\pi/6) = \dfrac{\sqrt{3}}{2}$,
pas $\dfrac{1}{2}$. L'angle dont le cosinus vaut
$\dfrac{1}{2}$ est $\pi/3$.

]]> Fonctions sinus et cosinus — Q08 : Reconnaître une courbe trigonométrique Repère avec une courbe oscillante sur [-pi ; pi] : elle passe
par l'origine en montant, atteint son maximum 1 en pi/2,
redescend et s'annule en pi ; à gauche, elle atteint son
minimum -1 en -pi/2 et s'annule en -pi. Courbe symétrique par
rapport à l'origine.

Repère avec une courbe oscillante sur [-pi ; pi] : elle passe
par l'origine en montant, atteint son maximum 1 en pi/2,
redescend et s'annule en pi ; à gauche, elle atteint son
minimum -1 en -pi/2 et s'annule en -pi. Courbe symétrique par
rapport à l'origine.

La courbe $\mathcal{C}$ ci-dessous est tracée sur
$[-\pi\,;\,\pi]$. De quelle fonction est-ce la courbe
représentative ?

]]> Signature graphique de sinus : passage par l'origine en
croissant, maximum $1$ en $\pi/2$, imparité (symétrie par
rapport à l'origine), période $2\pi$. Cosinus, lui, démarre à
son maximum en $x = 0$.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $x \mapsto \sin(x)$

]]> Bonne réponse : la courbe passe par l'origine, est
symétrique par rapport à elle (fonction impaire) et culmine
à $1$ en $\pi/2$ : c'est la sinusoïde.

]]> $x \mapsto \cos(x)$

]]> Erreur : la courbe de cosinus vaut $1$ en $0$ (elle démarre
au sommet) et est symétrique par rapport à l'axe des
ordonnées. Ici la courbe s'annule en $0$.

]]> $x \mapsto -\sin(x)$

]]> Erreur de signe : $-\sin$ descendrait en quittant
l'origine vers la droite, avec un minimum en $\pi/2$. Ici
la courbe monte.

]]> $x \mapsto \sin(2x)$

]]> Erreur : $\sin(2x)$ oscille deux fois plus vite (période
$\pi$) et s'annulerait déjà en $\pi/2$. Ici le maximum est
en $\pi/2$ : une seule arche par demi-tour.

]]> Fonctions sinus et cosinus — Q09 : Dérivée de $\cos(3x)$ Quelle est la dérivée de $f(x) = \cos(3x)$ ?

]]> Règle de la composée : $\left(\cos(u)\right)' = -u'\sin(u)$.
Avec $u(x) = 3x$ : $f'(x) = -3\sin(3x)$.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $f'(x) = -3\sin(3x)$

]]> Bonne réponse : dérivée de composée,
$(\cos u)' = -u'\sin(u)$ avec $u = 3x$ et $u' = 3$.

]]> $f'(x) = -\sin(3x)$

]]> Oubli du facteur $u' = 3$ : la composée exige de multiplier
par la dérivée de l'intérieur.

]]> $f'(x) = 3\sin(3x)$

]]> Erreur de signe : la dérivée de cosinus apporte un signe
moins, qui ne disparaît pas : $-3\sin(3x)$.

]]> $f'(x) = -3\cos(3x)$

]]> Erreur : dériver cosinus donne du sinus (au signe
près), pas du cosinus.

]]> Fonctions sinus et cosinus — Q10 : Résoudre $\cos(x) \leq \dfrac{1}{2}$ Quel est l'ensemble des solutions de l'inéquation
$\cos(x) \leq \dfrac{1}{2}$ sur $[-\pi\,;\,\pi]$ ?

]]> Méthode du cercle : on repère les angles où
$\cos(x) = \frac{1}{2}$, soit $\pm\pi/3$, puis on identifie
l'arc où l'abscisse est sous le seuil : les angles de grande
amplitude. Solutions :
$[-\pi\,;\,-\pi/3] \cup [\pi/3\,;\,\pi]$.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $\left[-\pi\,;\,-\dfrac{\pi}{3}\right] \cup
\left[\dfrac{\pi}{3}\,;\,\pi\right]$

]]> Bonne réponse : sur le cercle, le cosinus est inférieur à
$\frac{1}{2}$ pour les points situés à gauche de la
verticale d'abscisse $\frac{1}{2}$, c'est-à-dire pour les
angles au-delà de $\pm\pi/3$.

