$course$/QCM de maths/Maths complémentaires/Lois discrètes Loi uniforme sur \{1, \ldots, n\} et son espérance, loi de
Bernoulli (espérance, écart-type), schéma de Bernoulli et
coefficients binomiaux (triangle de Pascal), loi binomiale
\mathcal{B}(n\,;\,p) (expression, espérance et écart-type
admis), loi géométrique (expression, espérance admise, absence
de mémoire).

]]> Lois discrètes — Q01 : Loi uniforme sur $\{1, \ldots, n\}$ On lance un dé équilibré à 6 faces : le résultat X suit
la loi uniforme sur \{1, \ldots, 6\}. Que vaut E(X) ?

]]> Loi uniforme sur \{1, \ldots, n\} : chaque valeur a la
probabilité 1/n et E(X) = n+1/2
(démonstration possible avec 1 + ⋯ + n = n(n+1)/2). Pour le dé : 3{,}5.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc 3{,}5

]]> Bonne réponse : E(X) = \dfrac{1 + 2 + \cdots + 6}{6} =
\dfrac{21}{6} = 3{,}5, soit n+1/2 pour la loi
uniforme sur \{1, \ldots, n\}.

]]> 3

]]> Erreur : 3 serait le « milieu entier », mais la
moyenne des six faces vaut \dfrac{21}{6} = 3{,}5
(l'espérance n'est pas forcément une valeur possible).

]]> 6

]]> Erreur : 6 est la valeur maximale, pas la moyenne.

]]> ⅙

]]> Erreur : ⅙ est la probabilité de chaque
face, pas l'espérance du résultat.

]]> Lois discrètes — Q02 : Loi de Bernoulli X suit une loi de Bernoulli de paramètre p = 0{,}2
(X = 1 en cas de succès, 0 sinon). Que valent E(X) et
V(X) ?

]]> Bernoulli de paramètre p : E(X) = p,
V(X) = p(1-p), σ(X) = √p(1-p) : la brique
élémentaire de la binomiale.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc E(X) = 0{,}2 et V(X) = 0{,}16

]]> Bonne réponse : E(X) = p et V(X) = p(1 - p) = 0{,}2
\times 0{,}8 = 0{,}16 (démonstrations possibles au
programme).

]]> E(X) = 0{,}5 et V(X) = 0{,}25

]]> Erreur : ces valeurs correspondent à p = 0{,}5
(pièce équilibrée). Ici p = 0{,}2 : E = 0{,}2.

]]> E(X) = 1 et V(X) = 0

]]> Erreur : E = 1 et V = 0 décriraient un succès
certain (p = 1). Avec p = 0{,}2, la variable
fluctue.

]]> E(X) = 0{,}2 et V(X) = 0{,}2

]]> Erreur sur la variance : V = p(1-p) = 0{,}16, pas p
lui-même.

]]> Lois discrètes — Q03 : Triangle de Pascal La ligne n = 4 du triangle de Pascal est 1\ ; 4\ ; 6\ ; 4\ ; 1. Que vaut le coefficient binomial
\dbinom{5}{2} ?

]]> Capacité attendue : déterminer les coefficients binomiaux
par le triangle de Pascal. Ligne 5 : 1\ ; 5\ ; 10\ ; 10\ ; 5\ ; 1, obtenue par sommes de la ligne 4.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc 10, en additionnant 4 + 6 (relation de Pascal)

]]> Bonne réponse : chaque coefficient est la somme des deux
situés au-dessus : \binom{5}{2} = \binom{4}{1} +
\binom{4}{2} = 4 + 6 = 10.

]]> 24, en multipliant 4 × 6

]]> Erreur : la relation de Pascal est additive, pas
multiplicative.

]]> 6

]]> Erreur : 6 = \binom{4}{2} appartient à la ligne
n = 4. La ligne suivante s'en déduit par sommes.

]]> 5

]]> Erreur : 5 = \binom{5}{1} (deuxième coefficient de la
ligne). \binom{5}{2} est le troisième : 10.

]]> Lois discrètes — Q04 : Identifier une loi binomiale On tire 10 fois avec remise une boule dans une urne
contenant 30\ % de boules rouges, et on compte le nombre
X de rouges. Quelle est la loi de X ?

