$course$/QCM de maths/Maths expertes/Arithmétique : divisibilité, congruences, nombres premiers Divisibilité dans ℤ, division euclidienne,
congruences et compatibilité avec les opérations, PGCD et
algorithme d'Euclide, théorèmes de Bézout et de Gauss, nombres
premiers, décomposition en facteurs premiers, petit théorème
de Fermat.

]]> Arithmétique : divisibilité, congruences, nombres premiers — Q01 : Divisibilité dans $\mathbb{Z}$ Que signifie « a divise b » (noté a \mid b) pour deux
entiers relatifs ?

]]> a \mid b \iff \exists k \in \mathbb{Z},\ b = ka.
Propriétés : transitivité, et surtout : si a \mid b et
a \mid c, alors a divise toute combinaison ub + vc :
l'outil de base des raisonnements.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Il existe un entier k tel que b = ka

]]> Bonne réponse : b est un multiple de a. Exemples :
7 \mid 42 (42 = 6 × 7), -3 \mid 12, et 5
\mid 0 (0 = 0 × 5).

]]> a/b est un entier

]]> Fraction à l'envers : « a divise b » signifie que
b/a est entier (quand a ≠ 0), pas
a/b.

]]> a < b

]]> Sans rapport : 4 < 6 mais 4 \nmid 6 ; et 7 \mid 7
sans inégalité stricte.

]]> a et b ont le même signe

]]> Sans rapport : -3 \mid 12 (12 = (-4)(-3)). La
divisibilité ignore les signes.

]]> Arithmétique : divisibilité, congruences, nombres premiers — Q02 : Division euclidienne d'un négatif Quelle est la division euclidienne de -17 par 5 ?

]]> a = bq + r avec 0 ≤ r < b : le couple (q, r) est
unique. Pour un dividende négatif, le quotient « descend » :
-17 = 5 × (-4) + 3. Le reste est aussi le
représentant de -17 modulo 5.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc -17 = 5 × (-4) + 3, quotient -4 et reste 3

]]> Bonne réponse : le reste doit vérifier 0 ≤ r < 5 ;
on descend au multiple de 5 inférieur à -17,
soit -20, et -17 - (-20) = 3.

]]> -17 = 5 × (-3) - 2, quotient -3 et reste -2

]]> Reste négatif interdit : la définition impose 0 ≤ r < 5. On corrige : -17 = 5(-4) + 3.

]]> -17 = 5 × (-3) + 2, quotient -3 et reste 2

]]> Calcul faux : 5 × (-3) + 2 = -13 ≠ -17.
L'égalité doit être exacte et le reste dans
[0\ ;\ 5[.

]]> Impossible : la division euclidienne exige des entiers
positifs

]]> Erreur : le programme la définit pour tout dividende de
ℤ (le diviseur restant dans
ℕ^*).

]]> Arithmétique : divisibilité, congruences, nombres premiers — Q03 : Définition d'une congruence Que signifie a ≡ b ±od n ?

]]> a \equiv b \pmod n \iff n \mid (a - b) \iff même reste
modulo n. C'est une relation d'équivalence, et surtout
elle respecte addition et multiplication : on calcule
« dans les restes ».

]]> 1.0 0.0 0 true true abc n divise a - b

]]> Bonne réponse : même reste dans la division par n,
c'est-à-dire différence multiple de n. Exemple :
23 ≡ 3 ±od 5 car 5 \mid 20.

]]> a = b

]]> Trop fort : la congruence est une égalité à un
multiple de n près : 23 ≠ 3 mais 23 ≡ 3 ±od 5.

]]> a divise b

]]> Confusion : c'est n qui divise la différence
a - b, pas a qui divise b.

]]> a et b sont premiers avec n

]]> Sans rapport : 10 ≡ 4 ±od 6 alors que ni 10
ni 4 n'est premier avec 6.

]]> Arithmétique : divisibilité, congruences, nombres premiers — Q04 : Compatibilité avec les opérations Sachant 10 ≡ 1 ±od 9, que vaut 10²⁰²⁶ ±od 9 ?

]]> Si a ≡ b ±od n alors a + c ≡ b + c, ac ≡ bc et aᵏ ≡ bᵏ ±od n. Conséquence : un
entier est congru modulo 9 à la somme de ses chiffres.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc 10²⁰²⁶ ≡ 1 ±od 9

]]> Bonne réponse : la congruence passe aux puissances :
10²⁰²⁶ ≡ 1²⁰²⁶ = 1. C'est le cœur de la
preuve par neuf et du critère de divisibilité par 9.

