$course$/QCM de maths/Terminale spécialité/Limites des fonctions Limite finie ou infinie d'une fonction en l'infini ou en un point,
asymptotes parallèles aux axes, opérations sur les limites, formes
indéterminées, limites par comparaison, croissances comparées avec
l'exponentielle, factorisation du terme prépondérant.

]]> Limites des fonctions — Q01 : Limite de $e^x$ en $-\infty$ Quelle est la limite de $e^x$ quand $x$ tend vers $-\infty$ ?

]]> Limites de référence de l'exponentielle :
$\lim_{x \to -\infty} e^x = 0$ et
$\lim_{x \to +\infty} e^x = +\infty$. En $-\infty$, la droite
$y = 0$ est asymptote horizontale à la courbe.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $0$

]]> Bonne réponse : quand $x \to -\infty$, $e^x$ devient
arbitrairement proche de $0$ (tout en restant strictement
positif). L'axe des abscisses est asymptote à la courbe.

]]> $-\infty$

]]> Erreur : $e^x$ est strictement positif pour tout réel
$x$, il ne peut pas tendre vers $-\infty$. Il s'écrase vers
$0$.

]]> $-1$

]]> Erreur : $e^x$ ne prend jamais de valeur négative, et aucune
valeur particulière n'est atteinte à l'infini : la limite est
$0$.

]]> $1$

]]> Erreur : $1 = e^0$ est la valeur en $0$, pas la limite en
$-\infty$.

]]> Limites des fonctions — Q02 : Asymptote verticale Soit $f(x) = \dfrac{1}{x - 3}$. Quelle droite est asymptote
verticale à la courbe de $f$ ?

]]> Une limite infinie en un point $a$ se traduit par une asymptote
verticale d'équation $x = a$. Ici le dénominateur s'annule en
$3$ : asymptote $x = 3$.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc La droite d'équation $x = 3$

]]> Bonne réponse : quand $x \to 3$, le dénominateur tend vers
$0$ et $f(x)$ tend vers $\pm\infty$ : la courbe se plaque
contre la droite verticale $x = 3$.

]]> La droite d'équation $y = 3$

]]> Erreur : $y = 3$ est une droite horizontale. Une
asymptote verticale a une équation de la forme $x = a$.

]]> La droite d'équation $x = 0$

]]> Erreur : c'est l'asymptote de la fonction inverse
$x \mapsto \dfrac{1}{x}$. Ici le dénominateur s'annule en
$x = 3$, pas en $0$.

]]> La droite d'équation $y = 0$

]]> Attention : $y = 0$ est bien asymptote à cette courbe, mais
c'est l'asymptote horizontale (limites en $\pm\infty$).
La question porte sur l'asymptote verticale.

]]> Limites des fonctions — Q03 : Lever la forme $\infty - \infty$ Quelle est la limite de $x^2 - x$ quand $x$ tend vers
$+\infty$ ?

]]> Face à « $\infty - \infty$ », on factorise par le terme
prépondérant : $x^2 - x = x^2(1 - 1/x) \to +\infty$. Une forme
indéterminée est un signal de transformation, pas une absence de
limite.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $+\infty$

]]> Bonne réponse : on factorise par le terme prépondérant :
$x^2 - x = x^2\left(1 - \dfrac{1}{x}\right)$, produit de
$x^2 \to +\infty$ par un facteur qui tend vers $1$.

]]> $0$

]]> Erreur : « $\infty - \infty$ » ne se simplifie pas en $0$.
Ici $x^2$ écrase $x$ : dès $x = 100$, $x^2 - x = 9\,900$.

]]> $-\infty$

]]> Erreur : c'est le terme de plus haut degré $x^2$ qui impose
son comportement, et il tend vers $+\infty$.

]]> Elle n'existe pas, car c'est une forme indéterminée

]]> Confusion importante : « forme indéterminée » signifie qu'on
ne peut pas conclure directement, pas que la limite
n'existe pas. Après factorisation, la limite existe et vaut
$+\infty$.

