$course$/QCM de maths/Première spécialité/Dérivation Taux de variation et sécantes, nombre dérivé comme limite du taux
de variation, tangente et son équation, approximation linéaire
f(a+h) ≈ f(a) + f'(a)h, fonctions dérivées des fonctions
de référence (carré, cube, inverse, racine), opérations (somme,
produit, inverse, quotient), dérivabilité de la valeur absolue
en 0.

]]> Dérivation — Q01 : Taux de variation Soit f une fonction et a, h des réels (h ≠ 0).
Comment s'écrit le taux de variation de f entre a et
a + h ?

]]> Taux de variation = f(a+h) - f(a)/h : pente de la
sécante, vitesse moyenne en cinématique. Le nombre dérivé en
sera la limite quand h tend vers 0.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc f(a+h) - f(a)/h

]]> Bonne réponse : variation des images divisée par la
variation de la variable : c'est la pente de la sécante
entre les points d'abscisses a et a + h.

]]> f(a+h) - f(a)/a + h

]]> Erreur de dénominateur : on divise par l'écart entre
les deux abscisses, qui vaut (a+h) - a = h.

]]> f(a+h) - f(a)

]]> Incomplet : ceci est la variation de f. Le taux la
rapporte à la longueur du pas h, comme une vitesse
moyenne.

]]> f(h) - f(a)/h - a

]]> Erreur : les deux points sont a et a + h, pas a et
h. (La forme f(b)-f(a)/b-a est correcte avec
b = a + h.)

]]> Dérivation — Q02 : Le nombre dérivé Que représente géométriquement le nombre dérivé f'(a) ?

]]> f'(a) = limite du taux de variation
f(a+h)-f(a)/h quand h → 0 : géométriquement, la
pente de la tangente ; en cinématique, la vitesse instantanée.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc La pente de la tangente à la courbe de f au point
d'abscisse a

]]> Bonne réponse : quand h tend vers 0, les sécantes
pivotent vers une position limite, la tangente ; leurs
pentes tendent vers f'(a).

]]> La pente de la sécante entre a et a + 1

]]> Erreur : cette pente est le taux de variation pour
h = 1. Le nombre dérivé est la limite des pentes des
sécantes quand h → 0.

]]> L'ordonnée du point de la courbe d'abscisse a

]]> Erreur : l'ordonnée est f(a). Le nombre dérivé f'(a)
mesure l'inclinaison de la courbe en ce point, pas sa
hauteur.

]]> L'aire sous la courbe jusqu'à a

]]> Erreur : l'aire relève du calcul intégral (programme de
terminale). La dérivation parle de pente.

]]> Dérivation — Q03 : Lire un nombre dérivé sur un graphique [Figure : Repère orthonormé avec la parabole de f(x) = x² en bleu et sa
tangente T en rouge au point A(1 ; 1). La tangente passe par
les points (0 ; -1) et (2 ; 3) : elle monte de 2 unités par
pas de 1.]

Sur la figure ci-dessous, la droite T est la tangente à la
courbe \mathcal{C}_f au point A(1 ; 1). Que vaut
f'(1) ?

]]> Lecture graphique du nombre dérivé (capacité attendue) :
f'(a) = pente de la tangente, mesurée entre deux points
lisibles de la tangente. Ici : 2 (cohérent avec
f(x) = x² : f'(1) = 2).

]]> 1.0 0.0 0 true true abc f'(1) = 2

]]> Bonne réponse : la tangente passe par (0 ; -1) et
(2 ; 3) : pente 3 - (-1)/2 - 0 = 2. Le
nombre dérivé est cette pente.

]]> f'(1) = 1

]]> Erreur : 1 est l'ordonnée du point A (la valeur
f(1)), pas la pente de la tangente. Compte les carreaux :
T monte de 2 par pas de 1.

]]> f'(1) = -1

]]> Erreur : -1 est l'ordonnée à l'origine de T (son
intersection avec l'axe vertical), pas sa pente.

]]> f'(1) = ½

]]> Pente renversée : entre (0 ; -1) et (2 ; 3), on
monte de 4 pour 2 d'avance : pente 2, pas
½.

