$course$/QCM de maths/Terminale spécialité/Suites et limites
Limite d'une suite : définitions, limites usuelles ($q^n$,
puissances de $n$), opérations et formes indéterminées, théorèmes de
comparaison et d'encadrement, suites monotones (convergence des
suites croissantes majorées), raisonnement par récurrence, suites
arithmético-géométriques.]]>
Suites et limites — Q01 : Limite de $q^n$ pour $0 < q < 1$
Soit $q$ un réel tel que $0 < q < 1$. Quelle est la limite de la
suite $(q^n)$ quand $n$ tend vers $+\infty$ ?]]>
Limites de référence de $(q^n)$ : si $-1 < q < 1$, la limite est
$0$ ; si $q > 1$, c'est $+\infty$ ; si $q = 1$, la suite est
constante égale à $1$ ; si $q \leq -1$, pas de limite.]]>
1.0
0.0
0
true
true
abc
$0$]]>
Bonne réponse : multiplier sans fin par un facteur
strictement compris entre $0$ et $1$ écrase les valeurs vers
$0$. Exemple : $(0{,}5)^n$ vaut $0{,}5$ ; $0{,}25$ ;
$0{,}125$ ; etc.]]>
$+\infty$]]>
Erreur : $q^n \to +\infty$ demande $q > 1$. Ici chaque
multiplication réduit la valeur.]]>
$1$]]>
Erreur : la suite part de $q^0 = 1$ mais s'en éloigne
aussitôt en décroissant vers $0$. La valeur initiale n'est
pas la limite.]]>
$q$]]>
Erreur : $q$ n'est que le premier terme non trivial
($q^1$). Les puissances suivantes continuent de diminuer
vers $0$.]]>
Suites et limites — Q02 : Définition de $\lim u_n = +\infty$
Que signifie « la suite $(u_n)$ tend vers $+\infty$ » ?]]>
$\lim u_n = +\infty$ : pour tout réel $A$, l'intervalle
$[A\,;\,+\infty[$ contient tous les termes de la suite à partir
d'un certain rang. L'ordre des quantificateurs est essentiel.]]>
1.0
0.0
0
true
true
abc
Tout intervalle $[A\,;\,+\infty[$ contient tous les termes
$u_n$ à partir d'un certain rang]]>
Bonne réponse : c'est la définition officielle. Aussi grand
que soit le seuil $A$, la suite finit par le dépasser
définitivement.]]>
La suite est croissante]]>
Erreur : une suite peut être croissante et converger (par
exemple $u_n = 1 - \dfrac{1}{n}$ tend vers $1$), et une
suite peut tendre vers $+\infty$ sans être croissante.]]>
Les termes deviennent de plus en plus grands]]>
Trop vague : « de plus en plus grands » décrit une
croissance, pas un dépassement de tout seuil. La
définition exige que chaque seuil $A$ soit franchi pour de
bon.]]>
Il existe un terme $u_n$ plus grand que n'importe quel réel]]>
Erreur de quantificateurs : aucun terme fixé n'est infini.
C'est pour chaque seuil $A$ qu'il existe un rang à
partir duquel tous les termes dépassent $A$.]]>
Suites et limites — Q03 : Limite d'un quotient de polynômes en $n$
Quelle est la limite de la suite définie par
$u_n = \dfrac{2n^2 + 1}{n^2 + 3}$ ?]]>
Pour un quotient de polynômes en $n$, on factorise par la plus
haute puissance : $u_n = \dfrac{2 + 1/n^2}{1 + 3/n^2}$. Comme
$1/n^2 \to 0$, la limite vaut $2$.]]>
1.0
0.0
0
true
true
abc
$2$]]>
Bonne réponse : en factorisant par $n^2$ en haut et en bas,
$u_n = \dfrac{2 + 1/n^2}{1 + 3/n^2} \to \dfrac{2}{1} = 2$.]]>
$+\infty$]]>
Erreur : le numérateur tend vers $+\infty$, mais le
dénominateur aussi. C'est une forme indéterminée
$\infty/\infty$ qu'il faut lever en factorisant par $n^2$.]]>
$0$]]>
Erreur : numérateur et dénominateur ont le même degré,
la limite est le quotient des coefficients dominants
($2/1$), pas $0$.]]>
$\dfrac{1}{3}$]]>
Erreur : $\dfrac{1}{3}$ est le quotient des termes
constants, qui deviennent négligeables. Ce sont les termes
en $n^2$ qui dominent.]]>
Suites et limites — Q04 : Reconnaître une forme indéterminée
Parmi les situations suivantes, laquelle est une forme
indéterminée ?]]>
Les quatre formes indéterminées au programme :
« $\infty - \infty$ », « $0 \times \infty$ »,
« $\dfrac{\infty}{\infty}$ » et « $\dfrac{0}{0}$ ».
