$course$/QCM de maths/Terminale spécialité/Sommes de variables aléatoires Linéarité de l'espérance ($E(X+Y)$, $E(aX)$), additivité de la
variance pour des variables indépendantes, $V(aX) = a^2 V(X)$,
échantillon d'une loi : espérance, variance et écart-type de la
somme $S_n$ et de la moyenne $M_n$, décomposition d'une binomiale
en somme de variables de Bernoulli.

]]> Sommes de variables aléatoires — Q01 : Espérance d'une somme Soient $X$ et $Y$ deux variables aléatoires avec $E(X) = 3$ et
$E(Y) = 5$. Que vaut $E(X + Y)$ ?

]]> Linéarité de l'espérance : $E(X + Y) = E(X) + E(Y)$ et
$E(aX) = a\,E(X)$, sans aucune hypothèse d'indépendance.
C'est l'outil le plus puissant du chapitre.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $8$, sans hypothèse supplémentaire

]]> Bonne réponse : la linéarité de l'espérance,
$E(X+Y) = E(X) + E(Y)$, vaut toujours, indépendance ou
non.

]]> $8$, mais seulement si $X$ et $Y$ sont indépendantes

]]> Piège : l'indépendance est nécessaire pour additionner les
variances, pas les espérances. La linéarité de
l'espérance est inconditionnelle.

]]> $15$

]]> Erreur : $15 = 3 \times 5$ serait un produit. La somme des
variables donne la somme des espérances : $3 + 5 = 8$.

]]> On ne peut pas savoir sans connaître les lois de $X$ et $Y$

]]> Erreur : c'est la force de la linéarité, elle conclut sans
connaître les lois ni le lien entre les variables.

]]> Sommes de variables aléatoires — Q02 : Espérance de $aX$ Soit $X$ une variable aléatoire avec $E(X) = 2$. Que vaut
$E(3X)$ ?

]]> $E(aX) = a\,E(X)$ : un facteur constant sort tel quel de
l'espérance (contrairement à la variance, où il sort au
carré).

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $6$

]]> Bonne réponse : $E(aX) = a\,E(X) = 3 \times 2 = 6$.

]]> $2$

]]> Erreur : multiplier la variable par $3$ multiplie aussi sa
valeur moyenne par $3$.

]]> $18$

]]> Erreur : $18 = 3^2 \times 2$ applique la règle de la
variance ($V(aX) = a^2V(X)$). Pour l'espérance, le
facteur sort sans être élevé au carré.

]]> $5$

]]> Erreur : $3 + 2$ additionne le coefficient et l'espérance.
La règle est multiplicative : $E(3X) = 3E(X)$.

]]> Sommes de variables aléatoires — Q03 : Variance de $aX$ Soit $X$ une variable aléatoire avec $V(X) = 2$. Que vaut
$V(3X)$ ?

]]> $V(aX) = a^2\,V(X)$ (et donc $\sigma(aX) = |a|\,\sigma(X)$).
Moyen mémo : la variance s'exprime en unités au carré, le
facteur y entre au carré.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $18$

]]> Bonne réponse : $V(aX) = a^2\,V(X) = 9 \times 2 = 18$. La
variance est une moyenne de carrés d'écarts : le
facteur sort au carré.

]]> $6$

]]> Erreur très fréquente : $3V(X)$ applique la règle de
l'espérance. Les écarts sont multipliés par $3$, donc leurs
carrés par $9$.

]]> $2$

]]> Erreur : multiplier la variable dilate sa dispersion. La
variance est multipliée par $a^2 = 9$.

]]> $12$

]]> Erreur : $12 = 6 \times 2$ ne correspond à aucune règle.
La formule exacte est $V(aX) = a^2V(X) = 18$.

]]> Sommes de variables aléatoires — Q04 : Additivité de la variance Sous quelle hypothèse a-t-on $V(X + Y) = V(X) + V(Y)$ ?

]]> $V(X + Y) = V(X) + V(Y)$ si $X$ et $Y$ sont indépendantes.
Sans indépendance, les fluctuations peuvent se compenser
($Y = -X$) ou se renforcer ($Y = X$).

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Lorsque $X$ et $Y$ sont indépendantes

]]> Bonne réponse : l'additivité de la variance exige
l'indépendance (dans le programme, celle du cadre de la
succession d'épreuves indépendantes).

]]> Toujours, comme pour l'espérance

]]> Erreur : contre-exemple, $Y = -X$ (avec $V(X) > 0$) :
$V(X + Y) = V(0) = 0$ alors que $V(X) + V(Y) = 2V(X) > 0$.

