$course$/QCM de maths/Maths expertes/Graphes, matrices et chaînes de Markov Vocabulaire des graphes (sommets, arêtes, degré, chaîne,
connexité), matrices et opérations, inverse et puissances,
matrice d'adjacence et comptage de chemins, suites
Uₙ₊₁ = AUₙ + C, chaînes de Markov à deux ou trois états,
matrice de transition et distributions invariantes.

]]> Graphes, matrices et chaînes de Markov — Q01 : Degré d'un sommet Dans un graphe non orienté, qu'appelle-t-on degré d'un
sommet ?

]]> Vocabulaire de base : ordre = nombre de sommets ; degré d'un
sommet = nombre d'arêtes incidentes. Lemme des poignées de
main : la somme des degrés vaut 2 × (nombre d'arêtes),
donc elle est toujours paire.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Le nombre d'arêtes dont ce sommet est une extrémité

]]> Bonne réponse : le degré compte les arêtes incidentes au
sommet : son « nombre de connexions ».

]]> Le nombre total de sommets du graphe

]]> Confusion : c'est l'ordre du graphe. Le degré est
une caractéristique locale de chaque sommet.

]]> Le nombre total d'arêtes du graphe

]]> Erreur : le degré ne compte que les arêtes touchant ce
sommet, pas toutes.

]]> La longueur de la plus longue chaîne partant du sommet

]]> Erreur : les chaînes mesurent des parcours ; le degré
mesure les connexions immédiates.

]]> Graphes, matrices et chaînes de Markov — Q02 : Graphe complet Combien d'arêtes possède le graphe complet à 5 sommets
(chaque paire de sommets est reliée) ?

]]> Graphe complet à n sommets : chaque sommet est de degré
n - 1, et il y a \binom{n}{2} = \frac{n(n-1)}{2} arêtes.
Contrôle par les poignées de main : 5 × 4/2 = 10.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc 10

]]> Bonne réponse : une arête par paire de sommets :
\binom{5}{2} = \dfrac{5 \times 4}{2} = 10.

]]> 20

]]> Double comptage : 5 × 4 compte chaque arête dans
les deux sens ; on divise par 2.

]]> 5

]]> Erreur : 5 arêtes font un simple cycle (pentagone). Le
graphe complet relie toutes les paires : 10.

]]> 25

]]> Erreur : 5² compterait aussi des boucles et les deux
sens. Paires distinctes : \binom{5}{2} = 10.

]]> Graphes, matrices et chaînes de Markov — Q03 : Graphe connexe Que signifie « le graphe est connexe » ?

]]> Chaîne = suite d'arêtes consécutives ; sa longueur = nombre
d'arêtes. Connexe = toute paire de sommets est reliée par
une chaîne : le réseau est d'un seul bloc.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Deux sommets quelconques sont toujours reliés par au
moins une chaîne

]]> Bonne réponse : d'un seul tenant : on peut voyager de
n'importe quel sommet vers n'importe quel autre en
suivant les arêtes.

]]> Chaque paire de sommets est reliée par une arête directe

]]> Trop fort : c'est le graphe complet. La connexité
autorise les détours (chaînes de plusieurs arêtes).

]]> Le graphe ne contient aucun cycle

]]> Autre notion : c'est un graphe acyclique (une forêt).
Un cycle peut très bien être connexe.

]]> Tous les sommets ont le même degré

]]> Autre notion (graphe régulier) : deux triangles disjoints
ont tous leurs degrés égaux à 2 sans être connexes.

]]> Graphes, matrices et chaînes de Markov — Q04 : Dimensions d'une matrice Soit A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 2 \\ 3 & -1 & 4
\end{pmatrix}. Quelles sont les dimensions de A ?

]]> Matrice n × p : tableau de n lignes et p
colonnes. Cas particuliers : matrice carrée (n = p),
matrice ligne (1 × p), matrice colonne (n × 1). Le produit AB exige : colonnes de A = lignes de
B.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc 2 × 3 : deux lignes, trois colonnes

]]> Bonne réponse : convention lignes × colonnes,
toujours dans cet ordre.

