$course$/QCM de maths/Maths complémentaires/Suites numériques, modèles discrets Approche intuitive de la limite d'une suite, opérations et
théorème des gendarmes, limite de qⁿ pour une raison
positive, limite de la somme 1 + q + ⋯ + qⁿ pour
0 < q < 1, suites arithmético-géométriques (suite constante
solution, solution générale), problèmes de seuil.

]]> Suites numériques, modèles discrets — Q01 : Limite de $q^n$, raison entre 0 et 1 Que vaut la limite de 0{,}7^n quand n tend vers
+∞ ?

]]> Limites de référence (raison positive) : qⁿ → 0 si
0 < q < 1 ; qⁿ → +∞ si q > 1 ; constante 1 si
q = 1. Socle de tous les modèles exponentiels discrets.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc 0

]]> Bonne réponse : multiplier sans fin par 0{,}7 < 1
écrase la valeur : 0{,}7 ; 0{,}49 ; 0{,}343… vers
0.

]]> +∞

]]> Erreur : l'explosion vers +∞ demande une raison
q > 1. Ici chaque multiplication réduit.

]]> 0{,}7

]]> Erreur : 0{,}7 n'est que le premier terme (n = 1).
Les puissances suivantes continuent de fondre vers 0.

]]> 1

]]> Erreur : qⁿ → 1 exigerait q = 1 (suite constante).
Avec 0{,}7, la décroissance vers 0 est inexorable.

]]> Suites numériques, modèles discrets — Q02 : Limite d'une somme géométrique Pour 0 < q < 1, que vaut la limite de la somme
1 + q + q² + ⋯ + qⁿ quand n tend vers +∞ ?

]]> Résultat clé : 1 + q + ⋯ + qⁿ → 1/1-q
pour 0 < q < 1. Exemple parlant :
1 + ½ + ¼ + ⋯ → 2.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc 1/1 - q

]]> Bonne réponse : la somme vaut \dfrac{1 - q^{n+1}}{1-q}
et qⁿ⁺¹ → 0 : la limite est 1/1-q
(démonstration possible au programme).

]]> +∞

]]> Erreur : bien qu'on additionne une infinité de termes,
ceux-ci fondent si vite que le total plafonne :
c'est la somme géométrique convergente.

]]> 1

]]> Erreur : 1 n'est que le premier terme. La limite
complète vaut 1/1-q (par exemple 2 pour
q = ½).

]]> 1/q - 1

]]> Erreur de signe : pour 0 < q < 1, q - 1 < 0
donnerait une limite négative, impossible pour une somme
de termes positifs. La formule est 1/1 - q.

]]> Suites numériques, modèles discrets — Q03 : Suite constante solution Soit la relation de récurrence u_{n+1} = 0{,}8\,u_n + 4.
Quelle suite constante vérifie cette relation ?

]]> Méthode au programme pour les suites
arithmético-géométriques : chercher la suite constante
solution (c = ac + b), point d'équilibre autour duquel tout
s'organise. Ici c = 20.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc La suite constante égale à 20

]]> Bonne réponse : une constante c vérifie
c = 0{,}8c + 4, soit 0{,}2c = 4 et c = 20.

]]> La suite constante égale à 4

]]> Erreur : teste : 0{,}8 \times 4 + 4 = 7{,}2 \neq 4. La
constante cherchée résout c = 0{,}8c + 4.

]]> La suite constante égale à 5

]]> Erreur : 0{,}8 \times 5 + 4 = 8 \neq 5. L'équation du
point fixe donne c = \dfrac{4}{0{,}2} = 20.

]]> Aucune suite constante ne convient

]]> Erreur : dès que le coefficient diffère de 1,
l'équation c = ac + b a une unique solution :
c = b/1-a = 20 ici.

]]> Suites numériques, modèles discrets — Q04 : Exploiter la suite constante Toujours avec u_{n+1} = 0{,}8\,u_n + 4 (point d'équilibre
20) et u₀ = 30. Que vaut la limite de (uₙ) ?

]]> Schéma complet : poser vₙ = uₙ - c (c point
d'équilibre) transforme la récurrence en suite géométrique
vₙ₊₁ = a vₙ. Pour |a| < 1 : vₙ → 0 et
uₙ → c. Modèle des stabilisations (température,
médicament, capital).

]]> 1.0 0.0 0 true true abc 20 : l'écart au point d'équilibre est multiplié par
0{,}8 à chaque rang et fond vers 0

]]> Bonne réponse : la suite vₙ = uₙ - 20 vérifie
v_{n+1} = 0{,}8\,v_n (géométrique) : v_n = 10 \times
0{,}8^n \to 0, donc uₙ → 20.

