$course$/QCM de maths/Maths expertes/Nombres complexes : point de vue algébrique L'ensemble ℂ, partie réelle et partie imaginaire,
opérations, conjugaison et propriétés algébriques, inverse d'un
nombre complexe non nul, équations az = b et équations
simples faisant intervenir z et \bar{z}, formule du binôme.

]]> Nombres complexes : point de vue algébrique — Q01 : Le nombre $i$ Quelle égalité définit le nombre i ?

]]> ℂ est construit en adjoignant à ℝ un
nombre i tel que i² = -1 ; tout complexe s'écrit alors
z = a + ib (a, b réels). Puissances utiles : i³ = -i,
i⁴ = 1.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc i² = -1

]]> Bonne réponse : i est introduit comme un nombre dont le
carré vaut -1 : la clé qui ouvre la résolution de
toutes les équations du second degré.

]]> i = √-1, avec les règles usuelles des racines

]]> Piège d'écriture : la notation √\ est réservée
aux réels positifs ; l'utiliser avec -1 mène à des
absurdités (1 = √1 = √(-1)(-1) = i × i = -1 ?!). On dit : i² = -1.

]]> i = -1

]]> Erreur : (-1)² = 1 ≠ -1. Le nombre i n'est pas
réel : c'est son carré qui vaut -1.

]]> i² = 1

]]> Erreur : les nombres de carré 1 sont 1 et -1, déjà
réels. La nouveauté de i : i² = -1.

]]> Nombres complexes : point de vue algébrique — Q02 : Parties réelle et imaginaire Soit z = 3 - 5i. Que valent la partie réelle et la partie
imaginaire de z ?

]]> Forme algébrique z = a + ib : Re(z) = a,
Im(z) = b, tous deux réels. Deux complexes sont
égaux si et seulement si leurs parties réelles et
imaginaires coïncident.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Re(z) = 3 et Im(z) = -5

]]> Bonne réponse : dans z = a + ib, la partie imaginaire
est le réel b (ici -5), sans le facteur i.

]]> Re(z) = 3 et Im(z) = -5i

]]> Erreur de convention : la partie imaginaire est un
nombre réel (le coefficient de i), pas -5i.

]]> Re(z) = 3 et Im(z) = 5

]]> Erreur de signe : z = 3 + (-5)i : le coefficient de
i est -5.

]]> Re(z) = -5 et Im(z) = 3

]]> Rôles échangés : la partie réelle est le terme sans
i (3).

]]> Nombres complexes : point de vue algébrique — Q03 : Produit de deux complexes Que vaut le produit (2 + i)(3 - 2i) ?

]]> Les opérations dans ℂ suivent les règles usuelles,
avec i² = -1 : (2+i)(3-2i) = 6 - 4i + 3i + 2 = 8 - i.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc 8 - i

]]> Bonne réponse : 6 - 4i + 3i - 2i² = 6 - i + 2 = 8 - i (le -2i² devient +2).

]]> 6 - 2i

]]> Erreur : produit des seuls premiers et derniers termes.
On développe entièrement (double distribution), avec
i² = -1.

]]> 4 - i

]]> Erreur de signe sur i² : -2i² = +2, à ajouter :
6 + 2 = 8 pour la partie réelle.

]]> 8 + i

]]> Erreur de signe sur la partie imaginaire :
-4i + 3i = -i.

]]> Nombres complexes : point de vue algébrique — Q04 : Conjugué d'un nombre complexe Quel est le conjugué de z = 4 + 3i ?

]]> \overline{a + ib} = a - ib. Propriétés (démonstrations au
programme) : \overline{z + z'} = \bar{z} + \bar{z'},
\overline{zz'} = \bar{z}\,\bar{z'}, et
z\bar{z} = a^2 + b^2, réel positif : l'outil des
divisions.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc \bar{z} = 4 - 3i

]]> Bonne réponse : conjuguer change le signe de la partie
imaginaire seulement (symétrie par rapport à l'axe
réel).