]]> 3 × 2

]]> Ordre inversé : on annonce d'abord les lignes (2),
puis les colonnes (3).

]]> 6

]]> Incomplet : 6 est le nombre de coefficients, mais la
forme (2 × 3 ou 3 × 2 ou 6 × 1…)
est une information essentielle.

]]> 2 × 2

]]> Erreur : la matrice n'est pas carrée : elle a 3
colonnes.

]]> Graphes, matrices et chaînes de Markov — Q05 : Produit de matrices Soient A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} et
B = \begin{pmatrix} 3 & 0 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}. Que vaut
le produit AB ?

]]> Produit ligne × colonne. Attention : en général
AB ≠ BA (ici BA = \begin{pmatrix} 3 & 6 \\ 1 & 3
\end{pmatrix}) : la multiplication des matrices n'est pas
commutative.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc AB = \begin{pmatrix} 5 & 2 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}

]]> Bonne réponse : ligne par colonne : (1 × 3 + 2 × 1) = 5, (1 × 0 + 2 × 1) = 2, (0 × 3 + 1 × 1) = 1, (0 × 0 + 1 × 1) = 1.

]]> AB = \begin{pmatrix} 3 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}

]]> Produit coefficient par coefficient : ce n'est pas la
règle : chaque case croise une ligne de A avec une
colonne de B.

]]> AB = \begin{pmatrix} 4 & 2 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}

]]> Addition parasite : c'est A + B. Le produit multiplie
ligne par colonne puis somme.

]]> AB = \begin{pmatrix} 3 & 2 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}

]]> Première case fausse : (1\ \ 2) \cdot
\binom{3}{1} = 3 + 2 = 5, pas 3.

]]> Graphes, matrices et chaînes de Markov — Q06 : Inverse d'une matrice $2 \times 2$ Soit A = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 5 & 3 \end{pmatrix}.
Quelle est la matrice inverse A⁻¹ ?

]]> Pour \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} avec
ad - bc ≠ 0 : inverse = \dfrac{1}{ad - bc}
\begin{pmatrix} d & -b \\ -c & a \end{pmatrix}.
L'inverse sert à résoudre AX = B : X = A⁻¹B.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc A^{-1} = \begin{pmatrix} 3 & -1 \\ -5 & 2 \end{pmatrix}

]]> Bonne réponse : déterminant = 2 × 3 - 1 × 5 = 1, puis échange de la diagonale et signes opposés sur
l'autre : \frac{1}{1}\begin{pmatrix} 3 & -1 \\ -5 & 2
\end{pmatrix}. Contrôle : AA⁻¹ = I₂.

]]> A^{-1} = \begin{pmatrix} \frac{1}{2} & 1 \\ \frac{1}{5}
& \frac{1}{3} \end{pmatrix}

]]> Erreur : inverser coefficient par coefficient ne marche
pas : l'inverse doit vérifier AA⁻¹ = I₂, pas
inverser chaque case.

]]> A^{-1} = \begin{pmatrix} 3 & 1 \\ 5 & 2 \end{pmatrix}

]]> Signes oubliés : les coefficients hors diagonale
prennent un signe moins : -1 et -5.

]]> A n'est pas inversible

]]> Erreur : le déterminant 2 × 3 - 1 × 5 = 1 ≠ 0 : inversible.

]]> Graphes, matrices et chaînes de Markov — Q07 : Matrice d'adjacence Qu'est-ce que la matrice d'adjacence d'un graphe à n
sommets ?

]]> Matrice d'adjacence A : aᵢⱼ = nombre d'arêtes de i
vers j. Théorème clé (démonstration au programme) : le
coefficient (i\ ;\ j) de Aᵏ compte les chemins de
longueur k de i à j.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc La matrice carrée n × n dont le coefficient
(i\ ;\ j) compte les arêtes reliant le sommet i au
sommet j

]]> Bonne réponse : la carte d'identité numérique du
graphe : 1 (ou le nombre d'arêtes) si liaison, 0
sinon. Symétrique pour un graphe non orienté.