Tout le reste se conclut par les théorèmes d'opérations.]]>
1.0
0.0
0
true
true
abc
$\lim u_n = +\infty$ et $\lim v_n = -\infty$, on cherche
$\lim (u_n + v_n)$]]>
Bonne réponse : « $\infty - \infty$ » est indéterminée. Selon
les suites, le résultat peut être fini, infini ou ne pas
exister (exemples : $n$ et $-n$ ; $n^2$ et $-n$).]]>
$\lim u_n = +\infty$ et $\lim v_n = +\infty$, on cherche
$\lim (u_n + v_n)$]]>
Erreur : $\infty + \infty$ n'est pas indéterminée, la somme
tend toujours vers $+\infty$.]]>
$\lim u_n = 2$ et $\lim v_n = +\infty$, on cherche
$\lim (u_n \times v_n)$]]>
Erreur : le produit d'une limite non nulle par une
limite infinie n'est pas indéterminé : ici il tend vers
$+\infty$. Le cas indéterminé est $0 \times \infty$.]]>
$\lim u_n = 2$ et $\lim v_n = +\infty$, on cherche
$\lim \dfrac{u_n}{v_n}$]]>
Erreur : un numérateur borné sur un dénominateur qui tend
vers l'infini donne $0$, sans indétermination.]]>
Suites et limites — Q05 : Théorème des gendarmes
Pour tout $n \geq 1$, on pose $u_n = \dfrac{\sin(n)}{n}$ et on
sait que $-\dfrac{1}{n} \leq u_n \leq \dfrac{1}{n}$.
Que peut-on conclure ?]]>
Théorème des gendarmes : si $v_n \leq u_n \leq w_n$ à partir
d'un certain rang et si $(v_n)$ et $(w_n)$ convergent vers la
même limite $\ell$, alors $(u_n)$ converge vers $\ell$. Ici
$\ell = 0$.]]>
1.0
0.0
0
true
true
abc
$(u_n)$ converge vers $0$, par le théorème d'encadrement]]>
Bonne réponse : les deux suites encadrantes $-1/n$ et $1/n$
tendent vers $0$, donc la suite encadrée aussi (théorème des
gendarmes).]]>
$(u_n)$ n'a pas de limite car $\sin(n)$ n'en a pas]]>
Erreur : le facteur $\sin(n)$ oscille mais reste borné,
et il est divisé par $n$ qui tend vers l'infini.
L'encadrement force la convergence vers $0$.]]>
$(u_n)$ converge vers $1$]]>
Erreur : tu penses peut-être à la limite de
$\dfrac{\sin x}{x}$ en $0$. Ici $n$ tend vers $+\infty$, et
l'encadrement donne $0$.]]>
On ne peut rien conclure sans connaître le signe de $u_n$]]>
Erreur : le théorème des gendarmes n'exige aucun signe,
seulement un encadrement par deux suites de même limite.]]>
Suites et limites — Q06 : Suite croissante et majorée
Soit $(u_n)$ une suite croissante et majorée par $10$.
