$course$/QCM de maths/Terminale spécialité/Vecteurs, droites et plans de l'espace Vecteurs de l'espace, combinaisons linéaires, colinéarité et
coplanarité, droites (point et vecteur directeur), plans (point
et couple de vecteurs non colinéaires), positions relatives,
bases et repères de l'espace, décomposition d'un vecteur.

]]> Vecteurs, droites et plans de l'espace — Q01 : Vecteurs colinéaires Dans un repère de l'espace, on donne
$\vec{u}(2\,;\,-4\,;\,6)$ et $\vec{v}(1\,;\,-2\,;\,3)$.
Ces vecteurs sont-ils colinéaires ?

]]> $\vec{u}$ et $\vec{v}$ (avec $\vec{v} \neq \vec{0}$) sont
colinéaires s'il existe un réel $k$ tel que
$\vec{u} = k\vec{v}$, c'est-à-dire si les coordonnées sont
proportionnelles. Ici $k = 2$.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Oui, car $\vec{u} = 2\vec{v}$

]]> Bonne réponse : chaque coordonnée de $\vec{u}$ est le
double de celle de $\vec{v}$ : $\vec{u} = 2\vec{v}$, les
vecteurs sont colinéaires.

]]> Non, car leurs coordonnées ne sont pas égales

]]> Erreur : la colinéarité n'exige pas l'égalité, mais la
proportionnalité des coordonnées : $\vec{u} = k\vec{v}$
pour un réel $k$.

]]> Non, car $2 + (-4) + 6 \neq 1 + (-2) + 3$

]]> Erreur : la somme des coordonnées n'a aucun sens
géométrique ici. Le test est la proportionnalité
coordonnée par coordonnée.

]]> On ne peut pas le savoir sans connaître le repère

]]> Erreur : la relation $\vec{u} = 2\vec{v}$ se lit sur les
coordonnées et vaut dans tout repère fixé.

]]> Vecteurs, droites et plans de l'espace — Q02 : Déterminer une droite de l'espace Par quelles données une droite de l'espace est-elle
entièrement déterminée ?

]]> Une droite de l'espace = un point + une direction (vecteur
directeur non nul) : $M \in d \Leftrightarrow \overrightarrow{AM} =
t\,\vec{u}$. (Deux points distincts conviennent aussi : le
second fournit le vecteur $\overrightarrow{AB}$.)

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Un point et un vecteur directeur non nul

]]> Bonne réponse : la droite passant par $A$ de vecteur
directeur $\vec{u}$ est l'ensemble des points $M$ tels que
$\overrightarrow{AM} = t\,\vec{u}$, $t$ réel.

]]> Un seul point

]]> Insuffisant : une infinité de droites passent par un même
point (dans toutes les directions de l'espace).

]]> Un vecteur directeur seul

]]> Insuffisant : un vecteur donne la direction, mais une
infinité de droites parallèles la partagent. Il faut
ancrer la droite par un point.

]]> Deux vecteurs non colinéaires

]]> Erreur : deux vecteurs non colinéaires engendrent la
direction d'un plan, pas d'une droite.

]]> Vecteurs, droites et plans de l'espace — Q03 : Déterminer un plan de l'espace Par quelles données un plan de l'espace est-il entièrement
déterminé ?

]]> Un plan = un point + deux directions indépendantes :
$M \in \mathcal{P} \Leftrightarrow \overrightarrow{AM} = a\vec{u} +
b\vec{v}$ ($a$, $b$ réels), avec $\vec{u}$, $\vec{v}$ non
colinéaires. Version points : trois points non alignés.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Un point et deux vecteurs non colinéaires

]]> Bonne réponse : le plan passant par $A$ dirigé par
$\vec{u}$ et $\vec{v}$ non colinéaires est l'ensemble des
points $M$ tels que $\overrightarrow{AM} = a\vec{u} + b\vec{v}$.

]]> Un point et un vecteur non nul

]]> Insuffisant : un point et un vecteur déterminent une
droite. Un plan a besoin de deux directions
indépendantes.

]]> Trois points quelconques

]]> Piège : trois points alignés laissent une infinité de
plans possibles. Il faut trois points non alignés.