]]> \bar{z} = -4 - 3i

]]> Erreur : c'est l'opposé -z. Le conjugué ne touche
pas la partie réelle.

]]> \bar{z} = -4 + 3i

]]> Erreur : le signe a changé du mauvais côté : conjuguer
agit sur le terme en i.

]]> \bar{z} = 3 + 4i

]]> Erreur : aucune permutation des parties : seul le signe
de la partie imaginaire bascule.

]]> Nombres complexes : point de vue algébrique — Q05 : Inverse d'un complexe Quelle est la forme algébrique de 1/1 + 2i ?

]]> Méthode systématique : \dfrac{1}{z} =
\dfrac{\bar{z}}{z\bar{z}}, le dénominateur z\bar{z} =
a^2 + b^2 étant réel. Ici : 1-2i/5.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc ⅕ - ⅖i

]]> Bonne réponse : on multiplie haut et bas par le
conjugué : 1 - 2i/(1+2i)(1-2i) = 1 - 2i/1 + 4 = 1 - 2i/5.

]]> 1 - 2i

]]> Incomplet : le conjugué seul n'est pas l'inverse : il
faut diviser par z\bar{z} = 5.

]]> 1/1 + 1/2i

]]> Erreur : l'inverse d'une somme n'est pas la somme des
inverses (déjà faux chez les réels !).

]]> ⅕ + ⅖i

]]> Erreur de signe : le numérateur est le conjugué
1 - 2i : la partie imaginaire de l'inverse est
négative.

]]> Nombres complexes : point de vue algébrique — Q06 : Équation linéaire $az = b$ Quelle est la solution de l'équation (1 + i)z = 4 ?

]]> az = b ⇒ z = b/a, calculé par le
conjugué. Toujours vérifier : (1+i)(2-2i) = 2 - 2i + 2i + 2 = 4.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc z = 2 - 2i

]]> Bonne réponse : z = \dfrac{4}{1+i} = \dfrac{4(1-i)}
{(1+i)(1-i)} = \dfrac{4(1-i)}{2} = 2(1 - i).

]]> z = 4 - i

]]> Erreur : on ne « soustrait » pas le coefficient : on
divise par 1 + i (via le conjugué).

]]> z = 2 + 2i

]]> Erreur de signe : le conjugué du dénominateur est
1 - i, qui transmet son signe : z = 2 - 2i.
(Contrôle : (1+i)(2+2i) = 4i ≠ 4.)

]]> z = 4(1 + i)

]]> Erreur : multiplier par 1 + i au lieu de diviser.
Contrôle : (1+i) × 4(1+i) = 4(1+i)² = 8i ≠ 4.

]]> Nombres complexes : point de vue algébrique — Q07 : Équation avec $z$ et $\bar{z}$ Quelles sont les solutions de l'équation z + \bar{z} = 6 ?

]]> Méthode : poser z = x + iy et identifier.
z + \bar{z} = 2x et z - \bar{z} = 2iy : les équations en
z, \bar{z} se traduisent en conditions sur x et y.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Tous les complexes de partie réelle 3 (la droite
verticale x = 3 du plan complexe)

]]> Bonne réponse : avec z = x + iy : z + \bar{z} = 2x =
6, donc x = 3, et y reste libre : une droite de
solutions.

]]> z = 3 seulement

]]> Incomplet : 3 + 4i convient aussi (z + \bar{z} = 6).
La partie imaginaire disparaît dans la somme : elle est
libre.

]]> z = 6

]]> Erreur : 6 + \bar{6} = 12 \neq 6. La somme
z + \bar{z} vaut 2 Re(z) : on résout
2x = 6.

]]> Aucune solution

]]> Erreur : tout z = 3 + iy convient : une infinité de
solutions.

]]> Nombres complexes : point de vue algébrique — Q08 : Conjugué d'un produit Pour tous complexes z et z', que vaut \overline{z\,z'} ?

]]> Propriétés de la conjugaison : \overline{z + z'} = \bar{z} +
\bar{z'}, \overline{zz'} = \bar{z}\bar{z'},
\overline{z^n} = \bar{z}^n, \overline{1/z} = 1/\bar{z} :
elle commute avec toutes les opérations.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc \bar{z} \times \bar{z'}

]]> Bonne réponse : la conjugaison respecte les produits
(démonstration au programme) : conjuguer avant ou après
multiplication revient au même.

]]> \bar{z} + \bar{z'}

]]> Erreur : la somme des conjugués est le conjugué de la
somme, pas du produit.

]]> z z'

]]> Erreur : le conjugué d'un produit n'est lui-même que si
le produit est réel. En général, la partie
imaginaire change de signe.

]]> -z z'

]]> Erreur : conjuguer n'est pas prendre l'opposé (seule la
partie imaginaire bascule).

]]> Nombres complexes : point de vue algébrique — Q09 : Formule du binôme dans $\mathbb{C}$ Que vaut (1 + i)², et qu'en déduit-on pour
(1 + i)⁴ ?

]]> La formule du binôme vaut dans ℂ (démonstration au
programme). (1+i)² = 2i et (1+i)⁴ = -4 : exemple
fétiche, à retrouver plus tard par la forme exponentielle.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc (1+i)² = 2i, donc (1+i)⁴ = (2i)² = -4

]]> Bonne réponse : 1 + 2i + i² = 2i, puis (2i)² = 4i² = -4 : les puissances se calculent par étages.

]]> (1+i)² = 2, donc (1+i)⁴ = 4

]]> Erreur : le double produit 2i ne disparaît pas :
(1+i)² = 1 + 2i - 1 = 2i (imaginaire pur).

]]> (1+i)² = 1 + i² = 0

]]> Erreur classique : le carré d'une somme exige le double
produit : 1 + 2i + i² = 2i ≠ 0.

]]> (1+i)² = 2i, donc (1+i)⁴ = 4i

]]> Erreur à la deuxième étape : (2i)² = 4i² = -4, réel
négatif (i² = -1 frappe encore).

]]> Nombres complexes : point de vue algébrique — Q10 : Le produit $z\bar{z}$ Soit z = a + ib (avec a, b réels). Que vaut
z\,\bar{z} ?

]]> z\bar{z} = a^2 + b^2 : toujours réel positif, nul
seulement pour z = 0. C'est le carré du module
(|z|^2 = z\bar{z}, exploité au chapitre géométrique).

]]> 1.0 0.0 0 true true abc a² + b² : un réel positif

]]> Bonne réponse : (a+ib)(a-ib) = a² - (ib)² = a² + b² : l'identité remarquable qui rend les dénominateurs
réels.

]]> a² - b²

]]> Erreur de signe : -(ib)² = -i²b² = +b² : le
i² = -1 retourne le signe.

]]> a² + b² i

]]> Erreur : les termes croisés -iab + iab s'annulent :
le produit est réel.

]]> 2a

]]> Confusion : 2a = z + \bar{z} (la somme). Le
produit donne a² + b².

]]> Nombres complexes : point de vue algébrique — Q11 : Caractériser les réels par la conjugaison Soit z un nombre complexe. Que signifie l'égalité
\bar{z} = z ?

]]> Caractérisations utiles : z \in \mathbb{R} \Leftrightarrow
\bar{z} = z ; z imaginaire pur \Leftrightarrow \bar{z} =
-z. Elles transforment des questions de nature en équations.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc z est un nombre réel

]]> Bonne réponse : \bar{z} = z \Leftrightarrow -b = b
\Leftrightarrow b = 0 : la partie imaginaire est nulle.
(De même : \bar{z} = -z \Leftrightarrow z imaginaire
pur.)

]]> z est un imaginaire pur

]]> Inversé : l'imaginaire pur vérifie \bar{z} = -z
(partie réelle nulle).

]]> z = 0

]]> Trop restrictif : tout réel (7, -3, π…) est égal
à son conjugué.

]]> z = 1

]]> Trop restrictif : la propriété caractérise tous les
réels, pas seulement 1.

]]> Nombres complexes : point de vue algébrique — Q12 : Puissances de $i$ Que vaut i²⁰²⁶ ?

]]> Cycle des puissances : i¹ = i, i² = -1, i³ = -i,
i⁴ = 1, puis répétition. Calculer iⁿ : réduire n
modulo 4 (un avant-goût des congruences du chapitre
d'arithmétique).

]]> 1.0 0.0 0 true true abc -1

]]> Bonne réponse : les puissances de i tournent avec une
période 4 (i, -1, -i, 1) ; 2026 = 4 × 506 + 2,
donc i²⁰²⁶ = i² = -1.

]]> 1

]]> Erreur : iⁿ = 1 exige n multiple de 4 ; or
2026 ≡ 2 ±od 4.

]]> i

]]> Erreur : iⁿ = i correspond à n ≡ 1 ±od 4 ;
le reste de 2026 est 2.

]]> -i

]]> Erreur : -i correspond au reste 3. Ici 2026 = 4 × 506 + 2 : i²⁰²⁶ = -1.

]]> Nombres complexes : point de vue algébrique — Q13 : Somme de deux complexes Que vaut la somme (3 + 2i) + (1 - 5i) ?

]]> Addition composante par composante, comme des vecteurs :
(a + ib) + (c + id) = (a + c) + i(b + d). La structure la
plus simple du chapitre : la géométrie dira « translation ».

]]> 1.0 0.0 0 true true abc 4 - 3i

]]> Bonne réponse : parties réelles ensemble (3 + 1),
parties imaginaires ensemble (2 - 5).

]]> 4 + 7i

]]> Signe : 2i + (-5i) = -3i : le moins de 5i compte.

]]> -1 + 7i

]]> Mélange : les parties réelles s'ajoutent entre elles
(3 + 1 = 4), sans croiser les imaginaires.

]]> 9i

]]> Erreur : réels et imaginaires ne fusionnent pas : la
somme garde deux composantes : 4 et -3i.

]]> Nombres complexes : point de vue algébrique — Q14 : Identifier parties réelles et imaginaires x et y sont des réels tels que x + 2i = 3 + yi. Que
valent x et y ?

]]> Identification : a + ib = c + id \iff a = c et b = d
(a, b, c, d réels). Une égalité complexe se dédouble en
deux égalités réelles : l'outil des équations à
coefficients inconnus.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc x = 3 et y = 2

]]> Bonne réponse : deux complexes sont égaux si et
seulement si leurs parties réelles ET imaginaires
coïncident : x = 3, 2 = y.

]]> x = 2 et y = 3

]]> Croisement : x (réel) s'identifie à 3 (réel), et le
coefficient 2 de i à y.

]]> Impossible : une équation ne détermine pas deux
inconnues

]]> Erreur : une équation COMPLEXE vaut DEUX équations
réelles (une par partie) : exactement de quoi trouver
x et y.

]]> x = 3 + yi - 2i, on ne peut pas mieux

]]> Erreur : x est RÉEL par hypothèse : sa partie
imaginaire est nulle, ce qui force y = 2.

]]> Nombres complexes : point de vue algébrique — Q15 : Quotient de deux complexes Quelle est la forme algébrique de 2 + i/1 - i ?

]]> Division : multiplier par le conjugué du dénominateur, qui
rend celui-ci réel (z\bar{z} = |z|^2). Contrôle :
1 + 3i/2 × (1 - i) = 1 + 3i - i + 3/2 = 2 + i ✓.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc 1 + 3i/2

]]> Bonne réponse : multiplier haut et bas par le conjugué
1 + i : numérateur (2+i)(1+i) = 1 + 3i,
dénominateur 1 + 1 = 2.

