$course$/QCM de maths/Terminale spécialité/Primitives et équations différentielles Notion de primitive (équation $y' = f$), primitives des fonctions
de référence et des formes $(v' \circ u) \times u'$, primitives
d'une même fonction à constante près, équations différentielles
$y' = ay$ et $y' = ay + b$ : forme des solutions, solution
vérifiant une condition initiale, comportement en l'infini.

]]> Primitives et équations différentielles — Q01 : Définition d'une primitive Soit $f$ une fonction continue sur un intervalle $I$. Que
signifie « $F$ est une primitive de $f$ sur $I$ » ?

]]> Définition : $F$ est une primitive de $f$ sur $I$ si $F$ est
dérivable sur $I$ avec $F' = f$. La primitivation est
l'opération inverse de la dérivation (résoudre $y' = f$).

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $F$ est dérivable sur $I$ et $F' = f$

]]> Bonne réponse : chercher une primitive, c'est remonter la
dérivation : $F' = f$ sur tout l'intervalle.

]]> $f$ est dérivable sur $I$ et $f' = F$

]]> Sens inversé : c'est $F$ qu'on dérive pour retrouver $f$,
pas le contraire. $F$ primitive de $f$ $\Leftrightarrow$
$F' = f$.

]]> $F(x) = f(x) + C$ pour une constante $C$

]]> Erreur : la constante relie deux primitives entre
elles, pas une primitive à la fonction. $F$ et $f$ sont
liées par la dérivation.

]]> $F(0) = 0$ et $F$ est continue

]]> Erreur : aucune condition en $0$ n'intervient dans la
définition. Ce qui compte : $F' = f$ sur $I$.

]]> Primitives et équations différentielles — Q02 : Primitive de $x^2$ Quelle fonction est une primitive de $x \mapsto x^2$ sur
$\mathbb{R}$ ?

]]> Primitives des puissances : pour $n \neq -1$, une primitive de
$x^n$ est $\dfrac{x^{n+1}}{n+1}$. Toujours vérifier en
redérivant : $\left(\dfrac{x^3}{3}\right)' = x^2$.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $x \mapsto \dfrac{x^3}{3}$

]]> Bonne réponse : en dérivant $\dfrac{x^3}{3}$, on obtient
$\dfrac{3x^2}{3} = x^2$. Règle : primitive de $x^n$ =
$\dfrac{x^{n+1}}{n+1}$.

]]> $x \mapsto 2x$

]]> Erreur de sens : $2x$ est la dérivée de $x^2$. Une
primitive s'obtient en montant l'exposant, pas en le
descendant.

]]> $x \mapsto x^3$

]]> Presque : $(x^3)' = 3x^2$, trois fois trop grand. Il faut
diviser par le nouvel exposant : $\dfrac{x^3}{3}$.

]]> $x \mapsto 3x^3$

]]> Erreur : $(3x^3)' = 9x^2$. Le facteur correct est
$\dfrac{1}{3}$, pas $3$ : on divise par le nouvel
exposant.

]]> Primitives et équations différentielles — Q03 : Deux primitives d'une même fonction Soient $F$ et $G$ deux primitives d'une même fonction continue
$f$ sur un intervalle $I$. Que peut-on affirmer ?

]]> Théorème (démonstration au programme) : sur un intervalle, deux
primitives d'une même fonction diffèrent d'une constante. C'est
pourquoi la condition $F(x_0) = y_0$ suffit à isoler une
primitive unique.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Il existe une constante $C$ telle que $G(x) = F(x) + C$
pour tout $x$ de $I$

]]> Bonne réponse : $(G - F)' = f - f = 0$ sur l'intervalle
$I$, donc $G - F$ est constante. Deux primitives diffèrent
d'une constante.

]]> $F = G$

]]> Trop fort : $x^2$ et $x^2 + 7$ sont deux primitives
distinctes de $2x$. L'égalité n'a lieu qu'à constante près.

]]> $G(x) = F(x) + ax + b$ avec $a \neq 0$ possible

]]> Erreur : si $G - F$ contenait un terme $ax$ avec
$a \neq 0$, sa dérivée vaudrait $a \neq 0$, contredisant
$G' = F' = f$. La différence est une constante.

