$course$/QCM de maths/Maths complémentaires/Primitives et équations différentielles Notion de solution d'une équation différentielle, primitives
(équation y' = f, unicité à constante près), reconnaissance
des formes 2uu', eᵘ u' et u'/u, équations
différentielles y' = ay et y' = ay + b : solution
particulière constante et solution générale, vérification
qu'une fonction est solution.

]]> Primitives et équations différentielles — Q01 : Vérifier une solution La fonction f(x) = 5 e²ˣ est-elle solution de
l'équation différentielle y' = 2y ?

]]> Capacité attendue : vérifier qu'une fonction donnée est
solution en la dérivant et en substituant. f' = 10e²ˣ = 2f : solution.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Oui, car f'(x) = 10 e²ˣ = 2 × 5 e²ˣ = 2 f(x)

]]> Bonne réponse : on dérive et on compare : f' = 2f est
bien vérifiée pour tout x. C'est la méthode de
vérification attendue.

]]> Non, car f(0) = 5 ≠ 2

]]> Erreur : l'équation y' = 2y ne fixe aucune valeur en
0 ; elle relie la dérivée à la fonction, ce que
f respecte.

]]> Non, car il y a un 5 en facteur

]]> Erreur : tout multiple C e²ˣ convient : le facteur
se conserve en dérivant et se simplifie dans l'équation.

]]> On ne peut pas vérifier sans résoudre l'équation

]]> Erreur : vérifier est plus simple que résoudre : on
dérive la candidate et on teste l'égalité.

]]> Primitives et équations différentielles — Q02 : Primitive et équation $y' = f$ Chercher une primitive de f revient à résoudre quelle
équation différentielle ?

]]> Lien fondateur du chapitre : primitive de f = solution
de y' = f. Deux primitives d'une même fonction continue
sur un intervalle diffèrent d'une constante.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc y' = f

]]> Bonne réponse : une primitive de f est une fonction
dont la dérivée est f : c'est l'équation
différentielle la plus simple.

]]> y' = y

]]> Erreur : y' = y définit l'exponentielle (la dérivée
égale la fonction inconnue, pas une fonction
donnée).

]]> y = f'

]]> Sens inversé : ceci demanderait de dériver f. La
primitivation remonte : y' = f.

]]> y' = 0

]]> Erreur : y' = 0 caractérise les fonctions constantes.
La primitive répond à y' = f pour un f quelconque.

]]> Primitives et équations différentielles — Q03 : L'ensemble des primitives F(x) = x² est une primitive de f(x) = 2x sur
ℝ. Quelles sont toutes les primitives de f ?

]]> Théorème (démonstration possible) : sur un intervalle, les
primitives de f s'écrivent F + C. Une condition (valeur
en un point) fixe C et isole une primitive unique.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Les fonctions x ↦ x² + C, C constante réelle

]]> Bonne réponse : deux primitives d'une même fonction sur
un intervalle diffèrent d'une constante : la famille
complète est x² + C.

]]> La seule fonction x ↦ x²

]]> Incomplet : x² + 7 se dérive aussi en 2x. Il y a
une infinité de primitives, décalées verticalement.

]]> Les fonctions x ↦ Cx²

]]> Erreur : (Cx²)' = 2Cx ≠ 2x dès que C ≠ 1. La
liberté est additive (+C), pas multiplicative.

]]> Les fonctions x ↦ x² + Cx

]]> Erreur : (x² + Cx)' = 2x + C ≠ 2x pour C ≠ 0.
Seule une constante ajoutée disparaît en dérivant.

]]> Primitives et équations différentielles — Q04 : Reconnaître la forme $2u'u$ Quelle est une primitive de f(x) = 2 × 3 × (3x + 1), c'est-à-dire f = 2u'u avec u(x) = 3x + 1 ?

]]> Formes à reconnaître (capacité attendue) : 2u'u → u² ;
u'eᵘ → eᵘ ; u'/u → ln u (pour u > 0).
Toujours contrôler en redérivant.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc F(x) = (3x + 1)²

]]> Bonne réponse : (u²)' = 2u'u : la forme 2u'u se
primitive en u². Contrôle : ((3x+1)²)' = 2 × 3 × (3x+1).

