$course$/QCM de maths/Première spécialité/Géométrie repérée Dans un repère orthonormé : vecteur normal à une droite (le
vecteur (a ; b) est normal à la droite ax + by + c = 0),
équation d'une droite par point et vecteur normal, projeté
orthogonal d'un point sur une droite, équations de cercles
(centre, rayon, reconnaissance).

]]> Géométrie repérée — Q01 : Lire un vecteur normal Quel vecteur est normal à la droite d'équation
3x - 2y + 5 = 0 ?

]]> Théorème : la droite ax + by + c = 0 admet
n⃗(a ; b) pour vecteur normal (et (-b ; a) pour
directeur). Contrôle : n⃗ · u⃗ = -ab + ab = 0.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc n⃗(3 ; -2)

]]> Bonne réponse : le vecteur (a ; b) des coefficients
est normal à la droite ax + by + c = 0 (résultat au
programme).

]]> n⃗(2 ; 3)

]]> Erreur : (2 ; 3) = (-b ; a) est un vecteur
directeur de la droite (il lui est parallèle), pas
normal.

]]> n⃗(3 ; 5)

]]> Erreur : 5 est le terme constant c, qui positionne la
droite mais n'entre pas dans le vecteur normal
(a ; b).

]]> n⃗(-2 ; 3)

]]> Erreur : (-2 ; 3) est colinéaire au vecteur directeur
(2 ; -3)… vérifie : n⃗ · u⃗ doit être
non nul ici. Le normal se lit directement :
(3 ; -2).

]]> Géométrie repérée — Q02 : Normal ou directeur ? Toujours pour la droite 3x - 2y + 5 = 0, quel vecteur en
est un vecteur directeur ?

]]> Pour ax + by + c = 0 : normal (a ; b), directeur
(-b ; a) : les deux se contrôlent mutuellement par un
produit scalaire nul.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc u⃗(2 ; 3)

]]> Bonne réponse : u⃗(-b ; a) = (2 ; 3), et l'on
vérifie u⃗ · n⃗ = 2 × 3 + 3 × (-2) = 0 : directeur bien orthogonal au normal.

]]> u⃗(3 ; -2)

]]> Erreur : (3 ; -2) est le vecteur normal
(perpendiculaire à la droite), pas directeur.

]]> u⃗(3 ; 2)

]]> Erreur : ni normal ni directeur : teste
u⃗ · n⃗ = 9 - 4 = 5 ≠ 0 : pas
orthogonal au normal.

]]> u⃗(5 ; 0)

]]> Erreur : le terme constant 5 ne fabrique aucun vecteur
de la droite. Directeur : (-b ; a) = (2 ; 3).

]]> Géométrie repérée — Q03 : Droite par point et vecteur normal Quelle est une équation de la droite passant par
A(1 ; 2) et de vecteur normal n⃗(3 ; 1) ?

]]> Méthode (capacité attendue) : le normal donne les
coefficients (ax + by + c = 0 avec (a ; b) = n⃗),
le point donne c. Autre voie :
AM⃗ · n⃗ = 0 développé.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc 3x + y - 5 = 0

]]> Bonne réponse : l'équation a la forme 3x + y + c = 0 ;
le passage par A donne 3 + 2 + c = 0, soit c = -5.

]]> 3x + y + 5 = 0

]]> Erreur de signe sur c : en substituant A :
3(1) + 2 + c = 0 ⇒ c = -5. Toujours vérifier
avec le point.

]]> x + 3y - 7 = 0

]]> Coefficients échangés : le vecteur normal impose
(a ; b) = (3 ; 1), donc 3x + 1y + c = 0.

]]> 3x + y = 0

]]> Erreur : cette droite passe par l'origine, pas par A
(3 + 2 = 5 ≠ 0). Il manque la constante c = -5.

]]> Géométrie repérée — Q04 : Équation d'un cercle Quelle est l'équation du cercle de centre Ω(2 ; 1)
et de rayon 3 ?

]]> Cercle de centre Ω(a ; b) et de rayon r :
(x - a)² + (y - b)² = r². Deux pièges : signes du centre
et carré du rayon.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc (x - 2)² + (y - 1)² = 9

]]> Bonne réponse : M(x ; y) est sur le cercle si
Ω M = 3, soit Ω M² = 9 : les coordonnées
du centre en soustraction, le carré du rayon à
droite.

