$course$/QCM de maths/Maths expertes/Équations polynomiales et racines de l'unité Équations du second degré à coefficients réels de discriminant
négatif, factorisation de zⁿ - aⁿ et de P(z) par
z - a, majoration du nombre de racines par le degré, racines
n-ièmes de l'unité et ensemble \mathbb{U}_n, utilisation
des complexes en géométrie.

]]> Équations polynomiales et racines de l'unité — Q01 : Second degré à discriminant négatif Quelles sont les solutions complexes de l'équation
z² + 4 = 0 ?

]]> Si Δ < 0, l'équation az² + bz + c = 0 (coefficients
réels) admet deux racines complexes conjuguées :
z = \dfrac{-b \pm i\sqrt{-\Delta}}{2a}.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc z = 2i et z = -2i

]]> Bonne réponse : z² = -4 = 4i², donc z = ± 2i :
deux solutions conjuguées, comme toujours pour une
équation à coefficients réels.

]]> z = 2 et z = -2

]]> Erreur : (± 2)² = +4 ≠ -4. Les solutions de
z² = -4 sont imaginaires pures.

]]> Aucune : l'équation n'a pas de solution

]]> Vrai dans ℝ, faux dans ℂ : les
complexes ont été créés exactement pour ça.

]]> z = 2i seulement

]]> Incomplet : (-2i)² = 4i² = -4 aussi : une équation
de degré 2 dans ℂ a deux racines (comptées
avec multiplicité).

]]> Équations polynomiales et racines de l'unité — Q02 : Résolution complète Quelles sont les solutions de z² - 2z + 5 = 0 ?

]]> Δ = -16 < 0 : racines 1 ± 2i. Vérification par
somme et produit : s = 2 = -b/a, p = 1 + 4 = 5 = c/a.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc z = 1 + 2i et z = 1 - 2i

]]> Bonne réponse : Δ = 4 - 20 = -16, donc
z = \dfrac{2 \pm i\sqrt{16}}{2} = 1 \pm 2i.

]]> z = 1 + 4i et z = 1 - 4i

]]> Division oubliée : √-Δ = 4, puis on divise
tout par 2a = 2 : ± 2i, pas ± 4i.

]]> z = -1 + 2i et z = -1 - 2i

]]> Signe de b : la formule commence par -b = +2, d'où
partie réelle +1. (Contrôle : somme des racines
= -b/a = 2.)

]]> Pas de solution car Δ = -16 < 0

]]> Réflexe de première à abandonner : dans ℂ,
Δ < 0 donne deux racines conjuguées.

]]> Équations polynomiales et racines de l'unité — Q03 : Somme et produit des racines Sans résoudre, que valent la somme et le produit des racines
de z² - 6z + 13 = 0 ?

]]> z² - sz + p = (z - z₁)(z - z₂) : s = z₁ + z₂, p = z₁ z₂. Ici : racines 3 ± 2i (somme 6, produit
9 + 4 = 13). Outil de contrôle et de fabrication
d'équations.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Somme = 6, produit = 13

]]> Bonne réponse : pour z² + bz + c unitaire, somme
= -b et produit = c : ils se lisent sur le polynôme.

]]> Somme = -6, produit = 13

]]> Signe : somme = -b = -(-6) = +6 (développer
(z - z₁)(z - z₂) pour s'en convaincre).

]]> Somme = 6, produit = -13

]]> Signe du produit : (z - z₁)(z - z₂) = z² - sz + p :
le produit est le terme constant, +13.

]]> Impossible sans calculer les racines

]]> Erreur : c'est le point du cours : somme et produit se
lisent directement sur les coefficients.

]]> Équations polynomiales et racines de l'unité — Q04 : Factoriser quand une racine est connue Soit P(z) = z³ - 1. On sait que P(1) = 0. Quelle
factorisation est correcte ?

]]> Théorème central (démonstration au programme) : si P(a) = 0, alors P(z) se factorise par (z - a). Cas modèle :
zⁿ - aⁿ = (z - a)∑ₖ₌₀ⁿ⁻¹ aᵏ zⁿ⁻¹⁻ᵏ.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc z³ - 1 = (z - 1)(z² + z + 1)

]]> Bonne réponse : identité zⁿ - aⁿ = (z - a)(zⁿ⁻¹ + azⁿ⁻² + … + aⁿ⁻¹) avec n = 3, a = 1.
Développer pour contrôler.