]]> Deux droites quelconques de l'espace

]]> Erreur : deux droites non coplanaires ne sont contenues
dans aucun plan commun. Il faut des droites sécantes ou
strictement parallèles.

]]> Vecteurs, droites et plans de l'espace — Q04 : Vecteurs coplanaires On donne $\vec{u}(1\,;\,0\,;\,0)$, $\vec{v}(0\,;\,1\,;\,0)$ et
$\vec{w}(2\,;\,3\,;\,0)$. Ces trois vecteurs sont-ils
coplanaires ?

]]> Trois vecteurs sont coplanaires lorsque l'un s'écrit comme
combinaison linéaire des deux autres (supposés non
colinéaires) : ici $\vec{w} = 2\vec{u} + 3\vec{v}$.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Oui, car $\vec{w} = 2\vec{u} + 3\vec{v}$

]]> Bonne réponse : $\vec{w}$ est combinaison linéaire de
$\vec{u}$ et $\vec{v}$ : les trois vecteurs partagent la
direction d'un même plan (ici le plan des deux premières
coordonnées).

]]> Non, car aucun n'est colinéaire à un autre

]]> Erreur : la coplanarité de trois vecteurs ne se réduit
pas à des colinéarités deux à deux. Le bon test : l'un est
combinaison linéaire des deux autres.

]]> Non, car ils sont dans l'espace

]]> Erreur : des vecteurs de l'espace peuvent très bien être
coplanaires ; c'est ici le cas, leur troisième coordonnée
étant nulle.

]]> Oui, car trois vecteurs sont toujours coplanaires

]]> Erreur : trois vecteurs peuvent être non coplanaires (par
exemple les trois vecteurs d'une base). C'est la relation
$\vec{w} = 2\vec{u} + 3\vec{v}$ qui conclut ici.

]]> Vecteurs, droites et plans de l'espace — Q05 : Base de l'espace Que faut-il pour que trois vecteurs $\vec{u}$, $\vec{v}$,
$\vec{w}$ forment une base de l'espace ?

]]> Base de l'espace = trois vecteurs non coplanaires. Tout vecteur
s'écrit alors de manière unique $x\vec{u} + y\vec{v} +
z\vec{w}$ : ce sont ses coordonnées dans la base.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Qu'ils soient non coplanaires

]]> Bonne réponse : trois vecteurs non coplanaires engendrent
tout l'espace, et chaque vecteur s'y décompose de façon
unique.

]]> Qu'ils soient deux à deux non colinéaires

]]> Insuffisant : $\vec{u}$, $\vec{v}$ et $\vec{u} + \vec{v}$
sont deux à deux non colinéaires mais coplanaires : ils ne
peuvent pas engendrer l'espace.

]]> Qu'ils soient deux à deux orthogonaux

]]> Trop exigeant : l'orthogonalité définit une base
orthogonale (confort de calcul), mais une base
quelconque demande seulement la non-coplanarité.

]]> Qu'ils aient tous la même norme

]]> Erreur : la norme ne joue aucun rôle dans la définition
d'une base. Seule compte l'indépendance des trois
directions.

]]> Vecteurs, droites et plans de l'espace — Q06 : La diagonale du cube Cube ABCDEFGH en perspective : ABCD est la face inférieure
(D à l'arrière, en pointillés), EFGH la face supérieure avec
E au-dessus de A, F au-dessus de B, G au-dessus de C, H
au-dessus de D. La grande diagonale AG est tracée en bleu,
de A (avant bas gauche) à G (arrière haut droit).

Cube ABCDEFGH en perspective : ABCD est la face inférieure
(D à l'arrière, en pointillés), EFGH la face supérieure avec
E au-dessus de A, F au-dessus de B, G au-dessus de C, H
au-dessus de D. La grande diagonale AG est tracée en bleu,
de A (avant bas gauche) à G (arrière haut droit).

Dans le cube $ABCDEFGH$ ci-dessous, comment s'exprime le
vecteur $\overrightarrow{AG}$ (grande diagonale) en fonction de
$\overrightarrow{AB}$, $\overrightarrow{AD}$ et $\overrightarrow{AE}$ ?

