$course$/QCM de maths/Automatismes du collège/Pythagore et trigonométrie Théorème de Pythagore, sa réciproque, et trigonométrie du triangle
rectangle : cosinus, sinus, tangente, longueurs et angles.

]]> Pythagore et trigonométrie — Q01 : Reconnaître l'hypoténuse Le triangle ABC est rectangle en A. Quel côté est son hypoténuse ?

]]> Dans un triangle rectangle, l'hypoténuse est le côté opposé à l'angle
droit. C'est toujours le plus long des trois côtés.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Le côté [BC], opposé à l'angle droit

]]> Bonne réponse : l'hypoténuse est le côté opposé à l'angle droit,
donc [BC] lorsque le triangle est rectangle en A.

]]> Le côté [AB], nommé en premier

]]> Erreur : l'ordre des lettres ne décide de rien. On repère l'angle
droit, en A, et l'hypoténuse est le côté opposé, [BC].

]]> Le côté [AC], qui porte l'angle droit

]]> Erreur : [AB] et [AC] forment l'angle droit. L'hypoténuse lui
fait face, c'est donc [BC].

]]> Le côté [AB], le plus court des trois

]]> Erreur : l'hypoténuse est au contraire le plus long des trois
côtés, et c'est ici [BC].

]]> Pythagore et trigonométrie — Q02 : Calculer l'hypoténuse Le triangle ABC est rectangle en A, avec AB = 3 cm et
AC = 4 cm. Combien mesure BC ?

]]> Théorème de Pythagore : dans un triangle rectangle en A, on a
BC² = AB² + AC². On additionne les carrés, puis on prend la
racine carrée de la somme.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc 1 cm

]]> Erreur : on n'ôte pas les longueurs, on ajoute leurs carrés. Le
calcul donne BC = 5 cm.

]]> 5 cm

]]> Bonne réponse : BC² = 3² + 4² = 25, donc
BC = 5 cm.

]]> 7 cm

]]> Erreur classique : on additionne les longueurs au lieu des carrés.
On a BC² = 25, donc BC = 5 cm.

]]> 25 cm

]]> Tu as trouvé BC² et tu t'es arrêté là. Il reste à prendre la
racine carrée : BC = 5 cm.

]]> Pythagore et trigonométrie — Q03 : Calculer un côté de l'angle droit Le triangle ABC est rectangle en A. On sait que BC = 5 cm et
AB = 3 cm. Combien mesure AC ?

]]> Quand l'hypoténuse est connue, on isole le côté cherché :
AC² = BC² - AB². On termine toujours par la racine carrée.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc 16 cm

]]> Tu as calculé AC² sans prendre la racine carrée. La longueur
cherchée vaut 4 cm.

]]> 4 cm

]]> Bonne réponse : AC² = 5² - 3² = 16, donc
AC = 4 cm.

]]> 8 cm

]]> Erreur : BC est l'hypoténuse, donc la plus grande longueur. On
retranche ici, et AC = 4 cm.

]]> 2 cm

]]> Erreur : la soustraction porte sur les carrés, pas sur les
longueurs. On obtient AC² = 16, puis AC = 4 cm.

]]> Pythagore et trigonométrie — Q04 : L'égalité de Pythagore Le triangle RST est rectangle en S. Quelle égalité est vraie ?

]]> On repère d'abord l'angle droit. Le côté qui lui est opposé est
l'hypoténuse, et son carré vaut la somme des carrés des deux autres
côtés.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc RS² = RT² + ST²

]]> Erreur : [RS] borde l'angle droit, ce n'est pas l'hypoténuse.
C'est RT² qui vaut la somme des deux autres.

]]> RT² = RS² + ST²

]]> Bonne réponse : l'angle droit est en S, donc l'hypoténuse est
[RT] et son carré vaut la somme des deux autres carrés.

]]> RT² = RS² × ST²

]]> Erreur : l'égalité de Pythagore additionne les carrés, elle ne les
multiplie jamais.

]]> ST² = RS² + RT²

]]> Erreur : [ST] borde lui aussi l'angle droit. L'hypoténuse est le
côté [RT], opposé au sommet S.

]]> Pythagore et trigonométrie — Q05 : Carré de l'hypoténuse Le triangle ABC est rectangle en A, avec AB = 2 et
AC = 3. Que vaut BC² ?