]]> Dérivation — Q04 : Équation de la tangente Soit f(x) = x². Quelle est l'équation de la tangente à la
courbe de f au point d'abscisse a = 1 ?

]]> Équation de la tangente en a (démonstration au programme) :
y = f'(a)(x - a) + f(a). Toujours vérifier que le point de
tangence vérifie l'équation obtenue.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc y = 2x - 1

]]> Bonne réponse : y = f'(1)(x - 1) + f(1) avec f(1) = 1
et f'(1) = 2 : y = 2(x-1) + 1 = 2x - 1.

]]> y = 2x + 1

]]> Erreur de développement : 2(x - 1) + 1 = 2x - 2 + 1 = 2x - 1. Contrôle : la tangente doit passer par
(1 ; 1), or 2(1) + 1 = 3 ≠ 1.

]]> y = x + 1

]]> Erreur de pente : f'(1) = 2 × 1 = 2, pas 1. (La
droite y = x + 1 n'est pas assez inclinée et coupe
la parabole.)

]]> y = 2x

]]> Erreur : cette droite a la bonne pente mais passe par
l'origine, pas par le point de tangence (1 ; 1) :
2 × 1 = 2 ≠ 1.

]]> Dérivation — Q05 : Dérivée de la fonction inverse Quelle est la dérivée de la fonction inverse
f(x) = 1/x sur ]0 ; +∞[ ?

]]> Dérivées de référence à connaître : (x²)' = 2x,
(x³)' = 3x², (1/x)' = -1/x², (\sqrt{x})' = \dfrac{1}{2\sqrt{x}}.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc f'(x) = -1/x²

]]> Bonne réponse : c'est une dérivée de référence
(démonstration au programme via le taux de variation). Le
signe négatif traduit la décroissance de l'inverse.

]]> f'(x) = 1/x²

]]> Erreur de signe : l'inverse est décroissante, sa
dérivée doit être négative : -1/x².

]]> f'(x) = -1/x

]]> Erreur : l'exposant du dénominateur augmente en dérivant :
(1/x)' = -1/x².

]]> f'(x) = 1/2x

]]> Erreur : 1/2x mélange avec la dérivée de la
racine carrée \left(\frac{1}{2\sqrt{x}}\right). Pour
l'inverse : -1/x².

]]> Dérivation — Q06 : Dérivée de la racine carrée Quelle est la dérivée de f(x) = √x sur
]0 ; +∞[ ?

]]> (\sqrt{x})' = \dfrac{1}{2\sqrt{x}} sur ]0 ; +∞[.
En 0 : le taux de variation \frac{\sqrt{h}}{h} =
\frac{1}{\sqrt{h}} explose : non dérivable en 0 (tangente
verticale).

]]> 1.0 0.0 0 true true abc f'(x) = \dfrac{1}{2\sqrt{x}}

]]> Bonne réponse : dérivée de référence. Elle explose près de
0 : la courbe y démarre avec une tangente verticale
(la fonction n'est pas dérivable en 0, démonstration au
programme).

]]> f'(x) = \dfrac{\sqrt{x}}{2}

]]> Erreur : la racine passe au dénominateur en dérivant :
\dfrac{1}{2\sqrt{x}}.

]]> f'(x) = 2√x

]]> Erreur de sens : 2√x est une primitive de
\dfrac{1}{\sqrt{x}} (vu en terminale). En dérivant
√x, on obtient \dfrac{1}{2\sqrt{x}}.

]]> f'(x) = \dfrac{1}{\sqrt{x}}

]]> Presque : il manque le facteur ½ :
(\sqrt{x})' = \dfrac{1}{2\sqrt{x}}.

]]> Dérivation — Q07 : Dériver un produit Soit f(x) = x² (x + 3). Que vaut f'(x) ?