]]> La matrice colonne des degrés des sommets

]]> Erreur : les degrés se déduisent de la matrice
d'adjacence (somme de chaque ligne), mais elle contient
bien plus : qui est relié à qui.

]]> Une matrice 2 × n listant les arêtes

]]> Erreur : la matrice d'adjacence est carrée n × n, indexée par les sommets en ligne et en colonne.

]]> La matrice identité Iₙ

]]> Erreur : Iₙ décrirait un graphe où chaque sommet n'a
qu'une boucle sur lui-même : aucun intérêt.

]]> Graphes, matrices et chaînes de Markov — Q08 : Compter les chemins avec $A^k$ Soit A la matrice d'adjacence d'un graphe. Que représente
le coefficient (1\ ;\ 3) de la matrice A⁴ ?

]]> Théorème : (Aᵏ)ᵢⱼ = nombre de chemins de
longueur k de i à j. Preuve par récurrence : un chemin
de longueur k = un chemin de longueur k-1 suivi d'une
arête, ce que le produit matriciel somme exactement.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Le nombre de chemins de longueur 4 allant du sommet
1 au sommet 3

]]> Bonne réponse : chaque produit intermédiaire cumule une
étape ; A⁴ compte les parcours en exactement 4
arêtes (revisites autorisées).

]]> La distance entre les sommets 1 et 3

]]> Erreur : la distance est la longueur du plus court
chemin ; A⁴ compte les chemins de longueur
exactement 4.

]]> Le nombre d'arêtes entre les sommets 1 et 3

]]> C'est A¹ = A qui donne les liaisons directes ; la
puissance 4 compte les parcours en 4 étapes.

]]> 4 fois le coefficient (1\ ;\ 3) de A

]]> Confusion entre A⁴ (produit matriciel itéré) et 4A
(multiplication par un scalaire).

]]> Graphes, matrices et chaînes de Markov — Q09 : Suite $U_{n+1} = AU_n$ Une suite de matrices colonnes vérifie Uₙ₊₁ = A Uₙ
pour tout n. Comment s'exprime Uₙ en fonction de
U₀ ?

]]> Uₙ₊₁ = AUₙ ⇒ Uₙ = Aⁿ U₀ : tout le
comportement asymptotique se lit sur les puissances de A.
Avec un terme constant (Uₙ₊₁ = AUₙ + C), on cherche
une colonne fixe X = AX + C pour s'y ramener.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Uₙ = Aⁿ U₀

]]> Bonne réponse : chaque étape multiplie par A à
gauche ; après n étapes : Aⁿ U₀ : exactement comme
une suite géométrique, en version matricielle.

]]> Uₙ = n A U₀

]]> Confusion arithmétique/géométrique : on multiplie
par A à chaque étape, on n'ajoute pas : c'est une
puissance, pas un multiple.

]]> Uₙ = A U₀ⁿ

]]> Erreur : la puissance porte sur A (appliquée n
fois) ; U₀ⁿ n'a même pas de sens pour une colonne.

]]> Uₙ = Aⁿ⁻¹ U₁ donc rien de plus simple

]]> Exact mais inutilement décalé : en remontant jusqu'à
U₀ : Uₙ = Aⁿ U₀ : la forme close attendue.

]]> Graphes, matrices et chaînes de Markov — Q10 : Matrice de transition [Figure : Graphe orienté pondéré à deux états A et B : flèche de A vers B de poids 0,2, flèche de B vers A de poids 0,3, boucle sur A de poids 0,8, boucle sur B de poids 0,7.]

Le graphe ci-contre décrit une chaîne de Markov à deux états
A et B. Quelle est sa matrice de transition P (états
dans l'ordre A, B, lignes = état de départ) ?