]]> $G = kF$ pour une constante $k$

]]> Erreur : la liberté est additive, pas multiplicative.
Vérifie : $(kF)' = kf \neq f$ dès que $k \neq 1$.

]]> Primitives et équations différentielles — Q04 : Primitive de $e^{3x}$ Quelle fonction est une primitive de $x \mapsto e^{3x}$ sur
$\mathbb{R}$ ?

]]> Pour $a \neq 0$, une primitive de $e^{ax}$ est
$\dfrac{e^{ax}}{a}$ : l'exposant est conservé et on divise par
son coefficient. Vérification immédiate en dérivant.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $x \mapsto \dfrac{e^{3x}}{3}$

]]> Bonne réponse : $\left(\dfrac{e^{3x}}{3}\right)' =
\dfrac{3e^{3x}}{3} = e^{3x}$. Le facteur $\dfrac{1}{3}$
compense le $3$ que la dérivation ferait sortir.

]]> $x \mapsto 3e^{3x}$

]]> Sens inversé : $3e^{3x}$ est la dérivée de $e^{3x}$.
Pour une primitive, on divise par $3$ au lieu de
multiplier.

]]> $x \mapsto e^{3x}$

]]> Erreur : $(e^{3x})' = 3e^{3x} \neq e^{3x}$. Seule $e^x$ est
sa propre primitive ; ici il faut le facteur $\dfrac{1}{3}$.

]]> $x \mapsto \dfrac{e^{4x}}{4}$

]]> Erreur : l'exposant ne monte pas comme pour les puissances
de $x$ ; la primitivation d'une exponentielle conserve
l'exposant $3x$.

]]> Primitives et équations différentielles — Q05 : Primitive d'une forme $u' u^n$ Quelle fonction est une primitive de
$f(x) = x\,(x^2 + 1)^3$ sur $\mathbb{R}$ ?

]]> Reconnaître la forme $u'u^n$ : ici $u = x^2+1$, $u' = 2x$, donc
$x(x^2+1)^3 = \frac{1}{2}u'u^3$, de primitive
$\frac{1}{2}\cdot\frac{u^4}{4} = \frac{(x^2+1)^4}{8}$.
Vérifier en dérivant est le meilleur garde-fou.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $F(x) = \dfrac{(x^2 + 1)^4}{8}$

]]> Bonne réponse : avec $u = x^2 + 1$, $u' = 2x$ : on écrit
$f = \dfrac{1}{2}\,u'u^3$, dont une primitive est
$\dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{u^4}{4} = \dfrac{u^4}{8}$.

]]> $F(x) = \dfrac{(x^2 + 1)^4}{4}$

]]> Oubli du facteur $\dfrac{1}{2}$ : $u' = 2x$ alors que
l'énoncé n'a que $x$ en facteur. Il faut compenser :
$x = \dfrac{1}{2}u'$, d'où le dénominateur $8$.

]]> $F(x) = (x^2 + 1)^4$

]]> Erreur : $\left((x^2+1)^4\right)' = 8x(x^2+1)^3$, huit fois
trop grand. La forme $u'u^n$ se primitive en
$\dfrac{u^{n+1}}{n+1}$, avec ajustement du coefficient.

]]> $F(x) = \dfrac{x^2}{2}\,(x^2+1)^3$

]]> Erreur : on ne primitive pas facteur par facteur (pas plus
qu'on ne dérive un produit terme à terme). Il faut
reconnaître la structure composée $u'u^3$.

]]> Primitives et équations différentielles — Q06 : Vérifier une primitive par dérivation Soit $F(x) = (x - 1)\,e^x$. Que vaut $F'(x)$ ?

]]> $F'(x) = (x-1)'e^x + (x-1)(e^x)' = e^x + (x-1)e^x = x\,e^x$.
C'est le réflexe central du chapitre : toute primitive proposée
se contrôle en la dérivant.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $x\,e^x$

]]> Bonne réponse : dérivée d'un produit,
$F'(x) = 1 \cdot e^x + (x-1)e^x = x\,e^x$. Donc $F$ est une
primitive de $x \mapsto x\,e^x$.

]]> $(x - 1)\,e^x$

]]> Erreur : tu as dérivé seulement $e^x$ en oubliant la règle
du produit. Le terme $1 \cdot e^x$ venu de $(x-1)'$
transforme $x - 1$ en $x$.