]]> z³ - 1 = (z - 1)(z² + 1)

]]> Développement faux : (z-1)(z²+1) = z³ - z² + z - 1.
Le facteur exact est z² + z + 1.

]]> z³ - 1 = (z - 1)³

]]> Erreur : (z-1)³ = z³ - 3z² + 3z - 1. Une racine
n'est pas forcément triple !

]]> z³ - 1 = (z - 1)(z² - z + 1)

]]> Signe : z^2 \textbf{+} z + 1. (Le facteur z² - z + 1 correspond à z^3 \textbf{+} 1 = (z+1)(z^2-z+1).)

]]> Équations polynomiales et racines de l'unité — Q05 : Nombre de racines et degré Combien de racines complexes distinctes peut avoir, au
maximum, un polynôme de degré 5 ?

]]> Un polynôme de degré n admet au plus n racines.
Application clé : deux polynômes de degré ≤ n égaux en
n + 1 points sont égaux partout.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc 5

]]> Bonne réponse : chaque racine détache un facteur
(z - a) ; le degré 5 ne peut en fournir que 5
(démonstration au programme).

]]> Une infinité

]]> Erreur : seul le polynôme nul a une infinité de
racines. Degré 5 = au plus 5 racines : c'est le
théorème.

]]> 10

]]> Erreur : la borne est le degré lui-même, pas son double.

]]> Exactement 5, toujours

]]> Nuance : au plus 5 racines distinctes ; il peut y
en avoir moins (z⁵ = 0 n'a que la racine 0,
quintuple).

]]> Équations polynomiales et racines de l'unité — Q06 : Équation de degré 3 avec racine connue L'équation z³ - z² + 3z + 5 = 0 admet la racine z = -1. En factorisant, quelles sont les autres solutions ?

]]> Méthode : identifier z³ - z² + 3z + 5 = (z + 1)(az² + bz + c) (ou poser la division), puis résoudre le
trinôme. Ici : (z+1)(z² - 2z + 5), racines -1,
1 ± 2i.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc z = 1 + 2i et z = 1 - 2i

]]> Bonne réponse : z³ - z² + 3z + 5 = (z + 1)(z² - 2z + 5), et le second facteur donne Δ = -16, soit
1 ± 2i.

]]> z = -1 + 2i et z = -1 - 2i

]]> Erreur dans le second facteur : la division donne
z^2 \textbf{−} 2z + 5 (racines de partie réelle
+1).

]]> z = 5 et z = -1

]]> Erreur : contrôle immédiat : 5³ - 5² + 15 + 5 = 120 ≠ 0. Il faut diviser par (z + 1) puis résoudre
le trinôme.

]]> Aucune autre : -1 est la seule solution

]]> Incomplet : le quotient z² - 2z + 5 a deux racines
complexes conjuguées (Δ = -16).

]]> Équations polynomiales et racines de l'unité — Q07 : Racines $n$-ièmes de l'unité Qu'appelle-t-on racines n-ièmes de l'unité ?

]]> \mathbb{U}_n = \{e^{2ik\pi/n},\ k = 0, \dots, n-1\} :
n points en polygone régulier sur le cercle unité, dont
toujours 1. Détermination au programme (démonstration).

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Les solutions complexes de l'équation zⁿ = 1

]]> Bonne réponse : elles sont exactement n : e^{2ik\pi/n}
pour k = 0, 1, …, n - 1, régulièrement espacées
sur le cercle unité.

]]> Les solutions de zⁿ = 0

]]> Erreur : zⁿ = 0 n'a que la solution z = 0. L'unité,
c'est 1 : on résout zⁿ = 1.

]]> Les nombres 1/n, 2/n, …, 1

]]> Erreur : ce sont des rationnels de [0\ ;\ 1]. Les
racines de l'unité vivent sur le cercle unité.

]]> Les solutions de zⁿ = n

]]> Erreur : « unité » désigne le nombre 1 : l'équation
est zⁿ = 1.

]]> Équations polynomiales et racines de l'unité — Q08 : Racines cubiques de l'unité [Figure : Cercle unité du plan complexe avec les trois racines cubiques de l'unité : 1, j et j au carré, sommets d'un triangle équilatéral en pointillés.]

Les racines cubiques de l'unité sont 1, j = e^{2i\pi/3}
et j² (figure ci-contre). Quelle est la forme algébrique
de j ?