]]> Le carré de l'hypoténuse est la somme des carrés des deux autres
côtés. Attention : (a + b)² ne vaut pas a² + b².

]]> 1.0 0.0 0 true true abc 25

]]> Erreur fréquente : (2 + 3)² n'est pas 2² + 3². La
bonne somme des carrés vaut 13.

]]> 10

]]> Erreur : élever au carré n'est pas multiplier par 2. On obtient
13 et non 10.

]]> 13

]]> Bonne réponse : BC² = 2² + 3² = 13. On additionne
bien les carrés des deux côtés de l'angle droit.

]]> 5

]]> Erreur : on soustrait les carrés seulement quand on cherche un
côté de l'angle droit. Ici on les additionne : 13.

]]> Pythagore et trigonométrie — Q06 : Côté opposé à un angle Le triangle ABC est rectangle en A. Quel côté est opposé à
l'angle \widehat{ABC} ?

]]> Pour un angle aigu d'un triangle rectangle, le côté opposé est celui
qui ne touche pas son sommet, et le côté adjacent est celui qui le
touche sans être l'hypoténuse.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Le côté [AC]

]]> Bonne réponse : le côté opposé à \widehat{ABC} est celui qui ne
touche pas le sommet B, c'est [AC].

]]> Le côté [BC]

]]> Erreur : [BC] part aussi de B, et c'est même l'hypoténuse. Le
côté opposé est [AC].

]]> Aucun, car B est un sommet

]]> Erreur : chaque angle aigu d'un triangle rectangle possède bien un
côté opposé, ici [AC].

]]> Le côté [AB]

]]> Erreur : [AB] part du sommet B. Il est adjacent à l'angle, pas
opposé à lui.

]]> Pythagore et trigonométrie — Q07 : Écrire un cosinus Le triangle ABC est rectangle en A, avec AB = 3, AC = 4
et BC = 5. Que vaut \cos(\widehat{ABC}) ?

]]> Cosinus d'un angle aigu : côté adjacent divisé par hypoténuse. On
repère d'abord le sommet de l'angle, puis les deux côtés qui le
touchent.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc ⅗

]]> Bonne réponse : le cosinus est le quotient du côté adjacent par
l'hypoténuse, soit AB divisé par BC.

]]> ⅘

]]> C'est le sinus : AC est le côté opposé à \widehat{ABC}, pas le
côté adjacent.

]]> ¾

]]> C'est un quotient de deux côtés de l'angle droit, donc l'inverse
de la tangente, pas le cosinus.

]]> 5/3

]]> Quotient inversé : l'hypoténuse est au dénominateur, jamais au
numérateur.

]]> Pythagore et trigonométrie — Q08 : Écrire un sinus Le triangle ABC est rectangle en A, avec AB = 5, AC = 12
et BC = 13. Que vaut \sin(\widehat{ABC}) ?

]]> Sinus d'un angle aigu : côté opposé divisé par hypoténuse. Comme
l'hypoténuse est le plus grand côté, ce quotient est toujours
inférieur à 1.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc 13/12

]]> Quotient inversé : l'hypoténuse reste au dénominateur, sinon le
résultat dépasserait 1.

]]> 12/13

]]> Bonne réponse : le sinus est le quotient du côté opposé par
l'hypoténuse, soit AC divisé par BC.

]]> 12/5

]]> C'est la tangente : elle compare les deux côtés de l'angle droit,
sans faire intervenir l'hypoténuse.

]]> 5/13

]]> C'est le cosinus : AB touche le sommet B, c'est le côté
adjacent et non le côté opposé.

]]> Pythagore et trigonométrie — Q09 : Écrire une tangente Le triangle ABC est rectangle en A, avec AB = 3, AC = 4
et BC = 5. Que vaut \tan(\widehat{ABC}) ?

]]> Tangente d'un angle aigu : côté opposé divisé par côté adjacent.
C'est le seul des trois quotients qui ignore l'hypoténuse.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc ¾

]]> Quotient inversé : le côté opposé va au numérateur, le côté
adjacent au dénominateur.

]]> ⅗

]]> C'est le cosinus : là encore l'hypoténuse apparaît, ce qui exclut
la tangente.

]]> ⅘

]]> C'est le sinus : la tangente n'utilise jamais l'hypoténuse dans
son écriture.