]]> $e^x$

]]> Erreur : tu as dérivé chaque facteur puis multiplié
($1 \times e^x$). La règle du produit est
$u'v + uv'$, pas $u'v'$.

]]> $(x + 1)\,e^x$

]]> Erreur de calcul : $1 \cdot e^x + (x-1)e^x =
(1 + x - 1)e^x = x\,e^x$. Les constantes s'annulent.

]]> Primitives et équations différentielles — Q07 : Solutions de $y' = 3y$ Quelles sont les solutions sur $\mathbb{R}$ de l'équation
différentielle $y' = 3y$ ?

]]> Théorème (démonstration au programme) : les solutions de
$y' = ay$ sont les fonctions $x \mapsto C\,e^{ax}$, $C$ réel
quelconque. La constante se fixe ensuite par une condition
initiale.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Les fonctions $x \mapsto C\,e^{3x}$, où $C$ est une
constante réelle

]]> Bonne réponse : les solutions de $y' = ay$ sont exactement
les $x \mapsto C\,e^{ax}$. Vérification :
$(Ce^{3x})' = 3Ce^{3x} = 3y$.

]]> La seule fonction $x \mapsto e^{3x}$

]]> Incomplet : tout multiple $Ce^{3x}$ convient aussi (y
compris $C = 0$, la fonction nulle). Une équation
différentielle a une famille de solutions.

]]> Les fonctions $x \mapsto C\,e^{-3x}$

]]> Erreur de signe : $(Ce^{-3x})' = -3Ce^{-3x} = -3y$. Ces
fonctions résolvent $y' = -3y$.

]]> Les fonctions $x \mapsto 3x + C$

]]> Erreur : $y = 3x + C$ donne $y' = 3$, constant, alors que
$3y = 9x + 3C$ varie. Tu as résolu $y' = 3$ (une
primitive), pas $y' = 3y$.

]]> Primitives et équations différentielles — Q08 : Solutions de $y' = 2y + 6$ Quelles sont les solutions sur $\mathbb{R}$ de l'équation
différentielle $y' = 2y + 6$ ?

]]> Méthode pour $y' = ay + b$ : (1) solution particulière
constante $y_p = -\dfrac{b}{a}$ ; (2) solutions de l'équation :
$y = C\,e^{ax} + y_p$. Ici : $y = Ce^{2x} - 3$.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $y = C\,e^{2x} - 3$, où $C$ est une constante réelle

]]> Bonne réponse : la solution particulière constante vérifie
$0 = 2y + 6$, soit $y = -3$ ; on lui ajoute les solutions
$Ce^{2x}$ de l'équation homogène $y' = 2y$.

]]> $y = C\,e^{2x} + 3$

]]> Erreur de signe sur la constante particulière : elle
résout $2y + 6 = 0$, donc $y = -3$, pas $+3$. Contrôle :
si $y = Ce^{2x}+3$, alors $y' = 2Ce^{2x}$ mais
$2y + 6 = 2Ce^{2x} + 12$ : ça ne colle pas.

]]> $y = C\,e^{2x} + 6$

]]> Erreur : tu as pris le terme $b = 6$ comme solution
particulière. La constante correcte est
$-\dfrac{b}{a} = -\dfrac{6}{2} = -3$.

]]> $y = C\,e^{-2x} - 3$

]]> Erreur de signe dans l'exponentielle : l'équation homogène
associée est $y' = 2y$, de solutions $Ce^{2x}$ (exposant
$+2x$).

]]> Primitives et équations différentielles — Q09 : Imposer une condition initiale Quelle est l'unique solution de $y' = 2y + 6$ vérifiant
$y(0) = 1$ ?

]]> Deux temps : forme générale $y = Ce^{2x} - 3$, puis condition
initiale : $y(0) = C - 3 = 1 \Rightarrow C = 4$. Une condition
initiale isole une solution dans la famille.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $y = 4\,e^{2x} - 3$

]]> Bonne réponse : dans $y = Ce^{2x} - 3$, la condition
$y(0) = 1$ donne $C - 3 = 1$, donc $C = 4$.