]]> $\left[-\dfrac{\pi}{3}\,;\,\dfrac{\pi}{3}\right]$

]]> C'est l'ensemble complémentaire : entre $-\pi/3$ et
$\pi/3$, le cosinus est supérieur ou égal à
$\frac{1}{2}$ (il culmine à $1$ en $0$).

]]> $\left[\dfrac{\pi}{3}\,;\,\pi\right]$ seulement

]]> Incomplet : par parité du cosinus, la partie symétrique
$\left[-\pi\,;\,-\pi/3\right]$ convient aussi.

]]> $\left[-\dfrac{\pi}{2}\,;\,\dfrac{\pi}{2}\right]$

]]> Erreur : sur cet intervalle le cosinus est positif et
vaut jusqu'à $1$ ; par exemple $\cos(0) = 1 >
\frac{1}{2}$. Le seuil $\frac{1}{2}$ se franchit en
$\pm\pi/3$.

]]> Fonctions sinus et cosinus — Q11 : Limite de $\dfrac{\sin(x)}{x}$ en $+\infty$ Quelle est la limite de $\dfrac{\sin(x)}{x}$ quand $x$ tend
vers $+\infty$ ?

]]> Fonction bornée divisée par une quantité qui tend vers
l'infini : encadrement
$-\frac{1}{x} \leq \frac{\sin x}{x} \leq \frac{1}{x}$ et
théorème des gendarmes donnent une limite nulle.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $0$

]]> Bonne réponse : $-1 \leq \sin(x) \leq 1$, donc
$-\dfrac{1}{x} \leq \dfrac{\sin x}{x} \leq \dfrac{1}{x}$ ;
les gendarmes concluent : limite $0$.

]]> Elle n'existe pas, car $\sin(x)$ oscille sans limite

]]> Erreur : le numérateur oscille mais reste borné, et il
est divisé par $x$ qui explose. Les oscillations sont
écrasées : la limite existe et vaut $0$.

]]> $1$

]]> Confusion avec la limite célèbre en zéro :
$\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1$. En $+\infty$, le
dénominateur l'emporte : limite $0$.

]]> $+\infty$

]]> Erreur : le quotient est majoré par $\dfrac{1}{x}$ en
valeur absolue, il ne peut pas exploser.

]]> Fonctions sinus et cosinus — Q12 : Monotonie de sinus Sur quel intervalle la fonction sinus est-elle croissante ?

]]> On lit la monotonie de $\sin$ sur le signe de sa dérivée
$\cos$ : positif sur $[-\pi/2\,;\,\pi/2]$, donc sinus
croissante sur cet intervalle (de $-1$ à $1$), puis
décroissante sur $[\pi/2\,;\,3\pi/2]$, etc.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $\left[-\dfrac{\pi}{2}\,;\,\dfrac{\pi}{2}\right]$

]]> Bonne réponse : $(\sin x)' = \cos x \geq 0$ exactement sur
cet intervalle (le cosinus y reste positif). Sinus y monte
de $-1$ à $1$.

]]> $[0\,;\,\pi]$

]]> Erreur : sur $[0\,;\,\pi]$, sinus monte jusqu'à $\pi/2$
puis redescend (le cosinus devient négatif après
$\pi/2$). Ce n'est pas un intervalle de monotonie.

]]> $[-\pi\,;\,0]$

]]> Erreur : entre $-\pi$ et $-\pi/2$, le cosinus est négatif
et sinus décroît ; la croissance ne commence qu'en
$-\pi/2$.

]]> $\mathbb{R}$ tout entier

]]> Impossible : une fonction périodique non constante ne peut
pas être monotone sur $\mathbb{R}$, elle remonte et
redescend sans fin.

]]> Fonctions sinus et cosinus — Q13 : Utiliser $\cos^2 x + \sin^2 x = 1$ On sait que $\cos x = \dfrac{3}{5}$ avec $x \in
\left[0\ ;\ \dfrac{\pi}{2}\right]$. Que vaut $\sin x$ ?