]]> 10²⁰²⁶ ≡ 2026 ±od 9

]]> Erreur : l'exposant ne « descend » pas : on élève la
congruence à la puissance : 1²⁰²⁶ = 1.

]]> 10²⁰²⁶ ≡ 0 ±od 9

]]> Erreur : 10²⁰²⁶ n'est pas multiple de 9 (ses
seuls facteurs premiers sont 2 et 5).

]]> Impossible sans calculer 10²⁰²⁶

]]> Erreur : tout l'intérêt des congruences est d'éviter ce
calcul : 10 ≡ 1 suffit.

]]> Arithmétique : divisibilité, congruences, nombres premiers — Q05 : Algorithme d'Euclide On calcule PGCD(252\ ;\ 105) par l'algorithme
d'Euclide : 252 = 105 × 2 + 42, puis 105 = 42 × 2 + 21, puis 42 = 21 × 2 + 0. Quel est le PGCD ?

]]> Euclide : on remplace (a\ ;\ b) par (b\ ;\ r) jusqu'au
reste nul ; le PGCD est le dernier reste non nul. Contrôle :
252 = 21 × 12, 105 = 21 × 5, et 12, 5
premiers entre eux.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc 21 : le dernier reste non nul

]]> Bonne réponse : l'algorithme repose sur
PGCD(a\ ;\ b) = PGCD(b\ ;\ r) ; le
dernier reste non nul est le PGCD.

]]> 42 : le premier reste

]]> Erreur : 42 ne divise pas 105 : on continue tant que
le reste n'est pas nul ; c'est le dernier reste non
nul qui gagne.

]]> 0 : le dernier reste

]]> Erreur : le 0 final signale l'arrêt ; le PGCD est le
reste précédent (21).

]]> 2 : le quotient répété

]]> Erreur : les quotients ne portent pas le PGCD : seuls
les restes comptent.

]]> Arithmétique : divisibilité, congruences, nombres premiers — Q06 : Théorème de Bézout Que dit le théorème de Bézout pour deux entiers a et b ?

]]> Bézout : \text{PGCD}(a\ ;\ b) = 1 \iff \exists\, u, v \in
\mathbb{Z},\ au + bv = 1. Les coefficients u, v se
calculent en remontant l'algorithme d'Euclide (Euclide
étendu). Plus généralement, le PGCD d s'écrit toujours
d = au + bv.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc a et b sont premiers entre eux si et seulement s'il
existe des entiers u et v tels que au + bv = 1

]]> Bonne réponse : l'équivalence complète. Le sens « il
existe u, v » se lit : tout diviseur commun divise
au + bv = 1, donc vaut ± 1.

]]> Pour tous entiers a et b, il existe u et v tels
que au + bv = 1

]]> Faux sans hypothèse : 6u + 4v est toujours pair, donc
jamais égal à 1. Il faut a et b premiers entre
eux.

]]> Si a \mid bc et a premier avec b, alors a \mid c

]]> C'est le théorème de Gauss : conséquence de Bézout,
mais énoncé distinct.

]]> Tout entier ≥ 2 se décompose en produit de facteurs
premiers

]]> C'est le théorème de décomposition (existence et
unicité), pas Bézout.

]]> Arithmétique : divisibilité, congruences, nombres premiers — Q07 : Théorème de Gauss On sait que 7 \mid 3n pour un entier n. Que peut-on
conclure ?

]]> Gauss (démonstration au programme, via Bézout) : si a \mid
bc et PGCD(a\ ;\ b) = 1, alors a \mid c.
L'hypothèse « premiers entre eux » est vitale : 6 \mid 4
\times 3 sans diviser ni 4 ni 3.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc 7 \mid n, car 7 est premier avec 3

]]> Bonne réponse : théorème de Gauss : 7 divise le
produit 3n et est premier avec le facteur 3, donc
divise l'autre facteur.

]]> 7 \mid 3

]]> Faux : 3 < 7 et 3 ≠ 0. Gauss oriente la
divisibilité vers le facteur non premier avec rien…
c'est n qui hérite.

]]> n = 7

]]> Trop précis : n est multiple de 7 (0, 7,
14, -7…), pas forcément 7.