]]> 4/3

]]> Bonne réponse : la tangente est le quotient du côté opposé par le
côté adjacent, soit AC divisé par AB.

]]> Pythagore et trigonométrie — Q10 : La formule du cosinus Dans un triangle rectangle, quelle égalité définit le cosinus d'un
angle aigu ?

]]> Les trois quotients à retenir : cosinus adjacent sur hypoténuse,
sinus opposé sur hypoténuse, tangente opposé sur adjacent.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc cos = opposé/adjacent

]]> Confusion avec la tangente, seul quotient qui n'utilise pas
l'hypoténuse.

]]> cos = opposé/hypoténuse

]]> Confusion avec le sinus, qui est le quotient du côté opposé par
l'hypoténuse.

]]> cos = hypoténuse/adjacent

]]> Quotient inversé : ainsi écrit, le résultat dépasserait 1, ce
qui est impossible pour un cosinus.

]]> cos = adjacent/hypoténuse

]]> Bonne réponse : le cosinus compare le côté adjacent à
l'hypoténuse.

]]> Pythagore et trigonométrie — Q11 : Conclure avec la réciproque Dans un triangle ABC, on constate que BC² = AB² + AC². Que
peut-on en conclure ?

]]> Réciproque du théorème de Pythagore : si le carré du plus grand côté
est égal à la somme des carrés des deux autres, le triangle est
rectangle, et l'angle droit est opposé à ce plus grand côté.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Le triangle est isocèle de sommet A

]]> Erreur : l'égalité porte sur des carrés, elle ne dit rien de
l'égalité de deux côtés.

]]> Le triangle est rectangle en A

]]> Bonne réponse : l'égalité désigne [BC] comme hypoténuse, donc
l'angle droit est au sommet opposé, en A.

]]> Le triangle est rectangle en B

]]> Erreur : le sommet de l'angle droit est celui qui ne touche pas
l'hypoténuse [BC], c'est donc A.

]]> Le triangle est rectangle en C

]]> Erreur : C est une extrémité de [BC], donc un sommet de
l'hypoténuse, pas celui de l'angle droit.

]]> Pythagore et trigonométrie — Q12 : Diagonale d'un rectangle Un rectangle mesure 4 cm de longueur et 3 cm de largeur.
Combien mesure sa diagonale ?

]]> Une diagonale de rectangle partage la figure en deux triangles
rectangles dont elle est l'hypoténuse. Pythagore s'applique
directement.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc 7 cm

]]> Erreur : on additionne les carrés, pas les longueurs. La diagonale
mesure 5 cm.

]]> 2{,}6 cm

]]> Erreur : la diagonale est l'hypoténuse, donc on additionne les
carrés au lieu de les soustraire.

]]> 5 cm

]]> Bonne réponse : la diagonale est l'hypoténuse d'un triangle
rectangle de côtés 4 et 3, donc elle vaut 5 cm.

]]> 25 cm

]]> C'est le carré de la diagonale. Il reste à en prendre la racine
carrée pour trouver 5 cm.

]]> Pythagore et trigonométrie — Q13 : Échelle contre un mur Une échelle de 13 m est appuyée contre un mur, son pied posé à
5 m du mur. À quelle hauteur touche-t-elle le mur ?

]]> Le mur, le sol et l'échelle forment un triangle rectangle dont
l'échelle est l'hypoténuse. On retranche donc les carrés.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc 144 m

]]> C'est le carré de la hauteur. Sa racine carrée donne la réponse :
12 m.

]]> 8 m

]]> Erreur : la soustraction se fait sur les carrés, pas sur les
longueurs. La hauteur vaut 12 m.

]]> 12 m

]]> Bonne réponse : l'échelle est l'hypoténuse, donc la hauteur vérifie
13² - 5² = 144, d'où 12 m.

]]> 18 m

]]> Erreur : la hauteur atteinte est forcément plus petite que
l'échelle, qui est l'hypoténuse.

]]> Pythagore et trigonométrie — Q14 : Hypoténuse arrondie Le triangle ABC est rectangle en A, avec AB = 5 cm et
AC = 7 cm. Combien mesure BC, arrondi au dixième ?