]]> Lorsque $X$ et $Y$ ont la même loi

]]> Erreur : même loi ne veut pas dire indépendantes. $X$ et
$-X$... ou encore $Y = X$ : $V(2X) = 4V(X) \neq 2V(X)$.

]]> Lorsque $E(X) = E(Y) = 0$

]]> Erreur : le centrage ne remplace pas l'indépendance.
$Y = -X$ centrée fournit encore le contre-exemple.

]]> Sommes de variables aléatoires — Q05 : Variance d'une différence Soient $X$ et $Y$ indépendantes avec $V(X) = 4$ et $V(Y) = 1$.
Que vaut $V(X - Y)$ ?

]]> Pour $X, Y$ indépendantes :
$V(X - Y) = V(X) + (-1)^2V(Y) = V(X) + V(Y)$. Une variance ne
peut jamais décroître en ajoutant du hasard indépendant, quel
que soit le signe.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $5$

]]> Bonne réponse : $X - Y = X + (-1)Y$, donc
$V(X - Y) = V(X) + (-1)^2 V(Y) = 4 + 1 = 5$. Les variances
s'ajoutent, même pour une différence.

]]> $3$

]]> Piège classique : on ne soustrait pas les variances.
Soustraire une variable ajoute de l'aléa autant que
l'ajouter : $V(X - Y) = V(X) + V(Y)$.

]]> $4$

]]> Erreur : le terme $V(Y)$ ne disparaît pas ; $-Y$ fluctue
exactement autant que $Y$.

]]> $\sqrt{17}$

]]> Erreur : aucun passage à la racine ici (tu penses à
l'écart-type ?). $V(X - Y) = 4 + 1 = 5$.

]]> Sommes de variables aléatoires — Q06 : Écart-type de la moyenne d'échantillon Soit un échantillon de taille $n = 100$ d'une variable
d'écart-type $\sigma = 5$, et $M_n$ la moyenne de
l'échantillon. Que vaut $\sigma(M_n)$ ?

]]> Formules d'échantillon : $\sigma(S_n) = \sigma\sqrt{n}$ et
$\sigma(M_n) = \dfrac{\sigma}{\sqrt{n}}$. C'est ce facteur
$\frac{1}{\sqrt{n}}$ qui fonde la précision croissante des
sondages et mesures répétées.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $\dfrac{5}{\sqrt{100}} = 0{,}5$

]]> Bonne réponse : $V(M_n) = \dfrac{V}{n}$ donc
$\sigma(M_n) = \dfrac{\sigma}{\sqrt{n}} =
\dfrac{5}{10}$. Le fameux facteur $\dfrac{1}{\sqrt{n}}$.

]]> $5$

]]> Erreur : moyenner réduit la dispersion. Chaque
observation a un écart-type de $5$, mais leur moyenne
fluctue dix fois moins.

]]> $\dfrac{5}{100} = 0{,}05$

]]> Erreur : c'est la variance qui se divise par $n$.
L'écart-type, sa racine, se divise par $\sqrt{n} = 10$.

]]> $50$

]]> Erreur : $50 = 5\sqrt{100}$ est l'écart-type de la
somme $S_n$, pas de la moyenne. Diviser par $n$ ramène
à $0{,}5$.

]]> Sommes de variables aléatoires — Q07 : Espérance d'une somme d'échantillon Soit $S_n = X_1 + \cdots + X_{50}$ la somme d'un échantillon de
taille $50$ d'une variable d'espérance $\mu = 2$. Que vaut
$E(S_n)$ ?

]]> Pour un échantillon $(X_1, \ldots, X_n)$ d'une loi d'espérance
$\mu$ : $E(S_n) = n\mu$ (linéarité) et $E(M_n) = \mu$.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $100$

]]> Bonne réponse : par linéarité, $E(S_n) = n\mu = 50 \times 2
= 100$.

]]> $2$

]]> Erreur : $2$ est l'espérance d'une observation (et
celle de la moyenne $M_n$). La somme de $50$ observations a
pour espérance $50 \times 2$.

]]> $52$

]]> Erreur : $50 + 2$ additionne des objets de natures
différentes. La règle est multiplicative : $n\mu = 100$.

]]> $25$

]]> Erreur : $50/2$ ne correspond à aucune formule. $E(S_n) =
n\mu = 100$.

]]> Sommes de variables aléatoires — Q08 : Une binomiale comme somme Soit $X \sim \mathcal{B}(n\,;\,p)$. Comment retrouve-t-on la
formule $V(X) = np(1-p)$ ?