]]> $y = e^{2x} - 3$

]]> Erreur : cette fonction vaut $1 - 3 = -2$ en $0$, pas $1$.
La constante $C$ se calcule avec la condition initiale :
$C - 3 = 1$ donne $C = 4$.

]]> $y = 1 \cdot e^{2x} - 3$... c'est-à-dire $C = y(0)$

]]> Piège : $C$ n'est pas directement $y(0)$, car la solution
particulière $-3$ décale la valeur en $0$ :
$y(0) = C - 3$, d'où $C = y(0) + 3 = 4$.

]]> $y = 4\,e^{2x} + 3$

]]> Erreur : le $-3$ vient de la solution particulière de
l'équation, il ne change pas de signe. Avec $+3$, on
n'aurait pas $y' = 2y + 6$.

]]> Primitives et équations différentielles — Q10 : Primitive de sinus Quelle fonction est une primitive de $x \mapsto \sin(x)$ sur
$\mathbb{R}$ ?

]]> Primitives trigonométriques : $\sin$ se primitive en $-\cos$,
et $\cos$ en $\sin$. Contrôle systématique en dérivant :
$(-\cos x)' = \sin x$.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $x \mapsto -\cos(x)$

]]> Bonne réponse : $(-\cos x)' = -(-\sin x) = \sin x$. Les
deux signes moins se compensent.

]]> $x \mapsto \cos(x)$

]]> Erreur de signe : $(\cos x)' = -\sin x$. Pour retomber sur
$+\sin x$, il faut partir de $-\cos x$.

]]> $x \mapsto -\sin(x)$

]]> Erreur : $(-\sin x)' = -\cos x \neq \sin x$. Primitiver
échange sinus et cosinus (avec un signe à surveiller).

]]> $x \mapsto \dfrac{\sin^2(x)}{2}$

]]> Erreur : $\left(\dfrac{\sin^2 x}{2}\right)' =
\sin x \cos x$, à cause de la composition. La règle des
puissances ne s'applique pas telle quelle aux fonctions.

]]> Primitives et équations différentielles — Q11 : Comportement des solutions de $y' = ay$ pour $a < 0$ Soit $a < 0$. Comment se comportent les solutions non nulles de
$y' = ay$ quand $x$ tend vers $+\infty$ ?

]]> $y = Ce^{ax}$ : le signe de $a$ commande tout. $a > 0$ :
explosion exponentielle ; $a < 0$ : extinction vers $0$ ;
$a = 0$ : solutions constantes.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Elles tendent vers $0$

]]> Bonne réponse : $y = Ce^{ax}$ avec $a < 0$ : l'exponentielle
s'éteint en $+\infty$. C'est le modèle des décroissances
exponentielles (décharge, désintégration,
refroidissement).

]]> Elles tendent vers $+\infty$

]]> Erreur : c'est le comportement pour $a > 0$ (croissance
exponentielle). Ici l'exposant $ax$ tend vers $-\infty$ et
$e^{ax} \to 0$.

]]> Elles oscillent

]]> Erreur : les solutions $Ce^{ax}$ sont monotones (aucun
sinus en vue). Les oscillations relèvent d'autres équations,
comme $y'' + \omega^2 y = 0$.

]]> Elles deviennent constantes égales à $a$

]]> Erreur : $a$ est le coefficient de l'équation, pas une
valeur limite des solutions. La limite commune est $0$.

]]> Primitives et équations différentielles — Q12 : Primitive de $\dfrac{1}{\sqrt{x}}$ Quelle fonction est une primitive de
$x \mapsto \dfrac{1}{\sqrt{x}}$ sur $]0\,;\,+\infty[$ ?

]]> Primitive de référence (au programme) : sur $]0\,;\,+\infty[$,
$\dfrac{1}{\sqrt{x}}$ se primitive en $2\sqrt{x}$. À ranger
avec : $\dfrac{1}{x} \to \ln x$ et $x^n \to
\dfrac{x^{n+1}}{n+1}$.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $x \mapsto 2\sqrt{x}$

]]> Bonne réponse : $(2\sqrt{x})' = 2 \times
\dfrac{1}{2\sqrt{x}} = \dfrac{1}{\sqrt{x}}$.

]]> $x \mapsto \sqrt{x}$

]]> Facteur manquant : $(\sqrt{x})' = \dfrac{1}{2\sqrt{x}}$,
moitié trop petit. D'où le facteur $2$ dans la primitive.