]]> Deux chemins concordants : la règle du produit
(uv)' = u'v + uv', ou développer d'abord
(x³ + 3x² → 3x² + 6x). Faire les deux est un excellent
auto-contrôle.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc f'(x) = 3x² + 6x

]]> Bonne réponse : (uv)' = u'v + uv' donne
2x(x+3) + x² × 1 = 2x² + 6x + x² = 3x² + 6x.
(Contrôle : f(x) = x³ + 3x² se dérive directement en
3x² + 6x.)

]]> f'(x) = 2x

]]> Erreur : 2x × 1 est le produit des dérivées, ce
qui n'est pas la règle. Le produit se dérive en
u'v + uv'.

]]> f'(x) = 2x(x + 3)

]]> Incomplet : c'est le terme u'v seul. Il faut lui ajouter
uv' = x².

]]> f'(x) = 3x² + 3

]]> Erreur : en développant d'abord, f(x) = x³ + 3x² et le
terme 3x² se dérive en 6x, pas en 3.

]]> Dérivation — Q08 : Dériver l'inverse d'une fonction Soit f(x) = 1/x² + 1. Que vaut f'(x) ?

]]> (1/u)' = -u'/u² : ici
-2x/(x²+1)². Cas particulier u(x) = x : on
retrouve -1/x².

]]> 1.0 0.0 0 true true abc f'(x) = -2x/(x² + 1)²

]]> Bonne réponse : (1/u)' = -u'/u² avec u = x² + 1 et u' = 2x.

]]> f'(x) = 2x/(x² + 1)²

]]> Erreur de signe : la formule de l'inverse porte un
moins : -u'/u².

]]> f'(x) = -1/(x² + 1)²

]]> Oubli de u' = 2x au numérateur : la dérivée de
l'intérieur doit apparaître.

]]> f'(x) = 1/2x

]]> Erreur : on ne dérive pas un quotient en inversant la
dérivée du dénominateur. Règle :
(1/u)' = -u'/u².

]]> Dérivation — Q09 : Approximation linéaire En utilisant l'approximation f(a+h) ≈ f(a) + f'(a)h
avec f(x) = √x et a = 4, quelle valeur approchée
obtient-on pour \sqrt{4{,}1} ?

]]> Approximation linéaire (au programme) : près de a, la
courbe se confond avec sa tangente : f(a+h) ≈ f(a) + f'(a)h. Ici \sqrt{4{,}1} \approx 2 + \frac{0{,}1}{4} =
2{,}025.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc 2{,}025

]]> Bonne réponse : f(4) = 2, f'(4) = \dfrac{1}{2\sqrt{4}}
= 0{,}25 et h = 0{,}1 : \sqrt{4{,}1} \approx 2 +
0{,}25 \times 0{,}1 = 2{,}025 (valeur exacte :
2{,}0248\ldots).

]]> 2{,}05

]]> Erreur : f'(4) = \dfrac{1}{2\sqrt{4}} = \dfrac{1}{4},
pas ½. Le facteur 2√x du dénominateur
vaut 4 ici.

]]> 2{,}1

]]> Erreur : ajouter h tel quel revient à prendre
f'(4) = 1. La pente locale de la racine en 4 est bien
plus douce : 0{,}25.

]]> 2{,}0025

]]> Erreur de décimale : 0{,}25 \times 0{,}1 = 0{,}025, pas
0{,}0025.

]]> Dérivation — Q10 : La valeur absolue en 0 La fonction x ↦ |x| est-elle dérivable en 0 ?

]]> Étude au programme : |0+h| - |0|/h = |h|/h
vaut 1 si h > 0 et -1 si h < 0 : pas de limite unique,
donc pas de nombre dérivé en 0. Continue mais non dérivable.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Non : le taux de variation vaut 1 à droite de 0 et
-1 à gauche

]]> Bonne réponse : les sécantes n'ont pas de position
limite unique (pente +1 d'un côté, -1 de l'autre) : le
« V » a un point anguleux en 0.

]]> Oui, avec f'(0) = 0

]]> Erreur : une dérivée nulle signifierait une tangente
horizontale au fond du « V » ; or les pentes valent
± 1 de part et d'autre, sans se raccorder.