]]> $\cos^2 x + \sin^2 x = 1$ (Pythagore sur le cercle unité) :
passer de l'un à l'autre au signe près, le quadrant
fournissant le signe. Le réflexe en deux temps : calcul du
carré, choix du signe.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $\sin x = \dfrac{4}{5}$

]]> Bonne réponse : $\sin^2 x = 1 - \dfrac{9}{25} =
\dfrac{16}{25}$, et sur $\left[0\ ;\
\frac{\pi}{2}\right]$ le sinus est positif : $+\frac{4}{5}$
(le triangle $3$-$4$-$5$).

]]> $\sin x = \dfrac{2}{5}$

]]> Erreur : $1 - \frac{3}{5} = \frac{2}{5}$ soustrait les
valeurs au lieu des carrés : l'identité porte sur
$\cos^2$ et $\sin^2$.

]]> $\sin x = \pm\dfrac{4}{5}$, impossible de trancher

]]> Intervalle négligé : sur $\left[0\ ;\
\frac{\pi}{2}\right]$ (premier quadrant), le sinus est
positif : l'information donnée tranche.

]]> $\sin x = \dfrac{3}{5}$

]]> Erreur : sinus et cosinus ne sont égaux qu'en $x =
\frac{\pi}{4}$ (valeur $\frac{\sqrt{2}}{2}$) : ici le
calcul donne $\frac{4}{5}$.

]]> Fonctions sinus et cosinus — Q14 : La valeur $\sin\dfrac{\pi}{6}$ Que vaut $\sin\dfrac{\pi}{6}$ ?

]]> Tableau des valeurs : $\frac{\pi}{6} \to \frac{1}{2}$,
$\frac{\pi}{4} \to \frac{\sqrt{2}}{2}$, $\frac{\pi}{3} \to
\frac{\sqrt{3}}{2}$ pour le sinus (le cosinus lit le même
tableau à l'envers). Mémoire : $\frac{\sqrt{1}}{2},
\frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}$.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $\dfrac{1}{2}$

]]> Bonne réponse : $\frac{\pi}{6} = 30°$ : le sinus vaut
$\frac{1}{2}$ (et le cosinus $\frac{\sqrt{3}}{2}$).

]]> $\dfrac{\sqrt{3}}{2}$

]]> Échange classique : $\frac{\sqrt{3}}{2}$ est $\cos
\frac{\pi}{6}$ (ou $\sin\frac{\pi}{3}$) : à $30°$, le
sinus est le petit ($\frac{1}{2}$).

]]> $\dfrac{\sqrt{2}}{2}$

]]> Erreur : $\frac{\sqrt{2}}{2}$ appartient à $\frac{\pi}{4}$
($45°$), l'angle où sinus et cosinus se rejoignent.

]]> $\dfrac{\pi}{6}$

]]> Erreur : le sinus d'un angle n'est pas l'angle ($\sin x
\approx x$ seulement pour $x$ très petit, et
$\frac{\pi}{6} \approx 0{,}52 \neq 0{,}5$… de peu, mais
la valeur exacte est $\frac{1}{2}$).

]]> Fonctions sinus et cosinus — Q15 : Dérivée de $\sin(2x)$ Quelle est la dérivée de $f(x) = \sin(2x)$ ?

]]> $(\sin(ax))' = a\cos(ax)$, $(\cos(ax))' = -a\sin(ax)$ : le
coefficient sort en facteur, l'argument ne change pas.
Physiquement : osciller deux fois plus vite double la
vitesse de variation.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $f'(x) = 2\cos(2x)$

]]> Bonne réponse : $(\sin u)' = u'\cos u$ avec $u = 2x$ :
le facteur $2$ sort, l'argument $2x$ reste.

]]> $f'(x) = \cos(2x)$

]]> Facteur interne oublié : la dérivée de l'intérieur
($u' = 2$) multiplie : règle de la chaîne.

]]> $f'(x) = 2\cos(x)$

]]> Argument altéré : dériver ne divise pas la fréquence :
le $2x$ reste intact dans le cosinus.

]]> $f'(x) = -2\cos(2x)$

]]> Signe : le moins appartient à la dérivée du
cosinus ($(\cos u)' = -u'\sin u$) : le sinus se
dérive sans signe.

]]> Fonctions sinus et cosinus — Q16 : Résoudre $\sin x = 0$ Quelles sont les solutions de $\sin x = 0$ sur
$\mathbb{R}$ ?

