$course$/QCM de maths/Terminale spécialité/Représentations paramétriques et équations cartésiennes Représentation paramétrique d'une droite de l'espace, équation
cartésienne d'un plan ($ax + by + cz + d = 0$, vecteur normal),
appartenance d'un point, intersection droite-plan, positions
relatives de deux plans, projeté orthogonal par le calcul.

]]> Représentations paramétriques et équations cartésiennes — Q01 : Écrire une représentation paramétrique Quelle est une représentation paramétrique de la droite
passant par $A(1\,;\,2\,;\,3)$ et de vecteur directeur
$\vec{u}(2\,;\,-1\,;\,0)$ ?

]]> Représentation paramétrique de la droite $(A\,;\,\vec{u})$ :
$\begin{cases} x = x_A + t\,a \\ y = y_A + t\,b \\
z = z_A + t\,c \end{cases}$ où $\vec{u}(a\,;\,b\,;\,c)$ et
$t$ parcourt $\mathbb{R}$.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $x = 1 + 2t$, $\; y = 2 - t$, $\; z = 3$ ($t$ réel)

]]> Bonne réponse : point de départ $(1\,;\,2\,;\,3)$ +
$t$ fois la direction $(2\,;\,-1\,;\,0)$. La coordonnée
$z$ reste constante car la direction n'a pas de composante
verticale.

]]> $x = 2 + t$, $\; y = -1 + 2t$, $\; z = 3t$

]]> Point et vecteur échangés : les constantes doivent être
les coordonnées du point $A$, et les coefficients de
$t$ celles du vecteur directeur.

]]> $x = 1 + 2t$, $\; y = 2 + t$, $\; z = 3$

]]> Erreur de signe : la deuxième coordonnée du vecteur
directeur est $-1$, donc $y = 2 - t$.

]]> $x = 1 + 2t$, $\; y = 2 - t$, $\; z = 3 + t$

]]> Erreur : la troisième coordonnée de $\vec{u}$ est $0$ :
$z$ ne dépend pas de $t$ et reste égale à $3$.

]]> Représentations paramétriques et équations cartésiennes — Q02 : Lire un vecteur normal Soit le plan d'équation cartésienne $2x - 3y + z - 5 = 0$.
Quel vecteur lui est normal ?

]]> Théorème clé : le plan d'équation $ax + by + cz + d = 0$ admet
$\vec{n}(a\,;\,b\,;\,c)$ pour vecteur normal, et
réciproquement.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $\vec{n}(2\,;\,-3\,;\,1)$

]]> Bonne réponse : dans $ax + by + cz + d = 0$, les
coefficients $(a\,;\,b\,;\,c)$ sont les coordonnées d'un
vecteur normal.

]]> $\vec{n}(2\,;\,-3\,;\,-5)$

]]> Erreur : $-5$ est le terme constant $d$, qui règle la
position du plan mais ne fait pas partie du vecteur
normal $(a\,;\,b\,;\,c)$.

]]> $\vec{n}(2\,;\,3\,;\,1)$

]]> Erreur de signe : le coefficient de $y$ est $-3$, il se
recopie tel quel dans le vecteur normal.

]]> $\vec{n}(x\,;\,y\,;\,z)$

]]> Erreur : $x$, $y$, $z$ sont les inconnues de l'équation,
pas des coordonnées fixes. Le normal se lit sur les
coefficients : $(2\,;\,-3\,;\,1)$.

]]> Représentations paramétriques et équations cartésiennes — Q03 : Point d'une droite paramétrée Soit la droite $d$ : $x = 1 + 2t$, $y = 2 - t$, $z = 3$.
Quel point obtient-on pour $t = 2$ ?

]]> Chaque valeur du paramètre $t$ produit un point de la droite :
pour $t = 2$, $(1 + 4\,;\,2 - 2\,;\,3) = (5\,;\,0\,;\,3)$.
Inversement, vérifier qu'un point est sur la droite revient à
chercher un $t$ commun aux trois équations.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $(5\,;\,0\,;\,3)$

]]> Bonne réponse : $x = 1 + 4 = 5$, $y = 2 - 2 = 0$,
$z = 3$.

]]> $(4\,;\,-2\,;\,0)$

]]> Erreur : tu as calculé $t\,\vec{u} = (4\,;\,-2\,;\,0)$ en
oubliant d'ajouter le point de départ $(1\,;\,2\,;\,3)$.