]]> $x \mapsto \dfrac{1}{2\sqrt{x}}$

]]> Erreur de sens : $\dfrac{1}{2\sqrt{x}}$ est la dérivée
de $\sqrt{x}$. On cherche l'opération inverse.

]]> $x \mapsto \ln(\sqrt{x})$

]]> Erreur : $\left(\ln(\sqrt x)\right)' =
\dfrac{1}{2x}$, ce n'est pas $\dfrac{1}{\sqrt{x}}$. Le
logarithme est la primitive de $\dfrac{1}{x}$, pas de
$\dfrac{1}{\sqrt{x}}$.

]]> Primitives et équations différentielles — Q13 : Primitive de $\dfrac{1}{x}$ Quelle est une primitive de $f(x) = \dfrac{1}{x}$ sur
$]0\ ;\ +\infty[$ ?

]]> Sur $]0\ ;\ +\infty[$, les primitives de $\frac{1}{x}$ sont
$\ln x + C$. L'exception de la règle des puissances
($n = -1$) : à mémoriser comme telle.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $F(x) = \ln x$

]]> Bonne réponse : $(\ln x)' = \dfrac{1}{x}$ : le logarithme
comble exactement le trou de la formule des puissances.

]]> $F(x) = -\dfrac{1}{x^2}$

]]> Sens inverse : $-\frac{1}{x^2}$ est la dérivée de
$\frac{1}{x}$ ; on cherche l'antécédent de dérivation,
pas l'image.

]]> $F(x) = \dfrac{x^0}{0}$

]]> Division par zéro : la formule $\frac{x^{n+1}}{n+1}$
échoue précisément pour $n = -1$ : c'est $\ln$ qui prend
le relais.

]]> $F(x) = \ln\left(\dfrac{1}{x}\right)$

]]> Signe : $\ln\frac{1}{x} = -\ln x$, dont la dérivée est
$-\frac{1}{x}$ : l'opposé de ce qu'on veut.

]]> Primitives et équations différentielles — Q14 : Primitive de $\cos(2x)$ Quelle est une primitive de $f(x) = \cos(2x)$ ?

]]> Primitives de $\cos(ax + b)$ : $\frac{1}{a}\sin(ax + b)$ ;
de $\sin(ax+b)$ : $-\frac{1}{a}\cos(ax + b)$. Toujours
vérifier en dérivant : la compensation en $\frac{1}{a}$ ne
pardonne pas l'improvisation.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $F(x) = \dfrac{1}{2}\sin(2x)$

]]> Bonne réponse : $(\sin(2x))' = 2\cos(2x)$ : il faut
compenser le facteur $2$ par $\frac{1}{2}$. Contrôle en
dérivant : $\frac{1}{2} \times 2\cos(2x) = \cos(2x)$.

]]> $F(x) = \sin(2x)$

]]> Compensation oubliée : $(\sin(2x))' = 2\cos(2x)$, le
double de la cible : diviser par $2$.

]]> $F(x) = -\dfrac{1}{2}\sin(2x)$

]]> Signe : le moins appartient au couple inverse (primitive
de $\sin$ = $-\cos$). Pour $\cos$, la primitive est en
$+\sin$.

]]> $F(x) = 2\sin(2x)$

]]> Compensation à l'envers : dériver $2\sin(2x)$ donne
$4\cos(2x)$ : on divise par le coefficient interne, on
ne multiplie pas.

]]> Primitives et équations différentielles — Q15 : Existence de primitives Quelles fonctions admettent des primitives sur un
intervalle ?

]]> Théorème : toute fonction continue sur un intervalle y admet
des primitives (une infinité, à constante près). En
pratique, toutes les fonctions du programme sont continues
sur leurs intervalles de définition.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Toute fonction continue sur cet intervalle

]]> Bonne réponse : théorème du cours : continuité suffit
(la primitive s'obtient d'ailleurs comme aire variable,
au chapitre intégration).

]]> Seulement les polynômes

]]> Trop restrictif : $e^x$, $\cos$, $\frac{1}{x}$… toutes
les fonctions continues usuelles ont des primitives.