]]> F(x) = (3x + 1)³

]]> Erreur : (u³)' = 3u'u², une autre forme. Ici
l'exposant de départ est 1 : la primitive est u².

]]> F(x) = 6x² + 2x? Développons : f(x) = 18x + 6, de
primitive 9x² + 6x

]]> Piégeux : 9x² + 6x est une primitive correcte
(elle diffère de (3x+1)² = 9x² + 6x + 1 d'une
constante), mais l'expression 6x² + 2x proposée ne se
dérive pas en f. Vérifie toujours en dérivant.

]]> F(x) = 2(3x + 1)

]]> Erreur : (2(3x+1))' = 6, constant : ce
n'est pas f. La structure 2u'u appelle u².

]]> Primitives et équations différentielles — Q05 : Reconnaître la forme $u'e^u$ Quelle est une primitive de f(x) = 2x\,e^{x^2} ?

]]> f = u'eᵘ avec u = x² : primitive eᵘ. La présence du
facteur u' = 2x devant l'exponentielle est le signal à
repérer.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc F(x) = e^{x^2}

]]> Bonne réponse : avec u = x², u' = 2x : f = u'eᵘ,
de primitive e^u = e^{x^2}.

]]> F(x) = x^2\,e^{x^2}

]]> Erreur : dériver ce produit donne 2x\,e^{x^2} +
x^2 \times 2x\,e^{x^2}, un terme de trop. La primitive
de u'eᵘ est eᵘ tout court.

]]> F(x) = \dfrac{e^{x^2}}{2x}

]]> Erreur : « diviser par la dérivée de l'intérieur » ne
marche que pour un intérieur affine. Ici la
vérification échoue (dérivée d'un quotient).

]]> F(x) = 2\,e^{x^2}

]]> Erreur : \left(2e^{x^2}\right)' = 4x\,e^{x^2}, le
double de f. Le facteur 2x est exactement u' :
aucun coefficient à ajouter.

]]> Primitives et équations différentielles — Q06 : Reconnaître la forme $\dfrac{u'}{u}$ Quelle est une primitive de f(x) = 2x/x² + 1
sur ℝ ?

]]> u'/u → ln u (pour u > 0). Repérer au
numérateur la dérivée exacte du dénominateur : ici
(x²+1)' = 2x.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc F(x) = ln(x² + 1)

]]> Bonne réponse : f = u'/u avec
u = x² + 1 > 0 : primitive ln u.

]]> F(x) = 1/x² + 1

]]> Erreur : dériver 1/u donne
-u'/u², pas u'/u. La forme
quotient-de-la-dérivée appelle le logarithme.

]]> F(x) = 2x ln(x² + 1)

]]> Erreur : ce produit se dérive avec deux termes (règle du
produit) et ne redonne pas f. La primitive est
ln(x²+1) seule.

]]> F(x) = ln(2x)

]]> Erreur : (ln 2x)' = 1/x, sans lien avec
f. C'est tout le bloc u = x² + 1 qui entre dans le
logarithme.

]]> Primitives et équations différentielles — Q07 : Résoudre $y' = ay$ Quelles sont les solutions sur ℝ de l'équation
différentielle y' = -0{,}5\,y ?

]]> Théorème (démonstration possible) : les solutions de
y' = ay sont exactement les x ↦ C eᵃˣ. Signe
de a : croissance (a > 0) ou extinction (a < 0).

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Les fonctions y = C\,e^{-0{,}5x}, C réel

]]> Bonne réponse : solutions de y' = ay : les
C eᵃˣ. Ici a = -0{,}5 : des décroissances
exponentielles (vers 0 en +∞).

]]> Les fonctions y = C\,e^{0{,}5x}

]]> Erreur de signe : (Ce^{0{,}5x})' = 0{,}5\,y, l'équation
opposée. Le coefficient a passe tel quel dans
l'exposant.

]]> La seule fonction y = e^{-0{,}5x}

]]> Incomplet : tous les multiples conviennent, y compris la
fonction nulle (C = 0). La constante s'ajuste ensuite à
une condition initiale.

]]> Les fonctions y = -0{,}5x + C

]]> Erreur : ces affines résolvent y' = -0{,}5
(second membre constant), pas y' = -0{,}5\,y où la
dérivée dépend de la fonction elle-même.