]]> Sur le cercle : $\sin x = 0$ aux points $(\pm 1\ ;\ 0)$,
soit $x = k\pi$ ; $\cos x = 0$ aux points $(0\ ;\ \pm 1)$,
soit $x = \frac{\pi}{2} + k\pi$. Visualiser le cercle évite
toute confusion.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $x = k\pi$, pour $k \in \mathbb{Z}$

]]> Bonne réponse : le sinus s'annule aux deux extrémités
horizontales du cercle ($0$ et $\pi$), puis tous les
tours : l'ensemble $\{k\pi\}$ les capture tous d'un
coup.

]]> $x = 2k\pi$ seulement

]]> Moitié perdue : $\sin \pi = 0$ aussi : les multiples
impairs de $\pi$ manquent : le pas est $\pi$, pas
$2\pi$.

]]> $x = 0$ seulement

]]> Périodicité oubliée : le sinus repasse par $0$ à chaque
demi-tour : une infinité de solutions.

]]> $x = \dfrac{\pi}{2} + k\pi$

]]> Confusion : $\frac{\pi}{2} + k\pi$ sont les zéros du
cosinus (les pôles nord et sud du cercle) : le sinus
s'annule sur l'axe horizontal.

]]> Fonctions sinus et cosinus — Q17 : La limite $\dfrac{\sin x}{x}$ en $0$ Que vaut $\lim\limits_{x \to 0} \dfrac{\sin x}{x}$ ?

]]> $\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1$ : le taux
d'accroissement de sinus en $0$, et la traduction de la
tangente $y = x$ à l'origine. À rapprocher de
$\frac{e^x - 1}{x} \to 1$ : même mécanisme.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $1$ : c'est le nombre dérivé de sinus en $0$

]]> Bonne réponse : $\dfrac{\sin x - \sin 0}{x - 0}$ est le
taux d'accroissement de $\sin$ en $0$ : sa limite est
$\sin'(0) = \cos 0 = 1$.

]]> $0$, car $\sin 0 = 0$

]]> Numérateur seul : le dénominateur s'annule aussi :
$\frac{0}{0}$ à lever, et la reconnaissance du taux
d'accroissement donne $1$.

]]> $+\infty$, car on divise par $0$

]]> Erreur : le numérateur fond à la même vitesse ($\sin x
\approx x$ près de $0$) : le quotient s'équilibre sur
$1$.

]]> La limite n'existe pas, le sinus oscille

]]> Confusion avec $+\infty$ : en $0$, le sinus
n'oscille pas : il colle à sa tangente $y = x$, d'où le
quotient proche de $1$.

]]> Fonctions sinus et cosinus — Q18 : Variations de cosinus sur $[0\ ;\ \pi]$ Comment varie la fonction cosinus sur l'intervalle
$[0\ ;\ \pi]$ ?

]]> $(\cos)' = -\sin$ : le signe du sinus pilote les variations
du cosinus. Sur $[0\ ;\ \pi]$ : décroissance de $1$ à $-1$ ;
puis remontée sur $[\pi\ ;\ 2\pi]$ : l'ondulation perpétuelle
se lit tableau par tableau.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Elle décroît de $1$ à $-1$, car $(\cos x)' = -\sin x
\leq 0$ sur cet intervalle

]]> Bonne réponse : sur $[0\ ;\ \pi]$, $\sin x \geq 0$, donc
$-\sin x \leq 0$ : décroissance stricte de $\cos 0 = 1$
à $\cos \pi = -1$.

]]> Elle croît de $-1$ à $1$

]]> Sens inversé : c'est le comportement sur $[\pi\ ;\
2\pi]$ (ou $[-\pi\ ;\ 0]$) : sur $[0\ ;\ \pi]$, le point
du cercle descend de droite à gauche : cosinus décroît.

]]> Elle est constante, car périodique

]]> Confusion : périodique = se répète, pas = constante :
à l'intérieur d'une période, la fonction varie
(pleinement, de $1$ à $-1$).

]]> Elle croît puis décroît, avec un maximum en
$\dfrac{\pi}{2}$

]]> Erreur : en $\frac{\pi}{2}$, le cosinus vaut $0$ et
traverse en descendant ($-\sin\frac{\pi}{2} = -1 <
0$) : c'est le sinus qui culmine là, pas le cosinus.

]]>