]]> Rien : il faudrait connaître n

]]> Erreur : c'est exactement la situation du théorème de
Gauss : conclusion garantie sans connaître n.

]]> Arithmétique : divisibilité, congruences, nombres premiers — Q08 : Équation diophantienne L'équation 3x + 5y = 1 admet la solution particulière
(x₀\ ;\ y₀) = (2\ ;\ -1). Quelles sont toutes les
solutions entières ?

]]> Méthode complète : solution particulière, puis soustraction
et théorème de Gauss pour la forme générale x = x₀ + 5k,
y = y₀ - 3k. Résoudre ax + by = c exige
\text{PGCD}(a\ ;\ b) \mid c.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc x = 2 + 5k, y = -1 - 3k, pour k ∈ ℤ

]]> Bonne réponse : par différence, 3(x - 2) = -5(y + 1) ;
Gauss (3 premier avec 5) force 5 \mid x - 2, d'où
la forme annoncée. Contrôle : 3(2 + 5k) + 5(-1 - 3k) = 1.

]]> (2\ ;\ -1) est la seule solution

]]> Incomplet : (7\ ;\ -4) marche aussi (21 - 20 = 1) :
une droite entière de solutions, indexée par k.

]]> x = 2 + 3k, y = -1 - 5k, pour k ∈ ℤ

]]> Coefficients croisés : c'est 5 (coefficient de y)
qui module x, et 3 qui module y. Contrôle avec
k = 1 : 3 × 5 + 5 × (-6) = -15 ≠ 1.

]]> Aucune : 3 et 5 ne divisent pas 1

]]> Erreur : PGCD(3\ ;\ 5) = 1 divise 1 :
Bézout garantit des solutions.

]]> Arithmétique : divisibilité, congruences, nombres premiers — Q09 : L'ensemble des nombres premiers Que sait-on de l'ensemble des nombres premiers ?

]]> L'infinité des premiers est une démonstration au programme.
Argument clé : tout entier ≥ 2 admet un diviseur
premier, et N = p₁⋯ pₙ + 1 échappe à la liste
(reste 1 dans chaque division).

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Il est infini (démonstration d'Euclide)

]]> Bonne réponse : si p₁, …, pₙ étaient les seuls
premiers, N = p₁ p₂ ⋯ pₙ + 1 n'en serait
divisible par aucun : contradiction avec l'existence
d'un diviseur premier.

]]> Il est fini : le plus grand premier est connu

]]> Erreur : les « records » (nombres de Mersenne) sont les
plus grands premiers connus, pas les plus grands
existants : l'ensemble est infini.

]]> Tous les nombres premiers sont impairs

]]> Oubli de 2 : le seul premier pair, mais premier quand
même.

]]> Un produit de deux premiers est premier

]]> Contraire de la définition : 3 × 5 = 15 a quatre
diviseurs : composé.

]]> Arithmétique : divisibilité, congruences, nombres premiers — Q10 : Décomposition en facteurs premiers Quelle est la décomposition en facteurs premiers de 360 ?

]]> Existence et unicité de la décomposition : au programme
(avec démonstration de l'existence). Applications : lecture
des diviseurs (360 en a (3+1)(2+1)(1+1) = 24), PGCD par
exposants minimaux.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc 360 = 2³ × 3² × 5

]]> Bonne réponse : 360 = 8 × 45 = 8 × 9 × 5. La décomposition existe et est unique (à l'ordre
près) : c'est le théorème fondamental.

]]> 360 = 2² × 3² × 10

]]> Presque : le produit vaut bien 360, mais 10 = 2 × 5 n'est pas premier : la décomposition doit
aller jusqu'au bout.

]]> 360 = 2³ × 45

]]> Inachevé : 45 = 3² × 5 est composé. On
factorise jusqu'à n'avoir que des premiers.

]]> 360 = 6 × 60

]]> Simple produit : ni 6 ni 60 n'est premier. La
décomposition canonique : 2³ × 3² × 5.

]]> Arithmétique : divisibilité, congruences, nombres premiers — Q11 : Petit théorème de Fermat p = 7 est premier et a = 3 n'est pas divisible par 7.
Que donne le petit théorème de Fermat ?