]]> Matrice de transition : pᵢⱼ = probabilité de passer de
l'état i à l'état j en une étape ; chaque ligne somme à
1. Le graphe pondéré et la matrice sont deux écritures du
même objet.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc P = \begin{pmatrix} 0{,}8 & 0{,}2 \\ 0{,}3 & 0{,}7
\end{pmatrix}

]]> Bonne réponse : ligne A : rester en A (0{,}8),
aller en B (0{,}2) ; ligne B : 0{,}3 puis
0{,}7. Chaque ligne somme à 1.

]]> P = \begin{pmatrix} 0{,}8 & 0{,}3 \\ 0{,}2 & 0{,}7
\end{pmatrix}

]]> Transposée : ici les lignes ne somment plus à 1
(0{,}8 + 0{,}3 = 1{,}1) : le signe sûr d'un échange
lignes/colonnes.

]]> P = \begin{pmatrix} 0{,}2 & 0{,}8 \\ 0{,}7 & 0{,}3
\end{pmatrix}

]]> Diagonale échangée : le coefficient (1\ ;\ 1) est la
probabilité de rester en A, soit 0{,}8 (la
boucle).

]]> P = \begin{pmatrix} 0{,}8 & 0{,}2 \\ 0{,}7 & 0{,}3
\end{pmatrix}

]]> Ligne B inversée : depuis B, la probabilité d'aller
en A (première colonne) est 0{,}3, celle de rester
est 0{,}7.

]]> Graphes, matrices et chaînes de Markov — Q11 : Distribution après $n$ transitions Une chaîne de Markov a pour matrice de transition P et
pour distribution initiale la matrice ligne π₀. Que
représente la matrice ligne π₀ Pⁿ ?

]]> πₙ₊₁ = πₙ P, d'où πₙ = π₀ Pⁿ
(démonstration au programme). Interprétation coefficient par
coefficient : (Pⁿ)ᵢⱼ = probabilité de passer de i à
j en n transitions.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc La distribution de probabilité de l'état du système
après n transitions

]]> Bonne réponse : chaque multiplication par P fait
avancer d'une étape ; πₙ = π₀ Pⁿ donne les
probabilités d'occupation de chaque état à l'instant
n.

]]> La probabilité de rester dans l'état initial

]]> Réducteur : π₀ Pⁿ est une ligne complète : une
probabilité par état, pas un seul nombre.

]]> La matrice des chemins de longueur n du graphe

]]> Confusion avec la matrice d'adjacence : ici les
coefficients sont des probabilités, et π₀ Pⁿ est
une ligne, pas une matrice carrée.

]]> Toujours la distribution uniforme

]]> Erreur : la limite éventuelle dépend de P (c'est la
distribution invariante, rarement uniforme).

]]> Graphes, matrices et chaînes de Markov — Q12 : Distribution invariante Pour la chaîne de matrice P = \begin{pmatrix} 0{,}8 & 0{,}2
\\ 0{,}3 & 0{,}7 \end{pmatrix}, quelle est la distribution
invariante π = (x\ ;\ y) (vérifiant π P = π et
x + y = 1) ?

]]> Distribution invariante : π P = π avec somme 1 : si
la chaîne démarre sur π, elle y reste ; et ici les
distributions πₙ convergent vers π quel que soit le
départ. L'état A est occupé 60\ % du temps en régime
établi.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc \pi = (0{,}6\ ;\ 0{,}4)

]]> Bonne réponse : π P = π donne 0{,}8x + 0{,}3y =
x, soit 0{,}3y = 0{,}2x ; avec x + y = 1 :
x = 0{,}6, y = 0{,}4. Contrôle : 0{,}8 \times
0{,}6 + 0{,}3 \times 0{,}4 = 0{,}6.

]]> \pi = (0{,}5\ ;\ 0{,}5)

]]> Uniforme par réflexe : contrôle : 0{,}8 \times 0{,}5 +
0{,}3 \times 0{,}5 = 0{,}55 \neq 0{,}5 : pas
invariante.