]]> Seulement les fonctions dérivables

]]> Confusion : la dérivabilité concerne la fonction
elle-même ; pour primitiver, la continuité suffit
($|x|$, non dérivable en $0$, a des primitives).

]]> Seulement les fonctions positives

]]> Sans rapport : $f(x) = -e^x$, toujours négative, a pour
primitive $-e^x$. Le signe ne joue aucun rôle.

]]> Primitives et équations différentielles — Q16 : Primitive de la forme $\dfrac{u'}{u}$ Quelle est une primitive de $f(x) = \dfrac{2x}{x^2 + 1}$
sur $\mathbb{R}$ ?

]]> Formes composées à repérer : $\frac{u'}{u} \to \ln u$
($u > 0$), $u'e^u \to e^u$, $u'u^n \to \frac{u^{n+1}}{n+1}$.
Le réflexe : chercher si le numérateur est la dérivée du
dénominateur.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $F(x) = \ln(x^2 + 1)$

]]> Bonne réponse : forme $\dfrac{u'}{u}$ avec $u = x^2 + 1
> 0$ et $u' = 2x$ : primitive $\ln(u)$.

]]> $F(x) = \dfrac{x^2}{\frac{x^3}{3} + x}$

]]> Erreur : primitiver haut et bas séparément n'a aucun
sens pour un quotient : il faut reconnaître la
forme $\frac{u'}{u}$.

]]> $F(x) = 2x\ln(x^2 + 1)$

]]> Erreur : dériver ce produit ferait apparaître un terme
en $\ln$ parasite : la primitive de $\frac{u'}{u}$ est
$\ln u$, sans facteur.

]]> $F(x) = \dfrac{1}{(x^2+1)^2}$

]]> Erreur : c'est une piste pour $\frac{u'}{u^3}$… en
dérivant : $\frac{-4x}{(x^2+1)^3}$, rien à voir.
Reconnaître $\frac{u'}{u}$ → $\ln u$.

]]> Primitives et équations différentielles — Q17 : Primitive de la forme $u'e^u$ Quelle est une primitive de $f(x) = 2x\,e^{x^2}$ ?

]]> $u'e^u \to e^u$ : la plus rentable des formes composées.
Sans le facteur $u'$ exact, ajuster par une constante
($x e^{x^2} \to \frac{1}{2}e^{x^2}$) ; s'il manque plus
qu'une constante, la forme n'est pas applicable.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $F(x) = e^{x^2}$

]]> Bonne réponse : $u = x^2$, $u' = 2x$ : la fonction est
exactement $u'e^u$, de primitive $e^u$. Contrôle :
$(e^{x^2})' = 2x\,e^{x^2}$.

]]> $F(x) = x^2\,e^{x^2}$

]]> Erreur : dériver ce produit donne $2x\,e^{x^2}(1 + x^2)$,
trop. La primitive de $u'e^u$ est $e^u$ tout court.

]]> $F(x) = \dfrac{e^{x^2}}{x^2}$

]]> Erreur : aucune règle ne divise par $u$. La forme
$u'e^u$ se primitive directement en $e^u$.

]]> $F(x) = 2\,e^{x^2}$

]]> Facteur en trop : le $2x$ est déjà absorbé par $u' =
2x$ : la primitive est $e^{x^2}$, sans coefficient.

]]> Primitives et équations différentielles — Q18 : Solution d'équilibre L'équation différentielle $y' = -3y + 6$ admet une solution
constante. Laquelle ?

]]> Pour $y' = ay + b$ : la solution constante est $y =
-\frac{b}{a}$ (dérivée nulle = second membre nul). Toutes
les solutions s'écrivent $Ce^{ax} - \frac{b}{a}$ : équilibre
+ partie exponentielle.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $y = 2$ : la valeur qui annule le second membre

]]> Bonne réponse : une constante a une dérivée nulle : $0 =
-3y + 6 \iff y = 2$. C'est l'état d'équilibre vers
lequel toutes les solutions convergent (coefficient
$-3 < 0$).

]]> $y = 6$ : le terme constant de l'équation

]]> Erreur : tester $y = 6$ : $y' = 0$ mais $-18 + 6 = -12
\neq 0$. L'équilibre est $-\frac{b}{a} = \frac{6}{3} =
2$.