]]> Oui, avec f'(0) = 1

]]> Erreur : la pente vaut 1 seulement à droite. À
gauche, elle vaut -1 : pas de valeur commune, pas de
nombre dérivé.

]]> Non, car la fonction n'est pas continue en 0

]]> Erreur d'argument : |x| est parfaitement continue en
0. C'est la dérivabilité qui échoue (point anguleux) :
l'exemple type qui sépare les deux notions.

]]> Dérivation — Q11 : Vitesse instantanée Un mobile a pour position d(t) = t² (en mètres, t en
secondes). Quelle est sa vitesse instantanée à l'instant
t = 3 ?

]]> Interprétation cinématique (au programme) : taux de variation
= vitesse moyenne ; nombre dérivé = vitesse instantanée.
d'(t) = 2t : le mobile accélère, et d'(3) = 6 m/s.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc 6 m/s

]]> Bonne réponse : la vitesse instantanée est le nombre
dérivé de la position : d'(t) = 2t, donc d'(3) = 6
m/s.

]]> 9 m/s

]]> Erreur : 9 = d(3) est la position à l'instant 3
(en mètres), pas la vitesse.

]]> 3 m/s

]]> Erreur : 3 = d(3) - d(0)/3 est la vitesse
moyenne entre 0 et 3. L'instantanée se lit sur la
dérivée : 2 × 3 = 6.

]]> 2 m/s

]]> Erreur : 2 est le coefficient de d'(t) = 2t, pas sa
valeur en t = 3.

]]> Dérivation — Q12 : Dérivée de $x^n$ pour $n$ négatif Quelle est la dérivée de f(x) = x⁻² (définie pour
x ≠ 0) ?

]]> (xⁿ)' = n xⁿ⁻¹ pour tout entier relatif n. Avec
n = -2 : f'(x) = -2x⁻³. Cohérent avec
(1/x)' = -1/x² (cas n = -1).

]]> 1.0 0.0 0 true true abc f'(x) = -2x⁻³

]]> Bonne réponse : la formule (xⁿ)' = n xⁿ⁻¹ vaut pour
tout n ∈ ℤ : ici n = -2 donne
-2x⁻³ = -2/x³.

]]> f'(x) = -2x⁻¹

]]> Erreur d'exposant : on retranche 1 à l'exposant :
-2 - 1 = -3, pas -1.

]]> f'(x) = 2x⁻³

]]> Erreur de signe : l'exposant n = -2 descend en facteur
avec son signe.

]]> f'(x) = \dfrac{x^{-1}}{-1}

]]> Erreur de sens : remonter l'exposant relève de la
primitive. En dérivant, l'exposant descend et diminue :
-2x⁻³.

]]> Dérivation — Q13 : Dérivée de $3x^2$ Quelle est la dérivée de f(x) = 3x² ?

]]> (ku)' = ku' : les constantes multiplicatives survivent à
la dérivation. Combiné à (xⁿ)' = nxⁿ⁻¹ : (3x²)' = 6x, et tout polynôme se dérive terme à terme.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc f'(x) = 6x

]]> Bonne réponse : la constante multiplicative reste en
facteur : 3 × (x²)' = 3 × 2x = 6x.

]]> f'(x) = 3x

]]> Exposant non descendu : (x²)' = 2x : le 2 vient
multiplier le 3.

]]> f'(x) = 6x²

]]> Exposant conservé à tort : dériver fait baisser le
degré : x² devient x.

]]> f'(x) = 2x

]]> Coefficient 3 perdu : il traverse la dérivation
intact : (3u)' = 3u'.

]]> Dérivation — Q14 : Dériver un polynôme Quelle est la dérivée de f(x) = x³ - 5x² + 1 ?

]]> Dérivation d'un polynôme : chaque terme séparément, la
constante s'évanouit. Le degré baisse de 1 : un cubique a
une dérivée quadratique.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc f'(x) = 3x² - 10x

]]> Bonne réponse : terme à terme : (x³)' = 3x²,
(-5x²)' = -10x, et la constante 1 disparaît.