]]> (x - 2)² + (y - 1)² = 3

]]> Le piège du rayon : le membre de droite est r² = 9,
pas r = 3 (l'équation traduit Ω M² = r²).

]]> (x + 2)² + (y + 1)² = 9

]]> Erreur de signes : le centre (2 ; 1) apparaît en
soustraction : (x - 2) et (y - 1). (Tel quel, ce
cercle serait centré en (-2 ; -1).)

]]> x² + y² = 9

]]> Erreur : ce cercle est centré à l'origine. Le centre
(2 ; 1) doit décaler les deux carrés.

]]> Géométrie repérée — Q05 : Lire un cercle sur la figure [Figure : Repère orthonormé avec un cercle bleu de centre Omega(2 ; 1),
marqué d'un point, et de rayon 2 matérialisé par un segment
pointillé horizontal du centre au point (4 ; 1). Le cercle
passe par (0 ; 1), (4 ; 1), (2 ; 3) et (2 ; -1).]

Quelle est l'équation du cercle \mathcal{C} représenté
ci-dessous ?

]]> Lecture : centre aux coordonnées du point marqué, rayon par
un point du cercle bien placé. Équation :
(x - 2)² + (y - 1)² = 2² = 4.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc (x - 2)² + (y - 1)² = 4

]]> Bonne réponse : centre Ω(2 ; 1) (lu sur la
figure) et rayon 2 (le cercle passe par (4 ; 1)) :
membre de droite r² = 4.

]]> (x - 2)² + (y - 1)² = 2

]]> Piège du rayon : la figure montre r = 2, donc le membre
de droite vaut r² = 4.

]]> (x - 1)² + (y - 2)² = 4

]]> Coordonnées du centre échangées : Ω est en
(2 ; 1) (abscisse 2, ordonnée 1).

]]> (x + 2)² + (y + 1)² = 4

]]> Erreur de signes : centre (2 ; 1) donne (x - 2) et
(y - 1). Les signes + correspondraient au centre
(-2 ; -1), hors de la figure.

]]> Géométrie repérée — Q06 : Reconnaître un cercle L'équation x² + y² - 4x + 2y - 4 = 0 est celle d'un
cercle. Quels sont son centre et son rayon ?

]]> Méthode de complétion du carré : x² - 4x + y² + 2y = 4 ⇒ (x-2)² + (y+1)² = 4 + 4 + 1 = 9. Centre
(2 ; -1), rayon 3. Vérifier que le membre de droite est
strictement positif (sinon, pas un cercle).

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Centre (2 ; -1), rayon 3

]]> Bonne réponse : x² - 4x = (x-2)² - 4 et y² + 2y = (y+1)² - 1 : l'équation devient (x-2)² + (y+1)² = 9 : centre (2 ; -1), rayon √9 = 3.

]]> Centre (-2 ; 1), rayon 3

]]> Signes inversés : (x - 2)² correspond au centre
d'abscisse +2, et (y + 1)² = (y - (-1))² à
l'ordonnée -1.

]]> Centre (2 ; -1), rayon 9

]]> Piège final : 9 est r². Le rayon vaut √9 = 3.

]]> Centre (4 ; -2), rayon 2

]]> Erreur : les coefficients -4 et +2 se divisent par
deux dans la complétion du carré : centre
(2 ; -1).

]]> Géométrie repérée — Q07 : Un point sur le cercle ? Le point A(5 ; 1) appartient-il au cercle d'équation
(x - 2)² + (y - 1)² = 9 ?

]]> Appartenance à une courbe d'équation donnée : substituer les
coordonnées. (5-2)² + (1-1)² = 9 : oui. (Géométriquement :
Ω A = 3 = r.)

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Oui, car (5-2)² + (1-1)² = 9

]]> Bonne réponse : les coordonnées vérifient l'équation
(9 + 0 = 9) : A est sur le cercle, à distance 3 du
centre (2 ; 1).

]]> Non, car 5 > 3

]]> Erreur : on ne compare pas une coordonnée au rayon ; on
teste l'équation avec les deux coordonnées.

]]> Non, car (5-2)² = 9 ≠ 0

]]> Erreur de lecture de l'équation : la somme des deux
carrés doit valoir 9, ce qui est le cas
(9 + 0).

]]> On ne peut pas savoir sans tracer le cercle

]]> Erreur : la substitution des coordonnées dans l'équation
répond exactement et sans figure.

