$course$/QCM de maths/Terminale spécialité/Schéma de Bernoulli et loi binomiale Succession d'épreuves indépendantes (probabilité d'une liste
d'issues par produit), épreuve et loi de Bernoulli, schéma de
Bernoulli, loi binomiale $\mathcal{B}(n\,;\,p)$ : formule
$P(X = k)$, espérance et variance, problèmes de seuil.

]]> Schéma de Bernoulli et loi binomiale — Q01 : Épreuve de Bernoulli Qu'est-ce qu'une épreuve de Bernoulli de paramètre $p$ ?

]]> Épreuve de Bernoulli : une expérience, deux issues, succès de
probabilité $p$. La variable qui vaut $1$ en cas de succès et
$0$ sinon suit la loi de Bernoulli de paramètre $p$.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Une expérience aléatoire à exactement deux issues, succès
(probabilité $p$) et échec (probabilité $1 - p$)

]]> Bonne réponse : deux issues seulement, avec $p$ pour le
succès. Exemples : pile ou face, gagné ou perdu, pièce
défectueuse ou conforme.

]]> Une expérience répétée $p$ fois

]]> Erreur : $p$ est une probabilité (entre $0$ et $1$),
pas un nombre de répétitions. La répétition relève du
schéma de Bernoulli, avec un paramètre $n$ entier.

]]> Une expérience dont les issues sont équiprobables

]]> Erreur : rien n'impose $p = \dfrac{1}{2}$. Une épreuve de
Bernoulli peut être très déséquilibrée ($p = 0{,}01$).

]]> Une expérience à deux issues répétée indéfiniment

]]> Erreur : l'épreuve de Bernoulli est une seule
expérience. Sa répétition en nombre fixé $n$ constitue le
schéma de Bernoulli.

]]> Schéma de Bernoulli et loi binomiale — Q02 : Conditions d'une loi binomiale Dans quelle situation la variable $X$ suit-elle une loi
binomiale $\mathcal{B}(n\,;\,p)$ ?

]]> $X \sim \mathcal{B}(n\,;\,p)$ exige : $n$ répétitions d'une
même épreuve de Bernoulli, indépendance (typiquement tirages
avec remise), et $X$ = nombre de succès.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $X$ compte les succès dans la répétition de $n$ épreuves de
Bernoulli identiques et indépendantes de paramètre $p$

]]> Bonne réponse : trois ingrédients : même épreuve,
indépendance des répétitions, et $X$ = nombre de
succès.

]]> $X$ compte les succès dans $n$ tirages sans remise dans
une urne

]]> Piège classique : sans remise, la composition de l'urne
change à chaque tirage, les épreuves ne sont ni identiques
ni indépendantes. (Avec remise, en revanche, c'est
binomial.)

]]> $X$ est le rang du premier succès dans une suite d'épreuves

]]> Erreur : le rang du premier succès suit une loi
géométrique (approfondissement), pas binomiale. La
binomiale compte les succès sur un nombre fixé d'épreuves.

]]> $X$ prend ses valeurs entre $0$ et $n$

]]> Insuffisant : bien des variables vivent dans
$\{0, \ldots, n\}$ sans être binomiales. Ce sont les
hypothèses de répétition indépendante qui font la
binomiale.

]]> Schéma de Bernoulli et loi binomiale — Q03 : Probabilité d'une liste d'issues On répète $3$ fois, de façon indépendante, une épreuve de
Bernoulli avec $p = 0{,}3$. Quelle est la probabilité de la
liste d'issues (succès, échec, succès) ?

]]> Principe fondamental de la succession d'épreuves
indépendantes : $P(x_1, \ldots, x_n) = P(x_1) \times \cdots
\times P(x_n)$. Ici $0{,}3 \times 0{,}7 \times 0{,}3 =
0{,}063$.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $0{,}3 \times 0{,}7 \times 0{,}3 = 0{,}063$

]]> Bonne réponse : par indépendance, la probabilité d'une
liste d'issues est le produit des probabilités de
chaque issue.

]]> $0{,}3 + 0{,}7 + 0{,}3 = 1{,}3$

]]> Impossible : une probabilité ne dépasse jamais $1$.
L'addition sert pour des événements incompatibles ; une
succession d'issues se traite par produit.

