$course$/QCM de maths/Maths complémentaires/Fonctions convexes Dérivée seconde, convexité définie par la position relative de
la courbe et de ses sécantes (équivalences admises : position
par rapport aux tangentes, croissance de f', positivité de
f''), concavité, points d'inflexion, lectures graphiques et
applications (courbe de Lorenz).

]]> Fonctions convexes — Q01 : Convexité et sécantes Comment la convexité d'une fonction sur un intervalle
est-elle définie au programme ?

]]> Définition du programme : f convexe sur I si sa courbe
est sous ses sécantes ; équivalences admises (pour f
dérivable) : courbe au-dessus de ses tangentes, f'
croissante, f'' ≥ 0.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Sa courbe est en dessous de chacune de ses sécantes
(cordes) sur l'intervalle

]]> Bonne réponse : entre deux points de la courbe, le
segment qui les joint passe au-dessus de la courbe :
définition par les sécantes.

]]> Sa courbe est au-dessus de ses sécantes

]]> Inversé : la courbe au-dessus de ses cordes caractérise
la concavité (bombée vers le haut).

]]> La fonction est croissante

]]> Erreur : la convexité parle de la courbure, pas du
sens : e⁻ˣ est décroissante et convexe.

]]> La fonction est positive

]]> Erreur : aucun lien : x² - 10 est convexe et prend
des valeurs négatives.

]]> Fonctions convexes — Q02 : Critère de la dérivée seconde Soit f(x) = x³ sur ℝ, de dérivée seconde
f''(x) = 6x. Sur quel intervalle f est-elle convexe ?

]]> Critère pratique (admis) : f'' ≥ 0 sur I
⇔ f convexe sur I. Pour x³ :
concave puis convexe, avec bascule en 0.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Sur [0 ; +∞[, car f''(x) ≥ 0 y est vérifié

]]> Bonne réponse : 6x ≥ 0 ⇔ x ≥ 0 :
convexe à droite de l'origine, concave à gauche.

]]> Sur ℝ tout entier

]]> Erreur : pour x < 0, f''(x) = 6x < 0 : la courbe y
est concave (bombée vers le haut).

]]> Sur ]-∞ ; 0]

]]> Inversé : c'est l'intervalle de concavité
(f'' ≤ 0).

]]> Nulle part, car f change de signe

]]> Erreur : le signe de f est sans rapport ; seul le
signe de f'' décide de la convexité.

]]> Fonctions convexes — Q03 : Point d'inflexion Qu'est-ce qu'un point d'inflexion de la courbe de f ?

]]> Inflexion = changement de convexité. Signature graphique :
la tangente traverse la courbe. Signature analytique : f''
s'annule en changeant de signe.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Un point où la courbe change de convexité (la tangente y
traverse la courbe)

]]> Bonne réponse : la courbure bascule (convexe-concave ou
l'inverse) ; pour f deux fois dérivable, f'' s'y
annule en changeant de signe.

]]> Un point où la fonction atteint un extremum

]]> Erreur : l'extremum concerne f' (tangente
horizontale) ; l'inflexion concerne f'' (changement de
courbure).

]]> Un point où la courbe coupe l'axe des abscisses

]]> Erreur : couper l'axe est une affaire de signe de
f, pas de courbure.

]]> Un point où la tangente est verticale

]]> Erreur : la pente de la tangente n'est pas en cause :
au point d'inflexion, la tangente (de pente quelconque)
traverse la courbe.

]]> Fonctions convexes — Q04 : Lire la convexité sur une courbe [Figure : Repère orthonormé avec la courbe de f(x) = x³ - 3x : maximum
local en (-1 ; 2), minimum local en (1 ; -2), traversée de
l'origine. La courbe est bombée vers le haut à gauche de 0
(concave) et creusée vers le haut à droite (convexe).]

La courbe ci-dessous représente f(x) = x³ - 3x. Quelle
lecture de convexité est correcte ?

]]> Lecture attendue au programme : repérer les zones bombées
(concaves) et creusées (convexes) et leurs frontières (points
d'inflexion). Ici : bascule en (0 ; 0), cohérente avec
f''(x) = 6x.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Concave sur ]-∞ ; 0], convexe sur
[0 ; +∞[, inflexion à l'origine

]]> Bonne réponse : bombée à gauche (sous... au-dessus de
ses cordes), creusée à droite ; la bascule se fait en
0, où la tangente traverse la courbe.

]]> Convexe sur ]-∞ ; 0], concave sur
[0 ; +∞[

]]> Inversé : à droite de 0, la courbe « tient l'eau »
(creusée vers le haut) : c'est la convexité.

]]> Convexe partout, car la courbe monte à la fin

]]> Erreur : monter n'est pas être convexe. Entre -2 et
-1, la courbe monte en étant concave.