]]> Géométrie repérée — Q08 : Projeté orthogonal sur une droite horizontale Quel est le projeté orthogonal du point M(2 ; 3) sur la
droite d d'équation y = 1, et qu'en déduit-on pour la
distance de M à d ?

]]> Le projeté orthogonal H est le pied de la perpendiculaire
issue de M ; MH est la distance de M à la droite
(le plus court chemin). Sur y = 1 : H(2 ; 1),
MH = 2.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc H(2 ; 1), et la distance vaut MH = 2

]]> Bonne réponse : la droite est horizontale, la
perpendiculaire issue de M est verticale : même
abscisse, ordonnée 1. Distance = |3 - 1| = 2.

]]> H(0 ; 1), et la distance vaut 2

]]> Erreur : (0 ; 1) est un point de d, mais pas le
pied de la perpendiculaire issue de M : la projection
conserve l'abscisse quand la droite est horizontale.

]]> H(2 ; 1), et la distance vaut 3

]]> Bon projeté, mauvaise distance : MH = |3 - 1| = 2
(3 serait la distance à l'axe des abscisses y = 0).

]]> H(2 ; 0)

]]> Erreur : tu as projeté sur l'axe des abscisses (y = 0)
au lieu de la droite y = 1.

]]> Géométrie repérée — Q09 : Projeté orthogonal sur une droite oblique Quel est le projeté orthogonal du point M(3 ; 1) sur la
droite d d'équation y = x ?

]]> Méthode : paramétrer le point courant de d
(H(t ; t)), écrire MH⃗ · u⃗ = 0 (u⃗ directeur), résoudre. Ici t = 2 :
H(2 ; 2), et MH = √2 est la distance de M à
d.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc H(2 ; 2)

]]> Bonne réponse : H(t ; t) sur d avec
MH⃗(t-3 ; t-1) orthogonal au
directeur (1 ; 1) : (t-3) + (t-1) = 0, t = 2.

]]> H(3 ; 3)

]]> Erreur : (3 ; 3) est sur d mais la projection n'est
pas verticale : MH⃗(0 ; 2) n'est pas
orthogonal à (1 ; 1) (produit scalaire 2 ≠ 0).

]]> H(1 ; 1)

]]> Erreur : MH⃗(-2 ; 0) n'est pas
orthogonal au directeur (1 ; 1) (produit scalaire
-2 ≠ 0). Résous (t-3) + (t-1) = 0.

]]> H(2{,}5\,;\,2{,}5)

]]> Erreur de résolution : 2t - 4 = 0 donne t = 2, pas
2{,}5.

]]> Géométrie repérée — Q10 : Droite et cercle sans intersection Un cercle a pour rayon 3 ; une droite passe à distance 5
de son centre. Combien ont-ils de points communs ?

]]> Position relative droite-cercle, par comparaison de la
distance d du centre à la droite avec le rayon r :
d > r : disjoints ; d = r : tangents ; d < r : sécants
en deux points.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Aucun

]]> Bonne réponse : la droite reste à distance 5 > 3 du
centre : elle ne peut pas atteindre le cercle, dont tous
les points sont à distance exactement 3.

]]> Un seul

]]> Erreur : un unique point commun (tangence) exigerait une
distance égale au rayon : d = r = 3.

]]> Deux

]]> Erreur : deux intersections demandent une droite qui
traverse le disque : d < r. Ici 5 > 3.

]]> Cela dépend de la pente de la droite

]]> Erreur : seule compte la distance du centre à la
droite, comparée au rayon : la pente n'apporte rien de
plus.

]]> Géométrie repérée — Q11 : Droite tangente à un cercle Que signifie « la droite d est tangente au cercle
\mathcal{C} de centre Ω et de rayon r » ?

]]> Tangence : distance du centre à la droite = rayon ; le
point de contact est le projeté orthogonal du centre, et le
rayon y est perpendiculaire à la tangente.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc d touche le cercle en exactement un point, et la
distance de Ω à d vaut r

]]> Bonne réponse : la tangence est le cas limite : un unique
point de contact H, qui est le projeté orthogonal de
Ω sur d (le rayon [Ω H] est
perpendiculaire à d).

]]> d passe par le centre Ω

]]> Erreur : une droite passant par le centre coupe le cercle
en deux points diamétralement opposés.

]]> d évite entièrement le cercle

]]> Erreur : l'évitement correspond à d(Ω ; d) > r
(aucun point commun). La tangente touche le cercle.