]]> \mathbb{U}_3 = \{1,\ j,\ j^2\} avec j = e^{2i\pi/3} =
-\frac{1}{2} + i\frac{\sqrt{3}}{2}. Relations d'or :
j³ = 1, j^2 = \bar{j} et 1 + j + j² = 0.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc j = -\dfrac{1}{2} + i\dfrac{\sqrt{3}}{2}

]]> Bonne réponse : cos2π/3 = -½,
\sin\frac{2\pi}{3} = \frac{\sqrt{3}}{2} : le sommet en
haut à gauche du triangle équilatéral.

]]> j = \dfrac{1}{2} + i\dfrac{\sqrt{3}}{2}

]]> Signe du cosinus : l'angle 2π/3 est dans le
deuxième quadrant : partie réelle négative. (\frac{1}{2}
+ i\frac{\sqrt{3}}{2} = e^{i\pi/3}, racine sixième.)

]]> j = -\dfrac{1}{2} - i\dfrac{\sqrt{3}}{2}

]]> C'est j^2 = e^{4i\pi/3} = \bar{j} : l'autre racine non
réelle, sous l'axe.

]]> j = -1

]]> Erreur : (-1)³ = -1 ≠ 1 : -1 est racine
carrée, pas cubique, de l'unité.

]]> Équations polynomiales et racines de l'unité — Q09 : Racines quatrièmes de l'unité Quelles sont les solutions de z⁴ = 1 ?

]]> \mathbb{U}_4 = \{1, i, -1, -i\} : carré inscrit dans le
cercle unité. Cas particuliers au programme : n = 2
(± 1), n = 3 (1, j, j²), n = 4.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc 1, i, -1 et -i

]]> Bonne réponse : les quatre points cardinaux du cercle
unité (e^{ik\pi/2}, k = 0, 1, 2, 3) : le carré
inscrit.

]]> 1 et -1 seulement

]]> Incomplet : ce sont les racines carrées ; i⁴ = (i²)² = 1 et (-i)⁴ = 1 aussi : quatre racines pour
le degré 4.

]]> 1, ¼, ½, ¾

]]> Erreur : (½)⁴ = 1/16 ≠ 1. Les racines sont sur le cercle unité, pas dans
l'intervalle [0\ ;\ 1].

]]> 1 et i seulement

]]> Incomplet : leurs opposés conviennent aussi (puissance
paire) : \mathbb{U}_4 a quatre éléments.

]]> Équations polynomiales et racines de l'unité — Q10 : Somme des racines $n$-ièmes Que vaut la somme 1 + j + j² des trois racines cubiques
de l'unité ?

]]> Pour tout n ≥ 2, la somme des racines n-ièmes de
l'unité est nulle : somme géométrique de raison ω ≠ 1 avec ωⁿ = 1. Un classique des problèmes
(polygones réguliers, transformation de Fourier discrète).

]]> 1.0 0.0 0 true true abc 0

]]> Bonne réponse : 1 + j + j² = j³ - 1/j - 1 = 0/j - 1 = 0 (somme géométrique). Géométrie :
le centre de gravité du triangle équilatéral est
l'origine.

]]> 1

]]> Erreur : les deux racines non réelles j et j^2 =
\bar{j} somment à 2 Re(j) = -1, qui annule le
1.

]]> 3

]]> Erreur : 3 serait la somme si les trois racines
valaient 1. Elles pointent dans trois directions qui
se compensent exactement.

]]> j³

]]> Erreur : j³ = 1 (c'est la définition d'une racine
cubique), et la somme ne vaut pas 1 mais 0.

]]> Équations polynomiales et racines de l'unité — Q11 : Le quotient $\dfrac{c-a}{b-a}$ Soient A, B, C trois points d'affixes a, b, c
distinctes. Que traduit l'appartenance du quotient
c - a/b - a à ℝ ?

]]> Dictionnaire géométrique : |c-a/b-a| = AC/AB et \arg\dfrac{c-a}{b-a} =
(\overrightarrow{AB}\ ;\ \overrightarrow{AC}). Réel =
alignés ; imaginaire pur = angle droit en A.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Les points A, B, C sont alignés

]]> Bonne réponse : l'argument du quotient est l'angle
(AB⃗\ ;\ AC⃗) ;
quotient réel = angle nul ou plat = alignement.

]]> Le triangle ABC est rectangle en A

]]> C'est le cas imaginaire pur : angle ±π/2 en
A, donc orthogonalité de AB⃗ et
AC⃗.

]]> ABC est équilatéral

]]> Erreur : équilatéral correspond à un quotient de module
1 et d'argument ±π/3 (e^{\pm i\pi/3}), pas à
un réel.