]]> Points d'inflexion en -1 et 1

]]> Confusion : -1 et 1 sont les extremums locaux
(tangentes horizontales). L'inflexion, unique, est à
l'origine.

]]> Fonctions convexes — Q05 : Convexité et tangentes Soit f dérivable et convexe sur un intervalle I. Comment
la courbe se place-t-elle par rapport à ses tangentes ?

]]> Pour f dérivable : convexe ⇔ courbe
au-dessus de ses tangentes ⇔ f' croissante
⇔ f'' ≥ 0 (équivalences admises).
Mémo : exp au-dessus, ln en dessous.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Au-dessus de chacune de ses tangentes

]]> Bonne réponse : équivalence admise au programme : courbe
sous les sécantes ⇔ au-dessus des
tangentes (pour une fonction dérivable).

]]> En dessous de ses tangentes

]]> Inversé : sous les tangentes, c'est la concavité
(pense au logarithme, toujours sous ses tangentes).

]]> Elle traverse chaque tangente

]]> Erreur : la traversée de la tangente n'arrive qu'aux
points d'inflexion, exclus d'un intervalle de
convexité stricte.

]]> Cela dépend du signe de f

]]> Erreur : la position courbe-tangentes ne dépend que de
la courbure, jamais du signe des valeurs.

]]> Fonctions convexes — Q06 : Convexité des fonctions de référence Parmi ces fonctions, laquelle est concave sur son
ensemble de définition ?

]]> Répertoire : convexes : x², eˣ, 1/x (sur
]0 ; +∞[) ; concave : ln x, √x. La
concavité du logarithme et de la racine dit le rendement
décroissant.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc x ↦ ln x

]]> Bonne réponse : (ln x)'' = -1/x² < 0 : le
logarithme est concave (courbe sous ses tangentes,
croissance qui s'essouffle).

]]> x ↦ eˣ

]]> Erreur : (eˣ)'' = eˣ > 0 : l'exponentielle est
convexe (croissance qui s'emballe).

]]> x ↦ x²

]]> Erreur : (x²)'' = 2 > 0 : la parabole est le prototype
de la convexité.

]]> x ↦ x

]]> Cas limite : une droite est à la fois convexe et
concave (au sens large), ses cordes étant confondues avec
elle ; elle n'est pas « la » concave typique attendue.

]]> Fonctions convexes — Q07 : Convexité et croissance de $f'$ Soit f dérivable sur I. Quelle propriété de f'
caractérise la convexité de f ?

]]> Lecture dynamique de la convexité : la pente augmente le
long de la courbe. Trois étages à ne pas mélanger : signe de
f (position), signe de f' (sens), croissance de f' ou
signe de f'' (courbure).

]]> 1.0 0.0 0 true true abc f' est croissante sur I

]]> Bonne réponse : la pente ne cesse d'augmenter : la
courbe « tourne vers le haut ». (D'où f'' ≥ 0 quand
f'' existe.)

]]> f' est positive sur I

]]> Erreur : f' > 0 donne la croissance de f, pas sa
convexité. Une pente peut être positive et diminuer
(concave croissante, comme ln).

]]> f' est constante sur I

]]> Erreur : pente constante = droite, le cas frontière.
La convexité (au sens large) demande une pente
croissante.

]]> f' s'annule au milieu de I

]]> Erreur : l'annulation de f' signale un extremum de
f, sans lien avec la courbure.

]]> Fonctions convexes — Q08 : Trouver un point d'inflexion par le calcul Soit f(x) = x³ - 6x² + 5x, avec f''(x) = 6x - 12. En
quelle abscisse la courbe admet-elle un point d'inflexion ?

]]> Méthode : résoudre f''(x) = 0 et vérifier le changement
de signe. 6x - 12 = 0 ⇒ x = 2, signe - puis
+ : inflexion en (2 ; f(2)) = (2 ; -6).

]]> 1.0 0.0 0 true true abc En x = 2 : f'' s'y annule en changeant de signe

]]> Bonne réponse : 6x - 12 < 0 avant 2, > 0 après :
concave puis convexe, inflexion en x = 2.

]]> En x = 12

]]> Erreur de résolution : 6x - 12 = 0 donne x = 2, pas
12.

]]> En x = 0, car f(0) = 0

]]> Erreur : l'annulation de f (passage par l'origine)
n'a rien à voir avec la courbure : on annule f''.

]]> Il n'y en a pas, car f'' s'annule

]]> Contresens : l'annulation avec changement de signe
est exactement la condition d'inflexion.

]]> Fonctions convexes — Q09 : Croissance qui s'essouffle La production f(t) d'une usine croît, mais de moins en
moins vite. Comment cela se traduit-il sur f' et f'' ?

]]> Traduire les phrases en dérivées : le sens (croît/décroît)
se lit sur f', l'allure de la vitesse (accélère/ralentit)
sur f''. « Croît de moins en moins vite » = croissante
concave.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc f' > 0 et f'' < 0 : croissante et concave

]]> Bonne réponse : « croît » : f' > 0 ; « de moins en
moins vite » : la pente diminue, f' décroît :
f'' < 0.

]]> f' > 0 et f'' > 0

]]> Erreur : f'' > 0 décrirait une croissance qui
s'accélère (convexe, type exponentielle).

]]> f' < 0 et f'' < 0

]]> Erreur : f' < 0 signifierait une production en
baisse. Elle croît : f' > 0.

]]> f' > 0 et f'' = 0

]]> Erreur : f'' = 0 partout donnerait une croissance
parfaitement linéaire (vitesse constante), pas un
essoufflement.

]]> Fonctions convexes — Q10 : La courbe de Lorenz Une courbe de Lorenz (répartition des richesses) relie
(0 ; 0) à (1 ; 1) : en abscisse la part cumulée de
la population, en ordonnée la part cumulée des richesses.
Quelles sont ses propriétés mathématiques ?

]]> Thème du programme (répartition des richesses) : la courbe
de Lorenz est croissante, convexe, de (0 ; 0) à
(1 ; 1), sous la diagonale. Plus elle s'incurve, plus la
répartition est inégalitaire (indice de Gini).

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Croissante et convexe, sous la bissectrice y = x

]]> Bonne réponse : les parts cumulées croissent, les plus
modestes détiennent moins que leur part (courbe sous la
diagonale), et l'accumulation s'accélère vers les plus
riches : convexité.

]]> Décroissante et concave

]]> Erreur : des parts cumulées ne peuvent que
croître ; et la bosse au-dessus de la diagonale n'a pas
de sens ici.

]]> Croissante et au-dessus de la bissectrice

]]> Erreur : au-dessus de y = x, les 20\ % les plus
modestes détiendraient plus de 20\ % des
richesses : contraire à la construction par ordre
croissant de richesse.

]]> Périodique

]]> Erreur : la courbe vit sur [0 ; 1] et ne se répète
pas : la périodicité n'a aucun sens ici.

]]> Fonctions convexes — Q11 : Utiliser la position sécante-courbe Soit f convexe sur [0 ; 4], avec f(0) = 1 et
f(4) = 9. Que peut-on dire de f(2) ?

]]> La définition par les sécantes fournit des inégalités
concrètes : pour f convexe, la valeur au milieu ne dépasse
pas la moyenne des valeurs aux bornes (f(2) ≤ f(0) + f(4)/2 = 5).

]]> 1.0 0.0 0 true true abc f(2) ≤ 5 : la courbe est sous la corde, qui vaut
5 au milieu

]]> Bonne réponse : la sécante joint (0 ; 1) à
(4 ; 9) et vaut 1 + 9/2 = 5 en x = 2 ;
la convexité place la courbe en dessous.

]]> f(2) = 5 exactement

]]> Erreur : l'égalité ne vaudrait que pour une fonction
affine. La convexité donne une inégalité :
f(2) ≤ 5.

]]> f(2) ≥ 5

]]> Inversé : au-dessus de la corde, ce serait la
concavité.

]]> On ne peut rien dire sur f(2)

]]> Erreur : la convexité est justement une information
quantitative : courbe sous la corde, donc
f(2) ≤ 5.

]]> Fonctions convexes — Q12 : Ne pas confondre les trois étages Soit f deux fois dérivable avec, en x = a : f(a) > 0,
f'(a) < 0 et f''(a) > 0. Comment la courbe se
comporte-t-elle près de a ?

]]> Les trois étages de lecture : f (position), f' (sens),
f'' (courbure), indépendants les uns des autres. f > 0,
f' < 0, f'' > 0 : décroissance amortie, l'allure de
e⁻ˣ.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Au-dessus de l'axe, en descente, dans une zone convexe
(la descente freine)

]]> Bonne réponse : trois informations indépendantes :
position haute (f > 0), pente négative (f' < 0),
courbure vers le haut (f'' > 0) : une descente qui
s'adoucit, typique d'une décroissance exponentielle.

]]> Sous l'axe, en montée

]]> Erreur : f(a) > 0 place le point au-dessus de
l'axe et f'(a) < 0 le met en descente.

]]> Au sommet d'une bosse

]]> Erreur : un sommet exigerait f'(a) = 0 et une
courbure vers le bas (f'' < 0).

]]> En un point d'inflexion

]]> Erreur : l'inflexion demanderait f''(a) = 0 avec
changement de signe ; ici f''(a) > 0 franchement.

]]>