]]> Identifier les lois (capacité attendue) : compte de succès
sur n répétitions indépendantes → binomiale ; rang du
premier succès → géométrique ; une seule épreuve →
Bernoulli.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc La loi binomiale \mathcal{B}(10\,;\,0{,}3)

]]> Bonne réponse : 10 épreuves de Bernoulli identiques
(remise !) et indépendantes, X compte les succès :
binomiale.

]]> La loi uniforme sur \{0, \ldots, 10\}

]]> Erreur : les valeurs de X ne sont pas équiprobables
(5 rouges est bien plus probable que 10).

]]> La loi de Bernoulli de paramètre 0{,}3

]]> Erreur : la Bernoulli décrit une épreuve. Le
compte sur 10 épreuves suit la binomiale.

]]> La loi géométrique de paramètre 0{,}3

]]> Erreur : la géométrique donne le rang du premier
succès, pas le nombre de succès en 10 tirages.

]]> Lois discrètes — Q05 : Une probabilité binomiale Soit X \sim \mathcal{B}(4\,;\,0{,}5) (quatre lancers d'une
pièce équilibrée). Que vaut P(X = 2) ?

]]> P(X = k) = \binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k} : ici 6 \times
\frac{1}{16} = 0{,}375. Le triangle de Pascal fournit le
6.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc \dbinom{4}{2} \times 0{,}5^4 = \dfrac{6}{16} = 0{,}375

]]> Bonne réponse : \binom{4}{2} = 6 chemins à deux
succès, chacun de probabilité 0{,}5^2 \times 0{,}5^2 =
0{,}5^4.

]]> 0{,}5

]]> Erreur : l'intuition « la moitié du temps » surestime :
les valeurs 0, 1, 3, 4 prennent ensemble
62{,}5\ \% de la masse.

]]> 0{,}25

]]> Erreur : 0{,}5^2 ignore les échecs et les
placements : la formule complète donne 6/16.

]]> 1/16

]]> Incomplet : 1/16 est la probabilité d'un
seul chemin ; il y en a \binom{4}{2} = 6.

]]> Lois discrètes — Q06 : Espérance et écart-type d'une binomiale Soit X \sim \mathcal{B}(100\,;\,0{,}25). Que valent
E(X) et σ(X) (admis au programme) ?

]]> Formules admises : E(X) = np, V(X) = np(1-p),
σ(X) = √np(1-p). Ici : 25 \pm 4{,}3 environ :
l'ordre de grandeur des fluctuations attendues.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc E(X) = 25 et \sigma(X) = \sqrt{18{,}75} \approx
4{,}33

]]> Bonne réponse : E = np = 25 et \sigma =
\sqrt{np(1-p)} = \sqrt{100 \times 0{,}25 \times 0{,}75}.

]]> E(X) = 25 et \sigma(X) = 18{,}75

]]> Erreur : 18{,}75 est la variance ; l'écart-type en
est la racine carrée.

]]> E(X) = 50 et σ(X) = 5

]]> Erreur : E = np = 100 \times 0{,}25 = 25, pas la
moitié de n.

]]> E(X) = 0{,}25

]]> Erreur : 0{,}25 est l'espérance d'une épreuve ;
sur 100 répétitions : 25.

]]> Lois discrètes — Q07 : La loi géométrique On répète une épreuve de Bernoulli de paramètre p jusqu'au
premier succès ; X est le rang de ce premier succès. Que
vaut P(X = k) ?

]]> Loi géométrique de paramètre p : P(X = k) = (1-p)ᵏ⁻¹p pour k ≥ 1, et E(X) = 1/p
(admis). Modèle des temps d'attente discrets.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc (1 - p)ᵏ⁻¹ p

]]> Bonne réponse : k - 1 échecs consécutifs puis un
succès, les épreuves étant indépendantes.

]]> pᵏ

]]> Erreur : pᵏ serait k succès d'affilée. Le
premier succès au rang k exige d'abord k-1 échecs.

]]> \dbinom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k}

]]> Erreur : c'est la formule binomiale (nombre de
succès sur n fixé). La géométrique n'a pas de
coefficient : l'ordre est imposé (échecs puis succès).

]]> 1/k

]]> Erreur : la loi géométrique n'est pas uniforme : les
petits rangs sont les plus probables.

]]> Lois discrètes — Q08 : Espérance d'un temps d'attente On lance un dé équilibré jusqu'à obtenir un 6. Combien de
lancers faut-il en moyenne ?

