$course$/QCM de maths/Première spécialité/Probabilités conditionnelles et indépendance Indépendance de deux événements, partition de l'univers et
formule des probabilités totales, succession de deux épreuves
indépendantes, arbres pondérés, répétition de n ≤ 4
épreuves de Bernoulli indépendantes et identiques.

]]> Probabilités conditionnelles et indépendance — Q01 : Définir l'indépendance Quand dit-on que deux événements A et B (de probabilités
non nulles) sont indépendants ?

]]> Indépendance : P_B(A) = P(A), ou de manière équivalente
P(A ∩ B) = P(A) P(B). À ne jamais confondre avec
l'incompatibilité (A ∩ B = ∅).

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Lorsque P_B(A) = P(A) : savoir que B est réalisé ne
change pas la probabilité de A

]]> Bonne réponse : l'information « B a eu lieu » ne
modifie pas les chances de A. De façon équivalente :
P(A ∩ B) = P(A) × P(B).

]]> Lorsque A ∩ B = ∅

]]> Confusion majeure : A ∩ B = ∅ définit des
événements incompatibles, ce qui est presque le
contraire (si B arrive, A devient impossible :
l'information change tout).

]]> Lorsque P(A) = P(B)

]]> Erreur : l'égalité des probabilités ne dit rien du lien
entre les événements. L'indépendance parle de
l'absence d'influence de l'un sur l'autre.

]]> Lorsque A et B concernent deux expériences différentes

]]> Intuition utile mais pas une définition : la définition
mathématique est P_B(A) = P(A), vérifiable par calcul
même au sein d'une seule expérience.

]]> Probabilités conditionnelles et indépendance — Q02 : Tester l'indépendance par le produit On donne P(A) = 0{,}3, P(B) = 0{,}5 et
P(A \cap B) = 0{,}15. Les événements A et B sont-ils
indépendants ?

]]> Critère : A et B indépendants ⇔
P(A ∩ B) = P(A) × P(B). Ici 0{,}15 = 0{,}3 \times
0{,}5 : indépendants.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Oui, car P(A) \times P(B) = 0{,}15 = P(A \cap B)

]]> Bonne réponse : le critère du produit est vérifié :
0{,}3 \times 0{,}5 = 0{,}15.

]]> Non, car P(A) ≠ P(B)

]]> Erreur : l'indépendance n'exige pas des probabilités
égales : elle compare P(A ∩ B) au produit
P(A)P(B).

]]> Non, car A ∩ B n'est pas vide

]]> Confusion incompatibilité/indépendance : des événements
indépendants (non triviaux) ont justement une
intersection de probabilité non nulle, égale au
produit.

]]> On ne peut pas savoir sans arbre

]]> Erreur : les trois nombres donnés suffisent : le critère
P(A ∩ B) = P(A)P(B) se teste directement.

]]> Probabilités conditionnelles et indépendance — Q03 : Incompatibles et indépendants ? Deux événements A et B de probabilités non nulles
sont incompatibles (A ∩ B = ∅). Peuvent-ils
être indépendants ?

]]> Point de vigilance central : incompatibles ≠
indépendants. Incompatibles : ne peuvent pas coexister
(dépendance forte). Indépendants : coexistent avec probabilité
exactement P(A)P(B).

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Non : P(A ∩ B) = 0 alors que P(A)P(B) > 0

]]> Bonne réponse : le critère du produit échoue forcément :
incompatibles et indépendants sont exclusifs l'un de
l'autre (hors probabilités nulles).

]]> Oui : ne pas pouvoir se produire ensemble, c'est être
indépendants

]]> Contresens : l'incompatibilité est une dépendance
extrême : si B arrive, A devient impossible :
P_B(A) = 0 ≠ P(A).

]]> Oui, si P(A) = P(B)

]]> Erreur : même équiprobables, P(A ∩ B) = 0 resterait
différent de P(A)P(B) > 0.

]]> Cela dépend de l'univers

]]> Erreur : le calcul tranche dans tous les cas : 0 ≠
produit strictement positif.

]]> Probabilités conditionnelles et indépendance — Q04 : Formule des probabilités totales [Figure : Arbre de probabilité à deux niveaux. Depuis la racine : la
branche du haut mène à A avec 0,3 et la branche du bas à
A-barre avec 0,7. Depuis A : B avec 0,6 et B-barre avec 0,4.
Depuis A-barre : B avec 0,2 et B-barre avec 0,8.]

L'arbre ci-dessous décrit une expérience en deux étapes. Que
vaut P(B) ?

]]> Formule des probabilités totales (A, Ā
partition de l'univers) : P(B) = P(A)\,P_A(B) +
P(\overline{A})\,P_{\overline{A}}(B) : la somme des chemins
de l'arbre menant à B.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc P(B) = 0{,}3 \times 0{,}6 + 0{,}7 \times 0{,}2 = 0{,}32

]]> Bonne réponse : B s'atteint par deux chemins (A puis
B, ou Ā puis B) : on additionne leurs
probabilités : 0{,}18 + 0{,}14 = 0{,}32.

]]> P(B) = 0{,}6 + 0{,}2 = 0{,}8

]]> Erreur : additionner les conditionnelles brutes oublie de
les pondérer par les probabilités des branches de
premier niveau : 0{,}3 \times 0{,}6 + 0{,}7 \times
0{,}2.

]]> P(B) = 0{,}3 \times 0{,}6 = 0{,}18

]]> Incomplet : 0{,}18 = P(A \cap B) ne compte que le
chemin passant par A. B peut aussi arriver via
Ā : + 0{,}14.

]]> P(B) = 0{,}6

]]> Erreur : 0{,}6 = P_A(B) est une conditionnelle. P(B)
mélange les deux scénarios selon leurs poids : 0{,}32.

]]> Probabilités conditionnelles et indépendance — Q05 : Partition de l'univers Que forment les événements A et Ā (avec
0 < P(A) < 1) vis-à-vis de l'univers Ω ?

]]> Partition (système complet) : événements deux à deux
incompatibles dont la réunion est Ω. Le couple
\{A\,;\,\overline{A}\} en est le cas le plus simple : base
des arbres et des probabilités totales.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Une partition : ils sont incompatibles et leur réunion
est Ω

]]> Bonne réponse : tout résultat de l'expérience réalise
exactement l'un des deux : c'est ce qui autorise la
formule des probabilités totales.

]]> Deux événements indépendants

]]> Erreur : A et Ā sont au contraire
totalement dépendants : si l'un se réalise, l'autre
non (P_{A}(\overline{A}) = 0 \neq P(\overline{A})).

]]> Deux événements équiprobables

]]> Erreur : rien n'impose P(A) = 0{,}5. La partition tient
à « incompatibles et tout couvrir », pas aux valeurs.

]]> Le même événement écrit de deux façons

]]> Erreur : ce sont des événements contraires : ils ne
partagent aucune issue.

]]> Probabilités conditionnelles et indépendance — Q06 : Succession de deux épreuves indépendantes On lance un dé équilibré puis une pièce équilibrée. Quelle
est la probabilité d'obtenir un 6 et pile ?

]]> Succession d'épreuves indépendantes : la probabilité d'une
issue composée est le produit des probabilités de ses
composantes : ⅙ × ½ = 1/12 (l'univers produit compte 12 couples
équiprobables).

]]> 1.0 0.0 0 true true abc ⅙ × ½ = 1/12

]]> Bonne réponse : les deux épreuves sont indépendantes : la
probabilité du couple est le produit des
probabilités.

]]> ⅙ + ½ = ⅔

]]> Erreur : l'addition correspond à « l'un ou l'autre »
pour des événements incompatibles. Pour « l'un et
l'autre » en indépendance : produit.

]]> ⅛

]]> Erreur : ⅛ = 1/2³ ne correspond à
rien ici. Produit : ⅙ × ½ = 1/12.

]]> ½

]]> Erreur : ½ ignore la contrainte du dé. Les
deux conditions se cumulent : 1/12.

]]> Probabilités conditionnelles et indépendance — Q07 : Trois épreuves de Bernoulli On lance trois fois de suite une pièce équilibrée (lancers
indépendants). Quelle est la probabilité d'obtenir trois fois
pile ?

]]> Répétition d'épreuves de Bernoulli indépendantes et
identiques : chaque liste de résultats a pour probabilité le
produit des probabilités : (1/2)³ = 1/8.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc (½)³ = ⅛

]]> Bonne réponse : par indépendance, le chemin
pile-pile-pile a pour probabilité ½ × ½ × ½.

]]> ½

]]> Erreur : ½ est la probabilité d'un
pile. Trois exigences simultanées multiplient les
facteurs : ⅛.

]]> 3/6 = ½

]]> Erreur : ce quotient mélange le nombre de lancers et
autre chose. L'arbre à 8 chemins équiprobables donne
⅛ pour PPP.

]]> ⅓

]]> Erreur : ⅓ n'apparaît nulle part dans ce
modèle : les 2³ = 8 listes de résultats sont
équiprobables.

]]> Probabilités conditionnelles et indépendance — Q08 : Exactement un succès sur trois On répète trois fois une épreuve de Bernoulli de paramètre
p = ½ (lancers de pièce). Quelle est la
probabilité d'obtenir exactement un pile ?

]]> Sur l'arbre à trois niveaux : compter les chemins favorables
(3 positions possibles pour le pile) et multiplier par la
probabilité d'un chemin (⅛) : ⅜.
(Prélude à la loi binomiale de terminale.)

]]> 1.0 0.0 0 true true abc 3 × (½)³ = ⅜

]]> Bonne réponse : trois chemins réalisent un pile exactement
(PFF, FPF, FFP), chacun de probabilité ⅛.

]]> ⅛

]]> Incomplet : ⅛ est la probabilité d'un
seul chemin (par exemple PFF). Le pile peut occuper
trois positions : × 3.

]]> ½

]]> Erreur : ½ ne correspond à aucun décompte de
chemins ici (⅜ pour un pile, ⅜
pour deux, ⅛ pour zéro ou trois).

]]> ⅓

]]> Erreur : le dénominateur naturel est 8 = 2³ (les
chemins équiprobables de l'arbre), pas 3.

]]> Probabilités conditionnelles et indépendance — Q09 : Cohérence d'un arbre pondéré Dans un arbre de probabilité, que vaut la somme des
pondérations des branches issues d'un même nœud ?

]]> Règle de cohérence des arbres : à chaque nœud, les
pondérations somment à 1 (les branches forment une
partition des suites possibles). Premier réflexe de
vérification.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Toujours 1

]]> Bonne réponse : les branches issues d'un nœud couvrent
tous les cas possibles à cette étape (partition) : leurs
probabilités somment à 1. Contrôle rapide de tout
arbre.

]]> Toujours 0{,}5

]]> Erreur : 0{,}5 n'a rien de spécial : avec trois issues
0{,}2 + 0{,}3 + 0{,}5, la somme fait 1.

]]> La probabilité du nœud de départ

]]> Erreur : la probabilité du nœud pondère le chemin qui y
mène ; les branches qui en partent se partagent le
total conditionnel, qui vaut 1.

]]> Cela dépend du niveau dans l'arbre

]]> Erreur : la règle vaut à tous les niveaux : chaque
nœud distribue 100\ % de ses cas.

]]> Probabilités conditionnelles et indépendance — Q10 : Indépendance et événement contraire Soient A et B indépendants. Les événements A et
B̄ sont-ils indépendants ?

]]> Propriété utile : si A et B sont indépendants, alors A
et B̄ aussi (et de même Ā et B,
Ā et B̄). Sur l'arbre : toutes les
branches de deuxième niveau portent les mêmes pondérations.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Oui : l'indépendance se transmet aux contraires

]]> Bonne réponse : P(A ∩ B̄) = P(A) - P(A ∩ B) = P(A)(1 - P(B)) = P(A)P(B̄) : le
critère du produit reste vérifié.

]]> Non, jamais

]]> Erreur : le petit calcul P(A ∩ B̄) = P(A) - P(A)P(B) montre le contraire : l'indépendance
passe aux complémentaires.

]]> Seulement si P(B) = 0{,}5

]]> Erreur : aucune condition numérique n'est nécessaire : la
factorisation P(A)(1 - P(B)) fonctionne pour tout
P(B).

]]> Ils deviennent incompatibles

]]> Erreur : P(A ∩ B̄) = P(A)P(B̄)
est en général strictement positif : compatibles et
indépendants.

]]> Probabilités conditionnelles et indépendance — Q11 : Retrouver une conditionnelle On donne P(A) = 0{,}4 et P(A \cap B) = 0{,}12. Que vaut
P_A(B) ?

]]> Définition : P_A(B) = P(A ∩ B)/P(A)
(renormalisation de l'univers à A). À l'envers :
P(A ∩ B) = P(A) P_A(B), la règle du chemin sur
l'arbre.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc 0{,}3

]]> Bonne réponse : P_A(B) = \dfrac{P(A \cap B)}{P(A)} =
\dfrac{0{,}12}{0{,}4} = 0{,}3.

]]> 0{,}048

]]> Erreur : 0{,}4 \times 0{,}12 multiplie au lieu de
diviser. La conditionnelle rapporte l'intersection à
la condition.

]]> 0{,}12

]]> Erreur : 0{,}12 = P(A \cap B) est la probabilité de
l'intersection dans l'univers entier ; sachant A,
l'univers se réduit : on divise par P(A).

]]> 0{,}52

]]> Erreur : 0{,}4 + 0{,}12 additionne des objets qui ne
s'additionnent pas. Formule : quotient
\frac{0{,}12}{0{,}4}.

]]> Probabilités conditionnelles et indépendance — Q12 : Justifier l'indépendance dans un modèle Dans quelle situation l'hypothèse d'indépendance entre deux
tirages successifs est-elle justifiée ?

]]> Comme en seconde pour l'équiprobabilité : l'indépendance
fait partie du modèle et se justifie par l'analyse de la
situation (remise, mécanismes sans influence mutuelle). Sans
remise : probabilités conditionnelles et arbre non uniforme.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Tirage d'une boule, remise dans l'urne, second
tirage

]]> Bonne réponse : la remise restaure exactement l'urne
initiale : le second tirage se fait dans les mêmes
conditions, indépendamment du premier.

]]> Tirage d'une boule, puis d'une seconde sans remise

]]> Erreur : sans remise, la composition de l'urne dépend du
premier tirage : les probabilités du second en sont
modifiées (dépendance).

]]> Toute succession de deux tirages, par principe

]]> Erreur : l'indépendance est une hypothèse de modèle à
justifier (remise, dispositifs séparés…), pas un
automatisme.

]]> Aucune : deux tirages successifs ne sont jamais
indépendants

]]> Erreur : avec remise (ou pour des expériences physiquement
séparées), l'indépendance est le modèle naturel.

]]> Probabilités conditionnelles et indépendance — Q13 : Calculer une probabilité conditionnelle On donne P(A) = 0{,}5 et P(A \cap B) = 0{,}2. Que vaut
P_A(B) ?

]]> P_A(B) = P(A ∩ B)/P(A) : restreindre l'univers
à A et y mesurer la part de B. Contrôle : le résultat
est toujours entre 0 et 1.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc 0{,}4

]]> Bonne réponse : P_A(B) = \dfrac{P(A \cap B)}{P(A)} =
\dfrac{0{,}2}{0{,}5} = 0{,}4 : parmi les cas où A se
produit, 40\ % voient aussi B.

]]> 0{,}1

]]> Multiplication au lieu de division : 0{,}5 \times
0{,}2 = 0{,}1 : la conditionnelle divise
l'intersection par la condition.

]]> 0{,}2

]]> Confusion : 0{,}2 est P(A ∩ B) : la
conditionnelle rapporte cette intersection au « nouveau
monde » A (P(A) = 0{,}5).

]]> 2{,}5

]]> Fraction renversée : \frac{0{,}5}{0{,}2} = 2{,}5
dépasse 1 : impossible pour une probabilité :
l'intersection va au numérateur.

]]> Probabilités conditionnelles et indépendance — Q14 : Conditionnelle dans un tableau Dans une classe : 12 filles dont 9 demi-pensionnaires,
18 garçons dont 9 demi-pensionnaires. On choisit un
élève au hasard. Que vaut
P_{\text{fille}}(\text{demi-pensionnaire}) ?

]]> Dans un tableau d'effectifs, la conditionnelle se lit en
restreignant à la ligne (ou colonne) de la condition :
effectif croisé / effectif de la condition. Le « parmi » de
l'énoncé désigne toujours le dénominateur.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc \dfrac{9}{12} = 0{,}75

]]> Bonne réponse : conditionner par « fille » réduit
l'univers aux 12 filles : 9 d'entre elles sont
demi-pensionnaires : 9/12.

]]> 9/30

]]> Mauvais dénominateur : 9/30 est
P(fille et DP) dans l'univers entier : la
conditionnelle divise par l'effectif de la condition
(12).

]]> 9/18

]]> Mauvaise condition : 18 est l'effectif des garçons :
conditionner par « fille » impose le dénominateur 12.

]]> 12/30

]]> Erreur : 12/30 est P(fille) : la
question porte sur la part de demi-pensionnaires PARMI
les filles.

]]> Probabilités conditionnelles et indépendance — Q15 : La formule du produit On donne P(A) = 0{,}6 et P_A(B) = 0{,}3. Que vaut
P(A ∩ B) ?

]]> Formule du produit : P(A ∩ B) = P(A) × P_A(B) :
la règle de l'arbre pondéré (racine × branche). C'est la
définition de la conditionnelle, lue à l'envers.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc 0{,}18

]]> Bonne réponse : P(A \cap B) = P(A) \times P_A(B) =
0{,}6 \times 0{,}3 : sur l'arbre, on multiplie le
long de la branche.

]]> 0{,}9

]]> Addition au lieu de multiplication : 0{,}6 + 0{,}3 :
l'intersection se calcule en produit le long du chemin.

]]> 0{,}5

]]> Erreur : la division \frac{0{,}3}{0{,}6} renverserait
la formule : ici on reconstruit l'intersection :
produit.

]]> 0{,}3

]]> Confusion : 0{,}3 est la conditionnelle P_A(B) :
l'intersection la pondère par le poids de A :
0{,}18.

]]> Probabilités conditionnelles et indépendance — Q16 : Probabilités totales en pratique Un arbre donne : P(A) = 0{,}3, P_A(B) = 0{,}6,
P(\bar{A}) = 0{,}7, P_{\bar{A}}(B) = 0{,}2. Que vaut
P(B) ?

]]> Probabilités totales : P(B) = P(A)P_A(B) +
P(\bar{A})P_{\bar{A}}(B) : additionner les chemins
complets qui aboutissent à B. Sur l'arbre : multiplier le
long, additionner entre chemins.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc 0{,}32

]]> Bonne réponse : deux chemins mènent à B : 0{,}3
\times 0{,}6 + 0{,}7 \times 0{,}2 = 0{,}18 + 0{,}14 =
0{,}32.

]]> 0{,}18

]]> Chemin manquant : 0{,}18 ne compte que le passage par
A : B peut aussi survenir via \bar{A}
(+0{,}14).

]]> 0{,}8

]]> Erreur : 0{,}6 + 0{,}2 additionne les conditionnelles
brutes : chacune doit d'abord être pondérée par sa
branche d'origine.

]]> 0{,}5

]]> Erreur : aucune combinaison directe ne donne 0{,}5 :
la formule est la somme des produits chemin par chemin.

]]> Probabilités conditionnelles et indépendance — Q17 : Renverser le conditionnement Avec les données précédentes (P(A \cap B) = 0{,}18 et
P(B) = 0{,}32), que vaut P_B(A) ?

]]> