$course$/QCM de maths/Maths expertes/Module, argument, formes trigonométrique et exponentielleImage et affixe, module et interprétation géométrique, relation
|z|^2 = z\bar{z}, ensemble \mathbb{U}, arguments, forme
trigonométrique, exponentielle imaginaire e^{i\theta},
formules d'Euler et de Moivre.]]>Module, argument, formes trigonométrique et exponentielle — Q01 : Affixe d'un pointDans le plan complexe, quel point est l'image du nombre
z = -2 + 3i ?]]>À z = a + ib on associe le point M(a\ ;\ b) : z est
l'affixe de M (et du vecteur OM⃗).
L'image de \bar{z} est le symétrique de M par rapport à
l'axe des abscisses.]]>1.00.00truetrueabcLe point de coordonnées (-2\ ;\ 3)]]>Bonne réponse : abscisse = partie réelle, ordonnée =
partie imaginaire. Le plan ℝ² est
l'ensemble des complexes.]]>Le point de coordonnées (3\ ;\ -2)]]>Coordonnées échangées : Re en abscisse,
Im en ordonnée.]]>Le point de coordonnées (-2\ ;\ 3i)]]>Erreur : les coordonnées d'un point sont réelles :
l'ordonnée est le coefficient 3, sans i.]]>Le point de coordonnées (2\ ;\ 3)]]>Signe perdu : la partie réelle vaut -2 : le point est
à gauche de l'axe imaginaire.]]>Module, argument, formes trigonométrique et exponentielle — Q02 : Calcul d'un moduleQue vaut le module de z = 3 - 4i ?]]>|a + ib| = √a² + b² : distance OM. Géométrie
immédiate : |z - z'| = distance entre les images de z et
z'.]]>1.00.00truetrueabc|z| = 5]]>Bonne réponse : |z| = √3² + (-4)² = √25 = 5 : la distance de l'origine au point
(3\ ;\ -4).]]>|z| = -1]]>Erreur : 3 + (-4) = -1 additionne les parties. Le
module est √a² + b², toujours positif.]]>|z| = 25]]>Racine oubliée : a² + b² = 25 est le carré du
module.]]>|z| = 7]]>Erreur : |3| + |-4| = 7 n'est pas le module : on ne
somme pas les valeurs absolues (c'est d'ailleurs la
majoration de l'inégalité triangulaire).]]>Module, argument, formes trigonométrique et exponentielle — Q03 : La relation $|z|^2 = z\bar{z}$Quelle égalité relie le module et le conjugué d'un nombre
complexe z ?]]>|z|^2 = z\bar{z} : pont entre algèbre et géométrie. On en
tire |zz'| = |z| |z'| et |1/z| = 1/|z| (démonstrations
au programme).]]>1.00.00truetrueabc|z|^2 = z\,\bar{z}]]>Bonne réponse : (a+ib)(a-ib) = a² + b² = |z|²
(démonstration au programme). Cette relation fait tout :
inverses, modules de produits…]]>|z| = z\,\bar{z}]]>Puissance fausse : z\bar{z} = a^2 + b^2 est le carré du module (√\ manquante).]]>|z|² = z²]]>Erreur : z² est en général complexe ((1+i)² = 2i),
alors que |z|² est réel : il faut le conjugué.]]>|z|^2 = z + \bar{z}]]>Confusion : z + \bar{z} = 2\,\text{Re}(z), qui peut
être négatif : le carré du module vient du produit.]]>Module, argument, formes trigonométrique et exponentielle — Q04 : Module d'un produitSoient z et z' deux complexes avec |z| = 2 et
|z'| = 3. Que vaut |z z'| ?]]>|zz'| = |z||z'| : se démontre avec |zz'|^2 =
zz'\overline{zz'} = z\bar{z}\,z'\bar{z'}. Les arguments,
eux, s'ajoutent : multiplier = tourner et dilater.]]>1.00.00truetrueabc6]]>Bonne réponse : le module est multiplicatif :
|zz'| = |z| |z'| = 6, quelle que soit la direction
des deux nombres.]]>5]]>Erreur : 2 + 3 additionne les modules : c'est au mieux
une majoration de |z + z'|, pas le module du
produit.]]>Impossible à déterminer sans connaître z et z']]>Erreur : justement, la force de la formule |zz'| = |z| |z'| est de ne dépendre que des modules.]]>36]]>Erreur : 36 = (|z||z'|)² : carré parasite. Le module
du produit est 2 × 3 = 6.]]>Module, argument, formes trigonométrique et exponentielle — Q05 : L'ensemble $\mathbb{U}$\mathbb{U} désigne l'ensemble des nombres complexes de
module 1. Pourquoi dit-on que \mathbb{U} est stable par
produit ?]]>\mathbb{U} = cercle unité, stable par produit et passage à
l'inverse : un exemple fondamental de groupe (sans le mot).