]]> $(3\,;\,1\,;\,3)$

]]> Erreur : c'est le point obtenu pour $t = 1$. Pour $t = 2$,
on avance deux fois plus loin : $(5\,;\,0\,;\,3)$.

]]> $(5\,;\,4\,;\,3)$

]]> Erreur de signe sur $y$ : $y = 2 - t = 2 - 2 = 0$, pas
$2 + 2$.

]]> Représentations paramétriques et équations cartésiennes — Q04 : Appartenance à un plan Soit $\mathcal{P}$ le plan d'équation $2x - 3y + z - 5 = 0$.
Lequel de ces points appartient à $\mathcal{P}$ ?

]]> Un point appartient au plan si ses coordonnées vérifient
l'équation. Seul $(1\,;\,-1\,;\,0)$ donne
$2 + 3 + 0 - 5 = 0$.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $(1\,;\,-1\,;\,0)$

]]> Bonne réponse : $2(1) - 3(-1) + 0 - 5 = 2 + 3 - 5 = 0$ :
l'équation est vérifiée.

]]> $(1\,;\,1\,;\,0)$

]]> Erreur : $2 - 3 + 0 - 5 = -6 \neq 0$. Attention au signe
du produit $-3y$.

]]> $(2\,;\,0\,;\,0)$

]]> Erreur : $4 - 0 + 0 - 5 = -1 \neq 0$ : le point est tout
près du plan, mais pas dessus.

]]> $(2\,;\,-3\,;\,1)$

]]> Piège : $(2\,;\,-3\,;\,1)$ sont les coordonnées du vecteur
normal, pas d'un point du plan. Vérification :
$4 + 9 + 1 - 5 = 9 \neq 0$.

]]> Représentations paramétriques et équations cartésiennes — Q05 : Direction d'une droite paramétrée Soit la droite $d$ : $x = 1 + 2t$, $y = 2 - t$, $z = 3$.
Quel vecteur dirige $d$ ?

]]> Dans une représentation paramétrique, les constantes
forment un point de la droite et les coefficients de $t$ un
vecteur directeur. Ici : $A(1\,;\,2\,;\,3)$ et
$\vec{u}(2\,;\,-1\,;\,0)$.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $\vec{u}(2\,;\,-1\,;\,0)$

]]> Bonne réponse : les coefficients de $t$ dans les trois
équations donnent la direction : $(2\,;\,-1\,;\,0)$.

]]> $\vec{u}(1\,;\,2\,;\,3)$

]]> Erreur : $(1\,;\,2\,;\,3)$ sont les termes constants,
c'est-à-dire le point obtenu pour $t = 0$, pas la
direction.

]]> $\vec{u}(2\,;\,-1\,;\,3)$

]]> Erreur : le $3$ de $z = 3$ est une constante ($z$ ne bouge
pas avec $t$) : la troisième coordonnée du vecteur
directeur est $0$.

]]> $\vec{u}(2\,;\,1\,;\,0)$

]]> Erreur de signe : $y = 2 - t$ donne un coefficient $-1$
pour $t$.

]]> Représentations paramétriques et équations cartésiennes — Q06 : Équation d'un plan par point et normal Quelle est une équation cartésienne du plan passant par
$A(1\,;\,0\,;\,2)$ et de vecteur normal
$\vec{n}(3\,;\,1\,;\,-2)$ ?

]]> Méthode : partir de $ax + by + cz + d = 0$ avec
$(a\,;\,b\,;\,c) = \vec{n}$, puis déterminer $d$ en écrivant
que les coordonnées de $A$ vérifient l'équation :
$3(1) + 1(0) - 2(2) + d = 0 \Rightarrow d = 1$.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $3x + y - 2z + 1 = 0$

]]> Bonne réponse : l'équation est $3x + y - 2z + d = 0$ ; en
imposant le passage par $A$ : $3 + 0 - 4 + d = 0$, donc
$d = 1$.

]]> $3x + y - 2z - 1 = 0$

]]> Erreur de signe sur $d$ : en substituant $A$, on trouve
$3 - 4 + d = 0$, soit $d = +1$. Vérifie toujours en
réinjectant le point.

]]> $x + 2z - 3 = 0$

]]> Erreur : les coefficients de l'équation doivent être les
coordonnées du normal $(3\,;\,1\,;\,-2)$. Ici tu as
utilisé les coordonnées du point $A$.

]]> $3x + y - 2z = 0$

]]> Incomplet : ce plan a le bon vecteur normal mais passe par
l'origine, pas par $A$ (vérifie : $3 + 0 - 4 = -1 \neq
0$). Le terme constant $d = 1$ manque.