]]> Règle mémorable : un événement de probabilité p se produit
en moyenne au bout de 1/p essais. Pour le 6 :
six lancers.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc 6 lancers, car E(X) = 1/p = 1/1/6

]]> Bonne réponse : le rang du premier 6 suit la loi
géométrique de paramètre ⅙ : espérance
1/p = 6 (admise au programme).

]]> 3{,}5 lancers

]]> Confusion : 3{,}5 est l'espérance du résultat d'un
lancer (loi uniforme). Ici on attend un événement de
probabilité ⅙ : 6 essais en moyenne.

]]> 1 lancer

]]> Erreur : le 6 tombe du premier coup une fois sur six
seulement ; en moyenne, l'attente dure 6 lancers.

]]> 36 lancers

]]> Erreur : 36 = 6² surestime : la formule est
E = 1/p = 6.

]]> Lois discrètes — Q09 : Absence de mémoire On a déjà lancé le dé 10 fois sans obtenir de 6. Quelle
est la probabilité d'obtenir enfin un 6 au prochain
lancer ?

]]> Absence de mémoire (au programme) : sachant X > n, la loi
de l'attente restante est celle de X au départ. Le passé
des échecs ne crée aucune « dette » de succès : antidote
mathématique à l'illusion du joueur.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc ⅙, comme à chaque lancer : le dé n'a pas de
mémoire

]]> Bonne réponse : les lancers sont indépendants : la
malchance passée n'augmente en rien les chances futures.
C'est la propriété caractéristique de la loi géométrique
(absence de mémoire).

]]> Plus de ⅙ : le 6 « doit » sortir

]]> L'illusion du joueur : le dé ignore son passé. Après dix
échecs, l'attente restante suit exactement la même
loi qu'au départ.

]]> Moins de ⅙ : ce dé semble défavorable

]]> Erreur (dans le modèle du dé équilibré) : dix échecs
n'ont rien d'extraordinaire
((⅚)¹⁰ ≈ 16\ %) et ne
remettent pas en cause l'équilibre.

]]> 10/6

]]> Impossible : une probabilité ne dépasse pas 1. La
réponse est ⅙, inchangée.

]]> Lois discrètes — Q10 : Calcul explicite d'une probabilité géométrique X suit la loi géométrique de paramètre p = 0{,}5
(premier pile d'une pièce équilibrée). Que vaut
P(X = 3) ?

]]> P(X = 3) = (1-p)² p = ⅛ : la moitié des cas au
rang 1, un quart au rang 2, un huitième au rang 3 : la masse
décroît géométriquement.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc 0{,}5^2 \times 0{,}5 = 0{,}125

]]> Bonne réponse : deux faces puis un pile :
(1-p)^{2}\,p = 0{,}25 \times 0{,}5 = \dfrac{1}{8}.

]]> 0{,}5

]]> Erreur : 0{,}5 est la probabilité d'un pile à un
lancer donné ; exiger « premier pile au rang 3 » impose
aussi deux échecs préalables.

]]> ⅓

]]> Erreur : la loi géométrique n'est pas uniforme ; le rang
3 a la probabilité (½)³ = ⅛.

]]> 0{,}375

]]> Erreur : 0{,}375 = \binom{4}{2}/16 vient d'un calcul
binomial. Ici pas de coefficient : l'ordre
échec-échec-succès est imposé.

]]> Lois discrètes — Q11 : Intervalle et calculatrice Soit X \sim \mathcal{B}(50\,;\,0{,}5) (une pièce testée
sur 50 lancers). La calculatrice donne
P(18 \leq X \leq 32) \approx 0{,}967. Comment interpréter
ce résultat pour tester l'équilibre de la pièce ?

]]> Problème type du programme : construire un intervalle I
tel que P(X ∈ I) ≥ 1 - α sous le modèle, puis
confronter l'observation. Improbable sous le modèle
⇒ modèle remis en question : l'esprit du test
d'hypothèse.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Si la pièce est équilibrée, le nombre de piles tombe
dans [18 ; 32] dans environ 97\ % des cas ; un
résultat hors de cet intervalle rend le modèle suspect

]]> Bonne réponse : c'est la démarche du programme (test
d'une pièce) : un intervalle de forte probabilité sous
le modèle ; une observation très improbable conduit à
douter du modèle.

]]> La pièce est équilibrée avec probabilité 0{,}967

]]> Erreur d'interprétation : la probabilité porte sur les
résultats sous le modèle, pas sur le modèle
lui-même.