]]> $0{,}3^3 = 0{,}027$

]]> Erreur : $0{,}3^3$ est la probabilité de (succès, succès,
succès). La deuxième épreuve est ici un échec, de
probabilité $0{,}7$.

]]> $0{,}3 \times 0{,}7^2 = 0{,}147$

]]> Erreur : cette liste compterait un succès et deux
échecs. La liste demandée contient deux succès et un
échec : $0{,}3^2 \times 0{,}7$.

]]> Schéma de Bernoulli et loi binomiale — Q04 : Calculer $P(X = k)$ Soit $X \sim \mathcal{B}(5\,;\,0{,}2)$. Que vaut $P(X = 2)$ ?

]]> Formule binomiale : $P(X = k) = \binom{n}{k}\,p^k(1-p)^{n-k}$.
Le coefficient compte les positions des succès, les puissances
donnent la probabilité d'une liste. Ici $0{,}2048$.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $\dbinom{5}{2} \times 0{,}2^2 \times 0{,}8^3 = 0{,}2048$

]]> Bonne réponse : $P(X = k) = \binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k}$ :
$10 \times 0{,}04 \times 0{,}512 = 0{,}2048$.

]]> $0{,}2^2 \times 0{,}8^3 = 0{,}02048$

]]> Oubli du coefficient binomial : $0{,}2^2 \times 0{,}8^3$
est la probabilité d'une seule liste à deux succès. Il
y a $\binom{5}{2} = 10$ listes possibles.

]]> $0{,}2^2 = 0{,}04$

]]> Erreur : cette écriture ignore les trois échecs (facteur
$0{,}8^3$) et le nombre de placements des succès (facteur
$\binom{5}{2}$).

]]> $\dbinom{5}{2} \times 0{,}2^2 \times 0{,}8 = 0{,}32$

]]> Erreur d'exposant : il y a $n - k = 3$ échecs, donc
$0{,}8^3$, pas $0{,}8^1$. Les exposants doivent totaliser
$n = 5$.

]]> Schéma de Bernoulli et loi binomiale — Q05 : Espérance d'une binomiale Soit $X \sim \mathcal{B}(20\,;\,0{,}3)$. Que vaut $E(X)$ ?

]]> Pour $X \sim \mathcal{B}(n\,;\,p)$ : $E(X) = np$ et
$V(X) = np(1-p)$. Ici $E(X) = 6$ et $V(X) = 4{,}2$.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $6$

]]> Bonne réponse : $E(X) = np = 20 \times 0{,}3 = 6$. En
moyenne, $6$ succès sur $20$ épreuves.

]]> $0{,}3$

]]> Erreur : $0{,}3$ est l'espérance d'une seule épreuve de
Bernoulli. Sur $20$ épreuves, les espérances s'additionnent
: $20 \times 0{,}3$.

]]> $20$

]]> Erreur : $20$ est le nombre d'épreuves, atteint seulement
si tout réussit. La moyenne pondère par $p$ : $np = 6$.

]]> $4{,}2$

]]> Confusion : $4{,}2 = np(1-p)$ est la variance de $X$,
pas son espérance.

]]> Schéma de Bernoulli et loi binomiale — Q06 : Variance d'une binomiale Soit $X \sim \mathcal{B}(20\,;\,0{,}3)$. Que vaut $V(X)$ ?

]]> $V(X) = np(1-p)$ pour une binomiale (démonstration au
programme via la somme de $n$ Bernoulli indépendantes). Ici
$20 \times 0{,}3 \times 0{,}7 = 4{,}2$.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $4{,}2$

]]> Bonne réponse : $V(X) = np(1-p) = 20 \times 0{,}3 \times
0{,}7 = 4{,}2$.

]]> $6$

]]> Confusion : $6 = np$ est l'espérance. La variance
ajoute le facteur $(1-p)$ : $np(1-p) = 4{,}2$.

]]> $\sqrt{4{,}2} \approx 2{,}05$

]]> Confusion : $\sqrt{np(1-p)}$ est l'écart-type
$\sigma(X)$. La variance est son carré : $4{,}2$.

]]> $14$

]]> Erreur : $14 = 20 \times 0{,}7 = n(1-p)$ est l'espérance du
nombre d'échecs. La variance vaut $np(1-p)$.

]]> Schéma de Bernoulli et loi binomiale — Q07 : Chemins dans l'arbre On représente un schéma de Bernoulli à $n = 3$ épreuves par un
arbre. Combien de chemins réalisent exactement $2$ succès ?