]]> Représentations paramétriques et équations cartésiennes — Q07 : Droite parallèle à un plan Soit une droite $d$ de vecteur directeur $\vec{u}$ et un plan
$\mathcal{P}$ de vecteur normal $\vec{n}$. À quelle condition
$d$ est-elle parallèle à $\mathcal{P}$ ?

]]> Trio à mémoriser : $\vec{u} \cdot \vec{n} = 0$ : droite
parallèle au plan (ou incluse) ; $\vec{u}$ colinéaire à
$\vec{n}$ : droite perpendiculaire ; sinon : droite sécante
oblique.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $\vec{u} \cdot \vec{n} = 0$

]]> Bonne réponse : la direction de la droite doit être une
direction du plan, donc orthogonale au normal.

]]> $\vec{u}$ et $\vec{n}$ colinéaires

]]> Contresens : directeur colinéaire au normal signifie
droite perpendiculaire au plan, la situation opposée.

]]> $\vec{u} \cdot \vec{n} \neq 0$

]]> Erreur : $\vec{u} \cdot \vec{n} \neq 0$ signifie que la
droite perce le plan (sécante en un point).

]]> $\vec{u} = \vec{n}$

]]> Erreur : l'égalité est un cas particulier de colinéarité :
droite perpendiculaire au plan, pas parallèle.

]]> Représentations paramétriques et équations cartésiennes — Q08 : Intersection d'une droite et d'un plan Soit la droite $d$ : $x = t$, $y = 1 + t$, $z = 2 - t$, et le
plan $\mathcal{P}$ : $x + y + z - 6 = 0$. En quel point $d$
coupe-t-elle $\mathcal{P}$ ?

]]> Méthode systématique : substituer les expressions
paramétriques dans l'équation du plan, résoudre en $t$, puis
réinjecter. $t = 3$ donne $(3\,;\,4\,;\,-1)$. Vérification :
$3 + 4 - 1 - 6 = 0$.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $(3\,;\,4\,;\,-1)$

]]> Bonne réponse : en substituant, $t + (1+t) + (2-t) - 6 =
t - 3 = 0$, donc $t = 3$, ce qui donne le point
$(3\,;\,4\,;\,-1)$.

]]> $(1\,;\,2\,;\,1)$

]]> Erreur : c'est le point de $d$ pour $t = 1$ ; or
$1 + 2 + 1 - 6 = -2 \neq 0$, il n'est pas dans le plan.
Il faut résoudre $t - 3 = 0$.

]]> $(2\,;\,3\,;\,0)$

]]> Erreur : pour $t = 2$, la somme vaut $2 + 3 + 0 - 6 = -1
\neq 0$. La substitution complète donne $t = 3$.

]]> Ils ne se coupent pas

]]> Erreur : l'équation en $t$ obtenue par substitution
($t - 3 = 0$) a une solution : intersection en un point
unique. (Pas de solution signifierait droite strictement
parallèle au plan.)

]]> Représentations paramétriques et équations cartésiennes — Q09 : Position relative de deux plans Soient les plans $\mathcal{P}_1$ : $2x - y + z - 1 = 0$ et
$\mathcal{P}_2$ : $4x - 2y + 2z + 7 = 0$. Quelle est leur
position relative ?

]]> Deux plans : normaux colinéaires $\Rightarrow$ parallèles
(confondus si une équation est multiple de l'autre, y compris
le terme constant) ; normaux non colinéaires $\Rightarrow$
sécants selon une droite. Ici : parallèles stricts.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Strictement parallèles

]]> Bonne réponse : les normaux $(2\,;\,-1\,;\,1)$ et
$(4\,;\,-2\,;\,2)$ sont colinéaires (facteur $2$), donc
plans parallèles ; et $2 \times (-1) = -2 \neq 7$ : ils ne
sont pas confondus.

]]> Sécants selon une droite

]]> Erreur : des plans sécants ont des normaux non
colinéaires. Ici $(4\,;\,-2\,;\,2) = 2(2\,;\,-1\,;\,1)$ :
même direction normale, donc parallèles.

]]> Confondus

]]> Presque : les normaux sont bien colinéaires, mais en
multipliant la première équation par $2$ on obtient
$4x - 2y + 2z - 2 = 0$, dont le terme constant ($-2$)
diffère de $+7$ : deux plans distincts.

]]> Perpendiculaires

]]> Erreur : perpendiculaires exigerait des normaux
orthogonaux ; or $\vec{n_1} \cdot \vec{n_2} = 8 + 2 +
2 = 12 \neq 0$.