]]> Décomposition dans le cube : $\overrightarrow{AG} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} +
\overrightarrow{CG}$, et $\overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AD}$, $\overrightarrow{CG} = \overrightarrow{AE}$
(arêtes parallèles). D'où $\overrightarrow{AG} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD} +
\overrightarrow{AE}$.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $\overrightarrow{AG} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{AE}$

]]> Bonne réponse : pour aller de $A$ à $G$, on avance selon
l'arête $\overrightarrow{AB}$, puis $\overrightarrow{AD}$ (profondeur), puis
$\overrightarrow{AE}$ (hauteur) : relation de Chasles dans le cube.

]]> $\overrightarrow{AG} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD}$

]]> Incomplet : $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD} = \overrightarrow{AC}$, la diagonale
de la face inférieure. Pour monter jusqu'à $G$, il faut
encore ajouter $\overrightarrow{AE}$.

]]> $\overrightarrow{AG} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AE}$

]]> Incomplet : $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AE} = \overrightarrow{AF}$, la diagonale
de la face avant. Il manque la profondeur $\overrightarrow{AD}$.

]]> $\overrightarrow{AG} = \overrightarrow{AB} - \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{AE}$

]]> Erreur de signe : les trois arêtes se parcourent dans le
sens direct de $A$ vers $G$ ; aucune soustraction n'est
nécessaire.

]]> Vecteurs, droites et plans de l'espace — Q07 : Deux droites sans point commun Dans l'espace, deux droites n'ont aucun point commun.
Sont-elles nécessairement parallèles ?

]]> Positions relatives de deux droites de l'espace : sécantes,
parallèles (strictement ou confondues), ou non coplanaires.
Ce troisième cas, sans équivalent dans le plan, se teste en
cherchant un plan contenant les deux droites.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Non : elles peuvent aussi être non coplanaires

]]> Bonne réponse : c'est la spécificité de l'espace. Deux
droites sans point commun sont soit strictement parallèles
(même direction), soit non coplanaires (directions
différentes, aucun plan commun).

]]> Oui, comme dans le plan

]]> Erreur : la dichotomie du plan (sécantes ou parallèles) ne
survit pas en dimension 3. Pense à deux routes qui se
croisent par un pont : ni sécantes, ni parallèles.

]]> Oui, si elles sont toutes les deux horizontales

]]> Erreur : deux droites « horizontales » de directions
différentes et d'altitudes différentes sont non
coplanaires sans être parallèles.

]]> Non : elles sont forcément confondues

]]> Contradiction : des droites confondues ont tous leurs
points communs, pas aucun.

]]> Vecteurs, droites et plans de l'espace — Q08 : Coordonnées dans le repère du cube Cube ABCDEFGH en perspective : ABCD face inférieure (D à
l'arrière), EFGH face supérieure (E au-dessus de A, F de B,
G de C, H de D). Les trois vecteurs du repère AB, AD et AE
sont tracés en rouge depuis A.

Cube ABCDEFGH en perspective : ABCD face inférieure (D à
l'arrière), EFGH face supérieure (E au-dessus de A, F de B,
G de C, H de D). Les trois vecteurs du repère AB, AD et AE
sont tracés en rouge depuis A.

Dans le cube $ABCDEFGH$ ci-dessous, on munit l'espace du repère
$\left(A\,;\,\overrightarrow{AB},\,\overrightarrow{AD},\,\overrightarrow{AE}\right)$. Quelles
sont les coordonnées du sommet $G$ ?

]]> Dans le repère $(A\,;\,\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AD},\overrightarrow{AE})$, les
sommets du cube ont pour coordonnées tous les triplets de $0$
et de $1$ : $A(0;0;0)$, $B(1;0;0)$, $D(0;1;0)$, $E(0;0;1)$,
$C(1;1;0)$, $F(1;0;1)$, $H(0;1;1)$ et $G(1;1;1)$.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $G(1\,;\,1\,;\,1)$

]]> Bonne réponse : $\overrightarrow{AG} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{AE}
= 1 \cdot \overrightarrow{AB} + 1 \cdot \overrightarrow{AD} + 1 \cdot \overrightarrow{AE}$ :
coordonnées $(1\,;\,1\,;\,1)$.