]]> Limites des fonctions — Q04 : Croissance comparée $e^x$ contre $x^3$ Quelle est la limite de $\dfrac{e^x}{x^3}$ quand $x$ tend vers
$+\infty$ ?

]]> Croissance comparée (au programme) : pour tout entier $n$,
$\lim_{x \to +\infty} \dfrac{e^x}{x^n} = +\infty$.
L'exponentielle l'emporte sur toute puissance.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $+\infty$

]]> Bonne réponse : par croissance comparée, l'exponentielle
l'emporte sur toute puissance de $x$ en $+\infty$.

]]> $0$

]]> Erreur de sens : $0$ serait la limite de l'inverse
$\dfrac{x^3}{e^x}$. Au numérateur, l'exponentielle domine.

]]> $1$

]]> Erreur : numérateur et dénominateur ne croissent pas « à la
même vitesse » : $e^x$ croît beaucoup plus vite que $x^3$.
Le quotient explose.

]]> $\dfrac{1}{3}$

]]> Erreur : aucun quotient de coefficients n'intervient ici
(ce réflexe vaut pour deux polynômes de même degré). Avec
une exponentielle, c'est la croissance comparée qui décide.

]]> Limites des fonctions — Q05 : Limite à droite en un point interdit Quelle est la limite de $\dfrac{x + 1}{x - 2}$ quand $x$ tend
vers $2$ par valeurs supérieures ($x \to 2^+$) ?

]]> Réflexe indispensable : quand le dénominateur tend vers $0$,
étudier son signe. Ici $x \to 2^+$ donne $x - 2 \to 0^+$,
et $\dfrac{3}{0^+}$ se lit $+\infty$.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $+\infty$

]]> Bonne réponse : le numérateur tend vers $3 > 0$ et le
dénominateur vers $0$ par valeurs positives (car
$x > 2$) : le quotient tend vers $+\infty$.

]]> $-\infty$

]]> Erreur de signe : pour $x > 2$, on a $x - 2 > 0$. Un
numérateur proche de $3$ divisé par un petit nombre
positif donne un grand nombre positif.

]]> $3$

]]> Erreur : $3$ n'est que la limite du numérateur. Diviser par
un dénominateur qui s'écrase vers $0$ fait exploser le
quotient.

]]> Elle n'existe pas

]]> Erreur : la limite à droite existe bien et vaut
$+\infty$. (C'est en combinant droite et gauche, $+\infty$
et $-\infty$, qu'on ne peut pas parler de limite en $2$ tout
court.)

]]> Limites des fonctions — Q06 : Lire les asymptotes sur une courbe Repère orthonormé avec une hyperbole en deux branches. La branche de gauche descend vers la droite horizontale y = 3 quand x tend vers moins l'infini et monte le long de la droite verticale x = -2 ; la branche de droite descend le long de x = -2 et remonte vers y = 3 quand x tend vers plus l'infini. Les deux asymptotes x = -2 et y = 3 sont tracées en pointillés rouges.

La courbe $\mathcal{C}_f$ ci-dessous représente une fonction
$f$ ; les droites en pointillés sont ses asymptotes. Quelles
sont les équations de ces asymptotes ?

]]> Deux lectures : une asymptote verticale $x = a$ traduit une
limite infinie au point interdit $a$ ; une asymptote
horizontale $y = L$ traduit une limite finie $L$ en
$+\infty$ ou $-\infty$. Ici : $x = -2$ et $y = 3$.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $x = -2$ et $y = 3$

]]> Bonne réponse : la courbe se plaque contre la droite
verticale $x = -2$ (limites infinies en $-2$) et contre la
droite horizontale $y = 3$ (limites finies en $\pm\infty$).

]]> $x = 3$ et $y = -2$

]]> Erreur d'inversion : la droite verticale coupe l'axe des
abscisses en $-2$ (équation $x = -2$) et l'horizontale
coupe l'axe des ordonnées en $3$ (équation $y = 3$).

]]> $x = -2$ seulement

]]> Incomplet : à droite comme à gauche, la courbe s'aplatit
sur la droite horizontale $y = 3$ : c'est aussi une
asymptote.