]]> 30 : la suite reste à sa valeur initiale

]]> Erreur : u_1 = 0{,}8 \times 30 + 4 = 28 \neq 30 : la
suite bouge dès le premier pas, attirée vers 20.

]]> +∞

]]> Erreur : le coefficient 0{,}8 < 1 contracte
l'écart au point fixe au lieu de l'amplifier : la suite
converge.

]]> 0

]]> Erreur : c'est l'écart uₙ - 20 qui tend vers 0,
pas la suite elle-même, qui se stabilise en 20.

]]> Suites numériques, modèles discrets — Q05 : Théorème des gendarmes Une suite vérifie, pour tout n ≥ 1,
3 - 1/n ≤ uₙ ≤ 3 + 1/n.
Que peut-on conclure ?

]]> Gendarmes : vₙ ≤ uₙ ≤ wₙ avec v_n \to \ell et
w_n \to \ell ⇒ u_n \to \ell. Ici le couloir
de largeur 2/n se referme sur 3.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc (uₙ) converge vers 3

]]> Bonne réponse : les deux suites encadrantes tendent vers
3 : la suite coincée entre elles aussi (théorème des
gendarmes).

]]> (uₙ) est constante égale à 3

]]> Trop fort : la suite peut osciller dans le couloir
(par exemple 3 + (-1)ⁿ/2n) ; seul son
comportement limite est imposé.

]]> On ne peut rien dire sans connaître uₙ explicitement

]]> Erreur : c'est la force du théorème : l'encadrement par
deux suites de même limite suffit à conclure.

]]> (uₙ) converge vers 1/n

]]> Erreur de nature : une limite est un nombre fixe ;
1/n dépend de n. Le couloir se resserre
autour de 3.

]]> Suites numériques, modèles discrets — Q06 : Modéliser un compte avec versements Un compte rapporte 2\ % par an et reçoit un versement de
100 euros chaque fin d'année. Notant uₙ le solde après
n années, quelle récurrence modélise la situation ?

]]> Modèle mixte (taux + versement constant) : récurrence
arithmético-géométrique uₙ₊₁ = a uₙ + b avec
a = 1{,}02 et b = 100. La chronologie des opérations
décide de la formule exacte.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc u_{n+1} = 1{,}02\,u_n + 100

]]> Bonne réponse : le solde est d'abord multiplié par
1{,}02 (intérêts), puis augmenté du versement : modèle
arithmético-géométrique typique.

]]> uₙ₊₁ = uₙ + 102

]]> Erreur : ce modèle additif ignore que les intérêts
portent sur le solde courant (qui grandit), pas
seulement sur un montant fixe.

]]> u_{n+1} = 1{,}02\,(u_n + 100)? Non : les intérêts de
l'année ne portent pas sur le versement de fin d'année

]]> Piège de chronologie : avec un versement en fin
d'année, les intérêts de l'année ne s'y appliquent pas :
u_{n+1} = 1{,}02\,u_n + 100.

]]> u_{n+1} = 0{,}02\,u_n + 100

]]> Erreur : multiplier par 0{,}02 ne garderait que les
intérêts en perdant le capital ! Le coefficient d'une
hausse de 2\ % est 1{,}02.

]]> Suites numériques, modèles discrets — Q07 : Opérations sur les limites Soient uₙ → 5 et v_n \to 0{,}5. Que vaut la limite de
uₙ/vₙ ?

]]> Opérations sur les limites (admises) : somme, produit,
quotient (dénominateur de limite non nulle) se passent aux
limites. \frac{5}{0{,}5} = 10.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc 10

]]> Bonne réponse : quotient de limites (dénominateur non
nul) : \dfrac{5}{0{,}5} = 10.

]]> 2{,}5

]]> Erreur : 5 \times 0{,}5 = 2{,}5 serait la limite du
produit. Le quotient divise : 5 / 0{,}5 = 10.

]]> 5{,}5

]]> Erreur : 5 + 0{,}5 est la limite de la somme.

]]> On ne peut pas conclure

]]> Erreur : les formes indéterminées demandent 0/0 ou
∞/∞ ; ici tout est fini et le dénominateur ne
s'annule pas : les opérations s'appliquent directement.

]]> Suites numériques, modèles discrets — Q08 : Dérouler une récurrence Soit u_{n+1} = 0{,}5\,u_n + 6 avec u₀ = 4. Que vaut
u₂ ?