]]> Dans l'arbre d'un schéma de Bernoulli, les chemins à $k$ succès
parmi $n$ épreuves sont au nombre de $\binom{n}{k}$ : c'est
exactement l'origine du coefficient dans la formule
binomiale.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $\dbinom{3}{2} = 3$

]]> Bonne réponse : un chemin est déterminé par les positions
des succès : SSE, SES, ESS, soit $\binom{3}{2} = 3$
chemins.

]]> $2$

]]> Erreur : ne confonds pas le nombre de succès ($2$) avec
le nombre de chemins qui le réalisent ($\binom{3}{2} = 3$).

]]> $8$

]]> Erreur : $2^3 = 8$ est le nombre total de chemins de
l'arbre. Seuls $3$ d'entre eux comptent exactement deux
succès.

]]> $6$

]]> Erreur : $6 = 3!$ ordonnerait trois objets distincts. Ici
les deux succès sont interchangeables : $\binom{3}{2} = 3$.

]]> Schéma de Bernoulli et loi binomiale — Q08 : Passer par l'événement contraire Soit $X \sim \mathcal{B}(4\,;\,0{,}5)$. Que vaut
$P(X \geq 1)$ ?

]]> Réflexe « au moins un » : passer au contraire.
$P(X \geq 1) = 1 - P(X = 0) = 1 - (1-p)^n$. Ici
$1 - 0{,}0625 = 0{,}9375$.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $1 - 0{,}5^4 = 0{,}9375$

]]> Bonne réponse : l'événement contraire de
« au moins un succès » est « aucun succès » :
$P(X \geq 1) = 1 - P(X = 0) = 1 - (1-p)^n = 1 - 0{,}5^4$.

]]> $0{,}5^4 = 0{,}0625$

]]> Erreur : $0{,}5^4 = P(X = 0)$, la probabilité de
l'événement contraire. Il faut la retrancher de $1$.

]]> $0{,}5$

]]> Erreur : $0{,}5$ est la probabilité d'un succès sur une
épreuve. Sur quatre épreuves, obtenir au moins un succès
est bien plus probable : $0{,}9375$.

]]> $4 \times 0{,}5 = 2$

]]> Impossible : une probabilité ne dépasse pas $1$ ($2$ est
ici l'espérance $np$). Le bon chemin passe par le
complémentaire.

]]> Schéma de Bernoulli et loi binomiale — Q09 : Écrire $P(X \geq 8)$ pour la calculatrice Soit $X \sim \mathcal{B}(10\,;\,0{,}9)$. La calculatrice ne
fournit que les probabilités cumulées $P(X \leq k)$. Quelle
écriture donne $P(X \geq 8)$ ?

]]> Pour une variable entière : $P(X \geq k) = 1 - P(X \leq k-1)$.
L'erreur de borne (utiliser $k$ au lieu de $k-1$) est le piège
le plus fréquent des calculs binomiaux à la calculatrice.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $1 - P(X \leq 7)$

]]> Bonne réponse : le contraire de « $X \geq 8$ » est
« $X \leq 7$ » (variable à valeurs entières). D'où
$P(X \geq 8) = 1 - P(X \leq 7)$.

]]> $1 - P(X \leq 8)$

]]> Erreur de borne classique : $1 - P(X \leq 8) =
P(X \geq 9)$, ce qui exclut la valeur $8$. Le contraire
de $X \geq 8$ s'arrête à $7$.

]]> $P(X \leq 8)$

]]> Erreur de sens : $P(X \leq 8)$ cumule les valeurs
jusqu'à $8$, alors qu'on veut celles à partir de $8$.

]]> $P(X = 8)$

]]> Incomplet : $X \geq 8$ regroupe les valeurs $8$, $9$ et
$10$ ; il manque $P(X = 9)$ et $P(X = 10)$.

]]> Schéma de Bernoulli et loi binomiale — Q10 : Avec ou sans remise Une urne contient $10$ boules dont $3$ gagnantes. On tire $5$
boules et on note $X$ le nombre de boules gagnantes. Dans quel
cas $X$ suit-il exactement une loi binomiale ?