]]> Primitives et équations différentielles — Q08 : Résoudre $y' = ay + b$ Quelles sont les solutions de l'équation y' = -2y + 8 ?

]]> Méthode au programme : (1) solution particulière constante
c = -b/a = 4 ; (2) solution générale
y = Ceᵃˣ + c = Ce⁻²ˣ + 4. Toutes les solutions
convergent ici vers 4.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc y = C e⁻²ˣ + 4

]]> Bonne réponse : solution particulière constante :
0 = -2c + 8 donne c = 4 ; solution générale : les
Ce⁻²ˣ de l'équation homogène, décalées de 4.

]]> y = C e⁻²ˣ + 8

]]> Erreur : la constante particulière n'est pas b mais
-b/a = -8/-2 = 4. Contrôle : y = 8
donne y' = 0 mais -2 × 8 + 8 = -8 ≠ 0.

]]> y = C e²ˣ + 4

]]> Erreur de signe dans l'exponentielle : l'équation
homogène associée est y' = -2y, de solutions
Ce⁻²ˣ.

]]> y = -2x + 8

]]> Erreur : cette affine a une dérivée constante -2,
alors que -2y + 8 varie avec y : pas solution.

]]> Primitives et équations différentielles — Q09 : Condition initiale Parmi les solutions y = C e⁻²ˣ + 4 de y' = -2y + 8,
laquelle vérifie y(0) = 10 ?

]]> y(0) = C + 4 = 10 ⇒ C = 6. La solution
6e⁻²ˣ + 4 part de 10 et décroît vers l'équilibre 4 :
allure typique (refroidissement de Newton, charge de
condensateur).

]]> 1.0 0.0 0 true true abc y = 6 e⁻²ˣ + 4

]]> Bonne réponse : y(0) = C + 4 = 10 donne C = 6.
Existence et unicité : une condition initiale isole une
solution.

]]> y = 10 e⁻²ˣ + 4

]]> Erreur : C n'est pas y(0) : la constante +4
décale la valeur initiale : C = 10 - 4 = 6.

]]> y = 10 e⁻²ˣ

]]> Erreur : sans le +4, cette fonction résout y' = -2y
(équation homogène), pas y' = -2y + 8.

]]> y = 6 e⁻²ˣ

]]> Erreur : il manque la solution particulière +4 : cette
fonction vaut 6 en 0 (pas 10) et ne vérifie pas
l'équation complète.

]]> Primitives et équations différentielles — Q10 : Interpréter la solution constante Dans un modèle de refroidissement T' = -0{,}1\,(T - 20)
(température T en degrés, temps en minutes), que
représente la constante 20 ?

]]> Loi de refroidissement de Newton (thème du programme) :
l'équation y' = a(y - y_{\text{éq}}) a pour équilibre
y_{\text{éq}}, limite de toutes les solutions quand
a < 0. Lire les constantes d'un modèle est une capacité
centrale.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc La température ambiante, état d'équilibre vers lequel
T tend

]]> Bonne réponse : T = 20 annule T' : c'est la solution
constante (équilibre). Toute solution s'en approche
exponentiellement : l'objet finit à température
ambiante.

]]> La température initiale de l'objet

]]> Erreur : la température initiale est T(0), donnée à
part. Le 20 de l'équation est l'attracteur, pas le
départ.

]]> La vitesse de refroidissement

]]> Erreur : la vitesse est portée par le coefficient
-0{,}1 (par minute). Le 20 est une température.

]]> Une constante d'intégration

]]> Erreur : la constante d'intégration C apparaît dans la
solution générale Ce^{-0{,}1t} + 20 ; le 20, lui,
appartient au modèle.

]]> Primitives et équations différentielles — Q11 : Primitive vérifiant une condition Quelle est la primitive F de f(x) = 3x² vérifiant
F(1) = 5 ?

]]> Deux temps : famille x³ + C (primitive de 3x²), puis
condition F(1) = 5 ⇒ C = 4. Parmi l'infinité de
primitives, une seule passe par le point imposé.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc F(x) = x³ + 4

]]> Bonne réponse : les primitives sont x³ + C ;
F(1) = 1 + C = 5 donne C = 4.

]]> F(x) = x³ + 5

]]> Erreur : C n'est pas la valeur imposée : F(1) = 1 + 5 = 6 ≠ 5. On résout 1 + C = 5.

]]> F(x) = x³

]]> Erreur : F(1) = 1 ≠ 5. Il faut ajuster la constante
pour satisfaire la condition.

]]> F(x) = 5x³

]]> Erreur : (5x³)' = 15x² ≠ 3x² : la constante
s'ajoute, elle ne multiplie pas.

]]> Primitives et équations différentielles — Q12 : Choisir la bonne équation différentielle Une population croît à une vitesse proportionnelle à son
effectif y(t), avec un taux de 4\ % par unité de
temps. Quelle équation différentielle modélise cette
situation ?

]]> Traduction modélisatrice type : « vitesse proportionnelle à
la quantité » ⇔ y' = ky : le pont entre les
suites géométriques (discret) et l'exponentielle (continu),
cœur du thème « modèles d'évolution ».

]]> 1.0 0.0 0 true true abc y' = 0{,}04\,y

]]> Bonne réponse : « vitesse proportionnelle à l'effectif »
se traduit mot à mot : y' = k y avec k = 0{,}04.
Solutions : croissances exponentielles Ce^{0{,}04t}.

]]> y' = 0{,}04

]]> Erreur : une dérivée constante modélise une
croissance linéaire (même ajout par unité de temps),
indépendante de l'effectif.

]]> y = 0{,}04\,t

]]> Erreur : ceci est une fonction explicite, pas une
équation différentielle, et elle décrit encore du
linéaire.

]]> y' = y + 0{,}04

]]> Erreur : le taux doit multiplier y
(proportionnalité), pas s'y ajouter : y' = 0{,}04y.

]]> Primitives et équations différentielles — Q13 : Primitive de $x^2$ Quelle est une primitive de f(x) = x² ?

]]> Primitive de xⁿ : \dfrac{x^{n+1}}{n+1} : monter
l'exposant, diviser par lui. Toujours contrôler en
redérivant : deux secondes qui évitent toutes les
étourderies.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc F(x) = x³/3

]]> Bonne réponse : l'exposant monte d'un cran et on divise
par le nouvel exposant : contrôle en dérivant :
3x²/3 = x².

]]> F(x) = 2x

]]> Sens inverse : 2x est la dérivée de x² : la
primitive remonte le courant.

]]> F(x) = x³

]]> Division oubliée : (x³)' = 3x² : trois fois trop :
diviser par le nouvel exposant.

]]> F(x) = x²/2

]]> Exposant figé : x²/2 primitive x : pour
x², l'exposant monte à 3.

]]> Primitives et équations différentielles — Q14 : Primitive de $\dfrac{1}{x}$ Quelle est une primitive de f(x) = 1/x sur
]0\ ;\ +∞[ ?

]]> L'exception de la règle des puissances : primitive de
1/x = ln x + C (sur ]0\ ;\ +∞[). Un
résultat à connaître isolément : il ne se déduit d'aucune
formule mécanique.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc F(x) = ln x

]]> Bonne réponse : (ln x)' = 1/x : le
logarithme est né pour combler ce trou de la formule des
puissances.

]]> F(x) = -1/x²

]]> Sens inverse : -1/x² est la dérivée de
1/x.

]]> F(x) = x⁰/0

]]> Division par zéro : la règle des puissances casse
exactement pour n = -1 : c'est ln qui prend le
relais.

]]> F(x) = eˣ

]]> Erreur : eˣ est sa propre primitive : 1/x
appelle le logarithme.

]]> Primitives et équations différentielles — Q15 : Primitive de $e^{2x}$ Quelle est une primitive de f(x) = e²ˣ ?

]]> Primitive de eᵃˣ : \dfrac{e^{ax}}{a} : l'exposant est
conservé, le coefficient passe au dénominateur. La brique de
toutes les solutions d'équations différentielles.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc F(x) = \dfrac{e^{2x}}{2}

]]> Bonne réponse : dériver e²ˣ fait sortir un 2 :
la primitive le compense par ½. Contrôle :
\left(\frac{e^{2x}}{2}\right)' = e^{2x} ✓.

]]> F(x) = 2e²ˣ

]]> Sens inverse : 2e²ˣ est la dérivée de e²ˣ :
pour primitiver, on divise par le coefficient.

]]> F(x) = e²ˣ

]]> Compensation oubliée : (e²ˣ)' = 2e²ˣ ≠ e²ˣ : seule eˣ (coefficient 1) est sa propre
primitive.

]]> F(x) = \dfrac{e^{3x}}{3}

]]> Erreur : l'exposant d'une exponentielle ne monte pas
comme une puissance de x : il reste 2x, et on divise
par 2.

]]> Primitives et équations différentielles — Q16 : Les solutions de $y' = 3y$ Quelles sont toutes les solutions de l'équation
différentielle y' = 3y ?

]]> y' = ay : solutions Ceᵃˣ, une par valeur de C
(fixée par la condition initiale : C = y(0)). L'équation
dit « la vitesse est proportionnelle au stock » : c'est LA
définition dynamique de l'exponentielle.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc y(x) = C e³ˣ, pour une constante C quelconque

]]> Bonne réponse : les exponentielles Ce³ˣ vérifient
y' = 3Ce³ˣ = 3y, et le théorème garantit qu'il n'y
en a pas d'autres.

]]> y(x) = e³ˣ uniquement

]]> Famille amputée : 5e³ˣ, -2e³ˣ… conviennent
aussi : une équation différentielle a une famille de
solutions, indexée par C.

]]> y(x) = 3x + C

]]> Confusion : 3x + C résout y' = 3 (second membre
constant) : ici y' est proportionnel à y :
croissance exponentielle.

]]> y(x) = C eˣ + 3

]]> Erreur : contrôle : y' = Ceˣ mais 3y = 3Ceˣ + 9 :
pas égaux : le coefficient 3 appartient à l'exposant.

]]> Primitives et équations différentielles — Q17 : Résoudre avec condition initiale Quelle est la solution de y' = -0{,}5\,y + 10 vérifiant
y(0) = 0 ?

]]> Plan de résolution de y' = ay + b : 1) équilibre
-b/a ; 2) forme générale équilibre + Ceᵃᵗ ;
3) condition initiale pour C. La forme \ell(1 -
e^{at}) : la charge d'un réservoir depuis zéro.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc y(t) = 20\left(1 - e^{-0{,}5t}\right)

]]> Bonne réponse : équilibre \frac{10}{0{,}5} = 20 ;
solutions 20 + Ce^{-0{,}5t} ; y(0) = 0 force C = -20 : la courbe monte de 0 vers le plateau 20.

]]> y(t) = 20\,e^{-0{,}5t}

]]> Condition violée : y(0) = 20 ≠ 0 : cette solution
part du plateau et décroît : la nôtre part de 0 et
monte.

]]> y(t) = 10 t

]]> Modèle linéaire : il ignore le terme -0{,}5y (le
freinage proportionnel au stock) : la vraie solution
sature à 20.

]]> y(t) = -20\,e^{-0{,}5t}

]]> Équilibre oublié : cette expression tend vers 0 et
part de -20 : la solution complète est équilibre PLUS
partie exponentielle : 20 - 20e^{-0{,}5t}.

]]> Primitives et équations différentielles — Q18 : Long terme des solutions Pour l'équation y' = -0{,}5\,y + 10, que deviennent
toutes les solutions quand t → +∞ ?

]]> Pour y' = ay + b avec a < 0 : l'équilibre
-b/a attire toutes les solutions (la partie
exponentielle meurt). Avec a > 0 : il les repousse. Le
signe de a raconte tout le film.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Elles convergent toutes vers l'équilibre 20, quel que
soit leur point de départ

]]> Bonne réponse : la partie Ce^{-0{,}5t} s'éteint
(coefficient négatif dans l'exposant) : seul le plateau
20 survit : équilibre attracteur.

]]> Elles divergent vers +∞

]]> Erreur : le coefficient de y est négatif (-0{,}5) :
il freine : l'explosion appartient aux équations y' = ay + b avec a > 0.

]]> Elles tendent vers 0

]]> Terme constant oublié : le second membre +10 maintient
un apport : l'équilibre est \frac{10}{0{,}5} = 20, pas
0.

]]> Cela dépend du point de départ

]]> Erreur : le départ règle la trajectoire (montée ou
descente), pas la destination : toutes finissent en
20.

]]>