]]> \pi = (0{,}8\ ;\ 0{,}2)

]]> Première ligne recopiée : ce n'est pas la définition :
on résout π P = π avec x + y = 1.

]]> Il n'en existe pas

]]> Erreur : pour une chaîne à deux états comme celle-ci, le
système π P = π, x + y = 1 a une solution :
(0{,}6\ ;\ 0{,}4).

]]> Graphes, matrices et chaînes de Markov — Q13 : Le lemme des poignées de main Dans un graphe non orienté, que vaut la somme des degrés de
tous les sommets ?

]]> Lemme des poignées de main : \sum \deg(s) = 2 \times
|\text{arêtes}| : donc la somme des degrés est toujours
PAIRE, et le nombre de sommets de degré impair aussi. Deux
conséquences qui tuent bien des constructions impossibles.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Le double du nombre d'arêtes

]]> Bonne réponse : chaque arête possède deux extrémités :
elle contribue 2 à la somme des degrés : somme = 2 × arêtes.

]]> Le nombre d'arêtes

]]> Moitié : chaque arête est comptée par ses DEUX bouts :
la somme des degrés double le compte des arêtes.

]]> Le nombre de sommets

]]> Erreur : la somme dépend des connexions, pas du seul
effectif : un triangle (3 sommets) a une somme de degrés
de 6.

]]> Cela dépend du graphe, sans formule générale

]]> Erreur : la formule \sum \deg = 2 \times arêtes vaut
pour TOUT graphe : c'est un des rares invariants
universels.

]]> Graphes, matrices et chaînes de Markov — Q14 : La matrice identité Que vaut le produit A I₂, où I_2 = \begin{pmatrix} 1 &
0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} et A est une matrice 2 × 2 ?

]]> Iₙ : des 1 sur la diagonale, des 0 ailleurs : le
neutre du produit matriciel. Elle définit l'inverse
(AA⁻¹ = I) et sert de point de départ aux puissances
(A⁰ = I).

]]> 1.0 0.0 0 true true abc A : l'identité est neutre pour le produit

]]> Bonne réponse : AI = IA = A : l'identité joue pour les
matrices le rôle du nombre 1 : c'est la référence des
inverses (AA⁻¹ = I).

]]> I₂

]]> Erreur : multiplier par l'identité ne « remplace » pas
par elle : chaque ligne de A ressort intacte.

]]> La matrice nulle

]]> Confusion : c'est la matrice NULLE qui absorbe tout :
l'identité, elle, laisse tout passer.

]]> 2A

]]> Erreur : les 1 de la diagonale recopient chaque
coefficient UNE fois : aucun doublement.

]]> Graphes, matrices et chaînes de Markov — Q15 : $AB$ contre $BA$ Pour deux matrices carrées A et B, a-t-on toujours
AB = BA ?

]]> Le produit matriciel n'est PAS commutatif : réflexe
permanent : ne jamais échanger l'ordre des facteurs
(développements, factorisations, équations : tout doit
respecter le côté de multiplication).

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Non : par exemple \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0
\end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 1 & 0
\end{pmatrix} \neq \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 1 & 0
\end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0
\end{pmatrix}

]]> Bonne réponse : les deux produits donnent
\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} et
\begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} :
l'ordre des facteurs CHANGE le résultat.

]]> Oui : la multiplication est toujours commutative

]]> Réflexe des nombres à abandonner : composer des
transformations dépend de l'ordre (tourner puis étirer
n'est pas étirer puis tourner).

]]> Oui, dès que les deux matrices sont carrées de même
taille

]]> Erreur : même carrées, l'ordre compte : le contre-exemple
ci-contre utilise deux matrices 2 × 2.

]]> Non, sauf si les matrices sont différentes

]]> Confus : certains COUPLES commutent (une matrice et ses
puissances, l'identité avec tout) : mais la règle
générale est la non-commutativité.