]]> 2 - i

]]> Erreur : diviser terme à terme n'existe pas : la méthode
passe par le conjugué du dénominateur.

]]> 3 + 3i/2

]]> Développement : (2+i)(1+i) = 2 + 2i + i + i² = 1 + 3i (le i² = -1 mange une unité réelle).

]]> 1 + 3i/0

]]> Dénominateur : (1-i)(1+i) = 1 - i² = 2 (jamais nul
pour un complexe non nul : c'est |1 - i|²).

]]> Nombres complexes : point de vue algébrique — Q16 : La différence $z - \bar{z}$ Pour z = a + ib, que vaut z - \bar{z} ?

]]> Les deux extracteurs : z + \bar{z} = 2\,\text{Re}(z) et
z - \bar{z} = 2i\,\text{Im}(z) : somme pour le réel,
différence pour l'imaginaire. Ils transforment les équations
en z, \bar{z} en systèmes réels.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc 2ib : un imaginaire pur

]]> Bonne réponse : (a + ib) - (a - ib) = 2ib : la partie
réelle s'annule, la partie imaginaire double.

]]> 2a : un réel

]]> Confusion avec la somme : z + \bar{z} = 2a : la
différence, elle, isole l'imaginaire.

]]> 0

]]> Erreur : z - \bar{z} = 0 seulement si z est réel
(b = 0) : en général, il reste 2ib.

]]> 2b

]]> Le i perdu : la différence vaut 2ib, imaginaire
pur : 2b serait un réel.

]]> Nombres complexes : point de vue algébrique — Q17 : Résoudre $z^2 = -9$ Quelles sont les solutions complexes de z² = -9 ?

]]> z² = -k (k > 0) : solutions ± i√k : la
brique des trinômes à discriminant négatif (√-Δ
devient i√-Δ... écrit proprement :
± i√|Δ|).

]]> 1.0 0.0 0 true true abc z = 3i et z = -3i

]]> Bonne réponse : (3i)² = 9i² = -9 et (-3i)² = -9 :
les « racines carrées » de -9 sont imaginaires pures,
conjuguées l'une de l'autre.

]]> z = -3 seulement

]]> Erreur : (-3)² = +9 ≠ -9 : aucun réel n'a de carré
négatif : les solutions vivent sur l'axe imaginaire.

]]> z = 3i seulement

]]> Moitié : (-3i)² = -9 aussi : une équation de degré
2 garde ses deux racines dans ℂ.

]]> Aucune : un carré est toujours positif

]]> Réflexe réel périmé : dans ℂ, tout nombre a
des racines carrées : c'est la raison d'être de i.

]]> Nombres complexes : point de vue algébrique — Q18 : Calculer $(1 + i)^3$ Que vaut (1 + i)³ ?

]]> Stratégie des puissances : passer par le carré ((1+i)² = 2i, à connaître) puis multiplier. Contrôle par le module :
|1+i|³ = (√2)³ = 2√2 = |-2 + 2i| ✓.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc -2 + 2i

]]> Bonne réponse : (1+i)² = 2i, puis (1+i)³ = 2i(1 + i) = 2i + 2i² = -2 + 2i : par étages, jamais en force.

]]> 1 + i³ = 1 - i

]]> Cube distribué à tort : (a + b)³ ≠ a³ + b³ : le
binôme complet (ou le calcul par étages) est
obligatoire.

]]> 2 + 2i

]]> Signe : 2i × i = 2i² = -2 : la partie réelle
est négative.

]]> 3 + 3i

]]> Erreur : multiplier par 3 n'est pas élever au cube :
(1+i)³ se calcule via (1+i)² = 2i.

]]>