]]> $y = 3$ seulement

]]> Incomplet : près de $x = -2$, la courbe part vers
$\pm\infty$ le long de la droite verticale $x = -2$ : c'est
l'asymptote verticale.

]]> Limites des fonctions — Q07 : Définition d'une asymptote horizontale Que signifie « la droite d'équation $y = 2$ est asymptote
horizontale à la courbe de $f$ en $+\infty$ » ?

]]> $y = L$ asymptote horizontale en $+\infty$ $\Leftrightarrow$
$\lim_{x \to +\infty} f(x) = L$ : la courbe se rapproche
indéfiniment de la droite, sans obligation de la toucher.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $\lim\limits_{x \to +\infty} f(x) = 2$

]]> Bonne réponse : asymptote horizontale $y = L$ en $+\infty$
équivaut à $\lim_{x \to +\infty} f(x) = L$.

]]> $f(2) = +\infty$

]]> Erreur : cette écriture n'a pas de sens ($f(2)$ est un
nombre ou n'existe pas) et elle confond le rôle de $2$ :
c'est une ordonnée limite, pas une abscisse.

]]> $\lim\limits_{x \to 2} f(x) = +\infty$

]]> Erreur : ceci décrirait une asymptote verticale
d'équation $x = 2$. Pour l'horizontale, c'est $x$ qui part à
l'infini et $f(x)$ qui se stabilise vers $2$.

]]> $f(x) = 2$ pour tout $x$ assez grand

]]> Erreur : la courbe se rapproche de la droite sans avoir
besoin de la toucher ni de s'y confondre. Seule la limite
compte.

]]> Limites des fonctions — Q08 : Limite par comparaison Soit $f$ une fonction telle que $f(x) \geq x$ pour tout réel
$x$. Que peut-on conclure sur la limite de $f$ en $+\infty$ ?

]]> Théorème de comparaison : si $f \geq g$ au voisinage de
$+\infty$ et $\lim g = +\infty$, alors $\lim f = +\infty$.
Ici $g(x) = x$.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $\lim\limits_{x \to +\infty} f(x) = +\infty$

]]> Bonne réponse : théorème de comparaison. $f$ est minorée par
$x$, qui tend vers $+\infty$, donc $f$ est entraînée vers
$+\infty$.

]]> Rien, il faudrait aussi un majorant

]]> Erreur : pour conclure à une limite $+\infty$, une
minoration par une fonction qui tend vers $+\infty$
suffit. Le majorant sert pour le théorème des gendarmes
(limite finie).

]]> $f$ est croissante

]]> Erreur : être au-dessus de la droite $y = x$ n'impose aucune
monotonie ; $f$ peut osciller tout en restant au-dessus.

]]> $\lim\limits_{x \to +\infty} f(x) = 1$

]]> Erreur : $f(x) \geq x$ dépasse tout seuil fixé (par exemple
$f(10^6) \geq 10^6$), la limite ne peut pas être finie.

]]> Limites des fonctions — Q09 : La forme $\sqrt{x^2+1} - x$ Quelle est la limite de $\sqrt{x^2 + 1} - x$ quand $x$ tend
vers $+\infty$ ?

]]> Forme « $\infty - \infty$ » avec racine : on multiplie par la
quantité conjuguée.
$\sqrt{x^2+1} - x = \dfrac{(x^2+1) - x^2}{\sqrt{x^2+1} + x}
= \dfrac{1}{\sqrt{x^2+1} + x} \to 0$.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $0$

]]> Bonne réponse : en multipliant par la quantité conjuguée,
$\sqrt{x^2+1} - x = \dfrac{1}{\sqrt{x^2+1} + x}$, dont le
dénominateur tend vers $+\infty$.

]]> $+\infty$

]]> Erreur : les deux termes partent vers $+\infty$ mais leur
écart fond : $\sqrt{x^2+1}$ dépasse à peine $x$
(pour $x = 100$, l'écart vaut environ $0{,}005$).