]]> Il sortira exactement entre 18 et 32 piles, garanti

]]> Erreur : il reste environ 3\ % de cas hors
intervalle, parfaitement possibles avec une pièce
équilibrée.

]]> Ce calcul ne sert à rien sans la liste des lancers

]]> Erreur : le nombre total de piles suffit : c'est lui
que la binomiale modélise.

]]> Lois discrètes — Q12 : Choisir la bonne loi Trois variables : A = numéro obtenu en tirant une carte
parmi 10 numérotées de 1 à 10 ; B = nombre de
clients qui achètent parmi 20 visiteurs indépendants
(chacun achète avec probabilité 0{,}1) ; C = rang du
premier appel décroché par un standard qui décroche avec
probabilité 0{,}6 à chaque appel. Quelles lois ?

]]> Capacité attendue centrale : identifier la loi d'après
la structure de l'expérience. Uniforme : équiprobabilité ;
Bernoulli : une épreuve ; binomiale : compte sur n
épreuves ; géométrique : premier succès.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc A : uniforme sur \{1, \ldots, 10\} ; B :
binomiale \mathcal{B}(20\,;\,0{,}1) ; C :
géométrique de paramètre 0{,}6

]]> Bonne réponse : équiprobabilité sur un ensemble fini
→ uniforme ; compte de succès sur n répétitions
→ binomiale ; rang du premier succès →
géométrique.

]]> A : binomiale ; B : géométrique ; C : uniforme

]]> Erreur : tout est permuté. Relie chaque situation à sa
structure : équiprobable / compte de succès / première
réussite.

]]> Les trois suivent des lois binomiales

]]> Erreur : A n'a ni succès ni répétition, et C n'a
pas de nombre d'épreuves fixé à l'avance.

]]> A : uniforme ; B : géométrique ; C : binomiale

]]> Erreur sur B et C : compter des acheteurs sur 20
visiteurs est binomial ; attendre le premier décroché
est géométrique.

]]> Lois discrètes — Q13 : Aucun succès sur $n$ essais X suit la loi binomiale de paramètres n = 4 et p =
0{,}3. Que vaut P(X = 0) ?

]]> P(X = 0) = (1 - p)ⁿ : le cas le plus utile de la
binomiale : il ouvre le calcul de P(X ≥ 1) par le
complémentaire.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc 0{,}7^4 \approx 0{,}24

]]> Bonne réponse : zéro succès = quatre échecs
indépendants : (1 - p)^n = 0{,}7^4.

]]> 0{,}3^4

]]> Inversé : 0{,}3^4 est P(X = 4) (quatre succès) :
l'absence de succès se code avec la probabilité d'échec.

]]> 0

]]> Erreur : « aucun succès » est un scénario tout à fait
possible (environ une chance sur quatre ici).

]]> 1 - 0{,}3 = 0{,}7

]]> Puissance manquante : 0{,}7 est l'échec sur UN essai :
quatre échecs consécutifs exigent 0{,}7^4.

]]> Lois discrètes — Q14 : Espérance de la loi uniforme X suit la loi uniforme sur \{1, 2, 3, 4, 5, 6\} (un dé
équilibré). Que vaut E(X) ?

]]> Loi uniforme sur \{1, \dots, n\} : E(X) = n+1/2 :
le centre de gravité des valeurs équiprobables. Pour le dé :
3{,}5, la référence mentale des jeux équilibrés.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc 3{,}5

]]> Bonne réponse : moyenne des valeurs équiprobables :
\frac{1 + 6}{2} = 3{,}5 (formule n + 1/2
pour \{1, \dots, n\}).

]]> 3

]]> Erreur : le « milieu » exact des entiers 1 à 6 est
3{,}5 : l'espérance n'a pas besoin d'être une valeur
atteignable.

]]> ⅙

]]> Confusion : ⅙ est la probabilité de chaque
face, pas la moyenne des résultats.

]]> 6

]]> Erreur : 6 est le maximum : la moyenne de long terme
se place au centre : 3{,}5.

]]> Lois discrètes — Q15 : Au moins un succès X suit la loi binomiale de paramètres n = 4 et p =
0{,}3. Comment calculer P(X ≥ 1) ?