]]> $y = -3$ : le coefficient de $y$

]]> Erreur : le coefficient $-3$ règle la vitesse de
convergence, pas la valeur d'équilibre ($y = 2$).

]]> $y = 0$ : une constante est toujours solution

]]> Faux : $y = 0$ donne $y' = 0$ mais $-0 + 6 = 6 \neq 0$ :
$0$ n'est solution que des équations homogènes
($y' = ay$).

]]> Primitives et équations différentielles — Q19 : Primitive de $(2x + 1)^3$ Quelle est une primitive de $f(x) = (2x + 1)^3$ ?

]]> Pour $(ax + b)^n$ : primitive $\dfrac{(ax+b)^{n+1}}{a(n+1)}$
: la double division (exposant + coefficient interne) se
vérifie en une dérivation de contrôle.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $F(x) = \dfrac{(2x + 1)^4}{8}$

]]> Bonne réponse : forme $u^n$ avec $u' = 2$ manquant : on
écrit $f = \frac{1}{2}\,u'u^3$, de primitive
$\frac{1}{2} \times \frac{u^4}{4} = \frac{u^4}{8}$.

]]> $F(x) = \dfrac{(2x + 1)^4}{4}$

]]> Ajustement oublié : dériver donne $2 \times (2x+1)^3$ :
le $u' = 2$ interne exige un facteur $\frac{1}{2}$
supplémentaire.

]]> $F(x) = 3(2x + 1)^2$

]]> Sens inverse : $3(2x+1)^2 \times 2 = 6(2x+1)^2$ est (à
un facteur près) la dérivée de $f$, pas sa
primitive : l'exposant doit monter.

]]> $F(x) = \dfrac{(2x+1)^4}{2}$

]]> Double compensation ratée : il faut diviser par $4$
(exposant) ET par $2$ ($u'$) : dénominateur $8$.

]]> Primitives et équations différentielles — Q20 : Primitive imposée en un point Quelle est LA primitive $F$ de $f(x) = 2x$ vérifiant
$F(1) = 0$ ?

]]> Deux temps : primitive générale ($x^2 + C$), puis condition
($F(1) = 0 \Rightarrow C = -1$). Une condition fixe LA
primitive parmi l'infinité : même logique que la condition
initiale d'une équation différentielle.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $F(x) = x^2 - 1$

]]> Bonne réponse : les primitives sont $x^2 + C$ ; la
condition $F(1) = 0$ donne $1 + C = 0$, donc $C = -1$.

]]> $F(x) = x^2$

]]> Condition ignorée : $F(1) = 1 \neq 0$. La constante se
calcule avec la condition, elle ne reste pas nulle
par défaut.

]]> $F(x) = x^2 + 1$

]]> Signe de la constante : $1 + C = 0 \Rightarrow C = -1$,
pas $+1$. Contrôle : $F(1) = 2 \neq 0$.

]]> $F(x) = 2$

]]> Erreur : une constante a une dérivée nulle, pas
$2x$ : ce n'est pas une primitive de $f$.

]]> Primitives et équations différentielles — Q21 : Vérifier une solution d'équation différentielle La fonction $f(x) = (x + 1)e^x$ est-elle solution de
l'équation $y' = y + e^x$ ?

]]> « Vérifier que $f$ est solution » = calculer $f'$, injecter
$f$ dans le second membre, constater l'égalité pour tout
$x$. Aucune résolution : c'est la question la plus rentable
des sujets de baccalauréat.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Oui : $f'(x) = (x + 2)e^x$ et $f(x) + e^x = (x + 2)e^x$

]]> Bonne réponse : dérivée d'un produit : $f' = e^x + (x +
1)e^x = (x + 2)e^x$ ; le second membre donne la même
chose : égalité pour tout $x$.

]]> Non : $f'(x) = e^x$, qui ne vaut pas $f(x) + e^x$

]]> Dérivée fausse : $(x + 1)e^x$ est un produit : sa
dérivée est $u'v + uv' = e^x + (x+1)e^x$, pas seulement
$e^x$.

]]> Non : les solutions de $y' = y + e^x$ sont les $Ce^x$

]]> Erreur : les $Ce^x$ résolvent l'équation homogène
$y' = y$ ; le second membre $e^x$ exige un terme
supplémentaire (le $xe^x$).