]]> $1$

]]> Erreur : le $+1$ sous la racine ne survit pas tel quel.
Après passage à la quantité conjuguée, il se retrouve divisé
par $\sqrt{x^2+1} + x \to +\infty$.

]]> $\dfrac{1}{2}$

]]> Confusion avec le grand classique
$\sqrt{x^2 + x} - x \to \dfrac{1}{2}$. Ici le terme ajouté
sous la racine est $1$ (constant), pas $x$ : la limite est
$0$.

]]> Limites des fonctions — Q10 : Limite de $\dfrac{1}{\sqrt{x}}$ en $0^+$ Quelle est la limite de $\dfrac{1}{\sqrt{x}}$ quand $x$ tend
vers $0$ par valeurs supérieures ?

]]> Quand $x \to 0^+$, $\sqrt{x} \to 0^+$ donc
$\dfrac{1}{\sqrt{x}} \to +\infty$. La courbe admet l'axe des
ordonnées pour asymptote verticale.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $+\infty$

]]> Bonne réponse : $\sqrt{x} \to 0^+$, et l'inverse d'une
quantité positive qui s'écrase vers $0$ explose vers
$+\infty$.

]]> $0$

]]> Erreur de sens : $\dfrac{1}{\sqrt{x}} \to 0$ correspond à
$x \to +\infty$. Près de $0$, on divise $1$ par un nombre
minuscule : le résultat est énorme.

]]> $1$

]]> Erreur : $1$ est la valeur en $x = 1$, pas une limite en
$0$. Essaie $x = 0{,}0001$ : $\dfrac{1}{\sqrt{x}} = 100$.

]]> $-\infty$

]]> Erreur : $\dfrac{1}{\sqrt{x}}$ est strictement positif sur
tout son domaine, la limite ne peut pas être négative.

]]> Limites des fonctions — Q11 : Que signifie « forme indéterminée » ? Le calcul d'une limite aboutit à la forme
« $\dfrac{\infty}{\infty}$ ». Que peut-on en conclure ?

]]> Les quatre formes indéterminées ($\infty - \infty$,
$0 \times \infty$, $\dfrac{\infty}{\infty}$, $\dfrac{0}{0}$)
sont des signaux de travail : on transforme l'écriture
jusqu'à pouvoir conclure. Elles n'annoncent jamais le résultat.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Rien pour l'instant : il faut transformer l'expression
(factoriser, quantité conjuguée, croissances comparées…)

]]> Bonne réponse : une forme indéterminée signale que le
théorème d'opérations ne s'applique pas tel quel. Selon les
fonctions, le résultat peut être $0$, fini non nul, infini,
ou inexistant.

]]> La limite n'existe pas

]]> Erreur répandue : « indéterminée » ne veut pas dire
« inexistante ». Exemple : $\dfrac{2x}{x} \to 2$, forme
$\dfrac{\infty}{\infty}$ pourtant limite parfaitement
définie.

]]> La limite vaut $1$, car les infinis se compensent

]]> Erreur : $\dfrac{x^2}{x} \to +\infty$ et
$\dfrac{x}{x^2} \to 0$ : les « infinis » ne se valent pas.
Aucune valeur n'est attribuable d'office.

]]> La limite vaut $0$

]]> Erreur : contre-exemple immédiat, $\dfrac{3x}{x} \to 3$.
La forme $\dfrac{\infty}{\infty}$ ne préjuge d'aucun
résultat.

]]> Limites des fonctions — Q12 : Limite d'un polynôme en $-\infty$ Quelle est la limite de $2x^3 - x + 5$ quand $x$ tend vers
$-\infty$ ?

]]> À l'infini, un polynôme se comporte comme son terme de plus haut
degré : $2x^3 - x + 5 = x^3\left(2 - \frac{1}{x^2} +
\frac{5}{x^3}\right)$, et $2x^3 \to -\infty$ quand
$x \to -\infty$ (le cube garde le signe de $x$).

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $-\infty$

]]> Bonne réponse : le terme prépondérant est $2x^3$, et un cube
conserve le signe : quand $x \to -\infty$,
$2x^3 \to -\infty$.