]]> Une récurrence se calcule de proche en proche : u₀ = 4 → u₁ = 8 → u₂ = 10. (La suite grimpe vers son point
d'équilibre c = 12.)

]]> 1.0 0.0 0 true true abc 10

]]> Bonne réponse : u_1 = 0{,}5 \times 4 + 6 = 8, puis
u_2 = 0{,}5 \times 8 + 6 = 10.

]]> 8

]]> Incomplet : 8 = u₁. Le rang 2 demande une itération
de plus : u₂ = 10.

]]> 7

]]> Erreur : 0{,}5 \times (4 + 6) ? La formule multiplie
d'abord le terme courant, puis ajoute 6 :
u₁ = 8, u₂ = 10.

]]> 16

]]> Erreur : 16 = 4 × 2² appliquerait un doublement.
Ici on multiplie par 0{,}5 et on ajoute 6 à
chaque rang.

]]> Suites numériques, modèles discrets — Q09 : Problème de seuil La valeur d'un équipement est divisée par 2 chaque année :
u_n = 1000 \times 0{,}5^n (en euros). À partir de quel rang
n la valeur passe-t-elle sous 10 euros ?

]]> Recherche de seuil (algorithme du programme) : dérouler les
puissances jusqu'au franchissement. 0{,}5^7 = \frac{1}{128}
: 7{,}8 < 10 < 15{,}6 : rang 7. (Le logarithme donnera
plus tard la solution directe.)

]]> 1.0 0.0 0 true true abc n = 7

]]> Bonne réponse : 1000 \times 0{,}5^6 = 15{,}6 euros
(encore au-dessus) et 1000 \times 0{,}5^7 = 7{,}8
euros : le seuil des 10 euros est franchi au rang 7.

]]> n = 100

]]> Erreur linéaire : 1000/10 = 100 raisonne comme si la
perte était constante. La division répétée par 2 va
bien plus vite : 7 rangs suffisent.

]]> n = 6

]]> Presque : 0{,}5^6 = \dfrac{1}{64} donne 15{,}6
euros, toujours au-dessus de 10. Un rang de plus.

]]> n = 10

]]> Erreur : au rang 10, il ne reste que 0{,}98 euro :
le seuil de 10 euros est franchi depuis le rang 7.

]]> Suites numériques, modèles discrets — Q10 : Représentation en toile d'araignée Pour représenter graphiquement une suite uₙ₊₁ = f(uₙ)
et conjecturer son comportement, on trace la courbe de f
et une autre droite. Laquelle ?

]]> Représentation d'une suite récurrente (capacité attendue) :
courbe de f + droite y = x, construction en escalier
ou en spirale. Les intersections f(x) = x sont les
candidats limites.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc La droite d'équation y = x

]]> Bonne réponse : la construction en escalier rebondit
entre la courbe (calcul de f(uₙ)) et la droite
y = x (report du résultat en abscisse) ; les points
fixes se lisent aux intersections courbe-droite.

]]> L'axe des abscisses

]]> Erreur : l'axe des abscisses ne permet pas de reporter
l'ordonnée f(uₙ) en nouvelle abscisse ; c'est le rôle
de la bissectrice y = x.

]]> La droite y = f(0)

]]> Erreur : cette horizontale n'a aucun rôle dans la
construction ; le va-et-vient exige y = x.

]]> La tangente à la courbe en u₀

]]> Erreur : la tangente sert à d'autres méthodes (Newton) ;
l'escalier de la récurrence utilise la droite y = x.

]]> Suites numériques, modèles discrets — Q11 : Décroissance radioactive discrète Chaque année, 3\ % des noyaux d'un échantillon se
désintègrent. Avec N₀ noyaux au départ, quel modèle
discret décrit Nₙ (nombre de noyaux après n années) ?

]]> Taux de perte constant → suite géométrique de raison
1 - t. Modèle discret de la radioactivité (thème du
programme), version continue à venir avec y' = ay.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc N_n = N_0 \times 0{,}97^n : suite géométrique de raison
0{,}97

]]> Bonne réponse : perdre 3\ % par an revient à
multiplier par 0{,}97 chaque année : décroissance
exponentielle discrète.

]]> N_n = N_0 - 0{,}03\,n

]]> Erreur : ce modèle linéaire retire un montant fixe
par an. Or 3\ % portent sur le stock restant, qui
diminue : modèle multiplicatif.

]]> N_n = N_0 \times 0{,}03^n

]]> Erreur : multiplier par 0{,}03 ferait disparaître
97\ % des noyaux chaque année. Le facteur de
conservation est 0{,}97.

]]> N_n = N_0 \times 1{,}03^n

]]> Erreur de sens : 1{,}03 ferait croître
l'échantillon. Une perte de 3\ % correspond à
\times\,0{,}97.

]]> Suites numériques, modèles discrets — Q12 : Comportement selon la raison Trois suites géométriques ont pour raisons respectives
0{,}9 ; 1 ; 1{,}1 (premiers termes strictement
positifs). Quels sont leurs comportements à long terme ?

]]> Trichotomie fondamentale des suites géométriques positives :
q < 1 : extinction ; q = 1 : équilibre ; q > 1 :
explosion. Un écart minime de raison (0{,}9 contre
1{,}1) sépare des mondes : sensibilité clé en modélisation
(épidémies, intérêts).

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Vers 0 pour 0{,}9 ; constante pour 1 ; vers
+∞ pour 1{,}1

]]> Bonne réponse : la position de la raison par rapport à
1 sépare trois destins radicalement différents, même
pour des raisons très proches (0{,}9 et 1{,}1).

]]> Les trois convergent, plus ou moins vite

]]> Erreur : 1{,}1^n explose (1{,}1^{100} \approx
13\,800) : aucune convergence pour q > 1.

]]> Les trois tendent vers leur raison

]]> Erreur : la raison est un facteur, pas un point
d'arrivée. Les limites sont 0, la constante initiale,
et +∞.

]]> Impossible à dire sans les premiers termes

]]> Erreur : pour des premiers termes strictement positifs,
seul le rapport à 1 de la raison décide du
comportement limite.

]]> Suites numériques, modèles discrets — Q13 : Limite d'une suite arithmétique Quelle est la limite d'une suite arithmétique de raison
r = 3 ?

]]> Suites arithmétiques : r > 0 : limite +∞ ; r < 0 : -∞ ; r = 0 : constante. Le modèle linéaire
discret ne plafonne jamais : contraste fondamental avec les
géométriques amorties.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc +∞ : chaque pas ajoute 3, sans plafond

]]> Bonne réponse : uₙ = u₀ + 3n dépasse tout seuil :
une suite arithmétique de raison positive file vers
+∞.

]]> 3 : la raison

]]> Confusion : la raison est le pas, pas la
destination : les termes s'accumulent sans s'arrêter à
3.

]]> u₀

]]> Erreur : u₀ est le point de départ : avec r > 0, la
suite s'en éloigne définitivement.

]]> 0

]]> Erreur : ce destin appartient aux suites
géométriques de raison |q| < 1 : l'arithmétique de
raison positive grimpe sans retour.

]]> Suites numériques, modèles discrets — Q14 : Somme des puissances de $q$ Pour q ≠ 1, que vaut la somme 1 + q + q² + … + qⁿ ?

]]> 1 + q + \dots + q^n = \dfrac{1 - q^{n+1}}{1 - q} :
l'exposant compte les termes. Conséquence clé pour les
limites : si |q| < 1, la somme tend vers 1/1 - q.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc \dfrac{1 - q^{n+1}}{1 - q}

]]> Bonne réponse : n + 1 termes, du rang 0 au rang
n : l'exposant du numérateur est le nombre de
termes.

]]> \dfrac{1 - q^{n}}{1 - q}

]]> Exposant décalé : cette formule somme n termes
(1 + … + qⁿ⁻¹) : jusqu'à qⁿ inclus, il y en
a n + 1.

]]> \dfrac{q^{n+1}}{1 - q}

]]> Numérateur amputé : le 1 - initial est indispensable
(testez q = 0 : la somme vaut 1, la formule doit le
redonner).

]]> (n + 1) q

]]> Confusion avec l'arithmétique : ce serait la somme de
n+1 termes ÉGAUX à q : ici les termes grimpent en
puissances.

]]> Suites numériques, modèles discrets — Q15 : Point d'équilibre d'un modèle mixte Une suite vérifie u_{n+1} = 0{,}8\,u_n + 50. Quelle est la
valeur d'équilibre (suite constante solution) ?

]]> Équilibre de uₙ₊₁ = auₙ + b : \ell = \dfrac{b}{1 -
a} (résoudre \ell = a\ell + b). Avec |a| < 1, les
suites convergent vers cet équilibre : la valeur de long
terme du modèle.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc 250, solution de \ell = 0{,}8\,\ell + 50

]]> Bonne réponse : l'équilibre vérifie \ell = 0{,}8\ell +
50, soit 0{,}2\ell = 50 : \ell = 250 : si la suite
y démarre, elle y reste.