]]> d coupe le cercle en deux points très proches

]]> Erreur : deux points, même proches, font une sécante. La
tangente réalise un contact en un seul point.

]]> Géométrie repérée — Q12 : Étudier une configuration dans un repère Dans un repère orthonormé, soit le triangle de sommets
A(0 ; 0), B(4 ; 0) et C(0 ; 3). Quelle est la
nature de ce triangle ?

]]> Utiliser un repère pour étudier une configuration (capacité
attendue) : calculer les vecteurs des côtés et tester
l'orthogonalité par le produit scalaire.
AB⃗ · AC⃗ = 0 :
rectangle en A.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Rectangle en A

]]> Bonne réponse : AB⃗(4 ; 0) et
AC⃗(0 ; 3) ont un produit scalaire
nul : angle droit en A (et BC = 5 : le triangle
3-4-5).

]]> Isocèle en A

]]> Erreur : AB = 4 ≠ 3 = AC : deux côtés issus de A
de longueurs différentes.

]]> Équilatéral

]]> Erreur : les trois côtés valent 4, 3 et 5 : tous
différents.

]]> Rectangle en B

]]> Erreur : teste BA⃗(-4 ; 0) · BC⃗(-4 ; 3) = 16 ≠ 0 : pas d'angle
droit en B. L'angle droit est en A, entre les deux
axes.

]]> Géométrie repérée — Q13 : Normale d'une équation de droite Quel est un vecteur normal de la droite d'équation 3x - 2y + 5 = 0 ?

]]> ax + by + c = 0 : normale (a\ ;\ b), directeur
(-b\ ;\ a) : les deux lectures à connaître par cœur, et
leur produit scalaire -ab + ab = 0 confirme
l'orthogonalité.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc n⃗(3\ ;\ -2)

]]> Bonne réponse : pour ax + by + c = 0, le vecteur
(a\ ;\ b) est normal : lecture directe des
coefficients.

]]> n⃗(-2\ ;\ 3)

]]> Confusion : (-b\ ;\ a) est un vecteur directeur :
le vecteur normal lit les coefficients dans l'ordre :
(3\ ;\ -2).

]]> n⃗(3\ ;\ 5)

]]> Erreur : 5 est le terme constant : il positionne
la droite, il ne participe pas à sa direction.

]]> n⃗(2\ ;\ 3)

]]> Signe perdu : le coefficient de y est -2 : la
normale est (3\ ;\ -2).

]]> Géométrie repérée — Q14 : Droite perpendiculaire par un point Quelle est l'équation de la droite perpendiculaire à d : 2x + y - 1 = 0 passant par A(1\ ;\ 3) ?

]]> Perpendiculaire à d : le vecteur normal de d devient
directeur de la nouvelle droite (donc sa normale est
l'ancienne directrice). Puis la constante s'ajuste avec le
point de passage. Contrôle : produit scalaire des deux
normales = 0.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc x - 2y + 5 = 0

]]> Bonne réponse : la normale de d, (2\ ;\ 1), dirige
la perpendiculaire : donc la perpendiculaire a pour
normale (1\ ;\ -2) : x - 2y + c = 0, et A donne
1 - 6 + c = 0, c = 5.

]]> 2x + y - 5 = 0

]]> Parallèle, pas perpendiculaire : mêmes coefficients
(2\ ;\ 1) = même normale = même direction : il faut
échanger les rôles.

]]> x - 2y = 0

]]> Direction correcte, point raté : A(1\ ;\ 3) donne 1 - 6 = -5 ≠ 0 : la constante se calcule avec le point.

]]> 2x - y + 1 = 0

]]> Normale (2\ ;\ -1) : produit scalaire avec (2\ ;\ 1) : 4 - 1 = 3 ≠ 0 : pas perpendiculaire (il faut
(1\ ;\ -2) ou tout colinéaire).

]]> Géométrie repérée — Q15 : Centre et rayon en complétant les carrés Quel est le centre et le rayon du cercle d'équation x² + y² - 4x + 2y - 4 = 0 ?

]]> Forme développée → forme canonique : compléter les deux
carrés, basculer les constantes à droite. (x - a)² + (y - b)² = r² : centre (a\ ;\ b), rayon √r²
(vérifier que le membre de droite est positif !).

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Centre (2\ ;\ -1), rayon 3

]]> Bonne réponse : (x - 2)² - 4 + (y + 1)² - 1 - 4 = 0,
soit (x-2)² + (y+1)² = 9 : centre (2\ ;\ -1),
rayon √9 = 3.