Que peut-on affirmer ?]]>
Théorème de convergence monotone : croissante et majorée
$\Rightarrow$ convergente. Attention : la limite est au plus
égale au majorant, sans lui être nécessairement égale.]]>
1.0
0.0
0
true
true
abc
$(u_n)$ converge vers une limite $\ell \leq 10$]]>
Bonne réponse : toute suite croissante et majorée converge
(théorème de convergence monotone), et sa limite est
inférieure ou égale à tout majorant.]]>
$(u_n)$ converge vers $10$]]>
Piège classique : la limite n'est pas forcément le majorant
donné. Exemple : $u_n = 1 - \dfrac{1}{n+1}$ est croissante,
majorée par $10$, et converge vers $1$.]]>
$(u_n)$ tend vers $+\infty$]]>
Erreur : c'est impossible, tous les termes restent sous
$10$. Une suite croissante ne tend vers $+\infty$ que si
elle est non majorée.]]>
On ne peut rien dire sans connaître $u_0$]]>
Erreur : le théorème de convergence monotone s'applique
quelle que soit la valeur initiale ; croissance + majoration
suffisent.]]>
Suites et limites — Q07 : Suites croissantes et infini
Parmi les affirmations suivantes, laquelle est vraie ?]]>
Le théorème exact combine deux hypothèses : croissante
et non majorée $\Rightarrow$ limite $+\infty$. Chaque
hypothèse seule est insuffisante, comme le montrent les
contre-exemples.]]>
1.0
0.0
0
true
true
abc
Toute suite croissante non majorée tend vers $+\infty$]]>
Bonne réponse : c'est un théorème du cours. La croissance
empêche de redescendre, et l'absence de majorant force à
dépasser tout seuil.]]>
Toute suite croissante tend vers $+\infty$]]>
Faux : une suite croissante peut converger si elle est
majorée, comme $u_n = 1 - \dfrac{1}{n+1}$ qui tend vers
$1$.]]>
Toute suite non majorée tend vers $+\infty$]]>
Faux : la suite $0,\,1,\,0,\,2,\,0,\,3,\,\ldots$ est non
majorée mais ne tend pas vers $+\infty$ (elle repasse sans
cesse par $0$). Il manque la croissance.]]>
Toute suite divergente tend vers $+\infty$ ou $-\infty$]]>
Faux : $u_n = (-1)^n$ diverge sans tendre vers l'infini :
elle oscille entre $-1$ et $1$. « Divergente » signifie
seulement « non convergente ».]]>
Suites et limites — Q08 : Structure d'un raisonnement par récurrence
Pour démontrer par récurrence qu'une propriété $P(n)$ est vraie
pour tout entier $n \geq n_0$, que doit-on établir ?]]>
Récurrence = initialisation ($P(n_0)$ vraie) + hérédité (si
$P(n)$ est vraie pour un rang $n \geq n_0$ quelconque, alors
$P(n+1)$ l'est aussi). Conclusion : $P(n)$ vraie pour tout
$n \geq n_0$.]]>
1.0
0.0
0
true
true
abc
$P(n_0)$ est vraie, et pour tout $n \geq n_0$, $P(n)$
entraîne $P(n+1)$]]>
Bonne réponse : initialisation puis hérédité. Les deux
étapes sont indispensables, puis on conclut pour tout
$n \geq n_0$.]]>
Pour tout $n \geq n_0$, $P(n)$ entraîne $P(n+1)$]]>
Incomplet : sans initialisation, rien ne démarre. La
propriété « $n = n+1$ » est héréditaire et pourtant toujours
fausse.]]>
$P(n)$ est vraie pour $n_0$, $n_0 + 1$ et $n_0 + 2$]]>
Erreur : vérifier quelques cas ne prouve rien pour tous les
entiers. Il faut le mécanisme général de l'hérédité.]]>
$P(n+1)$ entraîne $P(n)$, pour tout $n \geq n_0$]]>
Erreur de sens : l'hérédité se propage vers les rangs
croissants : on suppose $P(n)$ et on démontre $P(n+1)$.]]>
Suites et limites — Q09 : Somme des puissances de $q$
Pour $q \neq 1$, que vaut la somme
$1 + q + q^2 + \cdots + q^n$ ?]]>
Formule clé : $1 + q + \cdots + q^n =
\dfrac{1 - q^{n+1}}{1 - q}$ pour $q \neq 1$. Moyen mnémotechnique
: $\dfrac{1 - q^{\text{nombre de termes}}}{1 - q}$, ici $n+1$
termes.]]>
1.0
0.0
0
true
true
abc
$\dfrac{1 - q^{n+1}}{1 - q}$]]>
Bonne réponse : somme des $n+1$ premiers termes de la suite
géométrique de premier terme $1$ et de raison $q$.]]>
$\dfrac{1 - q^{n}}{1 - q}$]]>
Erreur d'exposant : la somme compte $n + 1$ termes (de
$q^0$ à $q^n$), l'exposant au numérateur est donc $n+1$.]]>
$\dfrac{q^{n+1} - 1}{1 - q}$]]>
Erreur de signe : ce quotient est l'opposé de la somme.
Numérateur et dénominateur doivent être « dans le même
sens » : $\dfrac{1 - q^{n+1}}{1 - q}$.]]>
$n \, q^{n}$]]>
Erreur : tu confonds avec une somme de termes égaux. Les
puissances de $q$ sont toutes différentes, leur somme suit
la formule géométrique.]]>
Suites et limites — Q10 : Limite d'une suite arithmético-géométrique
Soit $(u_n)$ définie par $u_{n+1} = 0{,}5\,u_n + 3$. On admet
que $(u_n)$ converge vers un réel $\ell$. Que vaut $\ell$ ?]]>
Si $u_{n+1} = a\,u_n + b$ et $u_n \to \ell$, alors par passage à
la limite $\ell = a\,\ell + b$. Ici
$\ell = 0{,}5\,\ell + 3 \Leftrightarrow \ell = 6$.]]>
1.0
0.0
0
true
true
abc
$\ell = 6$]]>
Bonne réponse : la limite vérifie l'équation du point fixe
$\ell = 0{,}5\,\ell + 3$, d'où $0{,}5\,\ell = 3$ puis
$\ell = 6$.]]>
$\ell = 3$]]>
Erreur : $3$ est le terme constant de la relation, pas la
limite. Il faut résoudre $\ell = 0{,}5\,\ell + 3$.]]>
$\ell = 1{,}5$]]>
Erreur : $1{,}5 = 0{,}5 \times 3$ mélange les deux
coefficients. L'équation correcte est
$\ell = 0{,}5\,\ell + 3$, de solution $6$.]]>
Cela dépend de $u_0$]]>
Erreur : $u_0$ influence les termes de la suite mais pas la
valeur de la limite quand elle existe : ici le coefficient
$0{,}5$ contracte vers l'unique point fixe $6$.]]>
Suites et limites — Q11 : Théorème de comparaison
Soit $(u_n)$ une suite telle que $u_n \geq n^2$ pour tout $n$.
Que peut-on conclure ?]]>
Théorème de comparaison : si $u_n \geq v_n$ à partir d'un
certain rang et $v_n \to +\infty$, alors $u_n \to +\infty$.
Ici $v_n = n^2$.]]>
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0
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true
abc
$(u_n)$ tend vers $+\infty$]]>
Bonne réponse : théorème de comparaison. Comme
$n^2 \to +\infty$ et que $u_n$ est au-dessus, $(u_n)$ est
poussée vers $+\infty$.]]>
$(u_n)$ est croissante]]>
Erreur : être au-dessus de $n^2$ n'impose aucune monotonie ;
la suite peut osciller tout en restant au-dessus de la
parabole.]]>
$(u_n)$ converge vers une limite supérieure à $n^2$]]>
Erreur : une limite est un nombre fixe, elle ne peut pas
être « supérieure à $n^2$ » qui dépend de $n$. Et ici la
suite ne converge pas : elle explose vers $+\infty$.]]>
On ne peut rien conclure sans majorant]]>
Erreur : pour une limite $+\infty$, c'est une minoration
par une suite tendant vers $+\infty$ qui conclut ; aucun
majorant n'est requis.]]>
Suites et limites — Q12 : Limite d'un quotient de suites géométriques
Quelle est la limite de la suite définie par
$u_n = \dfrac{3^n}{2^n}$ ?]]>
Regrouper les puissances : $\dfrac{3^n}{2^n} =
\left(\dfrac{3}{2}\right)^n$. C'est une suite géométrique de
raison $\dfrac{3}{2} > 1$, donc de limite $+\infty$.]]>
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0
true
true
abc
$+\infty$]]>
Bonne réponse : $u_n = \left(\dfrac{3}{2}\right)^n$ est une
suite géométrique de raison $\dfrac{3}{2} > 1$, donc elle
tend vers $+\infty$.]]>
$0$]]>
Erreur : $q^n \to 0$ demande $|q| < 1$. Ici la raison est
$\dfrac{3}{2} > 1$ : la suite explose au lieu de s'éteindre.]]>
$\dfrac{3}{2}$]]>
Erreur : $\dfrac{3}{2}$ n'est que le terme $u_1$. La suite
continue d'être multipliée par $\dfrac{3}{2}$ à chaque rang.]]>
$1$, car les deux suites tendent vers $+\infty$]]>
Erreur : $\dfrac{\infty}{\infty}$ est une forme
indéterminée, elle ne vaut pas $1$ d'office. On la lève ici
en écrivant $u_n = (3/2)^n$.]]>