]]> f'(x) = 3x² - 10x + 1

]]> Constante fantôme : la dérivée de 1 est 0 : une
constante ne varie pas, sa pente est nulle.

]]> f'(x) = x² - 5x

]]> Exposants non descendus : chaque terme reçoit son
exposant en facteur : 3x² et -10x.

]]> f'(x) = 3x² - 5x²

]]> Erreur : le terme -5x² se dérive en -10x
(l'exposant 2 descend ET le degré baisse).

]]> Dérivation — Q15 : Dérivée d'une constante Quelle est la dérivée de f(x) = 7 ?

]]> Constante ⇒ dérivée nulle (et réciproquement sur
un intervalle : le seul type de fonction de dérivée
partout nulle). Géométrie : l'horizontale n'a pas de pente.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc f'(x) = 0

]]> Bonne réponse : la courbe de f est une droite
horizontale : pente nulle partout, taux de variation
toujours nul.

]]> f'(x) = 7

]]> Erreur : 7 est la valeur, pas la pente : une
fonction constante ne varie pas, sa dérivée est 0.

]]> f'(x) = 1

]]> Confusion : c'est f(x) = x qui a pour dérivée 1
(pente de la diagonale).

]]> f'(x) = 7x

]]> Sens inverse : 7x est une primitive de 7 :
dériver une constante donne 0.

]]> Dérivation — Q16 : Dériver un quotient Quelle est la dérivée de f(x) = 3x + 1/x - 2
(pour x ≠ 2) ?

]]> (u/v)' = u'v - uv'/v² : pour
une homographique ax+b/cx+d, le numérateur devient
la constante ad - bc : le signe de ce nombre donne le sens
de variation global.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc f'(x) = -7/(x - 2)²

]]> Bonne réponse : u'v - uv'/v² = 3(x-2) - (3x+1)/(x-2)² = -7/(x-2)² :
numérateur constant, fonction partout décroissante.

]]> f'(x) = 3

]]> Erreur : dériver haut et bas séparément
(u'/v' = 3/1) n'est pas la règle du
quotient.

]]> f'(x) = 7/(x - 2)²

]]> Signe : 3(x-2) - (3x+1) = -6 - 1 = -7 : le moins
survit : la fonction est décroissante sur chaque
intervalle.

]]> f'(x) = -7/x - 2

]]> Dénominateur : la formule impose v² = (x-2)² : le
carré garantit d'ailleurs le signe constant du
dénominateur.

]]> Dérivation — Q17 : Tangente parallèle à une droite Soit f(x) = x². En quel point la tangente à la courbe
est-elle parallèle à la droite y = 4x - 7 ?

]]> Tangente parallèle à une droite de pente m : résoudre
f'(x) = m. (Tangente horizontale : cas particulier
m = 0.) La dérivée est un vivier de pentes : on y puise
celle qu'on veut.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Au point d'abscisse 2, car f'(x) = 2x = 4 \iff x = 2

]]> Bonne réponse : parallèles = mêmes coefficients
directeurs : on résout f'(x) = 4 : la pente de la
tangente est f', celle de la droite est 4.

]]> Au point d'abscisse 4

]]> Erreur : en x = 4, la pente vaut f'(4) = 8 ≠ 4 :
on égale la dérivée à 4, pas l'abscisse.

]]> Au point d'abscisse -7

]]> Erreur : -7 est l'ordonnée à l'origine de la droite :
elle règle sa hauteur, pas sa pente : seule la pente
(4) compte pour le parallélisme.

]]> Nulle part : une parabole n'a pas de tangente oblique

]]> Erreur : la parabole a des tangentes de toutes les
pentes (une par valeur de f'(x) = 2x) : chaque pente
est atteinte exactement une fois.

]]> Dérivation — Q18 : Tangente qui descend Sur un graphique, la tangente à la courbe de f au point
d'abscisse a descend (de gauche à droite). Que peut-on en
déduire ?