]]> $G(1\,;\,1\,;\,0)$

]]> Erreur : $(1\,;\,1\,;\,0)$ est le sommet $C$, resté sur la
face inférieure. $G$ est au-dessus de $C$ : troisième
coordonnée $1$.

]]> $G(0\,;\,1\,;\,1)$

]]> Erreur : $(0\,;\,1\,;\,1)$ est le sommet $H$ (au-dessus de
$D$). $G$ se trouve au-dessus de $C$, donc en
$(1\,;\,1\,;\,1)$.

]]> $G(1\,;\,0\,;\,1)$

]]> Erreur : $(1\,;\,0\,;\,1)$ est le sommet $F$ (au-dessus de
$B$). Pour $G$, la profondeur $\overrightarrow{AD}$ vaut aussi $1$.

]]> Vecteurs, droites et plans de l'espace — Q09 : Position relative dans le cube Dans le cube $ABCDEFGH$ (mêmes notations que précédemment,
$E$ au-dessus de $A$, $H$ au-dessus de $D$), quelle est la
position relative des droites $(AB)$ et $(DH)$ ?

]]> Méthode : comparer les directions ($\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{DH}$
non colinéaires : pas parallèles), puis chercher un point
commun (il n'y en a pas : pas sécantes). Restent les droites
non coplanaires, cas typique dans un cube.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Elles sont non coplanaires

]]> Bonne réponse : $(AB)$ est horizontale à l'avant, $(DH)$
verticale à l'arrière : directions non colinéaires et
aucun point commun. Aucun plan ne les contient toutes les
deux.

]]> Elles sont sécantes

]]> Erreur : $(AB)$ vit sur la face inférieure avant, $(DH)$
part du sommet arrière $D$ verticalement : elles ne se
rencontrent pas (aucun sommet commun, aucun croisement).

]]> Elles sont parallèles

]]> Erreur : $\overrightarrow{AB}$ est horizontal et $\overrightarrow{DH} = \overrightarrow{AE}$
est vertical : directions non colinéaires, donc pas de
parallélisme.

]]> Elles sont confondues

]]> Erreur : elles n'ont même aucun point commun. Confondues
signifierait la même droite.

]]> Vecteurs, droites et plans de l'espace — Q10 : Vecteur directeur d'une droite $(AB)$ Soient $A(1\,;\,2\,;\,3)$ et $B(3\,;\,1\,;\,5)$. Quel vecteur
est directeur de la droite $(AB)$ ?

]]> $\overrightarrow{AB} = (x_B - x_A\,;\,y_B - y_A\,;\,z_B - z_A) =
(2\,;\,-1\,;\,2)$. Tout vecteur non nul colinéaire à
$\overrightarrow{AB}$ dirige aussi la droite.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $\overrightarrow{AB}(2\,;\,-1\,;\,2)$

]]> Bonne réponse : $\overrightarrow{AB} = (x_B - x_A\,;\,y_B - y_A\,;\,
z_B - z_A) = (2\,;\,-1\,;\,2)$.

]]> $(4\,;\,3\,;\,8)$

]]> Erreur : tu as additionné les coordonnées de $A$ et
$B$. Un vecteur se calcule par différence : arrivée moins
départ.

]]> $(2\,;\,1\,;\,2)$

]]> Erreur de signe sur la deuxième coordonnée :
$y_B - y_A = 1 - 2 = -1$.

]]> $(1\,;\,2\,;\,3)$

]]> Erreur : ce sont les coordonnées du point $A$, pas d'un
vecteur directeur. La direction se lit sur $\overrightarrow{AB}$.

]]> Vecteurs, droites et plans de l'espace — Q11 : Tester l'alignement de trois points Soient $A(1\,;\,0\,;\,2)$, $B(3\,;\,4\,;\,2)$ et
$C(4\,;\,6\,;\,2)$. Ces trois points sont-ils alignés ?