]]> Quand la somme des carrés n'est pas un carré parfait, on garde la
valeur affichée par la calculatrice et on arrondit à la précision
demandée.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc 8{,}6 cm

]]> Bonne réponse : BC² = 74, et la racine carrée arrondie au
dixième donne 8{,}6 cm.

]]> 12 cm

]]> Erreur : on ajoute les carrés, pas les longueurs. On trouve
8{,}6 cm.

]]> 74 cm

]]> C'est BC². La racine carrée reste à prendre, ce qui donne
8{,}6 cm.

]]> 4{,}9 cm

]]> Erreur : BC est l'hypoténuse, donc on additionne les carrés au
lieu de les soustraire.

]]> Pythagore et trigonométrie — Q15 : Longueur par le cosinus Le triangle ABC est rectangle en A. L'angle \widehat{ABC}
mesure 37° et l'hypoténuse BC mesure 15 cm. On donne
\cos(37°) \approx 0{,}8 et \sin(37°) \approx 0{,}6.
Combien mesure AB ?

]]> Quand l'hypoténuse et un angle aigu sont connus, le côté adjacent
s'obtient en multipliant l'hypoténuse par le cosinus de cet angle.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc 9 cm

]]> Confusion des deux quotients : le sinus donne le côté opposé
[AC], alors que [AB] est le côté adjacent.

]]> 12 cm

]]> Bonne réponse : [AB] est le côté adjacent, donc
AB = BC × cos(37°) = 12 cm.

]]> 18{,}8 cm

]]> Erreur : on multiplie l'hypoténuse par le cosinus. Diviser
donnerait une longueur plus grande que l'hypoténuse.

]]> 25 cm

]]> Double erreur : mauvais quotient choisi, et division au lieu d'une
multiplication.

]]> Pythagore et trigonométrie — Q16 : Longueur par la tangente Le triangle ABC est rectangle en A. L'angle \widehat{ABC}
mesure 37° et AB = 8 cm. On donne
\tan(37°) \approx 0{,}75. Combien mesure AC ?

]]> La tangente relie les deux côtés de l'angle droit. Connaissant le
côté adjacent, on obtient le côté opposé en le multipliant par la
tangente de l'angle.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc 10{,}7 cm

]]> Quotient inversé : AC est au numérateur de la tangente, donc on
multiplie AB au lieu de diviser.

]]> 7{,}25 cm

]]> Erreur : la tangente n'est pas une longueur à retrancher, c'est un
quotient de deux côtés.

]]> 8{,}75 cm

]]> Erreur : la tangente est un facteur multiplicatif, on ne l'ajoute
pas à la longueur connue.

]]> 6 cm

]]> Bonne réponse : tan(37°) = AC/AB, donc
AC = 8 \times 0{,}75 = 6 cm.

]]> Pythagore et trigonométrie — Q17 : Longueur par le sinus Le triangle ABC est rectangle en A. L'angle \widehat{ABC}
mesure 30° et l'hypoténuse BC mesure 14 cm. On donne
\sin(30°) \approx 0{,}5 et \cos(30°) \approx 0{,}87.
Combien mesure AC ?

]]> Connaissant l'hypoténuse et un angle aigu, le côté opposé s'obtient
en multipliant l'hypoténuse par le sinus de cet angle.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc 12{,}18 cm

]]> Confusion des deux quotients : le cosinus donne le côté adjacent
[AB], pas le côté opposé [AC].

]]> 16{,}1 cm

]]> Double erreur : mauvais quotient choisi, et division au lieu d'une
multiplication.

]]> 7 cm

]]> Bonne réponse : [AC] est le côté opposé à \widehat{ABC}, donc
AC = BC × sin(30°) = 7 cm.

]]> 28 cm

]]> Erreur : on multiplie l'hypoténuse par le sinus. Le résultat doit
rester plus petit que l'hypoténuse.

]]> Pythagore et trigonométrie — Q18 : Égalité qui donne l'angle Le triangle ABC est rectangle en A, avec AB = 3 cm et
BC = 5 cm. Quelle égalité permet de calculer \widehat{ABC} ?

]]> Pour retrouver un angle, on choisit le quotient qui n'utilise que les
deux longueurs connues, puis la touche cos⁻¹ de la calculatrice.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc \cos(\widehat{ABC}) = \dfrac{3}{5}

]]> Bonne réponse : les deux longueurs connues sont le côté adjacent
et l'hypoténuse, ce qui est exactement le cosinus.