]]> Décomposition fondamentale : $\mathcal{B}(n\,;\,p)$ est la loi
de $X_1 + \cdots + X_n$, où les $X_i$ sont des Bernoulli
indépendantes. Espérances : $n \times p$ ; variances
(indépendance) : $n \times p(1-p)$.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc En écrivant $X$ comme somme de $n$ variables de Bernoulli
indépendantes, chacune de variance $p(1-p)$

]]> Bonne réponse : $X = X_1 + \cdots + X_n$ avec $X_i$ de
Bernoulli indépendantes ; l'additivité des variances donne
$n \times p(1-p)$.

]]> En calculant directement $E(X^2)$ par la formule binomiale

]]> Ce calcul direct existe mais il est lourd ; la méthode du
programme passe par la décomposition en somme et
l'additivité des variances : c'est tout son intérêt.

]]> En dérivant l'espérance $np$ par rapport à $p$

]]> Erreur : dériver une espérance n'a pas de sens probabiliste
ici. Le lien correct passe par la somme de Bernoulli
indépendantes.

]]> On ne peut pas : cette formule est admise sans justification

]]> Erreur : la démonstration est explicitement au programme,
via la décomposition en somme de variables de Bernoulli.

]]> Sommes de variables aléatoires — Q09 : Effet de la taille d'échantillon On multiplie par $4$ la taille $n$ d'un échantillon. Que
devient la variance de la moyenne $M_n$ ?

]]> $V(M_n) = \dfrac{V}{n}$ : la moyenne d'un échantillon se
concentre autour de $\mu$ à mesure que $n$ croît. En pratique :
pour diviser l'incertitude (écart-type) par $2$, il faut
quadrupler l'échantillon.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Elle est divisée par $4$

]]> Bonne réponse : $V(M_n) = \dfrac{V}{n}$ : quadrupler $n$
divise la variance de la moyenne par $4$ (et son écart-type
par $2$).

]]> Elle est divisée par $2$

]]> Erreur : c'est l'écart-type qui est divisé par
$\sqrt{4} = 2$. La variance, elle, suit $\frac{V}{n}$ :
division par $4$.

]]> Elle est divisée par $16$

]]> Erreur : $16$ appliquerait un carré de trop. $V(M_n)$ est
proportionnelle à $\dfrac{1}{n}$ : facteur $4$, pas $16$.

]]> Elle ne change pas

]]> Erreur : c'est l'espérance $E(M_n) = \mu$ qui est
insensible à $n$. La dispersion de la moyenne, elle, fond
quand l'échantillon grandit.

]]> Sommes de variables aléatoires — Q10 : Espérance de la moyenne d'échantillon Soit $M_n$ la moyenne d'un échantillon de taille $n$ d'une
variable d'espérance $\mu$. Que vaut $E(M_n)$ ?

]]> $E(M_n) = \mu$ : la taille de l'échantillon n'affecte que la
précision ($V(M_n) = V/n$), pas le centre. C'est le point
de départ de l'estimation statistique.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $\mu$, quelle que soit la taille $n$

]]> Bonne réponse : $E(M_n) = \dfrac{1}{n}E(S_n) =
\dfrac{n\mu}{n} = \mu$. La moyenne d'échantillon vise juste
en moyenne, pour tout $n$.

]]> $\dfrac{\mu}{n}$

]]> Erreur : la division par $n$ est déjà incluse dans la
définition de $M_n$ ; elle compense exactement la somme des
$n$ espérances.

]]> $n\mu$

]]> Erreur : $n\mu$ est l'espérance de la somme $S_n$. La
moyenne divise par $n$ : $E(M_n) = \mu$.

]]> Cela dépend de la variance de la loi

]]> Erreur : la variance règle la dispersion de $M_n$
autour de $\mu$, pas sa valeur moyenne, qui vaut toujours
$\mu$.

]]> Sommes de variables aléatoires — Q11 : Quelle égalité est toujours vraie ? Soient $X$ et $Y$ deux variables aléatoires quelconques
(pas nécessairement indépendantes). Laquelle de ces égalités
est toujours vraie ?

]]> À classer une fois pour toutes : l'espérance est linéaire sans
condition ; l'additivité concerne les variances et demande
l'indépendance ; les écarts-types, eux, ne s'additionnent
pas.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $E(X + Y) = E(X) + E(Y)$

]]> Bonne réponse : la linéarité de l'espérance ne demande
aucune hypothèse. Les trois autres égalités exigent
l'indépendance, et peuvent être fausses sans elle.

]]> $V(X + Y) = V(X) + V(Y)$

]]> Erreur : vraie seulement sous indépendance.
Contre-exemple : $Y = -X$ donne $V(X+Y) = 0$.

]]> $E(XY) = E(X)\,E(Y)$

]]> Erreur : cette relation exige l'indépendance (et n'est
d'ailleurs pas un attendu du programme). Avec $Y = X$ :
$E(X^2) \neq E(X)^2$ dès que $V(X) > 0$.

]]> $\sigma(X + Y) = \sigma(X) + \sigma(Y)$

]]> Erreur : les écarts-types ne s'additionnent jamais tels
quels (même sous indépendance, ce sont les variances
qui s'ajoutent : $\sigma(X+Y) = \sqrt{\sigma_X^2 +
\sigma_Y^2}$).

]]> Sommes de variables aléatoires — Q12 : Somme de deux dés On lance deux dés équilibrés à six faces et on note $S$ la
somme des résultats. Sachant que l'espérance d'un dé vaut
$3{,}5$, que vaut $E(S)$ ?

]]> Toute la puissance de la linéarité : $E(S) = 2 \times 3{,}5 =
7$ sans calculer la loi de la somme (qui, elle, demanderait le
tableau des 36 issues).

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $7$

]]> Bonne réponse : $E(S) = E(X_1) + E(X_2) = 3{,}5 + 3{,}5 =
7$, par linéarité, sans même détailler la loi de $S$.

]]> $6$

]]> Erreur : $6$ est le maximum d'un dé. La somme de deux
dés est centrée sur $3{,}5 + 3{,}5 = 7$.

]]> $3{,}5$

]]> Erreur : $3{,}5$ est l'espérance d'un seul dé (ou de la
moyenne des deux). La somme double : $7$.

]]> $12{,}25$

]]> Erreur : $3{,}5^2$ multiplierait les espérances, ce qui
correspondrait à un produit de variables. Pour une somme,
on additionne : $7$.

]]> Sommes de variables aléatoires — Q13 : Espérance de $X + b$ $X$ est une variable aléatoire d'espérance $E(X) = 10$. Que
vaut $E(X + 5)$ ?

]]> $E(aX + b) = aE(X) + b$ : l'espérance suit les
transformations affines. Décaler les valeurs décale la
moyenne, dilater les valeurs dilate la moyenne.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $15$

]]> Bonne réponse : ajouter $5$ à toutes les valeurs décale
la moyenne de $5$ : $E(X + b) = E(X) + b$.

]]> $10$

]]> Erreur : c'est la variance qui ignore les
translations ; la moyenne, elle, suit le décalage.

]]> $50$

]]> Multiplication indue : $50 = 5 \times E(X)$ correspond à
$E(5X)$ : ici on ajoute $5$, on ne multiplie pas.

]]> Impossible sans connaître la loi de $X$

]]> Erreur : la linéarité de l'espérance opère sans jamais
connaître la loi : c'est toute sa puissance.

]]> Sommes de variables aléatoires — Q14 : Variance de $X + 5$ $X$ a pour variance $V(X) = 4$. Que vaut $V(X + 5)$ ?

]]> $V(aX + b) = a^2V(X)$ : la constante $b$ s'évapore
(translation), le facteur $a$ ressort au carré
(dilatation). Contraste avec l'espérance, qui garde les
deux.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $4$ : une translation ne change pas la dispersion

]]> Bonne réponse : ajouter $5$ déplace toutes les valeurs
du même pas : les écarts à la moyenne, eux, ne bougent
pas d'un millimètre : $V(X + b) = V(X)$.

]]> $9$

]]> Erreur : le $+5$ ne s'ajoute pas à la variance : il
glisse le paquet entier sans l'étaler.

]]> $100$

]]> Erreur : $100 = 5^2 \times 4$ correspond à $V(5X)$
(dilatation) : ici c'est une translation, neutre pour la
variance.

]]> $4 + 25 = 29$

]]> Erreur : $25 = 5^2$ n'a rien à faire ici : la constante
$b$ disparaît totalement de la variance.

]]> Sommes de variables aléatoires — Q15 : Espérance d'une différence $X$ et $Y$ sont deux variables aléatoires avec $E(X) = 8$
et $E(Y) = 3$. Que vaut $E(X - Y)$ ?

]]> $E(X \pm Y) = E(X) \pm E(Y)$, sans aucune hypothèse : la
linéarité est inconditionnelle. Le réflexe « il faut
l'indépendance » ne concerne que $V(X + Y)$.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $5$

]]> Bonne réponse : linéarité : $E(X - Y) = E(X) - E(Y) = 8
- 3 = 5$, indépendance ou pas.