]]> Petit théorème de Fermat : si p premier et p \nmid a,
alors aᵖ⁻¹ ≡ 1 ±od p (variante : aᵖ ≡ a
pour tout a). Usage : réduire les exposants géants modulo
p - 1, tests de primalité, RSA.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc 3⁶ ≡ 1 ±od 7

]]> Bonne réponse : aᵖ⁻¹ ≡ 1 ±od p : l'exposant
est p - 1 = 6. Vérification : 3⁶ = 729 = 104 × 7 + 1.

]]> 3⁷ ≡ 1 ±od 7

]]> Exposant faux : la forme en aᵖ est 3⁷ ≡ 3 ±od 7 (congru à a, pas à 1).

]]> 3⁶ ≡ 0 ±od 7

]]> Erreur : 3⁶ n'a que des facteurs 3 : jamais
divisible par 7. Fermat donne le reste 1.

]]> 6³ ≡ 1 ±od 7

]]> Base et exposant échangés : c'est aᵖ⁻¹ = 3⁶.
(D'ailleurs 6³ = 216 ≡ 6 ±od 7.)

]]> Arithmétique : divisibilité, congruences, nombres premiers — Q12 : Inverse modulo $n$ Quel est l'inverse de 3 modulo 7, c'est-à-dire l'entier
x \in \{1, \dots, 6\} tel que 3x ≡ 1 ±od 7 ?

]]> a inversible modulo n \iff \text{PGCD}(a\ ;\ n) = 1 ;
l'inverse sort des coefficients de Bézout. Application :
résoudre 3x ≡ 4 ±od 7 : multiplier par 5 :
x ≡ 20 ≡ 6.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc x = 5

]]> Bonne réponse : 3 × 5 = 15 = 2 × 7 + 1 ≡ 1. L'inverse existe car 3 et 7 sont premiers
entre eux (Bézout).

]]> x = 4

]]> 3 × 4 = 12 ≡ 5 ±od 7 : pas 1. On teste
ou on remonte Bézout : x = 5.

]]> x = ⅓

]]> Hors sujet : l'inverse modulaire est un entier : pas
de fractions dans ℤ/n. Ici 5 joue le rôle
de ⅓.

]]> Il n'existe pas

]]> Erreur : PGCD(3\ ;\ 7) = 1 garantit l'inverse
(Bézout : 3 × 5 + 7 × (-2) = 1).

]]> Arithmétique : divisibilité, congruences, nombres premiers — Q13 : Divisibilité par $3$ Le nombre 741 est-il divisible par 3 ?

]]> 10 ≡ 1 ±od 3 (et ±od 9) : un entier est congru
à la somme de ses chiffres modulo 3 et 9. Les critères
de divisibilité sont des théorèmes de congruence déguisés.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Oui : la somme de ses chiffres, 7 + 4 + 1 = 12, est
divisible par 3

]]> Bonne réponse : critère fondé sur 10 ≡ 1 ±od 3 : tout nombre est congru à la somme de ses
chiffres modulo 3. (741 = 3 × 247.)

]]> Non : il est impair

]]> Confusion : la parité teste la divisibilité par 2 :
9, 15, 741… sont impairs ET divisibles par 3.

]]> Non : il ne se termine pas par 3, 6 ou 9

]]> Faux critère : le dernier chiffre teste 2, 5 ou
10 : pour 3, c'est la somme des chiffres qui
décide.

]]> Impossible à savoir sans poser la division

]]> Erreur : le critère de la somme des chiffres répond en
deux secondes : c'est toute la force des congruences.

]]> Arithmétique : divisibilité, congruences, nombres premiers — Q14 : Division euclidienne de $47$ par $6$ Quels sont le quotient et le reste de la division
euclidienne de 47 par 6 ?

]]> a = bq + r, 0 ≤ r < b : le quotient est le plus grand
multiple qui tient, le reste est le débordement. La
contrainte sur r rend le couple UNIQUE : c'est elle qui
fait tout marcher.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc 47 = 6 × 7 + 5 : quotient 7, reste 5

]]> Bonne réponse : 6 × 7 = 42 ≤ 47 < 48 = 6 × 8, et 47 - 42 = 5, bien dans [0\ ;\ 6[.

]]> Quotient 8, reste -1

]]> Reste négatif interdit : la définition impose 0 ≤ r < 6 : on prend le multiple de 6 juste EN DESSOUS.

