$course$/QCM de maths/Première spécialité/Fonction exponentielle Définition de l'exponentielle (unique fonction dérivable telle
que f' = f et f(0) = 1), propriétés algébriques, notation
eˣ, signe, variations et courbe, dérivée de t ↦ eᵃᵗ, fonctions t ↦ eᵏᵗ et t ↦ e⁻ᵏᵗ,
lien avec les suites géométriques.

]]> Fonction exponentielle — Q01 : Définition de l'exponentielle Comment la fonction exponentielle est-elle définie au
programme de première ?

]]> Définition (au programme) : exp est l'unique fonction
dérivable sur ℝ telle que exp' = exp et
exp(0) = 1. Cette équation traduit une croissance dont la
vitesse est proportionnelle à la valeur.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc C'est l'unique fonction dérivable sur ℝ
vérifiant f' = f et f(0) = 1

]]> Bonne réponse : l'exponentielle est sa propre dérivée et
vaut 1 en 0 (existence et unicité admises).

]]> C'est la fonction x ↦ xᵉ

]]> Erreur : xᵉ est une fonction puissance (variable en
base). L'exponentielle a la variable en exposant :
eˣ.

]]> C'est l'unique fonction vérifiant f' = f et f(0) = 0

]]> Piège : avec f(0) = 0, la seule solution de f' = f
est la fonction nulle. La condition f(0) = 1 est
essentielle.

]]> C'est la fonction réciproque du logarithme

]]> Anachronique : le logarithme n'arrive qu'en terminale. En
première, l'exponentielle se définit par l'équation
f' = f avec f(0) = 1.

]]> Fonction exponentielle — Q02 : Signe de l'exponentielle Que peut-on dire du signe de eˣ ?

]]> Propriété fondamentale : eˣ > 0 pour tout x (conséquence
de eˣ e⁻ˣ = 1 : le produit valant 1, aucun facteur
ne peut s'annuler). Utile pour les signes de dérivées.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc eˣ > 0 pour tout réel x

]]> Bonne réponse : l'exponentielle est strictement positive
sur ℝ : sa courbe reste entièrement au-dessus
de l'axe des abscisses, sans jamais le toucher.

]]> eˣ > 0 seulement pour x > 0

]]> Erreur : e^{-2} = \dfrac{1}{e^2} \approx 0{,}135 > 0 :
même pour les x négatifs, l'exponentielle reste
positive (petite, mais positive).

]]> eˣ s'annule en x = 0

]]> Erreur : e⁰ = 1 ≠ 0. L'exponentielle ne s'annule
jamais.

]]> eˣ change de signe en x = 0

]]> Erreur : aucun changement de signe : eˣ passe par 1
en 0 et reste strictement positive partout.

]]> Fonction exponentielle — Q03 : Équation fonctionnelle Pour tous réels x et y, que vaut e^{x + y} ?

]]> Relation fonctionnelle : eˣ⁺ʸ = eˣ eʸ. On en
déduit e⁻ˣ = 1/eˣ, eˣ⁻ʸ = eˣ/eʸ et (eˣ)ⁿ = eⁿˣ.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc eˣ × eʸ

]]> Bonne réponse : l'exponentielle transforme les sommes en
produits : c'est sa propriété algébrique fondamentale.

]]> eˣ + eʸ

]]> Erreur : teste x = y = 0 : e⁰ = 1 alors que
e⁰ + e⁰ = 2. La somme des exposants correspond au
produit des exponentielles.

]]> eˣʸ

]]> Erreur : le produit des exposants correspond à une
puissance de puissance : (eˣ)ʸ = eˣʸ, autre
formule.

]]> eˣ × y

]]> Erreur : aucune règle de ce type. La bonne formule :
eˣ⁺ʸ = eˣ eʸ.

]]> Fonction exponentielle — Q04 : Exponentielle d'un opposé Que vaut e⁻³ ?