]]> $11$

]]> Signe : $11$ est $E(X + Y)$ : la différence soustrait
les espérances.

]]> $24$

]]> Erreur : $24 = 8 \times 3$ évoquerait un produit
(et $E(XY) = E(X)E(Y)$ exige d'ailleurs
l'indépendance) : la différence reste additive.

]]> On ne peut pas savoir sans l'indépendance de $X$ et $Y$

]]> Erreur : la linéarité de l'espérance vaut TOUJOURS,
dépendantes ou pas : c'est la variance qui réclame
l'indépendance.

]]> Sommes de variables aléatoires — Q16 : Variance de $-X$ $X$ a pour variance $V(X) = 9$. Que vaut $V(-X)$ ?

]]> $V(-X) = V(X)$ et $\sigma(-X) = \sigma(X)$ : la dispersion
ignore l'orientation. Corollaire pratique : $V(X - Y) =
V(X) + V(Y)$ pour des variables indépendantes : le moins
devient plus !

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $9$

]]> Bonne réponse : $V(aX) = a^2V(X)$ avec $a = -1$ :
$(-1)^2 = 1$ : retourner les valeurs retourne le paquet
sans changer son étalement.

]]> $-9$

]]> Impossible : une variance est une moyenne de carrés
d'écarts : jamais négative, quelle que soit la
transformation.

]]> $81$

]]> Erreur : $81 = 9^2$ élèverait la variance au carré :
la règle met au carré le coefficient $a = -1$, pas
la variance.

]]> $0$

]]> Erreur : $-X$ reste aléatoire : sa dispersion est
intacte : seul le signe des valeurs a basculé.

]]> Sommes de variables aléatoires — Q17 : Écart-type d'une somme $X$ et $Y$ sont indépendantes, avec $\sigma(X) = 3$ et
$\sigma(Y) = 4$. Que vaut $\sigma(X + Y)$ ?

]]> Indépendance : $V(X + Y) = V(X) + V(Y)$, donc $\sigma(X+Y) =
\sqrt{\sigma(X)^2 + \sigma(Y)^2}$ : une addition « à la
Pythagore ». Conséquence célèbre : $n$ sources de bruit
indépendantes cumulent en $\sqrt{n}$, pas en $n$.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $5$ : on additionne les variances ($9 + 16 = 25$), puis
racine

]]> Bonne réponse : les variances s'ajoutent
(indépendance), pas les écarts-types : $\sigma(X+Y) =
\sqrt{9 + 16} = 5$ : le triangle $3$-$4$-$5$ des
probabilités.

]]> $7$ : la somme des écarts-types

]]> L'erreur ciblée : les écarts-types ne s'additionnent
JAMAIS : l'additivité passe par les variances : $\sqrt{9
+ 16} = 5 < 7$ : les fluctuations se compensent
partiellement.

]]> $25$

]]> Étape manquante : $25$ est la variance de la somme ;
l'écart-type en est la racine : $5$.

]]> $12$

]]> Erreur : $12 = 3 \times 4$ ne correspond à aucune
règle : additivité des variances, puis racine.

]]> Sommes de variables aléatoires — Q18 : Quand la variance est-elle additive ? L'égalité $V(X + Y) = V(X) + V(Y)$ est-elle toujours
vraie ?

]]> $E(X + Y) = E(X) + E(Y)$ : toujours. $V(X + Y) = V(X) +
V(Y)$ : seulement si indépendance. Ce contraste est LA
nuance du chapitre : l'énoncer précisément vaut des points,
l'oublier en coûte.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Non : elle exige l'indépendance de $X$ et $Y$
(contre-exemple : $Y = -X$)

]]> Bonne réponse : avec $Y = -X$ : $X + Y = 0$, variance
nulle, alors que $V(X) + V(Y) = 2V(X) > 0$ : sans
indépendance, les fluctuations peuvent s'annuler ou se
renforcer.

]]> Oui : la variance est linéaire comme l'espérance

]]> Faux : la variance n'est PAS linéaire ($V(aX) = a^2V$,
déjà). Son additivité est un privilège de
l'indépendance.

]]> Non : elle n'est jamais vraie, c'est une approximation

]]> Trop sévère : pour des variables indépendantes,
l'égalité est exacte (théorème du cours) : c'est le cas
des tirages répétés.

]]> Oui, dès que $X$ et $Y$ ont la même loi

]]> Erreur : même loi n'est pas indépendance : $Y = -X$ a la
même loi que $X$ (si $X$ est symétrique) et l'égalité
échoue.

]]>