]]> B et C sont confondus

]]> Erreur : b = c donnerait un quotient... égal à 1,
certes réel, mais le cas général « quotient réel »
couvre tout l'alignement.

]]> Équations polynomiales et racines de l'unité — Q12 : Racines de l'unité et polygones Les images des racines 5-ièmes de l'unité forment quelle
figure du plan complexe ?

]]> \mathbb{U}_n = sommets du polygone régulier à n côtés
inscrit dans le cercle unité, un sommet en 1. C'est le
pont entre équations polynomiales et géométrie (construction
du pentagone, cos2π/5…).

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Un pentagone régulier inscrit dans le cercle unité, avec
un sommet en 1

]]> Bonne réponse : les e^{2ik\pi/5} partagent le cercle en
5 arcs égaux à partir de 1 : polygone régulier
garanti par la régularité des angles.

]]> Un segment de l'axe réel

]]> Erreur : une seule racine 5-ième est réelle (1, car
5 impair). Les autres se répartissent sur le cercle.

]]> Un pentagone régulier centré en 1

]]> Erreur de centre : le polygone est inscrit dans le
cercle de centre O (module 1) ; 1 en est un
sommet.

]]> Cinq points au hasard sur le cercle unité

]]> Erreur : les arguments 2kπ/5 sont en
progression arithmétique : espacement parfaitement
régulier, rien d'aléatoire.

]]> Équations polynomiales et racines de l'unité — Q13 : Racines par paires conjuguées Un polynôme à coefficients réels admet 2 + 3i comme
racine. Que peut-on affirmer ?

]]> Coefficients réels : P(z) = 0 \Rightarrow P(\bar{z}) = 0 :
l'axe réel est un miroir pour les racines. Conséquence : un
polynôme réel de degré impair a toujours au moins une racine
réelle.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc 2 - 3i est aussi racine : les racines non réelles vont
par paires conjuguées

]]> Bonne réponse : conjuguer l'égalité P(z) = 0 donne
P(\bar{z}) = 0 (les coefficients réels sont leurs
propres conjugués) : les racines complexes arrivent en
couple.

]]> -2 - 3i est aussi racine

]]> Confusion : -2 - 3i est l'opposé : la symétrie des
coefficients réels est la conjugaison (signe de la
partie imaginaire seule).

]]> Rien : chaque racine est indépendante

]]> Erreur : les coefficients réels imposent la symétrie par
conjugaison : c'est un théorème, pas un hasard.

]]> Le polynôme n'a que des racines complexes

]]> Erreur : des racines réelles peuvent coexister (elles
sont leurs propres conjuguées) : la paire ne concerne
que les racines NON réelles.

]]> Équations polynomiales et racines de l'unité — Q14 : Résoudre $z^2 + z + 1 = 0$ Quelles sont les solutions de z² + z + 1 = 0 ?

]]> z² + z + 1 = 0 : les racines sont j = e^{2i\pi/3} et
j^2 = \bar{j} : le facteur non trivial de z³ - 1. Somme
-1, produit 1 : contrôle immédiat par les relations
coefficients-racines.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc z = \dfrac{-1 \pm i\sqrt{3}}{2} : les nombres j et
j²

]]> Bonne réponse : Δ = 1 - 4 = -3 : racines
\frac{-1 \pm i\sqrt{3}}{2} : exactement les racines
cubiques non réelles de l'unité (cohérent : z³ - 1 = (z - 1)(z² + z + 1)).

]]> z = \dfrac{-1 \pm \sqrt{3}}{2}

]]> Le i oublié : Δ = -3 < 0 : les racines sont
complexes : √-Δ = √3 s'accompagne du
facteur i.

]]> z = 1 et z = -1

]]> Contrôle : 1 + 1 + 1 = 3 ≠ 0 : ni 1 ni -1
n'annulent le trinôme.

]]> Aucune : Δ < 0

]]> Réflexe de première : dans ℂ, Δ < 0
fournit deux racines conjuguées : c'est tout l'objet du
chapitre.

]]> Équations polynomiales et racines de l'unité — Q15 : Factoriser $z^2 + 9$ Comment z² + 9 se factorise-t-il dans ℂ ?

]]> Dans ℂ, a² + b² = (a - ib)(a + ib) : les
sommes de carrés se factorisent. C'est le miracle du corps
des complexes : plus aucun polynôme n'est irréductible
au-delà du degré 1.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc (z - 3i)(z + 3i)

]]> Bonne réponse : z² + 9 = z² - (3i)² : une
différence de carrés déguisée : les racines ± 3i
fournissent les facteurs.