Sur \mathbb{U}, multiplier revient à additionner les
angles.]]>1.00.00truetrueabcSi |z| = |z'| = 1, alors |z z'| = 1 × 1 = 1 :
le produit reste dans \mathbb{U}]]>Bonne réponse : la multiplicativité du module garde le
produit sur le cercle unité. Avec |1/z| = 1,
\mathbb{U} est stable par produit et inverse.]]>Parce que la somme de deux éléments de \mathbb{U}
reste dans \mathbb{U}]]>Faux : 1 \in \mathbb{U} et 1 + 1 = 2 \notin
\mathbb{U}. La stabilité concerne le produit, pas
la somme.]]>Parce que \mathbb{U} contient tous les nombres réels]]>Faux : seuls 1 et -1 sont des réels de module 1.
\mathbb{U} est le cercle unité, pas une droite.]]>Parce que tout produit de complexes est de module 1]]>Faux : |2 × 3i| = 6. La stabilité vaut pour les
éléments de \mathbb{U} uniquement.]]>Module, argument, formes trigonométrique et exponentielle — Q06 : Argument d'un nombre complexe[Figure : Plan complexe : point M de coordonnées (1 ; 1), vecteur OM tracé, angle pi sur quatre marqué entre l'axe réel et OM.]
Le point M ci-contre a pour affixe z = 1 + i. Que valent
|z| et un argument de z ?
]]>Un argument de z ≠ 0 = mesure de l'angle
(u⃗\ ;\ OM⃗), défini modulo 2π.
Ici z = \sqrt{2}\left(\cos\frac{\pi}{4} +
i\sin\frac{\pi}{4}\right) = \sqrt{2}\,e^{i\pi/4}.]]>1.00.00truetrueabc|z| = √2 et \arg(z) = \dfrac{\pi}{4}]]>Bonne réponse : |z| = √1 + 1 = √2
(diagonale du carré unité) et l'angle avec l'axe réel
vaut 45°, soit π/4.]]>|z| = 2 et \arg(z) = \dfrac{\pi}{4}]]>Module faux : 1² + 1² = 2, puis racine :
|z| = \sqrt{2} \approx 1{,}41.]]>|z| = √2 et \arg(z) = \dfrac{\pi}{2}]]>Argument faux : π/2 est l'axe imaginaire (affixe
i). Ici M est sur la bissectrice : π/4.]]>|z| = 1 et \arg(z) = \dfrac{\pi}{4}]]>Module faux : M n'est pas sur le cercle unité :
OM = √2 > 1.]]>Module, argument, formes trigonométrique et exponentielle — Q07 : Forme trigonométriqueQuelle est la forme algébrique du nombre
z = 2(cosπ/3 + isinπ/3) ?]]>Forme trigonométrique : z = r(cosθ + isinθ)
avec r = |z| et \theta = \arg(z). Conversion : a = rcosθ, b = rsinθ.]]>1.00.00truetrueabcz = 1 + i√3]]>Bonne réponse : cosπ/3 = ½ et
\sin\frac{\pi}{3} = \frac{\sqrt{3}}{2}, puis on
multiplie par 2.]]>z = √3 + i]]>Cosinus et sinus échangés : c'est l'angle π/6 qui
donne √3 + i (après multiplication par 2).]]>z = \dfrac{1}{2} + i\dfrac{\sqrt{3}}{2}]]>Module oublié : c'est e^{i\pi/3}, de module 1 : il
reste à multiplier par r = 2.]]>z = 2 + i2π/3]]>Erreur : on n'écrit pas l'angle en partie imaginaire :
on évalue cosinus et sinus.]]>Module, argument, formes trigonométrique et exponentielle — Q08 : Forme exponentielleQuelle est la forme exponentielle de z = 1 + i ?]]>Notation e^{i\theta} = \cos\theta + i\sin\theta ; tout
z ≠ 0 s'écrit r\,e^{i\theta}. Relation fonctionnelle :