]]> $A$, $B$, $C$ sont alignés si et seulement si $\overrightarrow{AB}$ et
$\overrightarrow{AC}$ sont colinéaires. Ici $\overrightarrow{AC} =
\frac{3}{2}\overrightarrow{AB}$ : alignés (et tous dans le plan
d'altitude $z = 2$).

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Oui, car $\overrightarrow{AC} = \dfrac{3}{2}\,\overrightarrow{AB}$

]]> Bonne réponse : $\overrightarrow{AB}(2\,;\,4\,;\,0)$ et
$\overrightarrow{AC}(3\,;\,6\,;\,0)$ sont colinéaires
($3 = \frac{3}{2} \times 2$, $6 = \frac{3}{2} \times 4$,
$0 = \frac{3}{2} \times 0$) : les points sont alignés.

]]> Non, car $C$ n'est pas le milieu de $[AB]$

]]> Erreur : l'alignement n'exige pas que l'un des points soit
un milieu. Le test est la colinéarité de $\overrightarrow{AB}$ et
$\overrightarrow{AC}$.

]]> Non, car les coordonnées de $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AC}$ sont
différentes

]]> Erreur : différents n'empêche pas colinéaires ! Il suffit
d'un facteur commun : ici $\overrightarrow{AC} = 1{,}5\,\overrightarrow{AB}$.

]]> On ne peut pas conclure sans calculer les distances

]]> Erreur : le critère vectoriel (colinéarité de $\overrightarrow{AB}$
et $\overrightarrow{AC}$) est direct et suffit. Aucune distance n'est
nécessaire.

]]> Vecteurs, droites et plans de l'espace — Q12 : Appartenance à un plan Soit $\mathcal{P}$ le plan passant par $A$ et dirigé par les
vecteurs non colinéaires $\vec{u}$ et $\vec{v}$. À quelle
condition un point $M$ appartient-il à $\mathcal{P}$ ?

]]> Caractérisation d'un plan : $M \in \mathcal{P}
\Leftrightarrow \overrightarrow{AM} = a\vec{u} + b\vec{v}$ avec $a, b$
réels. Les couples $(a\,;\,b)$ jouent le rôle de coordonnées
dans le plan.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Il existe des réels $a$ et $b$ tels que
$\overrightarrow{AM} = a\vec{u} + b\vec{v}$

]]> Bonne réponse : c'est la caractérisation vectorielle du
plan : $\overrightarrow{AM}$ doit se décomposer sur les deux
directions du plan.

]]> Il existe un réel $k$ tel que $\overrightarrow{AM} = k\vec{u}$

]]> Trop restrictif : cette condition décrit la droite
passant par $A$ dirigée par $\vec{u}$, une partie seulement
du plan.

]]> $\overrightarrow{AM} \cdot \vec{u} = 0$

]]> Erreur : l'orthogonalité à $\vec{u}$ caractérise un autre
plan (celui de vecteur normal $\vec{u}$). Ici $\vec{u}$
est une direction contenue dans $\mathcal{P}$.

]]> $\overrightarrow{AM} = \vec{u} + \vec{v}$ exactement

]]> Trop restrictif : cette égalité ne décrit qu'un seul
point du plan (celui de coordonnées $(1\,;\,1)$ dans le
repère du plan). Les coefficients $a$ et $b$ doivent
rester libres.

]]> Vecteurs, droites et plans de l'espace — Q13 : Relation de Chasles dans l'espace Pour trois points $A$, $B$, $C$ de l'espace, que vaut
$\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC}$ ?

]]> Chasles fonctionne dans l'espace comme dans le plan :
$\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} =
\overrightarrow{AC}$. Réflexe : insérer un point
intermédiaire pour décomposer ou simplifier une somme.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $\overrightarrow{AC}$

]]> Bonne réponse : relation de Chasles : aller de $A$ à $B$
puis de $B$ à $C$ revient à aller de $A$ à $C$ : la
lettre du milieu s'efface.

]]> $\overrightarrow{CA}$

]]> Sens inversé : le trajet part de $A$ et finit en $C$ :
$\overrightarrow{AC}$, pas son opposé.