]]> \cos(\widehat{ABC}) = \dfrac{5}{3}

]]> Quotient inversé : l'hypoténuse reste au dénominateur, sinon le
cosinus dépasserait 1.

]]> \sin(\widehat{ABC}) = \dfrac{3}{5}

]]> Erreur : [AB] touche le sommet B, c'est le côté adjacent. Le
sinus utiliserait [AC].

]]> \tan(\widehat{ABC}) = \dfrac{3}{5}

]]> Erreur : la tangente ne fait jamais intervenir l'hypoténuse, or
[BC] en est une.

]]> Pythagore et trigonométrie — Q19 : Triangle non rectangle Un triangle a pour côtés 6 cm, 8 cm et 11 cm. Est-il rectangle ?

]]> On calcule à part le carré du plus grand côté et la somme des carrés
des deux autres. S'ils diffèrent, le triangle n'est pas rectangle.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Oui, car 6 + 8 = 14 dépasse la longueur 11

]]> Cette comparaison dit seulement que le triangle existe. Elle ne
renseigne pas sur la présence d'un angle droit.

]]> Oui, car 6² + 8² = 100 et 11² = 100

]]> Erreur de calcul : 11² = 121, et non 100. L'égalité échoue.

]]> Non, car 6 + 8 = 14 n'est pas égal à 11

]]> La conclusion est juste mais la raison est fausse : la réciproque
compare des carrés, pas des longueurs.

]]> Non, car 6² + 8² = 100 et 11² = 121

]]> Bonne réponse : les deux nombres diffèrent, donc l'égalité de
Pythagore n'est pas vérifiée et le triangle n'est pas rectangle.

]]> Pythagore et trigonométrie — Q20 : Repérer un triplet Parmi ces triplets de longueurs, lequel donne un triangle rectangle ?

]]> On teste toujours l'égalité sur le plus grand côté. Les triplets
3, 4, 5 et 5, 12, 13 et leurs multiples reviennent sans
cesse.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc 6, 9 et 12

]]> Erreur : 36 + 81 = 117, alors que 12² = 144. Multiplier
3, 4, 5 par 3 donnerait 9, 12, 15.

]]> 9, 12 et 15

]]> Bonne réponse : 81 + 144 = 225, qui est bien 15². C'est le
triplet 3, 4, 5 multiplié par 3.

]]> 10, 12 et 16

]]> Erreur : 100 + 144 = 244, alors que 16² = 256. L'égalité
n'est pas vérifiée.

]]> 5, 7 et 9

]]> Erreur : 25 + 49 = 74, alors que 9² = 81. Le triangle existe
mais n'a pas d'angle droit.

]]> Pythagore et trigonométrie — Q21 : Périmètre d'un triangle rectangle Un triangle rectangle a pour côtés de l'angle droit 9 cm et
12 cm. Quel est son périmètre ?

]]> Le périmètre est la somme des trois côtés. Il faut donc d'abord
calculer l'hypoténuse par le théorème de Pythagore.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc 36 cm

]]> Bonne réponse : l'hypoténuse vaut 15 cm, donc le périmètre est
9 + 12 + 15 = 36 cm.

]]> 21 cm

]]> Il manque l'hypoténuse : elle mesure 15 cm et fait partie du
contour.

]]> 54 cm

]]> C'est l'aire du triangle, pas son périmètre. Le périmètre est la
somme des trois longueurs.

]]> 42 cm

]]> Erreur : on a compté deux fois les côtés de l'angle droit, comme
pour un rectangle. Un triangle n'a que trois côtés.

]]> Pythagore et trigonométrie — Q22 : Angle et deux côtés de l'angle droit Le triangle ABC est rectangle en A, avec AB = 4 cm et
AC = 7 cm. Quelle égalité permet de calculer \widehat{ABC} ?

]]> Le choix du quotient dépend des longueurs connues. Deux côtés de
l'angle droit conduisent toujours à la tangente.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc \cos(\widehat{ABC}) = \dfrac{7}{4}

]]> Erreur : le cosinus exige l'hypoténuse [BC], qui n'est pas
connue ici.

]]> \tan(\widehat{ABC}) = \dfrac{7}{4}

]]> Bonne réponse : les deux longueurs connues bordent l'angle droit,
c'est donc la tangente qu'il faut utiliser.