e^{i\theta}e^{i\theta'} = e^{i(\theta + \theta')} : mêmes
règles que l'exponentielle réelle.]]>1.00.00truetrueabcz = \sqrt{2}\,e^{i\pi/4}]]>Bonne réponse : module √2, argument π/4,
d'où z = \sqrt{2}\,e^{i\pi/4} : l'écriture la plus
efficace pour multiplier et élever aux puissances.]]>z = e^{i\pi/4}]]>Module oublié : e^{i\pi/4} est de module 1, or
|1 + i| = √2.]]>z = \sqrt{2}\,e^{i\pi/2}]]>Argument faux : π/2 correspond à l'axe imaginaire
pur ; 1 + i est sur la bissectrice (π/4).]]>z = 2\,e^{i\pi/4}]]>Module faux : √1² + 1² = √2, pas 2.]]>Module, argument, formes trigonométrique et exponentielle — Q09 : Produit sous forme exponentielleQue vaut le produit 3e^{i\pi/6} \times 2e^{i\pi/3} ?]]>re^{i\theta} \times r'e^{i\theta'} =
rr'\,e^{i(\theta+\theta')} : multiplier des complexes =
multiplier les longueurs et additionner les angles. Toute la
géométrie des rotations est là.]]>1.00.00truetrueabc6\,e^{i\pi/2} = 6i]]>Bonne réponse : modules multipliés (3 × 2),
arguments ajoutés (π/6 + π/3 = π/2), et e^{i\pi/2} = i.]]>6\,e^{i\pi^2/18}]]>Erreur : les arguments s'ajoutent (relation
fonctionnelle), ils ne se multiplient pas.]]>5\,e^{i\pi/2}]]>Erreur : les modules se multiplient (3 × 2 = 6), ils ne s'ajoutent pas.]]>6\,e^{i\pi/6 \times i\pi/3}]]>Erreur d'écriture : eᵃeᵇ = eᵃ⁺ᵇ : on
additionne les exposants.]]>Module, argument, formes trigonométrique et exponentielle — Q10 : Formules d'EulerQuelle est l'expression de cosθ donnée par les
formules d'Euler ?]]>Euler : \cos\theta = \frac{e^{i\theta} + e^{-i\theta}}{2},
\sin\theta = \frac{e^{i\theta} - e^{-i\theta}}{2i}. Usage
typique : linéariser cosⁿθ pour intégrer.]]>1.00.00truetrueabc\cos\theta = \dfrac{e^{i\theta} + e^{-i\theta}}{2}]]>Bonne réponse : en ajoutant e^{i\theta} = \cos\theta +
i\sin\theta et e^{-i\theta} = \cos\theta -
i\sin\theta, le sinus s'élimine.]]>\cos\theta = \dfrac{e^{i\theta} - e^{-i\theta}}{2i}]]>C'est la formule du sinus : la différence élimine le
cosinus, et le 2i normalise.]]>\cos\theta = \dfrac{e^{i\theta} + e^{-i\theta}}{2i}]]>Erreur : la somme est déjà réelle (2cosθ) :
diviser par 2i rendrait le résultat imaginaire.]]>\cos\theta = e^{i\theta} + e^{-i\theta}]]>Facteur oublié : la somme vaut 2cosθ : il faut
diviser par 2.]]>Module, argument, formes trigonométrique et exponentielle — Q11 : Formule de MoivreQue dit la formule de Moivre ?]]>Moivre : (cosθ + isinθ)ⁿ = cos(nθ) + isin(nθ). En développant le membre de gauche par le
binôme, on obtient cos(nθ) et sin(nθ) en
fonction de cosθ et sinθ.]]>1.00.00truetrueabc(cosθ + isinθ)ⁿ = cos(nθ) + isin(nθ)]]>Bonne réponse : c'est \left(e^{i\theta}\right)^n =
e^{in\theta} en notation trigonométrique : élever à la
puissance n = multiplier l'angle par n.]]>(cosθ + isinθ)ⁿ = cos(θⁿ) + isin(θⁿ)]]>Erreur : l'angle est multiplié par n