]]> Graphes, matrices et chaînes de Markov — Q16 : Dimensions compatibles A est de taille 2 × 3 et B de taille 3 × 1. Que dire du produit AB ?

]]> Règle des dominos : (m × n)(n × p) = m × p :
les dimensions intérieures doivent coïncider et
disparaissent. À vérifier AVANT tout calcul : la moitié des
erreurs de produit sont des produits impossibles.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Il existe et mesure 2 × 1 (une colonne de hauteur
2)

]]> Bonne réponse : les dimensions intérieures coïncident
(3 = 3) : le produit existe, aux dimensions
extérieures 2 × 1.

]]> Il n'existe pas : les tailles sont différentes

]]> Erreur : le produit n'exige pas des tailles égales, mais
des dimensions INTÉRIEURES égales (colonnes de A =
lignes de B) : c'est le cas.

]]> Il existe et mesure 3 × 3

]]> Erreur : 3 × 3 sortirait de BA… qui n'existe
d'ailleurs pas (1 ≠ 2) : AB prend les dimensions
extérieures : 2 × 1.

]]> Il existe et mesure 2 × 3

]]> Erreur : la dimension commune 3 est CONSOMMÉE par le
produit : restent 2 (lignes de A) et 1 (colonnes
de B).

]]> Graphes, matrices et chaînes de Markov — Q17 : Calculer $A^2$ Soit A = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}.
Que vaut A² ?

]]> Puissance = produits successifs (jamais coefficient par
coefficient). La matrice \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1
\end{pmatrix} vérifie A^n = \begin{pmatrix} 1 & n \\ 0 &
1 \end{pmatrix} : premier exemple de conjecture + récurrence
matricielle.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc A^2 = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}

]]> Bonne réponse : produit ligne par colonne : seul le
coefficient supérieur droit bouge : 1 × 1 + 1 × 1 = 2. (Et Aⁿ y affichera n : récurrence
élégante.)

]]> A^2 = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}

]]> Erreur : A n'est pas idempotente : le coefficient
droit cumule : 1 + 1 = 2.

]]> A^2 = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}^2 =
\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} coefficient
par coefficient

]]> Erreur de méthode : élever chaque coefficient au carré
n'est PAS le produit matriciel (qui croise lignes et
colonnes).

]]> A^2 = \begin{pmatrix} 2 & 2 \\ 0 & 2 \end{pmatrix}

]]> Confusion : 2A double les coefficients : A² = A × A suit la règle ligne-colonne : seul le 2
supérieur droit apparaît.

]]> Graphes, matrices et chaînes de Markov — Q18 : Une matrice de transition valide ? La matrice \begin{pmatrix} 0{,}5 & 0{,}6 \\ 0{,}3 & 0{,}7
\end{pmatrix} peut-elle être la matrice de transition
d'une chaîne de Markov ?

]]> Matrice de transition (stochastique) : coefficients dans
[0\ ;\ 1] ET chaque ligne somme à 1 (toutes les
destinations depuis un état). Vérification systématique
avant tout calcul de π₀ Pⁿ.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Non : la première ligne somme à 1{,}1 \neq 1

]]> Bonne réponse : chaque LIGNE d'une matrice de transition
liste les probabilités de départ d'un état : elle doit
sommer à 1 (0{,}5 + 0{,}6 = 1{,}1 : impossible).

]]> Oui : tous les coefficients sont entre 0 et 1

]]> Nécessaire mais pas suffisant : il faut AUSSI que chaque
ligne somme à 1 : la première déborde.

]]> Non : les colonnes ne somment pas à 1

]]> Mauvais axe : la convention du programme somme les
lignes (ligne = état de départ) : et c'est bien une
ligne qui cloche ici.

]]> Oui : il suffit de la diviser par 1{,}1

]]> Erreur : renormaliser une seule ligne casserait l'autre
(0{,}3 + 0{,}7 = 1 déjà) : la matrice donnée est
simplement invalide.

]]>