]]> Représentations paramétriques et équations cartésiennes — Q10 : Que représente une équation dans l'espace ? Dans l'espace muni d'un repère, quel objet l'équation
$x + y + z = 1$ représente-t-elle ?

]]> Dans l'espace, une équation cartésienne du premier degré = un
plan. Les droites, elles, n'ont pas d'équation cartésienne
unique : elles se décrivent par représentation paramétrique ou
comme intersection de deux plans.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Un plan

]]> Bonne réponse : toute équation du premier degré
$ax + by + cz + d = 0$ (coefficients non tous nuls) décrit
un plan, ici de vecteur normal $(1\,;\,1\,;\,1)$.

]]> Une droite

]]> Piège hérité du plan : en dimension 2, $x + y = 1$ est une
droite, mais dans l'espace une équation unique laisse
deux degrés de liberté : c'est un plan. Une droite exige
un système de deux équations (ou une représentation
paramétrique).

]]> Un point

]]> Erreur : un point demanderait trois équations
indépendantes. Une seule équation laisse une surface
entière de solutions.

]]> Une sphère

]]> Erreur : une sphère a une équation du second degré,
du type $(x-a)^2 + (y-b)^2 + (z-c)^2 = r^2$. Ici tout est
au premier degré : plan.

]]> Représentations paramétriques et équations cartésiennes — Q11 : Projeté orthogonal par le calcul Soit $M(2\,;\,2\,;\,2)$ et le plan $\mathcal{P}$ :
$x + y + z - 3 = 0$. Quel est le projeté orthogonal $H$ de $M$
sur $\mathcal{P}$ ?

]]> Méthode (capacité attendue) : paramétrer la droite passant par
$M$ dirigée par $\vec{n}$, substituer dans l'équation du plan,
résoudre en $t$. Ici $t = -1$ donne $H(1\,;\,1\,;\,1)$, et
$MH = \sqrt{3}$ est la distance de $M$ au plan.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $H(1\,;\,1\,;\,1)$

]]> Bonne réponse : la droite par $M$ dirigée par le normal
$(1\,;\,1\,;\,1)$ s'écrit $(2+t\,;\,2+t\,;\,2+t)$ ;
substitution : $6 + 3t - 3 = 0$, $t = -1$, d'où
$H(1\,;\,1\,;\,1)$.

]]> $H(2\,;\,2\,;\,2)$

]]> Erreur : ce serait $M$ lui-même, qui n'est pas dans le
plan ($2+2+2-3 = 3 \neq 0$). Le projeté est le pied de la
perpendiculaire issue de $M$.

]]> $H(3\,;\,3\,;\,3)$

]]> Erreur de signe sur $t$ : la substitution donne
$3t + 3 = 0$, donc $t = -1$ (on redescend vers le
plan), pas $t = +1$.

]]> $H(0\,;\,0\,;\,3)$

]]> Erreur : ce point appartient bien au plan, mais
$\overrightarrow{MH}(-2\,;\,-2\,;\,1)$ n'est pas colinéaire au normal
$(1\,;\,1\,;\,1)$ : la projection ne serait pas
orthogonale.

]]> Représentations paramétriques et équations cartésiennes — Q12 : Reconnaître une propriété sur la paramétrique Soit la droite $d$ : $x = 1 + t$, $y = 2$, $z = 3 - t$.
Quelle affirmation est correcte ?

]]> Une coordonnée constante dans la représentation paramétrique
signifie que la droite reste dans le plan correspondant : ici
$y = 2$ pour tout $t$, donc $d \subset$ plan $\{y = 2\}$.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $d$ est incluse dans le plan d'équation $y = 2$

]]> Bonne réponse : la coordonnée $y$ vaut $2$ pour tout
$t$ : chaque point de la droite vérifie l'équation du plan
$y = 2$.

]]> $d$ est parallèle à l'axe des ordonnées

]]> Erreur : son vecteur directeur $(1\,;\,0\,;\,-1)$ n'est pas
colinéaire à $(0\,;\,1\,;\,0)$. C'est même l'inverse : la
droite est orthogonale à l'axe des ordonnées.

]]> $d$ passe par l'origine

]]> Erreur : il faudrait $y = 0$ pour un certain $t$, or $y$
vaut constamment $2$.

]]> $\vec{u}(1\,;\,2\,;\,3)$ dirige $d$

]]> Erreur : $(1\,;\,2\,;\,3)$ sont les constantes (le point
pour $t = 0$). La direction se lit sur les coefficients de
$t$ : $(1\,;\,0\,;\,-1)$.