]]> Quotient 7, reste 6

]]> Reste trop grand : r = 6 signifierait qu'une unité de
quotient reste à prendre : le reste vit STRICTEMENT sous
le diviseur.

]]> Quotient 5, reste 7

]]> Rôles échangés (et reste invalide) : 47 = 6q + r avec
q = 7 (combien de fois 6) et r = 5 (ce qui
déborde).

]]> Arithmétique : divisibilité, congruences, nombres premiers — Q15 : Deux entiers consécutifs Que peut-on dire de n et n + 1 pour tout entier n ?

]]> Argument roi : tout diviseur commun de a et b divise
a - b. Pour des consécutifs, la différence vaut 1 : PGCD
= 1. Ce petit lemme alimente quantité de démonstrations
(dont l'infinité des premiers).

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Ils sont toujours premiers entre eux

]]> Bonne réponse : tout diviseur commun divise leur
différence (n+1) - n = 1 : le PGCD vaut 1, sans
exception.

]]> Ils ont toujours un facteur commun

]]> Erreur : leur seul diviseur commun est 1 : deux
voisins n'ont rien à partager (l'argument de la
différence le prouve).

]]> L'un des deux est toujours premier

]]> Faux : 8 et 9 sont tous deux composés : « premiers
entre eux » ne dit rien de la primalité individuelle.

]]> Leur PGCD est n

]]> Erreur : n \mid n mais n \nmid n + 1 (dès n ≥ 2) : le PGCD tombe à 1.

]]> Arithmétique : divisibilité, congruences, nombres premiers — Q16 : Dernier chiffre et modulo $10$ Quel est le dernier chiffre de 7⁴ ?

]]> Dernier chiffre = reste modulo 10 : réduire À CHAQUE
étape garde les nombres minuscules. Les puissances modulo
10 tournent en cycles courts (7 : période 4) : les
repérer économise tout.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc 1 : car 7² = 49 ≡ 9, puis 7^4 \equiv 9^2 =
81 \equiv 1 \pmod{10}

]]> Bonne réponse : le dernier chiffre EST le reste modulo
10 : on réduit à chaque étape (49 → 9, 81 → 1) au lieu de calculer 2401.

]]> 9

]]> Arrêt à mi-course : 9 est le dernier chiffre de
7² : encore une élévation au carré : 9² ≡ 1.

]]> 7

]]> Erreur : les derniers chiffres de 7ⁿ tournent :
7, 9, 3, 1, 7, … : au rang 4, le cycle retombe
sur 1.

]]> 4

]]> Erreur : 4 est l'exposant, pas le reste : le calcul
modulaire donne 1 (7⁴ = 2401).

]]> Arithmétique : divisibilité, congruences, nombres premiers — Q17 : Compter les diviseurs Sachant 360 = 2³ × 3² × 5, combien 360
a-t-il de diviseurs positifs ?

]]> Nombre de diviseurs de p_1^{e_1} \cdots p_k^{e_k} :
(e₁ + 1)⋯(eₖ + 1) : chaque diviseur est un choix
d'exposants entre 0 et eᵢ. La décomposition en facteurs
premiers révèle TOUTE la structure multiplicative.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc (3+1)(2+1)(1+1) = 24

]]> Bonne réponse : un diviseur choisit un exposant pour
chaque facteur premier : 4 choix pour le 2 (2⁰ à
2³), 3 pour le 3, 2 pour le 5 : produit 24.

]]> 3 × 2 × 1 = 6

]]> Le « +1 » oublié : l'exposant 0 est un choix
légitime (ne pas prendre le facteur) : chaque exposant
offre e + 1 possibilités.

]]> 3 + 2 + 1 = 6

]]> Addition au lieu de multiplication : les choix
d'exposants sont indépendants : principe
multiplicatif.

]]> 360 ÷ 2 = 180

]]> Erreur : aucun lien de ce type : le compte sort de la
décomposition : (3+1)(2+1)(1+1) = 24.

]]> Arithmétique : divisibilité, congruences, nombres premiers — Q18 : Rendre une fraction irréductible Sachant PGCD(252\ ;\ 105) = 21, quelle est la
forme irréductible de 252/105 ?

]]> Diviser numérateur et dénominateur par leur PGCD donne LA
forme irréductible en une étape : c'est l'application
quotidienne de l'algorithme d'Euclide.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc 12/5

]]> Bonne réponse : diviser haut et bas par le PGCD :
252 ÷ 21/105 ÷ 21 = 12/5, et
12, 5 sont premiers entre eux : irréductible
garanti.

