$course$/QCM de maths/Maths complémentaires/Lois à densité Notion de loi à densité : probabilité représentée par une aire,
fonction de répartition x ↦ P(X ≤ x), espérance sous
forme d'intégrale, loi uniforme sur [0 ; 1] puis sur
[a ; b] (densité, espérance), loi exponentielle (densité,
espérance, absence de mémoire).

]]> Lois à densité — Q01 : Qu'est-ce qu'une densité de probabilité ? Quelles conditions une fonction f doit-elle remplir pour
être une densité de probabilité sur un intervalle I ?

]]> Densité : f ≥ 0 et aire totale = 1. Les probabilités
se lisent alors comme des aires : P(c ≤ X ≤ d) =
aire sous f entre c et d.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Être positive sur I, et l'aire totale sous sa courbe
sur I doit valoir 1

]]> Bonne réponse : positivité (les probabilités sont
positives) et aire totale 1 (l'événement certain).

]]> Être croissante et valoir 1 à droite

]]> Confusion : ces propriétés décrivent la fonction de
répartition P(X ≤ x), pas la densité.

]]> Être comprise entre 0 et 1

]]> Erreur : une densité peut dépasser 1 (par exemple la
densité uniforme sur [0\,;\,0{,}5] vaut 2) : c'est
l'aire qui est bornée par 1, pas la hauteur.

]]> Être continue et impaire

]]> Erreur : l'imparité forcerait des valeurs négatives ;
aucune symétrie n'est requise.

]]> Lois à densité — Q02 : Lire une probabilité comme une aire [Figure : Densité de la loi uniforme sur [0 ; 2] : un segment
horizontal bleu à la hauteur 0,5 entre x = 0 et x = 2, nul
ailleurs. La zone rectangulaire entre x = 0,5 et x = 1,5,
sous le segment, est coloriée en bleu clair.]

La figure montre la densité de la loi uniforme sur
[0 ; 2] (hauteur 0{,}5) ; la zone colorée s'étend de
0{,}5 à 1{,}5. Que vaut
P(0{,}5 \leq X \leq 1{,}5) ?

]]> Pour une densité, probabilité = aire. Uniforme sur
[a ; b] : densité constante 1/b-a, et
P(c ≤ X ≤ d) = d - c/b - a : la proportion
de longueur.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc 0{,}5 : l'aire du rectangle de largeur 1 et de
hauteur 0{,}5

]]> Bonne réponse : probabilité = aire = 1 \times 0{,}5 =
0{,}5. La moitié de l'intervalle porte la moitié de la
probabilité : cohérent pour une loi uniforme.

]]> 1 : la largeur de la zone

]]> Erreur : la largeur seule ne suffit pas : l'aire
multiplie largeur et hauteur (0{,}5).

]]> 0{,}25

]]> Erreur : 0{,}5 \times 0{,}5 prend la mauvaise
largeur : la zone va de 0{,}5 à 1{,}5, largeur 1.

]]> 0{,}75

]]> Erreur : 0{,}75 correspondrait à une largeur de
1{,}5 (par exemple de 0{,}5 à 2). Ici :
1 \times 0{,}5 = 0{,}5.

]]> Lois à densité — Q03 : Densité de la loi uniforme Quelle est la densité de la loi uniforme sur l'intervalle
[2 ; 7] ?

]]> Uniforme sur [a ; b] : densité 1/b-a sur
l'intervalle, nulle ailleurs ; espérance a+b/2
(le milieu).

]]> 1.0 0.0 0 true true abc f(x) = ⅕ sur [2 ; 7], nulle ailleurs

]]> Bonne réponse : constante sur l'intervalle, de hauteur
1/b-a = ⅕ pour que l'aire totale
(5 × ⅕) vaille 1.

]]> f(x) = ⅐ sur [2 ; 7]

]]> Erreur : le dénominateur est la longueur b - a = 5, pas la borne 7. (Aire : 5 × ⅐ ≠ 1.)

]]> f(x) = 5 sur [2 ; 7]

]]> Erreur : hauteur 5 sur une largeur 5 donnerait une
aire de 25. La densité est l'inverse de la
longueur.