]]> Représentations paramétriques et équations cartésiennes — Q13 : Reconnaître deux plans parallèles Les plans $P : 2x - y + z = 1$ et $Q : 4x - 2y + 2z = 5$
sont-ils parallèles ?

]]> Deux plans : normales colinéaires $\Rightarrow$ parallèles ;
équations entièrement proportionnelles $\Rightarrow$
confondus ; sinon sécants (en une droite). Tout se lit sur
les coefficients.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Oui, parallèles et distincts : les normales sont
colinéaires mais les équations ne sont pas
proportionnelles

]]> Bonne réponse : $\vec{n}_Q = 2\vec{n}_P$ : mêmes
directions ; mais $1 \times 2 = 2 \neq 5$ : pas le même
plan : parallèles stricts, aucune intersection.

]]> Non : leurs équations sont différentes

]]> Critère trop naïf : le parallélisme se lit sur les
vecteurs normaux ($(2\ ;\ -1\ ;\ 1)$ et $(4\ ;\ -2\
;\ 2)$, colinéaires), pas sur l'égalité des équations.

]]> Ils sont confondus

]]> Presque : confondus exigerait la proportionnalité
complète ($5 = 2 \times 1$ ? non) : le point
$(0\ ;\ 0\ ;\ 1)$ est dans $P$ mais pas dans $Q$.

]]> Ils sont perpendiculaires

]]> Erreur : perpendiculaires demanderait $\vec{n}_P \cdot
\vec{n}_Q = 0$ ; ici $8 + 2 + 2 = 12 \neq 0$.

]]> Représentations paramétriques et équations cartésiennes — Q14 : Droite orthogonale à un plan Quel vecteur directeur choisir pour la droite passant par
$A$ et orthogonale au plan $P : 3x - y + 2z = 7$ ?

]]> Le trio gagnant : équation $ax + by + cz = d$ $\to$ normale
$(a\ ;\ b\ ;\ c)$ $\to$ direction de toute droite
orthogonale au plan. Paramétrique immédiate : $A + t\vec{n}$.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $\vec{n}(3\ ;\ -1\ ;\ 2)$ : le vecteur normal du plan

]]> Bonne réponse : une droite orthogonale à un plan a pour
direction la normale du plan : les coefficients de
l'équation servent directement.

]]> Un vecteur du plan $P$

]]> Contresens : un vecteur du plan dirigerait une
droite parallèle au plan, pas orthogonale.

]]> $\vec{u}(7\ ;\ 7\ ;\ 7)$, à cause du second membre $7$

]]> Erreur : le second membre $7$ règle la position du
plan, pas son orientation : la direction normale vient
des coefficients $(3\ ;\ -1\ ;\ 2)$.

]]> N'importe quel vecteur passant par $A$

]]> Erreur : « passer par $A$ » ne contraint pas la
direction : l'orthogonalité impose la normale, à une
colinéarité près.

]]> Représentations paramétriques et équations cartésiennes — Q15 : Intersection de deux droites paramétrées Soient $d : (x\ ;\ y\ ;\ z) = (1 + t\ ;\ 2t\ ;\ 3)$ et
$d' : (x\ ;\ y\ ;\ z) = (2\ ;\ 2 + s\ ;\ 3)$. Ces droites
sont-elles sécantes ?

]]> Intersection de droites paramétrées : paramètres séparés
($t$ et $s$), système sur les trois coordonnées, deux
équations déterminent $(t\ ;\ s)$, la troisième arbitre
(compatible = sécantes, incompatible = non coplanaires).

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Oui, au point $(2\ ;\ 2\ ;\ 3)$ (pour $t = 1$ et $s =
0$)

]]> Bonne réponse : égaler : $1 + t = 2$ donne $t = 1$ ;
alors $y = 2$ exige $2 + s = 2$, donc $s = 0$ ; les
cotes $3 = 3$ concordent : point commun unique.

]]> Non : leurs paramètres $t$ et $s$ sont différents

]]> Erreur de principe : chaque droite a SON paramètre :
l'intersection n'exige jamais $t = s$, seulement des
coordonnées égales (d'où deux inconnues distinctes).

]]> Non : elles sont parallèles

]]> Erreur : directions $(1\ ;\ 2\ ;\ 0)$ et $(0\ ;\ 1\ ;\
0)$ : non colinéaires : les droites ne sont pas
parallèles.

]]> Oui, en une infinité de points

]]> Erreur : une infinité de points communs signifierait
droites confondues : leurs directions différentes
l'interdisent : un seul point.

]]> Représentations paramétriques et équations cartésiennes — Q16 : Droite incluse dans un plan La droite $d : (x\ ;\ y\ ;\ z) = (1 + t\ ;\ 1 - t\ ;\ 2t)$
est-elle incluse dans le plan $P : x + y - 2 = 0$ ?

]]> Position droite/plan par injection : équation en $t$ après
substitution. Identité ($0 = 0$) : droite incluse ; équation
impossible : parallèle stricte ; une solution unique : point
d'intersection.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Oui : $(1 + t) + (1 - t) - 2 = 0$ pour tout $t$

]]> Bonne réponse : en injectant la paramétrique dans
l'équation, le paramètre disparaît et l'égalité tient
pour tout $t$ : chaque point de la droite est dans
le plan.

]]> Non : la droite a trois coordonnées, le plan seulement
deux termes

]]> Erreur de lecture : l'absence de $z$ dans l'équation
signifie coefficient nul, pas incompatibilité : le plan
vit bien dans l'espace.

]]> Seulement le point obtenu pour $t = 0$

]]> Sous-estimation : le test donne $0 = 0$ indépendamment
de $t$ : ce n'est pas une équation à résoudre mais une
identité : toute la droite est dedans.

]]> On ne peut pas le savoir sans équation cartésienne de la
droite

]]> Erreur : l'injection paramétrique $\to$ cartésienne est
exactement l'outil adapté (et une droite de l'espace n'a
d'ailleurs pas UNE équation cartésienne).

]]> Représentations paramétriques et équations cartésiennes — Q17 : Intersection de deux plans sécants Que forme l'intersection des plans $P : x + y + z = 3$ et
$Q : x - y = 1$ (dont les normales ne sont pas
colinéaires) ?

]]> Deux plans de normales non colinéaires se coupent selon une
droite : la résoudre = poser $z = t$ (par exemple) et
exprimer $x$, $y$ en fonction de $t$ : le système devient
une représentation paramétrique.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Une droite ; par exemple, elle contient le point
$(1\ ;\ 0\ ;\ 2)$

]]> Bonne réponse : deux plans non parallèles se coupent
selon une droite. Contrôle du point : $1 + 0 + 2 =
3$ ✓ et $1 - 0 = 1$ ✓.

]]> Un point unique

]]> Erreur de dimension : un point unique demande trois
plans bien choisis (ou une droite et un plan) : deux
plans sécants laissent un degré de liberté : une droite.

]]> L'ensemble vide

]]> Erreur : vide = plans parallèles distincts, or leurs
normales $(1\ ;\ 1\ ;\ 1)$ et $(1\ ;\ -1\ ;\ 0)$ ne sont
pas colinéaires : ils se coupent.

]]> Un plan

]]> Erreur : l'intersection serait un plan si $P = Q$ ;
leurs équations ne sont pas proportionnelles.

]]> Représentations paramétriques et équations cartésiennes — Q18 : Paramétrer un segment Comment décrire le segment $[AB]$ à partir de la
représentation $M(t) = A + t\,\overrightarrow{AB}$ ?

]]> $M(t) = A + t\overrightarrow{AB}$ : $t \in \mathbb{R}$ :
droite ; $t \geq 0$ : demi-droite ; $t \in [0\ ;\ 1]$ :
segment (et $t = \frac{1}{2}$ : le milieu). Le paramètre
est un curseur de position.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc En restreignant le paramètre : $t \in [0\ ;\ 1]$

]]> Bonne réponse : $t = 0$ donne $A$, $t = 1$ donne $B$,
et les valeurs intermédiaires balaient l'intérieur du
segment : la droite entière correspondrait à $t \in
\mathbb{R}$.

]]> En prenant $t \in \mathbb{R}$

]]> Trop grand : $t = 2$ ou $t = -1$ sortent du segment
(au-delà de $B$, avant $A$) : $\mathbb{R}$ décrit toute
la droite $(AB)$.

]]> En imposant $t > 0$

]]> Demi-mesure : $t > 0$ décrit la demi-droite ouverte
issue de $A$ vers $B$… et au-delà : il faut aussi
plafonner à $1$.

]]> Impossible : une paramétrique décrit toujours une droite
entière

]]> Erreur : le domaine du paramètre fait partie de la
description : segment, demi-droite ou droite selon
l'intervalle choisi.

]]>