]]> Le critère de la binomiale est l'indépendance des
répétitions avec un $p$ constant : tirages avec remise (ou
situations assimilées). Sans remise, le modèle change.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Si les tirages se font avec remise

]]> Bonne réponse : avec remise, chaque tirage est une épreuve
identique ($p = 0{,}3$) et indépendante des autres :
$X \sim \mathcal{B}(5\,;\,0{,}3)$.

]]> Si les tirages se font sans remise

]]> Erreur : sans remise, la composition de l'urne change à
chaque tirage : le paramètre $p$ n'est plus constant et les
épreuves ne sont plus indépendantes.

]]> Dans les deux cas

]]> Erreur : le mode de tirage est décisif. La binomiale exige
des épreuves identiques et indépendantes, ce que seule la
remise garantit.

]]> Dans aucun cas, car l'urne contient moins de boules
gagnantes que de tirages

]]> Erreur : avec remise, on peut retomber sur les mêmes boules
gagnantes ; rien n'empêche $X = 5$. Le modèle binomial
s'applique parfaitement.

]]> Schéma de Bernoulli et loi binomiale — Q11 : Modéliser un QCM au hasard Un QCM comporte $7$ questions ; chacune propose $4$ options
dont une seule est correcte. Un élève répond entièrement au
hasard. Quelle est la loi du nombre $X$ de bonnes réponses ?

]]> Modélisation : chaque question est une épreuve de Bernoulli de
paramètre $p = \frac{1}{4}$, répétée $7$ fois de façon
indépendante. $X \sim \mathcal{B}(7\,;\,1/4)$.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $X \sim \mathcal{B}\!\left(7\,;\,\dfrac{1}{4}\right)$

]]> Bonne réponse : $7$ épreuves identiques et indépendantes,
succès = bonne réponse de probabilité $\dfrac{1}{4}$.
Espérance : $7/4 = 1{,}75$ bonne réponse en moyenne.

]]> $X \sim \mathcal{B}\!\left(7\,;\,\dfrac{3}{4}\right)$

]]> Erreur : $\dfrac{3}{4}$ est la probabilité d'une réponse
fausse. Le succès compté par $X$ est la bonne réponse :
$p = \dfrac{1}{4}$.

]]> $X \sim \mathcal{B}\!\left(4\,;\,\dfrac{1}{7}\right)$

]]> Paramètres croisés : $n$ est le nombre de répétitions
($7$ questions) et $p$ la probabilité de succès à chacune
($1/4$).

]]> $X \sim \mathcal{B}\!\left(28\,;\,\dfrac{1}{4}\right)$

]]> Erreur : $28 = 7 \times 4$ compte les options, pas les
épreuves. Chaque question est une épreuve : $n = 7$.

]]> Schéma de Bernoulli et loi binomiale — Q12 : Interpréter l'espérance Soit $X \sim \mathcal{B}(100\,;\,0{,}4)$, donc $E(X) = 40$.
Quelle interprétation est correcte ?

]]> $E(X)$ est la valeur moyenne du nombre de succès sur un grand
nombre de répétitions de l'expérience. Les réalisations
individuelles fluctuent autour d'elle, d'autant moins (en
proportion) que $n$ est grand.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Sur un grand nombre de répétitions de l'expérience
complète, le nombre de succès vaut en moyenne environ
$40$

]]> Bonne réponse : l'espérance est une moyenne en tendance
(loi des grands nombres), pas une garantie sur une
réalisation donnée.

]]> À chaque expérience, $X$ vaut exactement $40$

]]> Erreur : $X$ fluctue autour de $40$ (écart-type
$\sqrt{24} \approx 4{,}9$). Observer $35$ ou $46$ n'a rien
d'anormal.

]]> $P(X = 40)$ vaut environ $0{,}4$

]]> Erreur : la probabilité de la valeur exacte $40$ est
d'environ $0{,}08$ seulement. L'espérance ne se lit pas
comme une probabilité.

]]> Il est impossible d'obtenir plus de $40$ succès

]]> Erreur : $X$ peut prendre toute valeur de $0$ à $100$ ;
$40$ n'est qu'un centre de gravité, pas un plafond.

]]> Schéma de Bernoulli et loi binomiale — Q13 : Aucun succès $X$ suit la loi binomiale de paramètres $n = 3$ et $p =
0{,}2$. Que vaut $P(X = 0)$ ?