]]> f(x) = x - 2 sur [2 ; 7]

]]> Erreur : une densité croissante privilégierait les
grandes valeurs : l'uniformité exige une hauteur
constante.

]]> Lois à densité — Q04 : Espérance d'une loi uniforme Un bus passe toutes les 10 minutes ; le temps d'attente
X d'un voyageur arrivant au hasard suit la loi uniforme
sur [0 ; 10]. Que vaut E(X) ?

]]> E = a+b/2 pour l'uniforme : le centre de gravité
du rectangle. Temps d'attente à un arrêt (thème du
programme) : en moyenne, la moitié de l'intervalle entre
passages.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc 5 minutes

]]> Bonne réponse : E(X) = a+b/2 = 0 + 10/2 = 5 : en moyenne, on attend la moitié de
l'intervalle.

]]> 10 minutes

]]> Erreur : 10 est l'attente maximale (arrivée juste
après un bus). La moyenne vaut la moitié : 5.

]]> 0 minute

]]> Erreur : l'attente nulle est le meilleur cas, pas la
moyenne.

]]> ⅒ de minute

]]> Confusion : ⅒ est la densité
(hauteur), pas l'espérance.

]]> Lois à densité — Q05 : Fonction de répartition Pour une variable à densité X, que représente la fonction
de répartition F(x) = P(X ≤ x) ?

]]> Fonction de répartition : F(x) = P(X ≤ x), aire
cumulée. Utilité pratique : P(c ≤ X ≤ d) = F(d) - F(c).

]]> 1.0 0.0 0 true true abc L'aire cumulée sous la densité jusqu'à x : une
fonction croissante de 0 vers 1

]]> Bonne réponse : F accumule la probabilité de gauche à
droite : croissante, limite 0 à gauche, 1 à droite.

]]> La hauteur de la densité en x

]]> Erreur : la hauteur est f(x) ; la répartition est
l'aire accumulée jusqu'à x (l'intégrale de la
densité).

]]> La probabilité que X = x exactement

]]> Erreur : pour une loi à densité, P(X = x) = 0 (une
aire de largeur nulle). F(x) cumule tout ce qui est
inférieur ou égal à x.

]]> L'espérance de X

]]> Erreur : l'espérance est un nombre (∫ x f(x) dx) ; la répartition est une fonction de x.

]]> Lois à densité — Q06 : $P(X = a)$ pour une loi à densité Soit X une variable suivant une loi à densité. Que vaut
P(X = 3) (la probabilité d'une valeur exacte) ?

]]> Différence essentielle discret/continu : en continu,
P(X = a) = 0 pour tout a ; seules les plages de
valeurs portent de la probabilité.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc 0 : une aire de largeur nulle

]]> Bonne réponse : la probabilité est une aire ; au-dessus
du seul point 3, la largeur est nulle. Conséquence :
P(X ≤ 3) = P(X < 3) pour les lois à densité.

]]> f(3), la valeur de la densité

]]> Erreur : f(3) est une hauteur, pas une
probabilité. Elle ne devient probabilité que multipliée
par une largeur (aire).

]]> ½

]]> Erreur : aucune valeur ponctuelle ne porte de masse dans
une loi à densité : P(X = 3) = 0.

]]> Cela dépend de la loi

]]> Erreur : pour toute loi à densité, les valeurs
exactes ont probabilité nulle (contrairement aux lois
discrètes).

]]> Lois à densité — Q07 : La loi exponentielle Quelle est la densité de la loi exponentielle de paramètre
λ > 0 ?

]]> Loi exponentielle : densité \lambda e^{-\lambda t} sur
[0 ; +∞[, espérance 1/λ, absence de
mémoire. Version continue de la loi géométrique.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc f(t) = \lambda\,e^{-\lambda t} pour t ≥ 0

]]> Bonne réponse : une décroissance exponentielle depuis la
hauteur λ : le modèle continu des durées de vie
sans vieillissement.

]]> f(t) = e^{\lambda t} pour t ≥ 0

]]> Erreur : une exponentielle croissante aurait une
aire infinie : impossible pour une densité.

]]> f(t) = λ pour t ≥ 0

]]> Erreur : une constante sur [0 ; +∞[ aurait
aussi une aire infinie : c'est l'uniforme qui est
constante, sur un intervalle borné.

]]> f(t) = e^{-t^2}

]]> Erreur : cette forme « en cloche » évoque d'autres lois
(hors programme). L'exponentielle décroît en
e^{-\lambda t}.

]]> Lois à densité — Q08 : Espérance d'une loi exponentielle La durée de vie d'un composant suit une loi exponentielle de
paramètre \lambda = 0{,}1 (par millier d'heures). Quelle
est sa durée de vie moyenne ?

]]> E(X) = 1/λ pour la loi exponentielle
(parallèle exact avec le 1/p de la loi
géométrique). Ici : 10 milliers d'heures.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc 1/λ = 10 milliers d'heures

]]> Bonne réponse : E(X) = 1/λ : plus le
taux de panne λ est faible, plus la vie moyenne
est longue.

]]> 0{,}1 millier d'heures

]]> Erreur : 0{,}1 est le paramètre (taux) ;
l'espérance en est l'inverse : 10.

]]> \lambda^2 = 0{,}01

]]> Erreur : aucun carré ici : E = 1/λ
(et l'écart-type vaut aussi 1/λ).

]]> Elle est infinie, car t peut être arbitrairement grand

]]> Erreur : les grandes durées sont possibles mais si
improbables que la moyenne reste finie :
1/λ.

]]> Lois à densité — Q09 : Absence de mémoire continue La durée de vie d'un composant suit une loi exponentielle.
Il fonctionne déjà depuis 5 ans. Que dire de sa durée de
vie restante ?

]]> Absence de mémoire : P(X > s + t \mid X > s) = P(X > t).
L'atome radioactif ou le composant « sans usure » ignorent
leur âge : c'est ce qui définit la loi exponentielle parmi
les lois à densité.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Elle suit la même loi exponentielle qu'un composant
neuf : le composant ne vieillit pas

]]> Bonne réponse : absence de mémoire, propriété
caractéristique de la loi exponentielle : conditionner
par la survie ne change pas la loi du temps restant.

]]> Elle est plus courte : il a déjà consommé une partie de
sa vie

]]> Intuition d'usure, hors modèle : l'exponentielle
modélise précisément les pannes sans vieillissement
(défaillances accidentelles, désintégration atomique).

]]> Elle est plus longue : il a prouvé sa robustesse

]]> Erreur : ni bonus ni malus : la loi du temps restant est
exactement celle d'origine.

]]> Elle devient certaine et égale à 1/λ

]]> Erreur : l'espérance restante vaut
1/λ, mais la durée reste aléatoire, de
même loi qu'au départ.

]]> Lois à densité — Q10 : L'espérance comme intégrale Pour une variable X de densité f sur [a ; b],
comment s'exprime l'espérance E(X) ?

]]> Analogie discret-continu : ∑ xᵢ pᵢ → ∫ x f(x) dx. Exemple : uniforme sur [a ; b] : ∫ₐᵇ x/b-a dx = a+b/2.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc E(X) = \displaystyle\int_a^b x\,f(x)\,dx

]]> Bonne réponse : la version continue de
∑ xᵢ pᵢ : chaque valeur x pondérée par sa
densité, sommée par intégrale.

]]> E(X) = \displaystyle\int_a^b f(x)\,dx

]]> Erreur : cette intégrale vaut toujours 1 (aire
totale). L'espérance pondère par la valeur x :
∫ x f(x) dx.

]]> E(X) = f(a+b/2)

]]> Erreur : la densité au milieu n'est pas une moyenne
(sauf coïncidence). L'espérance intègre toutes les
valeurs pondérées.

]]> E(X) = f(a) + f(b)/2

]]> Erreur : moyenner deux hauteurs de densité n'a pas de
sens probabiliste : l'espérance est ∫ x f(x) dx.

]]> Lois à densité — Q11 : Simuler avec la loi uniforme En Python, random() renvoie un réel de loi uniforme sur
[0 ; 1[. Comment simuler une variable uniforme sur
[3 ; 8] ?

]]> Rôle central de l'uniforme sur [0 ; 1] (au programme) :
elle simule les autres lois. Uniforme sur [a ; b] :
a + (b-a)U. C'est la brique des simulations continues.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc 3 + 5 * random()

]]> Bonne réponse : on dilate [0 ; 1[ par la longueur
(× 5) puis on translate au bon départ (+3) :
uniforme sur [3 ; 8[.

]]> random(3, 8)

]]> Erreur : random() ne prend pas d'arguments. La
transformation affine a + (b-a) × random() fait
le travail.

]]> 3 * random() + 8

]]> Erreur : cette expression vit dans [8 ; 11[ :
coefficients mal placés. Longueur 5 en facteur, départ
3 en décalage.

]]> randint(3, 8)

]]> Erreur : randint produit des entiers (loi uniforme
discrète). Pour un réel de loi à densité : random()
transformé.

]]> Lois à densité — Q12 : Choisir entre uniforme et exponentielle Quel phénomène est le mieux modélisé par une loi
exponentielle ?

]]> Guide de modélisation : position au hasard → uniforme ;
durée d'attente sans mémoire → exponentielle ; comptes
→ lois discrètes (binomiale, géométrique). Le thème
« temps d'attente » articule ces choix.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Le temps d'attente entre deux appels indépendants à un
standard téléphonique

]]> Bonne réponse : temps d'attente d'événements
« sans mémoire » (appels, désintégrations, pannes
accidentelles) : le domaine de la loi exponentielle.

]]> La position d'un point choisi au hasard sur un segment

]]> Erreur : aucun endroit du segment n'est privilégié :
loi uniforme.

]]> Le nombre de succès en 20 tirages avec remise

]]> Erreur : un compte discret : loi binomiale, pas une
loi à densité.

]]> Le résultat d'un lancer de dé

]]> Erreur : six valeurs équiprobables : loi uniforme
discrète.

]]> Lois à densité — Q13 : Probabilité uniforme simple X suit la loi uniforme sur [0\ ;\ 10]. Que vaut
P(X ≤ 3) ?

]]> Loi uniforme sur [c\ ;\ d] : P(X ∈ I) = longueur de I/d - c : la probabilité EST la
proportion géométrique. Le modèle du « point au hasard ».

]]> 1.0 0.0 0 true true abc 0{,}3

]]> Bonne réponse : proportion de l'intervalle : longueur
favorable (3) sur longueur totale (10).

]]> 3

]]> Erreur : 3 est la longueur favorable : une probabilité
la rapporte au total : 3/10.

]]> ⅓

]]> Erreur : le dénominateur est la longueur totale
(10), pas la borne demandée.

]]> 0{,}5

]]> Erreur : 0{,}5 correspondrait à P(X ≤ 5) (la
moitié) : ici la zone couvre 30\ % de l'intervalle.

]]> Lois à densité — Q14 : L'aire totale sous une densité Que vaut l'aire totale sous la courbe d'une densité de
probabilité ?

]]> Une densité : f ≥ 0 et ∫ f = 1 : les deux
conditions. Vérifier l'aire totale est le premier test face
à toute densité proposée (et la clé pour trouver une
constante inconnue).

]]> 1.0 0.0 0 true true abc 1 : la certitude entière

]]> Bonne réponse : la variable prend forcément UNE valeur :
la probabilité totale, lue comme aire complète, vaut
1.

]]> 0

]]> Erreur : ce sont les probabilités ponctuelles (P(X = a)) qui sont nulles : l'aire totale, elle, vaut 1.

]]> Cela dépend de la loi

]]> Erreur : c'est la condition DÉFINISSANT une densité :
positive ET d'aire totale 1, quelle que soit sa forme.

]]> L'espérance de la variable

]]> Confusion : l'espérance est l'intégrale de
t f(t) (la valeur moyenne) : l'aire de f seule vaut
toujours 1.

]]> Lois à densité — Q15 : Uniforme sur $[2\ ;\ 8]$ X suit la loi uniforme sur [2\ ;\ 8]. Que vaut
P(3 ≤ X ≤ 5) ?

]]> Uniforme : toujours des rapports de longueurs :
P(a ≤ X ≤ b) = b - a/d - c. Piège récurrent :
oublier que l'intervalle total ne démarre pas en 0.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc 2/6 = ⅓

]]> Bonne réponse : longueur favorable 5 - 3 = 2, longueur
totale 8 - 2 = 6 : proportion ⅓.

]]> ⅝

]]> Bornes brutes : les probabilités uniformes se calculent
sur les longueurs (2 sur 6), pas sur les valeurs
des bornes.

]]> 2/8

]]> Dénominateur : la longueur totale est 8 - 2 = 6
(l'intervalle commence à 2, pas à 0).

]]> ⅗

]]> Erreur : aucun rapport de bornes ne donne la
probabilité : longueur sur longueur : 2/6.

]]> Lois à densité — Q16 : Fonction de répartition exponentielle X suit la loi exponentielle de paramètre λ. Que
vaut P(X ≤ t) pour t ≥ 0 ?

]]> Loi exponentielle : trois visages à distinguer : densité
\lambda e^{-\lambda t}, répartition P(X \leq t) = 1 -
e^{-\lambda t}, survie P(X > t) = e^{-\lambda t}. Tout
calcul en découle.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc 1 - e^{-\lambda t}

]]> Bonne réponse : l'aire sous la densité entre 0 et t :
part de 0, grimpe vers 1 : la fonction de
répartition de la loi exponentielle.

]]> e^{-\lambda t}

]]> Complémentaire : e^{-\lambda t} est P(X > t) (la
survie) : la répartition en est le complément à 1.

]]> \lambda e^{-\lambda t}

]]> Confusion : \lambda e^{-\lambda t} est la densité
(la hauteur de la courbe) : la probabilité cumulée est
son intégrale.

]]> λ t

]]> Erreur : λ t dépasse 1 pour t grand :
impossible pour une probabilité : la bonne formule
sature vers 1.

]]> Lois à densité — Q17 : Durée de vie moyenne La durée de vie d'un composant suit la loi exponentielle de
paramètre \lambda = 0{,}5 (par année). Quelle est sa durée
de vie moyenne ?

]]> E(X) = 1/λ : taux et durée moyenne sont
inverses. Un composant à \lambda = 0{,}5 panne/an dure en
moyenne 2 ans : la traduction mécanique du paramètre.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc 2 ans : E(X) = 1/λ

]]> Bonne réponse : E(X) = \frac{1}{\lambda} =
\frac{1}{0{,}5} = 2 : le paramètre est un taux (de
panne par an), la moyenne en est l'inverse.

]]> 0{,}5 an

]]> Confusion : 0{,}5 est le taux de défaillance :
l'espérance l'inverse : 2 ans.

]]> \lambda^2 = 0{,}25 an

]]> Erreur : aucun carré dans l'espérance exponentielle :
E(X) = 1/λ.

]]> e^{0{,}5} \approx 1{,}65 an

]]> Erreur : l'exponentielle intervient dans la densité, pas
dans la formule de l'espérance : 1/λ = 2.

]]> Lois à densité — Q18 : Probabilité de survie Avec \lambda = 0{,}5, quelle est la probabilité que le
composant fonctionne encore après 4 ans ?

]]> P(X > t) = e^{-\lambda t} : identifier λ, t,
multiplier, exponentier. Repère utile : à t = E(X), la
survie vaut e⁻¹ ≈ 37\ % : la moyenne n'est pas
la médiane.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc P(X > 4) = e^{-2} \approx 0{,}135

]]> Bonne réponse : survie : e^{-\lambda t} = e^{-0{,}5
\times 4} = e^{-2} : environ 13{,}5\ \% des
composants passent le cap des 4 ans.

]]> 1 - e^{-2} \approx 0{,}865

]]> Complémentaire : 1 - e⁻² est P(X ≤ 4) : la
probabilité d'être DÉJÀ tombé en panne.

]]> e^{-0{,}5} \approx 0{,}61

]]> Durée oubliée : l'exposant est \lambda \times t = 0{,}5
\times 4 = 2, pas λ seul.

]]> 0 : c'est le double de la durée moyenne

]]> Erreur : dépasser la moyenne n'a rien d'impossible : la
loi exponentielle a une longue queue : 13{,}5\ \% de
survivants à 2E(X).

]]>