]]> \sin(\widehat{ABC}) = \dfrac{7}{4}

]]> Erreur : le sinus exige lui aussi l'hypoténuse, absente des
données.

]]> \tan(\widehat{ABC}) = \dfrac{4}{7}

]]> Quotient inversé : le côté opposé [AC] va au numérateur, le côté
adjacent [AB] au dénominateur.

]]> Pythagore et trigonométrie — Q23 : Somme à comparer Pour savoir si le triangle de côtés 5 cm, 6 cm et 8 cm
est rectangle, on compare 8² à la somme des carrés des deux
autres côtés. Que vaut cette somme ?

]]> La réciproque se teste en deux calculs séparés : la somme des carrés
des deux petits côtés d'une part, le carré du plus grand d'autre
part.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc 30

]]> Erreur : les carrés s'additionnent, ils ne se remplacent pas par
le produit des deux longueurs.

]]> 121

]]> Erreur classique : on a calculé (5 + 6)² au lieu de
5² + 6², qui vaut 61.

]]> 61

]]> Bonne réponse : 5² + 6² = 61. Comme 8² = 64,
les deux nombres diffèrent et le triangle n'est pas rectangle.

]]> 64

]]> C'est le carré du plus grand côté, l'autre membre de la
comparaison. La somme demandée vaut 61.

]]> Pythagore et trigonométrie — Q24 : Cosinus sous forme irréductible Le triangle ABC est rectangle en A, avec AB = 10, AC = 24
et BC = 26. Quel est \cos(\widehat{ABC}) sous forme
irréductible ?

]]> On écrit d'abord le quotient adjacent sur hypoténuse, puis on
simplifie la fraction par le plus grand diviseur commun.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc 5/13

]]> Bonne réponse : le cosinus vaut 10/26, que l'on
simplifie pour obtenir 5/13.

]]> 5/12

]]> C'est l'inverse de la tangente : ce quotient ne fait pas
intervenir l'hypoténuse.

]]> 12/13

]]> C'est le sinus : [AC] est le côté opposé à \widehat{ABC}, pas
le côté adjacent.

]]> 13/5

]]> Quotient inversé : un cosinus d'angle aigu reste inférieur à 1,
ce qui n'est pas le cas ici.

]]> Pythagore et trigonométrie — Q25 : Repérer l'hypoténuse avant de calculer Le triangle RST est rectangle en S. On donne RS = 5 cm et
RT = 13 cm. Combien mesure ST ?

]]> Avant tout calcul, on repère le sommet de l'angle droit : le côté
opposé est l'hypoténuse. On additionne ou on retranche les carrés
selon que l'inconnue est cette hypoténuse ou non.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc 8 cm

]]> Erreur : la soustraction porte sur les carrés, jamais directement
sur les longueurs.

]]> 13{,}9 cm

]]> Piège évité de justesse : [RT] est déjà l'hypoténuse, on
retranche donc les carrés au lieu de les additionner.

]]> 18 cm

]]> Erreur : [ST] borde l'angle droit, il est donc plus court que
l'hypoténuse [RT].

]]> 12 cm

]]> Bonne réponse : l'angle droit est en S, donc [RT] est
l'hypoténuse et ST² = 13² - 5², d'où 12 cm.

]]> Pythagore et trigonométrie — Q26 : Une tangente plus grande que 1 Dans un triangle rectangle, la tangente d'un angle aigu peut-elle
valoir 2{,}5 ?

]]> Sinus et cosinus d'un angle aigu sont toujours inférieurs à 1 parce
qu'ils se comparent à l'hypoténuse. La tangente, elle, n'a pas de
limite supérieure.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Oui, mais uniquement pour un angle de 45°

]]> Erreur : à 45° la tangente vaut exactement 1. Elle dépasse
1 pour tout angle plus grand.

]]> Oui, si le côté opposé dépasse l'adjacent

]]> Bonne réponse : la tangente compare les deux côtés de l'angle
droit, et ce quotient peut dépasser 1.

]]> Non, seul un angle obtus donnerait cela

]]> Erreur : un triangle rectangle possède un angle droit et deux
angles aigus, jamais d'angle obtus.

]]> Non, une tangente reste toujours plus petite que 1

]]> Confusion avec le sinus et le cosinus : eux se comparent à
l'hypoténuse, donc restent inférieurs à 1.