]]> (z + 3)(z - 3)

]]> Signe : (z+3)(z-3) = z² - 9 : pour z² + 9, les
racines sont imaginaires : ± 3i.

]]> (z + 3)²

]]> Développement : (z+3)² = z² + 6z + 9 : le double
produit parasite : notre polynôme n'a pas de terme en
z.

]]> Il est irréductible : somme de carrés

]]> Vrai dans ℝ, faux dans ℂ : tout
polynôme s'y factorise en degrés 1 : z² + 9 = (z - 3i)(z + 3i).

]]> Équations polynomiales et racines de l'unité — Q16 : Combien de racines $n$-ièmes ? Combien l'équation zⁿ = 1 a-t-elle de solutions
complexes ?

]]> \mathbb{U}_n compte exactement n éléments : le degré
majore, l'exhibition des e^{2ik\pi/n} atteint la borne.
C'est LE cas d'école où « au plus n » devient
« exactement n ».

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Exactement n

]]> Bonne réponse : les e^{2ik\pi/n} pour k = 0, …, n - 1, toutes distinctes : le maximum autorisé par le
degré, atteint.

]]> Une seule : z = 1

]]> Vision réelle : dans ℂ, le cercle fournit n
solutions régulièrement espacées (1 n'est que celle de
k = 0).

]]> Deux : z = 1 et z = -1

]]> Cas particulier : ± 1 sont les solutions pour n = 2 (et -1 seulement si n est pair) : en général, il
y en a n.

]]> Une infinité

]]> Erreur : un polynôme de degré n a au plus n
racines : les angles 2kπ/n se répètent
modulo 2π : exactement n points distincts.

]]> Équations polynomiales et racines de l'unité — Q17 : Quotient imaginaire pur A, B, C sont trois points d'affixes a, b, c
distinctes. Que signifie « c - a/b - a est
imaginaire pur (non nul) » ?

]]> Le quotient c-a/b-a : son argument = l'angle en
A, son module = le rapport AC/AB. Réel :
alignement ; imaginaire pur : angle droit ; e^{i\pi/3} :
triangle équilatéral. Un dictionnaire géométrique complet.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc L'angle en A entre AB⃗ et
AC⃗ est droit

]]> Bonne réponse : l'argument du quotient est l'angle
(AB⃗\ ;\ AC⃗) :
imaginaire pur = argument ±π/2 = angle
droit en A.

]]> Les points sont alignés

]]> Inversé : l'alignement correspond au quotient réel
(argument 0 ou π) : l'imaginaire pur est la
perpendiculaire.

]]> Le triangle est équilatéral

]]> Erreur : équilatéral demande un quotient e^{\pm
i\pi/3} (module 1, angle 60°) : ni réel ni
imaginaire pur.

]]> AB = AC

]]> Confusion module/argument : l'égalité des longueurs se
lit sur le MODULE du quotient (= 1) : l'imaginaire pur
parle de l'angle.

]]> Équations polynomiales et racines de l'unité — Q18 : Résoudre $z^3 = 8$ Quelles sont les solutions complexes de z³ = 8 ?

]]> zⁿ = a (a > 0) : solutions \sqrt[n]{a}\;e^{2ik\pi/n} :
la racine réelle multipliée par les racines n-ièmes de
l'unité : polygone régulier de rayon \sqrt[n]{a}. Ramener
à \mathbb{U}_n par division : le réflexe.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc 2, 2j et 2j² (où j = e^{2i\pi/3})

]]> Bonne réponse : z^3 = 8 \iff \left(\frac{z}{2}\right)^3
= 1 : les solutions sont 2 fois les racines cubiques
de l'unité : un triangle équilatéral de rayon 2.

]]> 2 seulement

]]> Vision réelle : 2 est la seule solution RÉELLE : dans
ℂ, le degré 3 livre trois racines (2j et
2j² complètent).

]]> 2, -2 et 2i

]]> Contrôle : (-2)³ = -8 ≠ 8 et (2i)³ = -8i : les
bonnes racines s'obtiennent en tournant de 120° :
2e^{2i\pi/3}, 2e^{4i\pi/3}.

]]> 8, 8j et 8j²

]]> Module : la racine cubique de 8 est 2 (2³ = 8) :
le module des solutions est 2, pas 8.

]]>