]]> Dictionnaire graphique : tangente montante \iff f'(a) >
0 ; horizontale \iff f'(a) = 0 ; descendante \iff
f'(a) < 0. Et la valeur f(a) vit sur un axe totalement
indépendant.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc f'(a) < 0

]]> Bonne réponse : f'(a) est le coefficient directeur de
la tangente : une droite qui descend a une pente
négative.

]]> f(a) < 0

]]> Confusion valeur/pente : la courbe peut être très haute
(f(a) > 0) avec une tangente qui descend : f(a)
donne l'altitude, f'(a) l'inclinaison.

]]> f'(a) = 0

]]> Erreur : f'(a) = 0 correspond à une tangente
horizontale : ici elle penche vers le bas.

]]> a < 0

]]> Sans rapport : la position de a sur l'axe n'a rien à
voir avec l'inclinaison de la tangente en ce point.

]]> Dérivation — Q19 : Dérivée de $\dfrac{5}{x}$ Quelle est la dérivée de f(x) = 5/x sur
]0\ ;\ +∞[ ?

]]> (k/x)' = -k/x² : combinaison
de la constante multiplicative et de la dérivée de
l'inverse. Alternative : f(x) = 5x⁻¹ et la règle
(xⁿ)' = nxⁿ⁻¹ avec n = -1.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc f'(x) = -5/x²

]]> Bonne réponse : f = 5 × 1/x et
(1/x)' = -1/x² : le 5
suit, le moins reste.

]]> f'(x) = 5/x²

]]> Signe : la fonction inverse décroît : sa dérivée est
négative : le moins est structurel.

]]> f'(x) = -1/x²

]]> Coefficient perdu : le 5 multiplie la dérivée comme il
multipliait la fonction.

]]> f'(x) = 5ln x

]]> Sens inverse (et hors programme de première) : le
logarithme viendra en terminale comme primitive de
1/x, pas comme dérivée.

]]> Dérivation — Q20 : Produit : deux chemins, un résultat Quelle est la dérivée de f(x) = (2x + 1)(x - 3) ?

]]> Pour un produit de polynômes, deux stratégies valides :
règle du produit, ou développer puis dériver. Les deux
doivent coïncider : excellent auto-contrôle en devoir.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc f'(x) = 4x - 5

]]> Bonne réponse : par le produit : 2(x-3) + (2x+1) = 4x - 5 ; ou en développant d'abord (2x² - 5x - 3) puis en
dérivant : même résultat, toujours.

]]> f'(x) = 2

]]> Produit des dérivées : 2 × 1 = 2 n'est pas la
règle : (uv)' = u'v + uv', jamais u'v'.

]]> f'(x) = 4x + 5

]]> Signe : 2(x - 3) + (2x + 1) = 2x - 6 + 2x + 1 = 4x - 5 : le -6 pèse plus que le +1.

]]> f'(x) = 2x² - 5x - 3

]]> Développement sans dérivation : 2x² - 5x - 3 est
f(x) développée : il reste à dériver (4x - 5).

]]> Dérivation — Q21 : La racine carrée en $0$ La fonction f(x) = √x est-elle dérivable en 0 ?

]]> √x : définie et continue sur [0\ ;\ +∞[,
dérivable seulement sur ]0\ ;\ +∞[ : en 0, tangente
verticale. Avec |x| (angle), le deuxième contre-exemple
officiel de non-dérivabilité.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Non : le taux \dfrac{\sqrt{h}}{h} = \dfrac{1}{\sqrt{h}}
tend vers +∞ : tangente verticale

]]> Bonne réponse : le taux d'accroissement explose : pas de
nombre dérivé (fini). La courbe démarre verticalement en
0 : pente infinie.

]]> Oui, avec f'(0) = 0

]]> Erreur : la formule \frac{1}{2\sqrt{x}} n'est pas
définie en 0, et le taux tend vers +∞, pas vers
0 : la tangente serait horizontale, or elle est
verticale.

]]> Oui, car f est définie en 0

]]> Confusion : définie (et même continue) en 0, oui :
mais la dérivabilité exige en plus une pente finie,
refusée ici.

]]> Non, car √0 n'existe pas

]]> Faux : √0 = 0 existe parfaitement : c'est la
pente en 0 qui fait défaut.