]]> $\overrightarrow{BB}$

]]> Erreur : $\overrightarrow{BB} = \vec{0}$ : la somme ne
s'annule que si $C = A$.

]]> $\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{BC}$

]]> Hors sujet : aucune multiplication ici : l'addition
vectorielle enchaîne les déplacements (Chasles).

]]> Vecteurs, droites et plans de l'espace — Q14 : Milieu d'un segment de l'espace Soient $A(1\ ;\ 4\ ;\ -2)$ et $B(3\ ;\ 0\ ;\ 6)$. Quelles
sont les coordonnées du milieu $I$ de $[AB]$ ?

]]> Milieu : moyennes des coordonnées, en dimension $3$ comme en
dimension $2$ : $I\left(\frac{x_A + x_B}{2}\ ;\
\frac{y_A+y_B}{2}\ ;\ \frac{z_A+z_B}{2}\right)$.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $I(2\ ;\ 2\ ;\ 2)$

]]> Bonne réponse : moyenne coordonnée par coordonnée :
$\left(\frac{1+3}{2}\ ;\ \frac{4+0}{2}\ ;\
\frac{-2+6}{2}\right)$.

]]> $I(4\ ;\ 4\ ;\ 4)$

]]> Division oubliée : les sommes valent $(4\ ;\ 4\ ;\
4)$ : le milieu prend la moitié.

]]> $I(1\ ;\ 2\ ;\ 4)$

]]> Erreur : ce sont les demi-différences : le milieu
moyenne les coordonnées, il ne les soustrait pas.

]]> $I(2\ ;\ 2\ ;\ 4)$

]]> Troisième coordonnée : $\frac{-2 + 6}{2} = 2$, pas $4$ :
attention au signe de $-2$.

]]> Vecteurs, droites et plans de l'espace — Q15 : Colinéarité en coordonnées Les vecteurs $\vec{u}(2\ ;\ -1\ ;\ 3)$ et
$\vec{v}(-4\ ;\ 2\ ;\ -6)$ sont-ils colinéaires ?

]]> $\vec{v}$ colinéaire à $\vec{u} \neq \vec{0}$ $\iff$
$\vec{v} = k\vec{u}$ : tester si le rapport
coordonnée par coordonnée est constant ($\frac{-4}{2} =
\frac{2}{-1} = \frac{-6}{3} = -2$). Outil numéro un pour
alignement et parallélisme.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Oui : $\vec{v} = -2\,\vec{u}$

]]> Bonne réponse : chaque coordonnée de $\vec{v}$ vaut
$-2$ fois celle de $\vec{u}$ : le même coefficient
partout, c'est la définition en actes.

]]> Non : leurs coordonnées ne sont pas égales

]]> Critère trop fort : la colinéarité demande la
proportionnalité des coordonnées, pas leur égalité.

]]> Non : ils ne sont pas de même sens

]]> Erreur : la colinéarité accepte les deux sens : $k = -2$
négatif donne des vecteurs opposés mais bien
colinéaires.

]]> On ne peut pas le savoir sans repère orthonormé

]]> Erreur : la colinéarité est une affaire de
proportionnalité, lisible dans n'importe quel repère
(l'orthonormé ne sert qu'aux longueurs et angles).

]]> Vecteurs, droites et plans de l'espace — Q16 : Lire des coordonnées dans une base Dans une base $(\vec{i}\ ;\ \vec{j}\ ;\ \vec{k})$ de
l'espace, on a $\vec{w} = 3\vec{i} - \vec{k}$. Quelles sont
les coordonnées de $\vec{w}$ ?

]]> Coordonnées = coefficients dans la décomposition $\vec{w} =
x\vec{i} + y\vec{j} + z\vec{k}$, dans l'ordre de la base,
zéros compris. La base garantit existence et unicité de
cette écriture.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $(3\ ;\ 0\ ;\ -1)$

]]> Bonne réponse : les coordonnées sont les coefficients de
la décomposition : $3$ sur $\vec{i}$, $0$ sur $\vec{j}$
(absent), $-1$ sur $\vec{k}$.

]]> $(3\ ;\ -1)$

]]> Dimension : dans l'espace, trois coordonnées toujours :
l'absence de $\vec{j}$ se code par un $0$, elle ne
supprime pas la coordonnée.

]]> $(3\ ;\ -1\ ;\ 0)$

]]> Ordre : le $-1$ porte sur $\vec{k}$, troisième
vecteur : le zéro est en deuxième position.

]]> $(0\ ;\ 3\ ;\ -1)$

]]> Décalage : le coefficient de $\vec{i}$ ($3$) ouvre le
triplet.

]]> Vecteurs, droites et plans de l'espace — Q17 : Tester la coplanarité de trois vecteurs Comment vérifier que $\vec{w}$ est coplanaire à $\vec{u}$ et
$\vec{v}$ (non colinéaires) ?

]]> $\vec{w}$ coplanaire à $(\vec{u}\ ;\ \vec{v})$ non
colinéaires $\iff \vec{w} = a\vec{u} + b\vec{v}$. En
pratique : poser le système $3 \times 2$ ; deux équations
déterminent $(a\ ;\ b)$, la troisième valide ou réfute.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Chercher des réels $a$ et $b$ tels que $\vec{w} =
a\vec{u} + b\vec{v}$ (système sur les coordonnées)

]]> Bonne réponse : coplanaire = combinaison linéaire des
deux autres : trois équations (une par coordonnée), deux
inconnues : s'il y a une solution, coplanarité.

]]> Vérifier que $\vec{w} = \vec{u} + \vec{v}$ exactement

]]> Trop restrictif : la somme est UNE combinaison
particulière ($a = b = 1$) : la coplanarité autorise
tous les coefficients.

]]> Vérifier que les trois vecteurs ont une coordonnée nulle
commune

]]> Faux critère : il caractérise les plans de
coordonnées seulement : un plan quelconque n'aligne
aucun zéro.

]]> C'est automatique : trois vecteurs de l'espace sont
toujours coplanaires

]]> Faux : $(\vec{i}\ ;\ \vec{j}\ ;\ \vec{k})$ n'est pas
coplanaire (c'est même une base !). La coplanarité est
une vraie contrainte.

]]> Vecteurs, droites et plans de l'espace — Q18 : Construire un point par égalité vectorielle Soient $A(1\ ;\ 0\ ;\ 2)$, $B(2\ ;\ 1\ ;\ 0)$ et
$C(0\ ;\ 3\ ;\ 1)$. Quelles sont les coordonnées du point
$M$ défini par $\overrightarrow{AM} = 2\overrightarrow{AB} -
\overrightarrow{AC}$ ?

]]> Méthode en trois temps : coordonnées des vecteurs
($B - A$, $C - A$), combinaison, puis $M = A +
\overrightarrow{AM}$ : l'oubli du retour au point (ajouter
$A$) est l'erreur signature de l'exercice.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $M(4\ ;\ -1\ ;\ -1)$

]]> Bonne réponse : $\overrightarrow{AB}(1\ ;\ 1\ ;\ -2)$,
$\overrightarrow{AC}(-1\ ;\ 3\ ;\ -1)$, donc
$\overrightarrow{AM}(3\ ;\ -1\ ;\ -3)$ et $M = A +
\overrightarrow{AM} = (4\ ;\ -1\ ;\ -1)$.

]]> $M(3\ ;\ -1\ ;\ -3)$

]]> Dernière étape sautée : $(3\ ;\ -1\ ;\ -3)$ sont les
coordonnées du vecteur $\overrightarrow{AM}$ : il
reste à les ajouter à celles de $A$.

]]> $M(4\ ;\ 2\ ;\ -2)$

]]> Vecteur $\overrightarrow{AC}$ non soustrait :
l'égalité retranche $\overrightarrow{AC}$, elle ne
l'ajoute pas.

]]> $M(2\ ;\ 2\ ;\ -4)$

]]> Erreur : c'est $2\overrightarrow{AB}$ seul (transformé
en point depuis l'origine) : il manque $A$ et le terme
$-\overrightarrow{AC}$.

]]>