]]> 50

]]> Contrôle : 0{,}8 \times 50 + 50 = 90 \neq 50 : le
terme constant n'est pas l'équilibre : on résout
l'équation du point fixe.

]]> 62{,}5

]]> Erreur : \frac{50}{0{,}8} divise par le coefficient au
lieu de 1 - 0{,}8 : l'équation est 0{,}2\ell = 50.

]]> 0

]]> Erreur : 0{,}8 \times 0 + 50 = 50 \neq 0 : zéro n'est
équilibre que des modèles SANS terme constant.

]]> Suites numériques, modèles discrets — Q16 : Limite d'une forme explicite Que vaut \lim\limits_{n \to +\infty} \left(5 - 3 \times
0{,}7^n\right) ?

]]> Forme \ell + C q^n avec |q| < 1 : limite \ell : la
partie géométrique meurt, le plateau reste. La forme
explicite standard des modèles convergents (la lire, c'est
lire le long terme).

]]> 1.0 0.0 0 true true abc 5

]]> Bonne réponse : 0{,}7^n \to 0 (raison entre 0 et
1) : le terme correctif s'évanouit, reste le plateau
5.

]]> 2

]]> Erreur : 5 - 3 = 2 évalue 0{,}7^n à 1 (sa valeur
en n = 0) : à l'infini, la puissance fond vers 0.

]]> +∞

]]> Erreur : 0{,}7 < 1 : la puissance décroît vers
0, elle n'explose pas : la suite plafonne à 5.

]]> 0

]]> Erreur : c'est 0{,}7^n qui tend vers 0, pas la suite
entière : le 5 demeure.

]]> Suites numériques, modèles discrets — Q17 : La suite auxiliaire $v_n = u_n - 250$ Pour u_{n+1} = 0{,}8\,u_n + 50 (équilibre 250), on pose
vₙ = uₙ - 250. Que devient la suite (vₙ) ?

]]> Méthode de la suite auxiliaire : retrancher l'équilibre
transforme le modèle mixte en géométrique pure : v_n = v_0
\times 0{,}8^n, d'où u_n = 250 + (u_0 - 250) \times
0{,}8^n : forme explicite et limite d'un seul coup.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Géométrique de raison 0{,}8 : v_{n+1} = 0{,}8\,v_n

]]> Bonne réponse : v_{n+1} = u_{n+1} - 250 = 0{,}8u_n +
50 - 250 = 0{,}8(u_n - 250) = 0{,}8v_n : mesurer
l'écart à l'équilibre purifie le modèle.

]]> Arithmétique de raison 50

]]> Erreur : le décalage a précisément absorbé le +50 :
il ne reste que la multiplication par 0{,}8.

]]> Constante égale à 250

]]> Erreur : vₙ mesure l'écart à 250 : il rétrécit
de 20\ % par étape, il n'est pas figé.

]]> De même nature que (uₙ) : rien ne change

]]> Erreur : tout change ! (uₙ) est arithmético-
géométrique (mixte), (vₙ) est géométrique pure :
c'est le but de la manœuvre.

]]> Suites numériques, modèles discrets — Q18 : Interpréter la convergence Une population de poissons suit u_{n+1} = 0{,}8\,u_n + 50
(en centaines, 50 = alevins introduits chaque année).
Comment interpréter la convergence vers 250 ?

]]> Lire un modèle uₙ₊₁ = auₙ + b : a = ce qui reste
d'une période à l'autre, b = l'apport fixe, l'équilibre
b/1-a = le point où l'apport compense exactement
les pertes. Les maths et l'écologie disent la même chose.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc La population se stabilise vers 25 000 poissons :
pertes et repeuplement finissent par s'équilibrer

]]> Bonne réponse : à 250 centaines, les 20\ % de
pertes (50) sont exactement compensées par les 50
introduites : flux entrant = flux sortant : plateau.

]]> La population disparaît à terme

]]> Erreur : le repeuplement annuel maintient un socle : la
limite est 250 centaines, pas 0 (ce serait le cas
sans le +50).

]]> La population explose : on ajoute des poissons chaque
année

]]> Erreur : les pertes de 20\ % grossissent avec la
population : elles finissent par absorber tout l'apport :
le modèle plafonne.

]]> La population oscille sans se stabiliser

]]> Erreur : avec une raison 0 < 0{,}8 < 1, la
convergence est monotone : la suite s'approche du
plateau sans le franchir.

]]>