]]> e⁻ˣ = 1/eˣ (conséquence de eˣ e⁻ˣ = 1).
e^{-3} = \frac{1}{e^3} \approx 0{,}0498 : positif et petit.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc 1/e³

]]> Bonne réponse : eˣ e⁻ˣ = e⁰ = 1, donc e⁻ˣ = 1/eˣ : l'exponentielle d'un opposé est
l'inverse.

]]> -e³

]]> Erreur : une exponentielle n'est jamais négative. Le
signe moins de l'exposant se traduit par un inverse, pas
par un opposé.

]]> e^{1/3}

]]> Erreur : l'inverse porte sur l'exponentielle entière
(1/e³), pas sur l'exposant.

]]> 1 - e³

]]> Erreur : aucune soustraction n'intervient :
e^{-3} = \dfrac{1}{e^3} \approx 0{,}05, alors que
1 - e³ ≈ -19.

]]> Fonction exponentielle — Q05 : Puissance d'une exponentielle Que vaut (eˣ)² ?

]]> (eˣ)ⁿ = eⁿˣ pour tout entier n. Bien distinguer
e²ˣ = (eˣ)², 2eˣ (double) et e^{x^2} (carré dans
l'exposant).

]]> 1.0 0.0 0 true true abc e²ˣ

]]> Bonne réponse : (e^x)^2 = e^x \times e^x = e^{x + x} =
e^{2x} : élever à une puissance multiplie l'exposant.

]]> e^{x^2}

]]> Erreur : e^{x^2} élève x au carré dans
l'exposant : tout autre chose. (eˣ)² double
l'exposant : e²ˣ.

]]> 2eˣ

]]> Erreur : 2eˣ est le double, pas le carré. Teste
x = 1 : (e^1)^2 = e^2 \approx 7{,}39 alors que
2e \approx 5{,}44.

]]> eˣ⁺²

]]> Erreur : eˣ⁺² = eˣ × e² correspond à une
multiplication par e², pas à une mise au carré.

]]> Fonction exponentielle — Q06 : Dérivée de $e^{at}$ Quelle est la dérivée de la fonction f(t) = e⁵ᵗ ?

]]> Formule au programme : pour a réel, (eᵃᵗ)' = a eᵃᵗ.
Elle traduit l'équation y' = ay des évolutions
exponentielles (croissance si a > 0, décroissance sinon).

]]> 1.0 0.0 0 true true abc f'(t) = 5 e⁵ᵗ

]]> Bonne réponse : (eᵃᵗ)' = a eᵃᵗ : le coefficient
de t descend en facteur, l'exponentielle se conserve.

]]> f'(t) = e⁵ᵗ

]]> Oubli du facteur 5 : seule eᵗ est exactement sa
propre dérivée. Le 5t dans l'exposant fait sortir un
facteur 5.

]]> f'(t) = 5 eᵗ

]]> Erreur : l'exposant 5t ne change pas en dérivant. On
multiplie par 5 sans toucher à e⁵ᵗ.

]]> f'(t) = 5t\,e^{5t - 1}

]]> Erreur : c'est la règle des puissances (tⁿ)' = ntⁿ⁻¹ appliquée à tort. Pour une exponentielle :
(eᵃᵗ)' = a eᵃᵗ.

]]> Fonction exponentielle — Q07 : La tangente en 0 [Figure : Repère orthonormé avec la courbe de l'exponentielle en bleu
(croissante, passant par (0 ; 1)) et sa tangente T en rouge
au point (0 ; 1) : une droite de pente 1 passant par (0 ; 1)
et (1 ; 2). La courbe reste au-dessus de la tangente.]

Sur la figure ci-dessous, la droite T est la tangente à la
courbe de l'exponentielle au point d'abscisse 0. Quelle est
son équation ?

]]> En 0 : exp(0) = 1 et exp'(0) = 1 (car exp' = exp) : tangente y = x + 1. La courbe, au-dessus de cette
tangente, illustre eˣ ≥ 1 + x.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc y = x + 1

]]> Bonne réponse : pente exp'(0) = exp(0) = 1 et passage
par (0 ; 1) : y = x + 1. (Toute la définition de
l'exponentielle se lit sur cette tangente.)

]]> y = x

]]> Erreur : cette droite passe par l'origine, alors que le
point de tangence est (0 ; 1) (e⁰ = 1).

]]> y = 1

]]> Erreur : une tangente horizontale signifierait
exp'(0) = 0 ; or exp'(0) = exp(0) = 1 : la
tangente monte avec une pente 1.

]]> y = e x

]]> Erreur : la pente e \approx 2{,}72 est celle de la
tangente au point d'abscisse 1, pas 0.

]]> Fonction exponentielle — Q08 : Comparer avec la croissance Comment se comparent e⁻² et e⁻³ ?

]]> exp strictement croissante sur ℝ :
a < b ⇔ eᵃ < eᵇ. Cette équivalence sert à
comparer, mais aussi à résoudre équations et inéquations.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc e⁻² > e⁻³, car l'exponentielle est strictement
croissante et -2 > -3

]]> Bonne réponse : l'exponentielle conserve l'ordre des
exposants : -3 < -2 ⇒ e⁻³ < e⁻².

]]> e⁻² < e⁻³, car les exposants sont négatifs

]]> Erreur : la croissance de l'exponentielle vaut sur
tout ℝ, exposants négatifs compris :
e^{-3} \approx 0{,}05 < e^{-2} \approx 0{,}14.

]]> Ils sont égaux

]]> Erreur : l'exponentielle est strictement croissante :
deux exposants distincts donnent deux valeurs distinctes.

]]> On ne peut pas les comparer sans calculatrice

]]> Erreur : la stricte croissance permet de comparer par les
exposants seuls, sans aucune valeur numérique.

]]> Fonction exponentielle — Q09 : Exponentielle et suite géométrique Soit la suite définie par u_n = e^{0{,}5\,n} pour n
entier naturel. Quelle est sa nature ?

]]> Lien au programme : (eᵏⁿ) est géométrique de raison
eᵏ : l'exponentielle est le prolongement continu des
suites géométriques (évolution à taux constant).

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Géométrique de raison e^{0{,}5}

]]> Bonne réponse : u_{n+1} = e^{0{,}5(n+1)} = e^{0{,}5n}
\times e^{0{,}5} : chaque terme est multiplié par
e^{0{,}5} \approx 1{,}65.

]]> Arithmétique de raison 0{,}5

]]> Erreur : c'est l'exposant qui avance de 0{,}5 en
0{,}5 ; les valeurs, elles, sont multipliées par
e^{0{,}5} : modèle géométrique.

]]> Géométrique de raison 0{,}5

]]> Erreur : la raison est le facteur multiplicatif
\dfrac{u_{n+1}}{u_n} = e^{0{,}5}, pas le coefficient de
l'exposant.

]]> Géométrique de raison e

]]> Erreur : la raison e correspondrait à uₙ = eⁿ. Ici
le pas de l'exposant est 0{,}5 : raison e^{0{,}5}.

]]> Fonction exponentielle — Q10 : Croissance ou décroissance de $e^{kt}$ Une quantité radioactive évolue selon N(t) = N_0\,
e^{-0{,}3\,t} (avec N₀ > 0). Que peut-on dire de la
fonction N ?

]]> Fonctions t ↦ eᵏᵗ (capacité attendue) : croissantes
si k > 0, décroissantes si k < 0, toujours strictement
positives. Modèles : intérêts composés, désintégration,
dilution.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Elle est strictement décroissante : c'est une décroissance
exponentielle

]]> Bonne réponse : N'(t) = -0{,}3\,N_0\,e^{-0{,}3t} < 0 :
le coefficient k = -0{,}3 < 0 impose la décroissance
(modèle de la désintégration radioactive).

]]> Elle est croissante, car une exponentielle croît toujours

]]> Erreur : c'est t ↦ eᵗ qui croît. Avec un exposant
-0{,}3\,t, la fonction décroît (t ↦ e⁻ᵏᵗ,
k > 0).

]]> Elle devient négative pour t assez grand

]]> Erreur : une exponentielle reste strictement positive : la
quantité s'approche de 0 sans jamais l'atteindre ni
passer dessous.

]]> Elle est constante égale à N₀

]]> Erreur : N₀ n'est que la valeur initiale
(N(0) = N₀ e⁰ = N₀) ; ensuite le facteur
e^{-0{,}3t} diminue.

]]> Fonction exponentielle — Q11 : Simplifier une expression Simplifier l'expression \dfrac{e^x \times e^2}{e^{x+1}}.

]]> Règles combinées : produit → somme des exposants, quotient
→ différence. \dfrac{e^x e^2}{e^{x+1}} = e^{x + 2 - x -
1} = e. Transformer les écritures est la capacité attendue
centrale.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc e

]]> Bonne réponse : le numérateur vaut eˣ⁺², et
\dfrac{e^{x+2}}{e^{x+1}} = e^{(x+2)-(x+1)} = e^1 = e.

]]> eˣ

]]> Erreur : les exposants se soustraient entièrement :
(x + 2) - (x + 1) = 1 : les x se compensent.

]]> e^{2x + 1}

]]> Erreur : au quotient, les exposants se soustraient,
ils ne s'ajoutent pas : (x+2) - (x+1) = 1.

]]> 1

]]> Erreur : la différence des exposants vaut 1, pas 0 :
le résultat est e^1 = e \approx 2{,}72.

]]> Fonction exponentielle — Q12 : Résoudre une équation avec exponentielles Quelle est la solution de l'équation e^{x} = e^{2x - 1} ?

]]> Stricte croissance ⇒ eᵃ = eᵇ ⇔ a = b (et eᵃ < eᵇ ⇔ a < b pour les
inéquations). L'équation se transporte sur les exposants :
x = 1.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc x = 1

]]> Bonne réponse : l'exponentielle étant strictement
croissante (donc injective), eᵃ = eᵇ ⇔ a = b : x = 2x - 1 donne x = 1.

]]> x = 0

]]> Erreur : teste : e⁰ = 1 et e^{-1} \approx 0{,}37 :
pas égaux. L'égalité des exponentielles équivaut à
l'égalité des exposants.

]]> x = -1

]]> Erreur de résolution : x = 2x - 1 ⇒ -x = -1 ⇒ x = 1 (attention aux signes en regroupant).

]]> L'équation n'a pas de solution

]]> Erreur : l'équation se ramène à une équation du premier
degré x = 2x - 1, qui a une solution : x = 1.

]]> Fonction exponentielle — Q13 : La valeur $e^0$ Que vaut e⁰ ?

]]> e⁰ = 1 : ancre de toutes les courbes exponentielles, et
point de tangence avec la droite y = 1 + x. À coupler avec
e^1 = e \approx 2{,}72.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc 1

]]> Bonne réponse : exp(0) = 1 : le point de départ de la
courbe, imposé par la définition (f' = f et f(0) = 1).

]]> 0

]]> Erreur : l'exponentielle ne s'annule jamais : en 0
elle vaut 1, comme toute puissance d'exposant nul.

]]> e

]]> Décalage : e = e¹ : c'est l'image de 1, pas de
0.

]]> -1

]]> Erreur : l'exponentielle est strictement positive : elle
ne prend jamais de valeur négative.

]]> Fonction exponentielle — Q14 : Produit d'exponentielles Que vaut e² × e³ ?

]]> Relation fonctionnelle : eᵃeᵇ = eᵃ⁺ᵇ, d'où
eᵃ/eᵇ = eᵃ⁻ᵇ, (eᵃ)ⁿ = eⁿᵃ et e⁻ᵃ = 1/eᵃ : les règles des puissances, intégralement.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc e⁵

]]> Bonne réponse : eᵃ eᵇ = eᵃ⁺ᵇ : les exposants
s'additionnent quand les exponentielles se multiplient.

]]> e⁶

]]> Exposants multipliés : 2 × 3 = 6 correspondrait à
(e²)³ : le produit additionne : 2 + 3 = 5.

]]> 2e³

]]> Erreur : e² n'est pas 2e : les exponentielles se
combinent par la relation fonctionnelle, pas par des
coefficients.

]]> e² + e³

]]> Erreur : la relation transforme le produit en somme
d'exposants, pas en somme d'exponentielles.

]]> Fonction exponentielle — Q15 : Résoudre $e^x = e^3$ Quelle est la solution de l'équation eˣ = e³ ?

]]> e^a = e^b \iff a = b (stricte croissance) : le levier de
toutes les équations exponentielles : ramener chaque membre
à UNE exponentielle, puis égaler les exposants.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc x = 3

]]> Bonne réponse : l'exponentielle est strictement
croissante, donc injective : deux exponentielles
égales ont des exposants égaux.

]]> x = e³

]]> Erreur : la comparaison se fait exposant contre
exposant : x = 3, pas x = e³ ≈ 20.

]]> Aucune solution

]]> Erreur : x = 3 convient à l'évidence : l'équation
eˣ = k a une solution dès que k > 0.

]]> x = 3 ou x = -3

]]> Symétrie imaginaire : l'exponentielle n'est pas paire :
e⁻³ = 1/e³ ≠ e³ : une seule solution.

]]> Fonction exponentielle — Q16 : Simplifier $(e^x)^2$ Pour tout réel x, que vaut (eˣ)² ?

]]> (eˣ)² = eˣ × eˣ = e²ˣ : cas particulier de
(eᵃ)ⁿ = eⁿᵃ. Bien distinguer e²ˣ = (eˣ)² de
e^{x^2} : les parenthèses changent tout.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc e²ˣ

]]> Bonne réponse : (eᵃ)ⁿ = eⁿᵃ : élever à une
puissance multiplie l'exposant.

]]> e^{x^2}

]]> Erreur : e^{x^2} élève x au carré dans
l'exposant : tout autre objet : la règle donne 2x en
exposant.

]]> 2eˣ

]]> Erreur : le carré multiplie l'exponentielle par
elle-même (eˣ × eˣ = e²ˣ), pas par 2.

]]> eˣ⁺²

]]> Erreur : eˣ⁺² = eˣ × e² : l'addition
d'exposants vient d'un produit par e², pas d'un
carré.

]]> Fonction exponentielle — Q17 : Résoudre $e^x \geq 1$ Quel est l'ensemble des solutions de eˣ ≥ 1 ?

]]> Méthode : écrire le second membre comme exponentielle (1 = e⁰), puis comparer les exposants dans le même sens
(croissance stricte). Signe de eˣ - 1 : celui de x :
très utile dans les tableaux.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc [0\ ;\ +∞[

]]> Bonne réponse : 1 = e⁰, et la croissance stricte
conserve l'ordre : e^x \geq e^0 \iff x \geq 0.

]]> ℝ : une exponentielle est toujours positive

]]> Confusion : positive, oui (eˣ > 0), mais pas toujours
≥ 1 : e^{-1} \approx 0{,}37 < 1 : la barre est à
x = 0.

]]> [1\ ;\ +∞[

]]> Erreur : 1 est la valeur seuil, pas l'abscisse :
eˣ = 1 en x = 0.

]]> ]-∞\ ;\ 0]

]]> Sens inversé : pour x ≤ 0, eˣ ≤ 1 :
l'exponentielle croît, elle dépasse 1 après 0.

]]> Fonction exponentielle — Q18 : Dérivée de $x\,e^x$ Quelle est la dérivée de f(x) = x eˣ ?

]]> (xeˣ)' = (1 + x)eˣ : le produit polynôme × exponentielle
garde toujours un facteur eˣ : son signe (toujours
positif) laisse le polynôme décider des variations : ici f
décroît avant -1, croît après.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc f'(x) = (1 + x) eˣ

]]> Bonne réponse : produit u = x, v = eˣ : u'v + uv' = eˣ + xeˣ = (1 + x)eˣ.

]]> f'(x) = eˣ

]]> Produit ignoré : eˣ est la dérivée de eˣ seul : le
facteur x impose la règle u'v + uv'.

]]> f'(x) = x eˣ

]]> Erreur : f' = f ne vaut que pour eˣ pur : le
facteur x casse cette propriété (il ajoute le terme
eˣ).

]]> f'(x) = eˣ + x

]]> Erreur : le second terme est x × (eˣ)' = xeˣ,
pas x : l'exponentielle ne disparaît pas en dérivant.

]]> Fonction exponentielle — Q19 : L'allure de $e^{-x}$ Quelle description correspond à la fonction x ↦ e⁻ˣ ?

]]> e⁻ˣ : le miroir de eˣ (symétrie par rapport à l'axe
des ordonnées) : décroissante, positive, limite nulle en
+∞ : le modèle des décharges, refroidissements et
désintégrations.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Strictement décroissante, toujours positive, tend vers
0 en +∞

]]> Bonne réponse : e⁻ˣ = 1/eˣ : positive,
décroissante (dérivée -e⁻ˣ < 0), asymptote y = 0
en +∞ : la décroissance exponentielle type.

]]> Décroissante puis négative après son zéro

]]> Erreur : e⁻ˣ ne s'annule jamais : elle frôle
zéro sans le toucher : aucun passage en négatif.

]]> Croissante, comme toute exponentielle

]]> Erreur : le signe de l'exposant décide : eᵏᵗ croît
pour k > 0, décroît pour k < 0 : ici k = -1.

]]> Constante égale à 1/e

]]> Erreur : 1/e = e⁻¹ est la valeur en
1 : la fonction varie (1 en 0, \approx 0{,}14
en 2…).

]]> Fonction exponentielle — Q20 : Simplifier $\dfrac{e^{x+1}}{e^x}$ Pour tout réel x, que vaut \dfrac{e^{x+1}}{e^{x}} ?

]]> eᵃ/eᵇ = eᵃ⁻ᵇ : ici eˣ⁺¹⁻ˣ = e. Les
quotients d'exponentielles décalées sont constants : la
signature des suites géométriques (\frac{u_{n+1}}{u_n} = e
pour uₙ = eⁿ).

]]> 1.0 0.0 0 true true abc e

]]> Bonne réponse : e^{(x+1) - x} = e^1 = e : le quotient
soustrait les exposants, et le x s'efface : résultat
constant.

]]> eˣ

]]> Erreur : la soustraction des exposants donne (x + 1) - x = 1 : tout le x disparaît.

]]> 1 + 1/eˣ

]]> Erreur : eˣ⁺¹ n'est pas eˣ + e : l'exposant
somme se factorise (eˣ × e), il ne se
développe pas en somme.

]]> x + 1 - x = 1

]]> Presque : 1 est le bon exposant : le quotient vaut
e^1 = e \approx 2{,}72, pas 1.

]]> Fonction exponentielle — Q21 : Décroissance exponentielle modélisée La température d'un café suit f(t) = 20 + 60\,e^{-0{,}1t}
(t en minutes). Que valent la température initiale et la
température de long terme ?

]]> Lecture d'un modèle A + Be⁻ᵏᵗ : valeur initiale A + B, valeur limite A (l'exponentielle s'évanouit), vitesse
réglée par k. Trois questions, trois lectures immédiates :
aucun calcul lourd.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc 80 degrés au départ, 20 degrés à long terme

]]> Bonne réponse : f(0) = 20 + 60 = 80 ; quand t → +∞, e^{-0{,}1t} \to 0 : reste 20 degrés : la
température de la pièce.

]]> 60 degrés au départ, 0 degré à long terme

]]> Deux oublis : le +20 compte dès le départ (f(0) = 80), et à long terme il reste : le café finit à
température ambiante, pas à zéro.

]]> 20 degrés au départ, 80 degrés à long terme

]]> Inversé : l'exponentielle décroît (e^{-0{,}1t}) :
le café refroidit de 80 vers 20, il ne chauffe pas.

]]> 80 degrés au départ, 0 degré à long terme

]]> Asymptote fausse : le terme constant 20 ne s'éteint
pas : seule la partie exponentielle fond : limite 20.

]]> Fonction exponentielle — Q22 : L'inégalité $e^x \geq 1 + x$ Pourquoi a-t-on eˣ ≥ 1 + x pour tout réel x ?

]]> eˣ ≥ 1 + x : l'inégalité de tangente de
l'exponentielle, démontrable en étudiant g(x) = eˣ - 1 - x (minimum 0 en 0). Un outil de minoration
omniprésent, jusqu'aux limites de terminale.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc La courbe de l'exponentielle est au-dessus de sa
tangente en 0, qui a pour équation y = 1 + x

]]> Bonne réponse : tangente en 0 : y = e⁰ + e⁰(x - 0) = 1 + x, et la courbe (convexe) la domine partout,
avec égalité au seul point de tangence.

]]> Parce que eˣ est toujours positif

]]> Insuffisant : 1 + x est parfois positif aussi (x > -1) : la positivité ne compare pas les deux membres :
c'est la position par rapport à la tangente qui le fait.

]]> Parce que e > 2

]]> Hors sujet : la valeur de e n'explique pas une
inégalité valable pour tout x : l'argument est
géométrique (courbe/tangente).

]]> L'inégalité est fausse pour x négatif

]]> Erreur : testez x = -2 : e^{-2} \approx 0{,}14 \geq
-1 : vrai. L'inégalité tient sur tout ℝ
(égalité en x = 0 seulement).

]]> Fonction exponentielle — Q23 : Résoudre $e^{2x} = e^{x}$ Quelles sont les solutions de e²ˣ = eˣ ?

]]> Deux voies sûres : injectivité (e^a = e^b \iff a = b) ou
factorisation par eˣ (jamais nul !). La factorisation
généralise mieux : e²ˣ - 3eˣ = 0, etc.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc x = 0 seulement

]]> Bonne réponse : par injectivité, 2x = x \iff x = 0.
(Ou en factorisant : eˣ(eˣ - 1) = 0, et eˣ ≠ 0 : reste eˣ = 1.)

]]> x = 0 ou x = 1

]]> Contrôle : x = 1 : e² ≠ e. L'équation 2x = x
n'a qu'une solution : 0.

]]> Aucune : les exposants sont différents

]]> Erreur : les exposants 2x et x coïncident en x = 0 : c'est exactement là que l'équation se résout.

]]> Tout réel x

]]> Erreur : x = 1 échoue déjà (e^2 \approx 7{,}4
contre e \approx 2{,}7) : l'égalité est
exceptionnelle, pas générale.

]]> Fonction exponentielle — Q24 : Signe de $e^x - 1$ Quel est le signe de eˣ - 1 selon les valeurs de x ?

]]> Signe de eˣ - 1 = signe de x (et plus généralement,
signe de eᵘ - 1 = signe de u) : brique récurrente
des tableaux de signes dès que l'exponentielle s'invite dans
une dérivée.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Négatif pour x < 0, nul en 0, positif pour x > 0 :
le signe de x

]]> Bonne réponse : e^x - 1 > 0 \iff e^x > e^0 \iff x > 0
(croissance stricte) : l'expression a exactement le
signe de x.

]]> Toujours positif, car une exponentielle est positive

]]> Le -1 change la donne : e^{-1} - 1 \approx -0{,}63 <
0 : c'est eˣ qui est toujours positif, pas eˣ - 1.

]]> Toujours négatif

]]> Erreur : e^1 - 1 \approx 1{,}72 > 0 : le signe bascule
en x = 0.

]]> Positif pour x < 0, négatif pour x > 0

]]> Inversé : l'exponentielle croît : elle est sous 1
avant 0, au-dessus après.

]]>