]]> $+\infty$

]]> Erreur de signe : contrairement à $x^2$, le cube d'un nombre
très négatif est très négatif. En $-\infty$, $2x^3$
plonge vers $-\infty$.

]]> $5$

]]> Erreur : la constante $5$ devient négligeable devant $2x^3$.
À l'infini, seul le terme de plus haut degré compte.

]]> $2$

]]> Erreur : le coefficient dominant $2$ donne le signe du
comportement, pas la valeur de la limite. Celle-ci est
infinie.

]]> Limites des fonctions — Q13 : Quotient de polynômes en $+\infty$ Que vaut $\lim\limits_{x \to +\infty}
\dfrac{2x^2 + 1}{x^2 + 3}$ ?

]]> Quotient de polynômes à l'infini : le rapport des termes de
plus haut degré. Degrés égaux : rapport des coefficients ;
haut plus fort : $\pm\infty$ ; bas plus fort : $0$.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $2$

]]> Bonne réponse : en factorisant les termes dominants,
$\dfrac{2x^2(1 + \frac{1}{2x^2})}{x^2(1 + \frac{3}{x^2})}
\to \dfrac{2}{1} = 2$ : seuls les plus hauts degrés
comptent à l'infini.

]]> $+\infty$

]]> Erreur : le numérateur explose, mais le dénominateur
aussi, à la même vitesse ($x^2$) : le rapport se
stabilise sur celui des coefficients.

]]> $0$

]]> Erreur : la limite $0$ correspond à un dénominateur de
degré supérieur. Ici les degrés sont égaux : limite
$= \frac{2}{1}$.

]]> $\dfrac{1}{3}$

]]> Erreur : $\frac{1}{3}$ est le rapport des constantes,
qui deviennent négligeables : ce sont les termes en
$x^2$ qui décident.

]]> Limites des fonctions — Q14 : Limite en un point sans obstacle Que vaut $\lim\limits_{x \to 1} \dfrac{x^2 + 1}{x + 2}$ ?

]]> Premier réflexe devant une limite en un point : essayer la
substitution. Si rien ne coince (pas de division par zéro,
pas d'indétermination), la limite est la valeur : les
fonctions usuelles sont continues sur leur domaine.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $\dfrac{2}{3}$

]]> Bonne réponse : aucun interdit en $1$ (dénominateur non
nul), aucune forme indéterminée : on remplace :
$\frac{1 + 1}{1 + 2} = \frac{2}{3}$.

]]> $+\infty$

]]> Réflexe erroné : une limite en un point ne donne
l'infini que si le dénominateur s'annule. Ici $1 + 2 =
3 \neq 0$.

]]> Forme indéterminée

]]> Erreur : $\frac{2}{3}$ n'a rien d'indéterminé : les
formes à problème sont $\frac{0}{0}$,
$\frac{\infty}{\infty}$… pas un quotient ordinaire.

]]> $0$

]]> Erreur : le numérateur en $1$ vaut $2$, pas $0$ : la
limite est le quotient des deux valeurs.

]]> Limites des fonctions — Q15 : Limite de $e^{-x}$ en $+\infty$ Que vaut $\lim\limits_{x \to +\infty} e^{-x}$ ?

]]> $e^{-x} = \frac{1}{e^x} \to 0$ en $+\infty$, en restant
strictement positive. Modèle des décroissances
exponentielles (désintégration, refroidissement) : chute
rapide, jamais nulle.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $0$

]]> Bonne réponse : $e^{-x} = \dfrac{1}{e^x}$, et $e^x \to
+\infty$ : l'inverse fond vers $0$. L'axe des abscisses
est asymptote.

]]> $-\infty$

]]> Erreur de signe : $e^{-x}$ est positive (une
exponentielle ne prend que des valeurs strictement
positives) : elle ne peut pas plonger sous zéro.

]]> $+\infty$

]]> Sens inverse : c'est en $-\infty$ que $e^{-x}$ explose.
En $+\infty$, l'exposant $-x$ plonge et l'exponentielle
s'éteint.

]]> $1$

]]> Erreur : $e^{-x} = 1$ seulement en $x = 0$ ; à l'infini,
l'exponentielle d'un exposant qui tend vers $-\infty$
tend vers $0$.

]]> Limites des fonctions — Q16 : Lever un $\dfrac{0}{0}$ par factorisation Que vaut $\lim\limits_{x \to 2} \dfrac{x^2 - 4}{x - 2}$ ?

]]> Devant $\frac{0}{0}$ avec des polynômes : le numérateur et
le dénominateur partagent la racine : factoriser par
$(x - a)$ et simplifier. (C'est d'ailleurs un taux
d'accroissement déguisé : celui de $x^2$ en $2$.)

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $4$

]]> Bonne réponse : $\dfrac{(x-2)(x+2)}{x - 2} = x + 2$ pour
$x \neq 2$, qui tend vers $4$ : la factorisation efface
l'obstacle.

]]> $0$

]]> Erreur : le numérateur tend vers $0$, mais le
dénominateur aussi : $\frac{0}{0}$ ne vaut pas $0$, il
faut simplifier d'abord.

]]> $+\infty$

]]> Erreur : « dénominateur nul donc infini » ne vaut que si
le numérateur, lui, ne s'annule pas. Ici les deux
s'annulent : simplification obligatoire.

]]> La limite n'existe pas

]]> Erreur : après simplification, la fonction coïncide avec
$x + 2$ autour de $2$ : la limite existe et vaut $4$.

]]> Limites des fonctions — Q17 : Gendarmes avec un cosinus Que vaut $\lim\limits_{x \to +\infty} \dfrac{\cos x}{x}$ ?

]]> Borné divisé par infini : $0$, via le théorème des
gendarmes. Réflexe : dès qu'un facteur oscillant ($\cos$,
$\sin$, $(-1)^n$) bloque les opérations, encadrer.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $0$, par encadrement : $-\dfrac{1}{x} \leq
\dfrac{\cos x}{x} \leq \dfrac{1}{x}$

]]> Bonne réponse : le cosinus reste coincé entre $-1$ et
$1$ pendant que le dénominateur explose : les deux
gendarmes $\pm\frac{1}{x}$ écrasent le quotient sur $0$.

]]> La limite n'existe pas, car $\cos x$ oscille sans limite

]]> Erreur : le cosinus oscille, mais borné : divisées
par $x$, ses oscillations s'aplatissent. L'encadrement
conclut là où les opérations échouent.

]]> $1$

]]> Confusion probable avec $\frac{\sin x}{x}$ en $0$. En
$+\infty$, le numérateur borné ne suit pas le
dénominateur : quotient vers $0$.

]]> $+\infty$

]]> Erreur : le numérateur ne dépasse jamais $1$ : le
quotient est majoré par $\frac{1}{x}$, qui fond.

]]> Limites des fonctions — Q18 : Limite d'une composée Que vaut $\lim\limits_{x \to +\infty} e^{-x^2}$ ?

]]> Limite de composée : d'abord la limite interne ($u(x) \to
b$), puis la limite de la fonction externe en $b$. Poser
explicitement $X = u(x)$ évite tous les faux réflexes.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $0$ : on pose $X = -x^2 \to -\infty$, et $e^X \to 0$

]]> Bonne réponse : composition en deux temps : l'exposant
$-x^2$ plonge vers $-\infty$, et l'exponentielle d'un
exposant qui plonge s'éteint.

]]> $+\infty$, car l'exponentielle explose toujours

]]> Erreur : $e^X$ n'explose que si $X \to +\infty$. Ici
l'exposant tend vers $-\infty$ : il faut suivre
l'exposant avant de conclure.

]]> $1$, car $e^0 = 1$

]]> Erreur : l'exposant $-x^2$ ne tend pas vers $0$ mais
vers $-\infty$ (on évalue la limite interne
d'abord).

]]> $-\infty$, à cause du signe moins

]]> Erreur : une exponentielle reste strictement positive :
le moins est dans l'exposant, pas devant la fonction.

]]> Limites des fonctions — Q19 : Limite à gauche d'un pôle Que vaut $\lim\limits_{x \to 3^-} \dfrac{1}{x - 3}$ ?

]]> Près d'un pôle, toujours tester le signe du dénominateur
de chaque côté (une valeur numérique suffit). Ici :
$-\infty$ à gauche, $+\infty$ à droite : l'asymptote
verticale $x = 3$ est traversée en deux branches opposées.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $-\infty$

]]> Bonne réponse : à gauche de $3$ (par exemple $x =
2{,}99$), $x - 3$ est un petit nombre négatif :
l'inverse plonge vers $-\infty$.

]]> $+\infty$

]]> Signe non contrôlé : c'est la limite à droite
($x - 3 > 0$). À gauche, le dénominateur est négatif :
test rapide avec $x = 2{,}9$ : $\frac{1}{-0{,}1} = -10$.

]]> $0$

]]> Erreur : un dénominateur qui fond fait exploser le
quotient ($\frac{1}{0{,}001} = 1000$), il ne l'éteint
pas.

]]> $3$

]]> Erreur : la valeur interdite $3$ n'est pas la limite :
près d'un pôle, la fonction part vers l'infini (avec un
signe à déterminer).

]]> Limites des fonctions — Q20 : La forme $x\,e^x$ en $-\infty$ Que vaut $\lim\limits_{x \to -\infty} x\,e^{x}$ ?

]]> Croissances comparées, version $-\infty$ : $x^n e^x \to 0$
quand $x \to -\infty$ (l'exponentielle écrase toute
puissance). Pendant qu'en $+\infty$ : $\frac{e^x}{x^n} \to
+\infty$. Deux faces du même théorème.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $0$ : l'exponentielle l'emporte sur $x$

]]> Bonne réponse : forme $-\infty \times 0$, tranchée par
la croissance comparée : $e^x$ s'éteint plus vite que
$x$ ne grossit : le produit fond vers $0$ (par valeurs
négatives).

]]> $-\infty$, car $x \to -\infty$

]]> Erreur : le facteur $e^x$ tend vers $0$ et freine tout :
c'est un conflit $\infty \times 0$, gagné par
l'exponentielle.

]]> $+\infty$, car l'exponentielle gagne toujours

]]> Mal citée : l'exponentielle gagne, oui, mais ici elle
tend vers $0$ : elle tire le produit vers $0$, pas vers
l'infini.

]]> $-1$

]]> Erreur : aucune compensation exacte n'a lieu : la
croissance comparée donne $0$, résultat de cours à
connaître.

]]> Limites des fonctions — Q21 : La limite $\dfrac{e^x - 1}{x}$ en $0$ Que vaut $\lim\limits_{x \to 0} \dfrac{e^x - 1}{x}$ ?

]]> Réflexe précieux : $\lim\limits_{x \to a}
\frac{f(x) - f(a)}{x - a} = f'(a)$. Beaucoup de
$\frac{0}{0}$ sont des taux d'accroissement déguisés :
reconnaître la forme évite tout calcul.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $1$ : c'est le nombre dérivé de $e^x$ en $0$

]]> Bonne réponse : $\dfrac{e^x - e^0}{x - 0}$ est le taux
d'accroissement de l'exponentielle en $0$ ; sa limite
est $\exp'(0) = e^0 = 1$.

]]> $0$, car le numérateur tend vers $0$

]]> Erreur : le dénominateur tend vers $0$ aussi :
$\frac{0}{0}$ à lever, et ici c'est une dérivée
déguisée.

]]> $+\infty$, car on divise par $0$

]]> Erreur : le numérateur s'annule en même temps : le
quotient reste équilibré et tend vers la pente de la
tangente en $0$, soit $1$.

]]> $e$

]]> Erreur : $e = e^1$ serait le nombre dérivé en $1$.
En $0$ : $e^0 = 1$.

]]> Limites des fonctions — Q22 : Les deux asymptotes d'une homographique Soit $f(x) = \dfrac{2x + 1}{x - 1}$. Quelles sont les
asymptotes de sa courbe ?