]]> Dérivation — Q22 : Estimer sans calculatrice Soit f(x) = x². En utilisant l'approximation f(a + h) ≈ f(a) + h f'(a), quelle estimation de 2{,}01^2
obtient-on ?

]]> Approximation affine : f(a + h) ≈ f(a) + h f'(a)
pour h petit : remplacer la courbe par sa tangente.
L'erreur commise est de l'ordre de h² : négligeable au
premier ordre.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc 2{,}01^2 \approx 4 + 0{,}01 \times 4 = 4{,}04

]]> Bonne réponse : a = 2, h = 0{,}01 : f(2) = 4,
f'(2) = 4 : estimation 4{,}04 (exact : 4{,}0401 :
l'erreur est en h²).

]]> 2{,}01^2 \approx 4

]]> Ordre zéro : arrondir à f(2) ignore la variation ; le
terme correctif h f'(a) = 0{,}04 est justement ce que
l'approximation affine apporte.

]]> 2{,}01^2 \approx 4 + 0{,}01 = 4{,}01

]]> Pente oubliée : l'accroissement de f n'est pas h
mais h × f'(a) : la courbe monte à la vitesse
4, pas 1.

]]> 2{,}01^2 \approx 4{,}4

]]> Facteur 10 : h f'(a) = 0{,}01 \times 4 = 0{,}04,
pas 0{,}4.

]]> Dérivation — Q23 : De la position à la vitesse Un mobile a pour position d(t) = t² (en mètres, t en
secondes). Quelle est sa vitesse instantanée à t = 3 ?

]]> Vitesse instantanée = dérivée de la position : la
signification physique du nombre dérivé. La vitesse moyenne
correspond, elle, au taux de variation sur un intervalle :
les deux se rejoignent quand l'intervalle rétrécit.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc 6 m/s : la dérivée d'(t) = 2t évaluée en 3

]]> Bonne réponse : la vitesse instantanée est la dérivée de
la position : d'(3) = 6 m/s : le compteur affiche la
pente de la courbe position-temps.

]]> 9 m/s

]]> Confusion : 9 = d(3) est la position (distance
parcourue), pas la vitesse : dériver d'abord, évaluer
ensuite.

]]> 3 m/s : la vitesse moyenne depuis le départ

]]> Moyenne au lieu d'instantanée : d(3) - d(0)/3 = 3 m/s est la moyenne sur [0\ ;\ 3] ; le mobile
accélère : à l'instant 3, il file à 6 m/s.

]]> 2 m/s

]]> Évaluation manquante : 2 est le coefficient de
d'(t) = 2t : en t = 3, la vitesse vaut 2 × 3 = 6 m/s.

]]> Dérivation — Q24 : Dérivée de $x\sqrt{x}$ Quelle est la dérivée de f(x) = x√x sur
]0\ ;\ +∞[ ?

]]> x\sqrt{x} = x^{3/2} : la réponse \frac{3}{2}x^{1/2}
illustre que la règle (xⁿ)' = nxⁿ⁻¹ s'étend aux
exposants fractionnaires : joli contrôle de cohérence du
calcul par la règle du produit.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc f'(x) = 3/2√x

]]> Bonne réponse : produit u = x, v = √x :
\sqrt{x} + x \times \dfrac{1}{2\sqrt{x}} = \sqrt{x} +
\dfrac{\sqrt{x}}{2} = \dfrac{3\sqrt{x}}{2}.

]]> f'(x) = √x

]]> Second terme perdu : la règle du produit ajoute x
\times (\sqrt{x})' = \frac{\sqrt{x}}{2} : total
3/2√x.

]]> f'(x) = \dfrac{1}{2\sqrt{x}}

]]> Facteur x ignoré : \frac{1}{2\sqrt{x}} est la
dérivée de √x seule : le produit exige
u'v + uv'.

]]> f'(x) = ⅔√x

]]> Fraction renversée : le calcul donne 3/2, pas
⅔ (ajouter √x et sa moitié).

]]>