]]> 84/35

]]> Simplification partielle : diviser par 3 seulement
laisse le facteur 7 commun : le PGCD simplifie EN UNE
FOIS et à fond.

]]> 5/12

]]> Fraction renversée : le numérateur 252 donne 12, le
dénominateur 105 donne 5.

]]> 21/5

]]> Erreur : 21 est le PGCD (le diviseur commun), pas le
numérateur simplifié (252 ÷ 21 = 12).

]]> Arithmétique : divisibilité, congruences, nombres premiers — Q19 : Tester la primalité de $97$ Pour vérifier que 97 est premier, quels diviseurs
suffit-il de tester ?

]]> Test de primalité : diviser par les premiers ≤ √n : si n = ab avec a ≤ b, alors a ≤ √n. Pour 97 : quatre tests, verdict premier : la
racine carrée divise le travail par dix.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Les premiers 2, 3, 5, 7 : tous ceux qui ne dépassent
pas \sqrt{97} \approx 9{,}8

]]> Bonne réponse : un composé n = ab a toujours un
facteur ≤ √n : quatre divisions suffisent
(aucune ne tombe juste : 97 est premier).

]]> Tous les entiers de 2 à 96

]]> Gaspillage : si aucun diviseur n'existe sous √97,
aucun n'existe au-dessus (ils iraient par paires) :
9{,}8 est la frontière utile.

]]> Seulement 2 et 3

]]> Insuffisant : 35 = 5 × 7 échappe à 2 et 3 :
il faut monter jusqu'à √n (5 et 7 compris).

]]> Les nombres pairs uniquement

]]> Erreur : les diviseurs pairs se réduisent au test de
2 : ce sont les premiers IMPAIRS (3, 5, 7) qui
restent à examiner.

]]> Arithmétique : divisibilité, congruences, nombres premiers — Q20 : Le calendrier modulo $7$ Nous sommes lundi. Quel jour serons-nous dans 100 jours ?

]]> Les cycles du quotidien (jours, heures, angles) sont des
congruences : seul le reste importe. 100 ≡ 2 ±od 7 : le décalage net de 100 jours est de 2 jours.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Mercredi : 100 ≡ 2 ±od 7, donc deux jours après
lundi

]]> Bonne réponse : 100 = 14 × 7 + 2 : les 14
semaines pleines ne comptent pas, seuls les 2 jours de
reste décalent.

]]> Lundi : 100 est un compte rond

]]> Erreur : « rond » en base 10 ne dit rien modulo 7 :
seul le reste de 100 par 7 (qui vaut 2) compte.

]]> Vendredi

]]> Erreur de reste : 100 = 98 + 2 et 98 = 14 × 7 :
reste 2, pas 4 : lundi + 2 = mercredi.

]]> Impossible sans calendrier

]]> Erreur : les jours de la semaine SONT une arithmétique
modulo 7 : le reste répond sans calendrier.

]]> Arithmétique : divisibilité, congruences, nombres premiers — Q21 : Calculer $2^{100} \pmod 7$ Que vaut le reste de 2¹⁰⁰ dans la division par 7 ?

]]> Puissances modulo n : trouver le cycle (ici 2³ ≡ 1), réduire l'exposant modulo sa longueur. Le petit
théorème de Fermat garantit un cycle divisant p - 1 = 6 ;
le cycle réel peut être plus court (3 ici).

]]> 1.0 0.0 0 true true abc 2 : car 2³ = 8 ≡ 1 ±od 7 et 100 = 3 × 33 + 1

]]> Bonne réponse : le cycle de 2 modulo 7 est de
longueur 3 (2, 4, 1, 2, 4, 1, …) : 2¹⁰⁰ = (2³)³³ × 2 ≡ 1³³ × 2 = 2.

]]> 0 : une puissance aussi grande est divisible par tout

]]> Erreur : 2¹⁰⁰ n'a que des facteurs 2 : jamais
divisible par 7 : le reste ne peut pas être nul.

]]> 4

]]> Erreur de position dans le cycle : 4 = 2²
correspondrait à un exposant ≡ 2 ±od 3 ; or
100 ≡ 1 : reste 2.