]]> Bilan asymptotique d'un quotient : les zéros du dénominateur
(numérateur non nul) donnent les verticales ; les limites à
l'infini donnent les horizontales. Ici : $x = 1$ et $y = 2$,
l'hyperbole complète.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Verticale $x = 1$ et horizontale $y = 2$

]]> Bonne réponse : en $1$, dénominateur nul et numérateur
non nul : asymptote verticale ; à l'infini, rapport des
termes dominants $\frac{2x}{x} = 2$ : horizontale
$y = 2$.

]]> Verticale $x = 2$ et horizontale $y = 1$

]]> Valeurs croisées : la verticale vient du dénominateur
nul ($x = 1$), l'horizontale du rapport des
coefficients dominants ($y = 2$).

]]> Verticale $x = 1$ seulement

]]> Incomplet : à l'infini, $f(x) \to 2$ : la droite $y = 2$
est asymptote horizontale des deux côtés.

]]> Horizontale $y = -1$, car $f(0) = -1$

]]> Erreur : $f(0)$ est une valeur de la fonction, pas
une asymptote : les asymptotes se lisent dans les
limites, pas dans les images.

]]> Limites des fonctions — Q23 : La forme $x - \sqrt{x}$ en $+\infty$ Que vaut $\lim\limits_{x \to +\infty} \left(x -
\sqrt{x}\right)$ ?

]]> $\infty - \infty$ avec des puissances : factoriser la plus
forte. $x - \sqrt{x} = \sqrt{x}(\sqrt{x} - 1) \to +\infty$.
Une indétermination n'est jamais une réponse finale.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $+\infty$, car $x - \sqrt{x} = \sqrt{x}(\sqrt{x} - 1)$

]]> Bonne réponse : factoriser le terme dominant transforme
$\infty - \infty$ en produit $\infty \times \infty$ :
les deux facteurs tendent vers $+\infty$.

]]> $0$, car les deux termes se compensent

]]> Erreur : $x$ croît beaucoup plus vite que $\sqrt{x}$
(en $100$ : $100 - 10 = 90$) : aucune compensation.

]]> $-\infty$, car on soustrait un infini

]]> Erreur : le terme dominant est $x$, positif : la
soustraction de $\sqrt{x}$, négligeable, ne renverse pas
la tendance.

]]> Forme indéterminée : on ne peut pas conclure

]]> Mi-vrai : la forme brute est indéterminée, mais
l'indétermination se lève (factorisation) : la
limite existe et vaut $+\infty$.

]]> Limites des fonctions — Q24 : Ne pas avoir de limite en $+\infty$ Une fonction $f$ n'a pas de limite finie en $+\infty$.
Peut-on en déduire qu'elle tend vers $+\infty$ ou
$-\infty$ ?

]]> Comme pour les suites : limite finie, limite infinie, ou pas
de limite du tout. Les fonctions trigonométriques fournissent
les contre-exemples de la troisième catégorie : à citer dès
qu'un énoncé « oublie » ce cas.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Non : elle peut osciller sans limite, comme $\cos x$

]]> Bonne réponse : $\cos x$ n'a ni limite finie ni limite
infinie : elle repasse éternellement par $1$ et $-1$.
Trois issues possibles en $+\infty$ : limite finie,
limite infinie, ou rien.

]]> Oui : sans limite finie, il ne reste que l'infini

]]> Faux dilemme : l'oscillation est la troisième voie :
$\cos x$, $\sin x$, $x\sin x$… aucune limite d'aucune
sorte.

]]> Oui, sauf si la fonction est périodique

]]> La périodicité n'est qu'un exemple : $x \mapsto
\cos(x^2)$ n'est pas périodique et n'a pas non plus de
limite. Le critère n'est pas la périodicité.

]]> Non : toute fonction a forcément une limite, quitte à
être infinie

]]> Contredit l'exemple $\cos x$ : l'existence d'une limite
n'a rien d'automatique, c'est une propriété à démontrer.

]]>