]]> $P(X = 0) = (1 - p)^n$ : le cas particulier le plus utile de
la formule binomiale, porte d'entrée du calcul de $P(X \geq
1) = 1 - (1-p)^n$.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $0{,}8^3 = 0{,}512$

]]> Bonne réponse : zéro succès = trois échecs consécutifs,
chacun de probabilité $0{,}8$, indépendants : $0{,}8^3$
(et $\binom{3}{0} = 1$ ne change rien).

]]> $0{,}2^3 = 0{,}008$

]]> Inversé : $0{,}2^3$ est $P(X = 3)$ (trois succès).
Aucun succès s'écrit avec la probabilité d'échec
$0{,}8$.

]]> $0$

]]> Erreur : « aucun succès » est un événement tout à fait
possible (plus d'une chance sur deux ici !), pas un
événement impossible.

]]> $1 - 0{,}2 = 0{,}8$

]]> Puissance manquante : $0{,}8$ est l'échec sur UNE
épreuve ; il en faut trois de suite : $0{,}8^3$.

]]> Schéma de Bernoulli et loi binomiale — Q14 : Écart-type d'une binomiale $X$ suit la loi binomiale de paramètres $n = 100$ et $p =
0{,}5$. Que vaut l'écart-type $\sigma(X)$ ?

]]> Binomiale : $E(X) = np$, $V(X) = np(1-p)$, $\sigma =
\sqrt{np(1-p)}$. L'ordre de grandeur $\sigma \approx
\frac{\sqrt{n}}{2}$ (pour $p = 0{,}5$) nourrit l'intuition
des fluctuations d'échantillonnage.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $\sigma(X) = \sqrt{100 \times 0{,}5 \times 0{,}5} = 5$

]]> Bonne réponse : $V(X) = np(1-p) = 25$, puis racine
carrée : $\sigma = 5$. Sur $100$ lancers équilibrés,
l'écart typique autour de $50$ est $5$.

]]> $\sigma(X) = 25$

]]> Racine oubliée : $25$ est la variance ; l'écart-type
en est la racine carrée.

]]> $\sigma(X) = 50$

]]> Confusion : $50 = np$ est l'espérance, le centre de
la distribution ; l'écart-type mesure la dispersion
autour de ce centre.

]]> $\sigma(X) = 10$

]]> Erreur : $10 = \sqrt{100}$ néglige le facteur $p(1-p) =
0{,}25$ : la racine porte sur le produit complet.

]]> Schéma de Bernoulli et loi binomiale — Q15 : Calculer $P(X \leq 1)$ $X$ suit la loi binomiale de paramètres $n = 4$ et $p =
0{,}5$. Que vaut $P(X \leq 1)$ ?

]]> Probabilité cumulée = somme des $P(X = k)$ concernés. Avec
$p = 0{,}5$, tout se lit sur le triangle de Pascal : ligne
$1, 4, 6, 4, 1$ sur $2^4 = 16$.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $P(X = 0) + P(X = 1) = \dfrac{1}{16} + \dfrac{4}{16} =
\dfrac{5}{16}$

]]> Bonne réponse : deux termes : $\binom{4}{0}(0{,}5)^4 =
\frac{1}{16}$ et $\binom{4}{1}(0{,}5)^4 = \frac{4}{16}$ :
l'événement « au plus un succès » se découpe en $\{0\}$
et $\{1\}$.

]]> $P(X = 1) = \dfrac{4}{16}$ seulement

]]> Cas $X = 0$ oublié : « au plus $1$ » inclut zéro
succès : les deux termes s'ajoutent.

]]> $\dfrac{1}{2}$, par symétrie

]]> Symétrie mal placée : la symétrie de $p = 0{,}5$ relie
$P(X \leq 1)$ et $P(X \geq 3)$ (chacune $\frac{5}{16}$),
mais le point médian est $X = 2$.

]]> $\dfrac{2}{16}$

]]> Coefficients oubliés : les $\binom{4}{k}$ comptent les
chemins : $1$ chemin pour zéro succès, $4$ pour un
succès : $\frac{5}{16}$.

]]> Schéma de Bernoulli et loi binomiale — Q16 : Quand le modèle binomial échoue On lance un dé jusqu'à obtenir le premier six, et on compte
les lancers nécessaires. Pourquoi ce nombre ne suit-il PAS
une loi binomiale ?