]]> P(X ≥ 1) = 1 - (1 - p)ⁿ : LE réflexe binomial. Toute
question « au moins un » se traite par le complémentaire
« aucun » : un produit, une soustraction, fini.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc P(X \geq 1) = 1 - 0{,}7^4 \approx 0{,}76

]]> Bonne réponse : le contraire de « au moins un » est
« aucun » : 1 - P(X = 0) : un seul terme au lieu de
quatre.

]]> P(X = 1) = 4 \times 0{,}3 \times 0{,}7^3

]]> Confusion : P(X = 1) compte exactement un succès :
« au moins un » englobe 1, 2, 3 et 4 : le
complémentaire est la voie courte.

]]> 4 \times 0{,}3 = 1{,}2

]]> Alerte : une probabilité au-dessus de 1 : l'addition
des p ne calcule pas « au moins un » (elle ignore les
recouvrements).

]]> 0{,}3^4

]]> Erreur : 0{,}3^4 est « QUE des succès » (X = 4) : à
l'opposé du calcul demandé.

]]> Lois discrètes — Q16 : Attendre plus de $n$ essais X suit la loi géométrique de paramètre p (rang du
premier succès). Que vaut P(X > n) ?

]]> P(X > n) = (1 - p)ⁿ : la « fonction de survie » de la loi
géométrique. On en déduit tout : P(X ≤ n) = 1 - (1 - p)ⁿ, et l'absence de mémoire.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc (1 - p)ⁿ : les n premiers essais sont tous des
échecs

]]> Bonne réponse : attendre au-delà de n = n'avoir encore
rien obtenu = n échecs consécutifs : (1 - p)ⁿ.

]]> pⁿ

]]> Inversé : pⁿ enchaînerait n succès : attendre,
c'est enchaîner des échecs.

]]> 1 - pⁿ

]]> Erreur : le complémentaire mal placé : l'événement
« X > n » se décrit directement : n échecs
d'affilée.

]]> n(1 - p)

]]> Erreur : les échecs successifs se multiplient
(indépendance), ils ne s'additionnent pas.

]]> Lois discrètes — Q17 : Temps d'attente moyen Un tir au but réussit avec la probabilité p = 0{,}2. En
moyenne, combien de tirs faut-il pour obtenir le premier
succès ?

]]> E(X) = 1/p pour la loi géométrique : l'inverse de
la probabilité. Intuition solide : un événement à 1\ %
s'attend en moyenne 100 répétitions : à retenir pour tous
les ordres de grandeur.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc 5 tirs : E(X) = 1/p

]]> Bonne réponse : loi géométrique : E(X) = \frac{1}{p} =
\frac{1}{0{,}2} = 5 : un succès sur cinq en moyenne =
cinq essais par succès.

]]> 0{,}2 tir

]]> Confusion : 0{,}2 est la probabilité par essai :
l'attente moyenne en est l'inverse : 5.

]]> 2 tirs

]]> Erreur : \frac{1}{0{,}2} = 5, pas 2 (attention à la
division par un décimal).

]]> Impossible à prévoir : l'attente est aléatoire

]]> Confusion : chaque attente est aléatoire, mais leur
MOYENNE de long terme est parfaitement déterminée :
1/p.

]]> Lois discrètes — Q18 : Binomiale ou géométrique ? Expérience A : « je lance 10 fléchettes et je compte les
réussites ». Expérience B : « je lance des fléchettes
jusqu'à la première réussite et je compte les lancers ».
Quelles lois ?

]]> Le test de reconnaissance : « combien de succès sur n
essais fixés ? » : binomiale (n\ ;\ p) ; « combien
d'essais jusqu'au premier succès ? » : géométrique (p).
Identifier la loi AVANT tout calcul.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc A : binomiale (nombre d'essais fixé) ; B : géométrique
(rang du premier succès)

]]> Bonne réponse : la question discriminante : QUI est
aléatoire ? En A, le nombre de succès (essais fixés) ;
en B, le nombre d'essais (arrêt au premier succès).

]]> A : géométrique ; B : binomiale

]]> Inversé : la binomiale exige un nombre d'essais fixé
d'avance (10 en A) ; la géométrique compte l'attente
(B).

]]> Les deux sont binomiales

]]> Erreur : en B, le nombre d'essais n'est pas fixé : c'est
justement la variable : hors du cadre binomial.

]]> Les deux sont géométriques

]]> Erreur : en A, on ne s'arrête pas au premier succès : on
épuise les 10 essais et on compte : binomiale.

]]>