]]> Pythagore et trigonométrie — Q27 : Retrouver l'hypoténuse Le triangle ABC est rectangle en A. L'angle \widehat{ABC}
mesure 30° et le côté AC mesure 7 cm. On donne
\sin(30°) \approx 0{,}5 et \cos(30°) \approx 0{,}87.
Combien mesure BC, arrondi au dixième ?

]]> Quand l'inconnue se trouve au dénominateur du quotient, on divise la
longueur connue par le sinus ou le cosinus de l'angle. Le résultat
doit rester cohérent : l'hypoténuse est le plus grand côté.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc 3{,}5 cm

]]> Piège de l'inconnue au dénominateur : ici on divise, car
l'hypoténuse est plus grande que le côté opposé.

]]> 8 cm

]]> Mauvais quotient : [AC] est le côté opposé à \widehat{ABC},
c'est donc le sinus qui intervient.

]]> 14 cm

]]> Bonne réponse : sin(30°) = AC/BC, donc
BC = 7 \div 0{,}5 \approx 14 cm.

]]> 6{,}09 cm

]]> Double erreur : mauvais quotient, et multiplication au lieu d'une
division.

]]> Pythagore et trigonométrie — Q28 : Aire d'un triangle rectangle Le triangle ABC est rectangle en A. Son hypoténuse BC mesure
10 cm et AB = 6 cm. Quelle est son aire ?

]]> Dans un triangle rectangle, les deux côtés de l'angle droit jouent le
rôle de base et de hauteur. Il faut donc calculer le côté manquant
avant de diviser le produit par 2.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc 40 cm²

]]> Erreur : [BC] et [AC] ne forment pas l'angle droit, ils ne
peuvent pas servir de base et de hauteur.

]]> 24 cm²

]]> Bonne réponse : AC = 8 cm, et l'aire vaut
6 × 8/2 = 24 cm².

]]> 30 cm²

]]> Piège : l'hypoténuse n'est pas une hauteur du triangle. Les deux
côtés de l'angle droit sont 6 et 8.

]]> 48 cm²

]]> Erreur : c'est l'aire du rectangle correspondant. Celle du
triangle en est la moitié, soit 24 cm².

]]> Pythagore et trigonométrie — Q29 : Un cosinus impossible Un élève trouve \cos(\widehat{ABC}) = 1{,}25 dans un triangle
rectangle. Pourquoi est-ce impossible ?

]]> Le cosinus et le sinus d'un angle aigu sont des quotients dont le
dénominateur, l'hypoténuse, est le plus grand côté. Ils restent donc
compris entre 0 et 1.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Le cosinus ne concerne que les angles de 30°

]]> Erreur : le cosinus se définit pour tous les angles aigus, pas
seulement pour quelques valeurs remarquables.

]]> Le cosinus d'un angle aigu est toujours négatif

]]> Erreur : un cosinus d'angle aigu est positif. Ce qui cloche ici,
c'est qu'il dépasse 1.

]]> L'adjacent est plus court que l'hypoténuse

]]> Bonne réponse : ce quotient est donc inférieur à 1. L'élève a
sans doute inversé le numérateur et le dénominateur.

]]> Un quotient de longueurs n'est jamais décimal

]]> Erreur : un quotient de longueurs est très souvent décimal, comme
0{,}8. Le problème est qu'il dépasse 1.

]]> Pythagore et trigonométrie — Q30 : Diagonale d'un carré Un carré a pour côté 5 cm. Combien mesure sa diagonale, arrondie
au dixième ?

]]> La diagonale d'un carré est l'hypoténuse d'un triangle rectangle dont
les deux côtés de l'angle droit valent le côté du carré. Son carré
vaut donc le double du carré du côté.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc 50 cm

]]> C'est le carré de la diagonale. Sa racine carrée donne 7{,}1
cm.

]]> 10 cm

]]> Erreur : la diagonale ne vaut pas deux côtés. Elle est plus courte
que le chemin qui longe deux côtés.

]]> 7{,}1 cm

]]> Bonne réponse : la diagonale vérifie d² = 5² + 5² = 50, donc d \approx 7{,}1 cm.