]]> Points de contrôle du modèle binomial : 1) $n$ fixé à
l'avance ; 2) épreuves identiques et indépendantes ; 3) deux
issues par épreuve ; 4) on compte les succès. Le moindre
manquement (arrêt au premier succès, tirage sans remise…)
casse le modèle.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Parce que le nombre d'épreuves n'est pas fixé à
l'avance : on s'arrête au premier succès

]]> Bonne réponse : la binomiale exige un nombre $n$
d'épreuves déterminé avant l'expérience ; ici la
durée est aléatoire (c'est le territoire de la loi
géométrique, vue en maths complémentaires).

]]> Parce qu'un dé n'est pas une épreuve de Bernoulli

]]> Erreur : « six ou pas six » est exactement une épreuve
de Bernoulli ($p = \frac{1}{6}$) : le problème est
ailleurs (le nombre d'épreuves).

]]> Parce que les lancers ne sont pas indépendants

]]> Erreur : les lancers d'un dé sont indépendants : la
condition qui manque est le nombre fixé de
répétitions.

]]> Mais si : tout comptage suit une loi binomiale

]]> Erreur : la binomiale compte les succès sur $n$ épreuves
fixées : compter l'attente du premier succès est un
tout autre objet.

]]> Schéma de Bernoulli et loi binomiale — Q17 : Symétrie de la binomiale équilibrée $X$ suit la loi binomiale de paramètres $n = 10$ et $p =
0{,}5$. Quelle égalité traduit la symétrie de cette loi ?

]]> Pour $p = 0{,}5$ : $P(X = k) = \binom{n}{k}(0{,}5)^n$, et
$\binom{n}{k} = \binom{n}{n-k}$ : symétrie parfaite autour
de $\frac{n}{2}$. Pour $p \neq 0{,}5$, l'histogramme penche
du côté le plus probable.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $P(X = k) = P(X = 10 - k)$ pour tout $k$

]]> Bonne réponse : avec $p = 0{,}5$, échanger succès et
échecs ne change rien : $3$ succès et $7$ succès sont
équiprobables : histogramme en miroir autour de $5$.

]]> $P(X = k) = P(X = k + 1)$

]]> Erreur : les probabilités varient avec $k$ (maximum au
centre, faibles aux bords) : la symétrie est un miroir,
pas un plateau.

]]> $P(X = k) = \dfrac{1}{11}$ pour tout $k$

]]> Loi uniforme imaginée : les $\binom{10}{k}$ pèsent
différemment chaque valeur : $P(X = 5) = \frac{252}{1024}
\gg P(X = 0) = \frac{1}{1024}$.

]]> $P(X = k) = 1 - P(X = 10 - k)$

]]> Erreur : le miroir égalise les probabilités, il ne les
rend pas complémentaires (leur somme n'a aucune raison
de valoir $1$).

]]> Schéma de Bernoulli et loi binomiale — Q18 : Espérance et gain moyen Un jeu se répète $50$ fois : chaque partie est gagnée avec
la probabilité $0{,}3$ et rapporte alors $2$ euros (sinon
rien). Quel gain total moyen peut-on espérer ?

]]> Chaîne de modélisation : reconnaître la binomiale, $E(X) =
np$, puis linéarité $E(2X) = 2E(X)$. L'espérance s'interprète
comme moyenne de long terme : la boussole des décisions
répétées.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $30$ euros : $E(X) = 50 \times 0{,}3 = 15$ parties
gagnées en moyenne, à $2$ euros chacune

]]> Bonne réponse : $X$ (nombre de victoires) suit la
binomiale $(50\ ;\ 0{,}3)$ : $E(X) = 15$ ; le gain vaut
$2X$, d'espérance $2 \times 15 = 30$ euros.

]]> $100$ euros : $50 \times 2$

]]> Rêve de victoire totale : $100$ euros supposerait
toutes les parties gagnées ; en moyenne, seules
$30\ \%$ le sont.

]]> $15$ euros

]]> Gain unitaire oublié : $15$ est le nombre moyen de
parties gagnées ; chacune rapporte $2$ euros :
$30$ euros.

]]> Impossible à prévoir : le jeu est aléatoire

]]> Confusion prévision/moyenne : le résultat d'UNE série
est imprévisible, mais l'espérance ($30$ euros) décrit
la moyenne sur un grand nombre de séries : c'est
exactement son rôle.

]]>