]]> 1

]]> Presque : 1 correspond aux exposants multiples de
3 (99 par exemple) : 100 dépasse d'un cran :
× 2.

]]> Arithmétique : divisibilité, congruences, nombres premiers — Q22 : Résoudre $5x \equiv 3 \pmod 7$ Quelles sont les solutions de la congruence 5x ≡ 3 ±od 7 ?

]]> ax ≡ b ±od n avec PGCD(a\ ;\ n) = 1 :
multiplier par l'inverse de a : x ≡ a⁻¹b.
L'inverse se trouve par tâtonnement (petits modules) ou par
Bézout remonté (gros modules).

]]> 1.0 0.0 0 true true abc x ≡ 2 ±od 7 : on multiplie par 3, inverse de
5 modulo 7

]]> Bonne réponse : 5 × 3 = 15 ≡ 1 : 3 est
l'inverse de 5 ; alors x ≡ 3 × 3 = 9 ≡ 2. Contrôle : 5 × 2 = 10 ≡ 3 ✓.

]]> x = ⅗

]]> Hors monde : pas de fractions dans les congruences : la
« division » se fait en multipliant par l'INVERSE
modulaire de 5 (qui est 3).

]]> Aucune solution : 5 ne divise pas 3

]]> Erreur : la divisibilité ordinaire ne décide pas :
PGCD(5\ ;\ 7) = 1 garantit un inverse, donc une
solution unique modulo 7.

]]> x ≡ 3 ±od 7

]]> Contrôle : 5 × 3 = 15 ≡ 1 ≠ 3 : c'est
l'inverse de 5, pas la solution : encore une
multiplication par 3.

]]> Arithmétique : divisibilité, congruences, nombres premiers — Q23 : $n^2$ pair implique $n$ pair Comment démontrer proprement : « si n² est pair, alors
n est pair » ?

]]> Contraposée : « A ⇒ B » équivaut à « non B
⇒ non A » : quand l'hypothèse directe est
difficile à exploiter, renverser. Ici : l'imparité se
calcule (2k+1), la parité de n² ne se remonte pas
directement.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Par contraposée : si n est impair, n = 2k + 1 donne
n² = 2(2k² + 2k) + 1, impair

]]> Bonne réponse : la contraposée (« n impair
⇒ n² impair ») se calcule en une ligne, et
elle est logiquement ÉQUIVALENTE à l'énoncé.

]]> En vérifiant pour n = 2, 4, 6

]]> Exemples, pas preuve : trois cas ne couvrent pas tous
les entiers (et testent d'ailleurs le sens réciproque !).

]]> C'est faux : n² pair n'impose rien à n

]]> Erreur : l'énoncé est vrai (essentiel, entre autres,
dans la preuve de l'irrationalité de √2) : la
contraposée le démontre.

]]> En divisant n² par n

]]> Erreur : la parité ne « se divise » pas : le passage
par l'écriture n = 2k + 1 (contraposée) est le chemin
rigoureux.

]]> Arithmétique : divisibilité, congruences, nombres premiers — Q24 : Pourquoi Euclide fonctionne L'algorithme d'Euclide repose sur l'égalité
PGCD(a\ ;\ b) = PGCD(b\ ;\ r) où r est le
reste de a par b. Pourquoi est-elle vraie ?

]]> Deux ingrédients : correction (PGCD(a\ ;\ b) = PGCD(b\ ;\ r), par conservation des diviseurs
communs) et terminaison (les restes décroissent strictement
vers 0). Le modèle de toute preuve d'algorithme.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Parce que a = bq + r : les diviseurs communs de
(a\ ;\ b) et de (b\ ;\ r) sont exactement les mêmes

]]> Bonne réponse : d divise a et b ⇒ il
divise r = a - bq ; et d divise b et r
⇒ il divise a = bq + r : mêmes diviseurs
communs, même PGCD.

]]> Parce que r est toujours plus petit que b

]]> C'est la raison de la terminaison (les restes
décroissent), pas de la correction : l'égalité des PGCD
vient de a = bq + r.

]]> Parce que le PGCD est toujours le dernier reste

]]> Circulaire : c'est la CONSÉQUENCE de l'égalité répétée,
pas sa justification.

]]> C'est une convention posée sans démonstration

]]> Erreur : c'est un théorème, démontré en deux lignes par
la conservation des diviseurs communs à travers a = bq + r.

]]>