]]> 7{,}5 cm

]]> Erreur : aucune règle ne donne la diagonale en ajoutant la moitié
du côté. Il faut passer par Pythagore.

]]> Pythagore et trigonométrie — Q31 : Le côté à isoler Pour savoir si un triangle dont les côtés mesurent 5 cm, 6 cm
et 8 cm est rectangle, quel côté doit-on mettre au carré seul ?

]]> Avant d'appliquer la réciproque, on repère le plus grand côté : on
compare son carré à la somme des carrés des deux autres.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Le plus petit, 5 cm, pour simplifier le calcul

]]> Erreur : le plus petit côté ne peut pas être l'hypoténuse, qui
est le plus grand des trois.

]]> Les trois, chacun à son tour, pour être sûr

]]> Erreur : un seul test suffit, avec le plus grand côté isolé.

]]> Le plus grand, 8 cm, seule hypoténuse possible

]]> Bonne réponse : l'hypoténuse est toujours le plus grand côté ;
on compare donc 8² à 5² + 6².

]]> N'importe lequel, le résultat ne change pas

]]> Erreur : 5² + 8² et 5² + 6² ne donnent pas le même
test ; seul le plus grand côté joue le rôle de l'hypoténuse.

]]> Pythagore et trigonométrie — Q32 : Un triangle à côtés entiers Un triangle a pour côtés 5 cm, 12 cm et 13 cm. Est-il
rectangle ?

]]> Si le carré du plus grand côté est égal à la somme des carrés des
deux autres, le triangle est rectangle : c'est la réciproque du
théorème de Pythagore.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Non, car (5 + 12)² = 289 ≠ 13²

]]> Erreur : il faut ajouter les carrés, 5² + 12², pas élever
la somme au carré.

]]> Oui, car 5² + 12² = 169 = 13²

]]> Bonne réponse : 5² + 12² = 169 et 13² = 169 ;
l'égalité est vérifiée, donc le triangle est rectangle, l'angle
droit étant opposé au côté de 13 cm.

]]> Non, car 5 + 12 ≠ 13

]]> Erreur : la réciproque de Pythagore compare des carrés, pas
les longueurs elles-mêmes.

]]> On ne peut pas savoir sans mesurer les angles

]]> Erreur : la réciproque du théorème de Pythagore permet de
conclure à partir des seules longueurs.

]]> Pythagore et trigonométrie — Q33 : Un triplet agrandi Le triangle de côtés 3 cm, 4 cm et 5 cm est rectangle. Le
triangle de côtés 6 cm, 8 cm et 10 cm l'est-il aussi ?

]]> Multiplier les trois côtés par un même nombre conserve l'égalité de
Pythagore : les multiples d'un triplet rectangle sont rectangles.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc On ne peut pas savoir sans connaître les angles

]]> Erreur : les longueurs suffisent, par la réciproque de
Pythagore.

]]> Non, car seul le triangle 3, 4, 5 est rectangle

]]> Erreur : tout agrandissement d'un triangle rectangle est encore
rectangle ; les angles ne changent pas.

]]> Oui, car 6² + 8² = 100 = 10²

]]> Bonne réponse : les côtés ont tous été multipliés par 2 ;
l'égalité de Pythagore reste vraie, chaque carré étant multiplié
par 2².

]]> Non, car 6 + 8 ≠ 10

]]> Erreur : le test porte sur les carrés des longueurs.

]]> Pythagore et trigonométrie — Q34 : Théorème ou réciproque Dans quelle situation utilise-t-on la réciproque du théorème de
Pythagore ?

]]> Théorème : de l'angle droit vers les longueurs. Réciproque : des
longueurs vers l'angle droit. Le sens de l'implication change.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc On connaît deux angles et on cherche le troisième

]]> Erreur : cela relève de la somme des angles d'un triangle, pas de
Pythagore.

]]> On connaît un côté et un angle aigu, on cherche un autre côté

]]> Erreur : c'est la trigonométrie qui relie un angle aigu et deux
côtés.

]]> On connaît les trois côtés et on cherche si un angle est droit

]]> Bonne réponse : la réciproque part de l'égalité entre les
carrés des côtés pour conclure que le triangle est rectangle.

]]> On connaît l'angle droit et deux côtés, on cherche le troisième

]]> Erreur : c'est le théorème direct, qui part de l'angle droit
pour calculer une longueur.

]]>