]]> On ne peut pas le savoir sans résoudre l'équation

]]> Erreur de méthode : vérifier une solution proposée ne
demande jamais de résoudre : on dérive, on remplace, on
compare.

]]> Primitives et équations différentielles — Q22 : Décroissance radioactive Une quantité $N(t)$ vérifie $N' = -0{,}1\,N$ avec $N(0) =
100$. Quelle est l'expression de $N(t)$ ?

]]> $y' = ay$, $y(0) = y_0 \Rightarrow y(t) = y_0e^{at}$. Le
signe de $a$ raconte l'histoire : $a < 0$ = désintégration,
refroidissement ; $a > 0$ = croissance. Toujours confronter
la solution au sens physique.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $N(t) = 100\,e^{-0{,}1t}$

]]> Bonne réponse : solutions de $y' = ay$ : $Ce^{at}$ avec
$a = -0{,}1$ ; la condition $N(0) = C = 100$ fixe la
constante.

]]> $N(t) = 100 - 0{,}1t$

]]> Modèle linéaire : ce serait $N' = -0{,}1$ (perte
constante). Ici la perte est proportionnelle au
stock : décroissance exponentielle.

]]> $N(t) = e^{-0{,}1t}$

]]> Condition initiale perdue : $N(0)$ vaudrait $1$, pas
$100$ : le facteur $C = 100$ est indispensable.

]]> $N(t) = 100\,e^{0{,}1t}$

]]> Signe : avec $+0{,}1$, la quantité exploserait. La
désintégration impose l'exposant négatif du modèle $N' =
-0{,}1N$.

]]> Primitives et équations différentielles — Q23 : Unicité avec condition initiale Combien l'équation $y' = 2y + 6$ admet-elle de solutions
vérifiant $y(0) = 1$ ?

]]> Théorème (au programme) : $y' = ay + b$ avec $y(x_0) = y_0$
admet une unique solution. Géométriquement : par chaque
point du plan passe une seule courbe solution.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Exactement une : $y(x) = 4e^{2x} - 3$

]]> Bonne réponse : solutions générales $Ce^{2x} - 3$ ; la
condition $y(0) = C - 3 = 1$ force $C = 4$ : une et une
seule fonction.

]]> Une infinité, comme toute équation différentielle

]]> Nuance capitale : l'infinité vaut pour l'équation
seule ; chaque condition initiale sélectionne
exactement une solution (c'est le théorème du cours).

]]> Aucune : $y(0) = 1$ est incompatible avec l'équation

]]> Erreur : toute valeur initiale est atteignable : il
suffit d'ajuster $C$ ($C = 4$ ici).

]]> Deux : une croissante et une décroissante

]]> Erreur : la constante $C$ est déterminée de façon
unique par une équation du premier degré : pas de
deuxième candidat.

]]> Primitives et équations différentielles — Q24 : Primitive d'un produit $F$ et $G$ sont des primitives de $f$ et $g$. Le produit
$FG$ est-il une primitive de $fg$ ?

]]> Les primitives se comportent bien pour $f + g$ et $\lambda
f$, et c'est tout. Pour un produit : reconnaître une forme
composée ($u'u^n$, $u'e^u$, $\frac{u'}{u}$…) ou transformer
l'expression. Le réflexe « primitive de chaque facteur » est
toujours faux.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Non : $(FG)' = fG + Fg$, pas $fg$ (exemple : $f = g =
1$, $FG = x^2$ dont la dérivée est $2x \neq 1$)

]]> Bonne réponse : la dérivation d'un produit suit $u'v +
uv'$ : symétriquement, il n'existe aucune formule
générale de primitive d'un produit.

]]> Oui : les opérations passent aux primitives

]]> Faux : seules la somme et la multiplication par une
constante passent. Contre-exemple : $f = g = 1$ :
$FG = x^2$, or une primitive de $fg = 1$ est $x$.

]]> Oui, à une constante près

]]> Erreur : $x^2$ et $x$ ne diffèrent pas d'une constante.
L'écart est structurel, pas constant.

]]> Non, sauf si $f$ et $g$ sont des polynômes

]]> Erreur : le contre-exemple $f = g = 1$ est
polynomial : même chez les polynômes, la formule est
fausse.

]]>