]]> Centre (-2\ ;\ 1), rayon 3

]]> Signes inversés : (x - 2)² correspond au centre
x = +2 (le signe du centre est l'opposé de celui
de l'équation développée).

]]> Centre (2\ ;\ -1), rayon 9

]]> Racine oubliée : 9 est r² : le rayon vaut 3.

]]> Centre (4\ ;\ -2), rayon 2

]]> Division par 2 oubliée : les coordonnées du centre
sont la moitié des coefficients de x et y
(changés de signe) : (2\ ;\ -1).

]]> Géométrie repérée — Q16 : Cercle défini par centre et point Quelle est l'équation du cercle de centre Ω(1\ ;\ 2)
passant par A(4\ ;\ 6) ?

]]> Deux données, deux étapes : rayon = distance centre-point
(racine de la somme des carrés), puis équation (x - a)² + (y - b)² = r². Le contrôle : injecter A et vérifier
l'égalité.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc (x - 1)² + (y - 2)² = 25

]]> Bonne réponse : le rayon est la distance Ω A = √9 + 16 = 5 : équation avec r² = 25.

]]> (x - 1)² + (y - 2)² = 5

]]> Carré oublié : l'équation utilise r² : la distance
vaut 5, le membre de droite 25.

]]> (x - 4)² + (y - 6)² = 25

]]> Mauvais centre : A est un point du cercle, pas son
centre : les coordonnées dans les parenthèses sont
celles de Ω.

]]> (x + 1)² + (y + 2)² = 25

]]> Signes : centre (1\ ;\ 2) : l'équation soustrait les
coordonnées : (x - 1) et (y - 2).

]]> Géométrie repérée — Q17 : Tangente en un point du cercle Le cercle de centre Ω(0\ ;\ 0) passe par A(3\ ;\ 4). Comment obtenir la tangente au cercle en A ?

]]> Tangente en A : droite par A de vecteur normal
\overrightarrow{\Omega A} : la construction traduit la
perpendicularité rayon-tangente. La géométrie repérée
combine ici droite (normale imposée) et cercle.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc C'est la droite passant par A de vecteur normal
\overrightarrow{\Omega A}(3\ ;\ 4) : 3x + 4y - 25 = 0

]]> Bonne réponse : la tangente est perpendiculaire au rayon
au point de contact : normale (3\ ;\ 4), et A donne
9 + 16 = 25 : 3x + 4y = 25.

]]> C'est la droite (Ω A) elle-même

]]> Contresens : (Ω A) est le rayon : il traverse
le cercle ; la tangente lui est perpendiculaire en A.

]]> Elle n'existe pas : une tangente exige une fonction

]]> Erreur : la tangente à un cercle est une notion
géométrique (perpendiculaire au rayon) : aucune dérivée
nécessaire.

]]> C'est la droite horizontale passant par A

]]> Erreur : l'horizontale n'est tangente qu'aux points
« pôle nord/sud » du cercle : en A(3\ ;\ 4), la
perpendiculaire au rayon est oblique.

]]> Géométrie repérée — Q18 : Une équation de cercle… vide Que représente l'ensemble des points vérifiant x² + y² + 2x + 5 = 0 ?

]]> Après complétion des carrés, trois cas selon le membre de
droite : > 0 : cercle ; = 0 : un point ; < 0 :
ensemble vide. Toujours conclure APRÈS la forme canonique,
jamais sur la seule allure de l'équation.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc L'ensemble vide : la forme canonique donne (x + 1)² + y² = -4, impossible

]]> Bonne réponse : une somme de carrés ne peut pas être
négative : aucun point ne satisfait l'équation :
l'écriture « type cercle » ne garantit pas un cercle.

]]> Un cercle de rayon 4

]]> Erreur : le membre de droite est -4, pas 16 : un
rayon au carré négatif n'existe pas.

]]> Un cercle de rayon 2

]]> Erreur de signe : r² = -4 n'a pas de racine réelle :
l'ensemble est vide (avec -4 au lieu de +5 dans
l'équation, on aurait eu un vrai cercle).

]]> Le seul point (-1\ ;\ 0)

]]> Presque : le point unique correspond à (x+1)^2 + y^2 =
\textbf{0} : ici la constante est -4 < 0 : même le
centre ne convient pas.

]]>