(nθ), pas élevé à la puissance n.]]>(cosθ + isinθ)ⁿ = ncosθ + insinθ]]>Erreur : la puissance n'est pas une multiplication par
n : le module reste 1, seul l'angle est multiplié.]]>cos(nθ) = ncosθ]]>Faux : déjà pour n = 2 : cos(2θ) = 2cos²θ - 1 ≠ 2cosθ.]]>Module, argument, formes trigonométrique et exponentielle — Q12 : Puissance par la forme exponentielleEn écrivant 1 + i = \sqrt{2}\,e^{i\pi/4}, que vaut
(1 + i)⁸ ?]]>Méthode reine pour les puissances : forme exponentielle puis
\left(re^{i\theta}\right)^n = r^n e^{in\theta}. Contrôle :
(1+i)² = 2i, donc (1+i)⁸ = (2i)⁴ = 16i⁴ = 16.]]>1.00.00truetrueabc16]]>Bonne réponse : (\sqrt{2})^8 e^{i\,8\pi/4} =
2^4\,e^{2i\pi} = 16 \times 1 = 16 : huit lignes de
calcul algébrique évitées.]]>-16]]>Erreur d'angle : 8 × π/4 = 2π, et
e^{2i\pi} = 1 (tour complet), pas -1.]]>16 i]]>Erreur : e^{2i\pi} = 1, pas i (i correspond à un
quart de tour, π/2).]]>8√2]]>Module faux : (\sqrt{2})^8 = 2^{8/2} = 2^4 = 16, pas
8\sqrt{2} = 2^{3{,}5}.]]>Module, argument, formes trigonométrique et exponentielle — Q13 : La valeur $e^{i\pi}$Que vaut e^{i\pi} ?]]>Les quatre points cardinaux : eⁱ⁰ = 1, e^{i\pi/2} =
i, e^{i\pi} = -1, e^{3i\pi/2} = -i : le cercle unité
par quarts de tour. « e^{i\pi} + 1 = 0 » relie les cinq
constantes fondamentales.]]>1.00.00truetrueabc-1]]>Bonne réponse : e^{i\pi} = \cos\pi + i\sin\pi = -1 +
0 : le demi-tour du cercle unité : la célèbre identité
d'Euler.]]>1]]>Erreur : 1 = e^{i \cdot 0} = e^{2i\pi} (tour
complet) : π n'est que le DEMI-tour : -1.]]>i]]>Erreur : i = e^{i\pi/2} (quart de tour) : à π, on
atteint le point (-1\ ;\ 0).]]>e^{\pi} \approx 23]]>Le i oublié : e^{i\pi} vit sur le cercle unité
(module 1), rien à voir avec l'exponentielle réelle
e^{\pi}.]]>Module, argument, formes trigonométrique et exponentielle — Q14 : Module d'un quotientAvec |z| = 6 et |z'| = 2, que vaut
|z/z'| ?]]>|z/z'| = |z|/|z'| et
\arg\frac{z}{z'} = \arg z - \arg z' : le quotient divise
les longueurs et soustrait les angles : le miroir exact du
produit.]]>1.00.00truetrueabc3]]>Bonne réponse : le module d'un quotient est le quotient
des modules : 6/2 = 3.]]>4]]>Soustraction : les modules se divisent dans un
quotient (comme ils se multiplient dans un produit) :
6 - 2 ne correspond à rien.]]>12]]>Produit au lieu du quotient : 12 = |z z'| : pour la
division : 6/2 = 3.]]>Impossible sans connaître les arguments]]>Erreur : le module du quotient ne dépend QUE des
modules : les arguments règlent la direction, pas la
longueur.]]>Module, argument, formes trigonométrique et exponentielle — Q15 : Argument d'un réel négatifQuel est un argument de z = -5 ?]]>Arguments des réels : positifs : 0 \pmod{2\pi} ;
négatifs : π. Des imaginaires purs : ±π/2.
Quatre directions à placer sans réfléchir sur le cercle.]]>1.00.00truetrueabcπ]]>Bonne réponse : -5 est sur la demi-droite des réels
négatifs : angle π avec l'axe positif : -5 =
5e^{i\pi}.]]>0]]>Erreur : l'argument 0 appartient aux réels positifs : -5 pointe à l'opposé : π.]]>-5]]>Confusion : -5 est le nombre lui-même : son argument
est un ANGLE : π (et son module 5).]]>Il n'en a pas : seuls les complexes ont un argument]]>Erreur : les réels SONT des complexes : tout nombre non
nul a un argument (0 pour les positifs, π pour les
négatifs).]]>Module, argument, formes trigonométrique et exponentielle — Q16 : Module et argument du conjuguéComment module et argument de \bar{z} se comparent-ils à
ceux de z (non nul) ?]]>\bar{z} = re^{-i\theta} quand z = re^{i\theta} :
symétrie d'axe réel : module intact, argument opposé.
Cohérent avec z\bar{z} = r^2 e^{0} = |z|^2.]]>1.00.00truetrueabc|\bar{z}| = |z| et \arg\bar{z} = -\arg z]]>Bonne réponse : conjuguer = réfléchir par rapport à
l'axe réel : la distance à l'origine ne bouge pas,
l'angle bascule en son opposé.]]>|\bar{z}| = -|z|]]>Impossible : un module est une distance, toujours
positive : la symétrie ne change pas les longueurs.]]>Module et argument sont tous deux conservés]]>Erreur : garder les deux caractériserait z lui-même :
le conjugué retourne l'ANGLE (z réel excepté).]]>\arg\bar{z} = \pi - \arg z]]>Mauvaise symétrie : π - θ est la réflexion
d'axe VERTICAL (celle de -\bar{z}) : conjuguer
réfléchit horizontalement : -θ.]]>Module, argument, formes trigonométrique et exponentielle — Q17 : Distance entre deux points par les affixesA et B ont pour affixes z_A = 1 + 2i et z_B = 4 + 6i. Que vaut la distance AB ?]]>Dictionnaire : z_B - z_A = affixe de
AB⃗ ; |z_B - z_A| = AB. Les distances
de la géométrie deviennent des modules : cercles et
médiatrices s'écrivent en une équation complexe.]]>1.00.00truetrueabcAB = |z_B - z_A| = |3 + 4i| = 5]]>Bonne réponse : la distance est le module de la différence des affixes : √9 + 16 = 5.]]>AB = |z_B| - |z_A|]]>Erreur : la différence des modules minore la distance
(inégalité triangulaire) sans l'égaler : ici \sqrt{52}
- \sqrt{5} \approx 4{,}97 \neq 5… proche mais faux en
général : le bon objet est |z_B - z_A|.]]>AB = z_B - z_A = 3 + 4i]]>Erreur de nature : 3 + 4i est l'affixe du VECTEUR
AB⃗ : la distance est son module,
5.]]>AB = |z_A + z_B|]]>Somme au lieu de différence : |z_A + z_B| mesure
2 OM où M est le milieu : la distance AB passe
par la soustraction.]]>Module, argument, formes trigonométrique et exponentielle — Q18 : Forme exponentielle de $-1 + i$Quelle est la forme exponentielle de z = -1 + i ?]]>Méthode : module d'abord, puis PLACER le point (quadrant !)
avant de choisir l'argument : \cos\theta =
\frac{-1}{\sqrt{2}}, \sin\theta = \frac{1}{\sqrt{2}} :
θ = 3π/4. Le dessin évite l'erreur de
quadrant, la plus fréquente du chapitre.]]>1.00.00truetrueabcz = \sqrt{2}\,e^{3i\pi/4}]]>Bonne réponse : module √1 + 1 = √2 ; le
point (-1\ ;\ 1) vit dans le deuxième quadrant, sur la
bissectrice : argument π - π/4 = 3π/4.]]>z = \sqrt{2}\,e^{i\pi/4}]]>Quadrant raté : e^{i\pi/4} pointe vers (+1\ ;\ +1)
(premier quadrant) : notre point a une partie réelle
NÉGATIVE : 3π/4.]]>z = 2\,e^{3i\pi/4}]]>Module : √(-1)² + 1² = √2, pas 2.]]>z = \sqrt{2}\,e^{-i\pi/4}]]>Erreur : -π/4 descend dans le quatrième
quadrant (1 - i normalisé) : notre point est en haut à
gauche.]]>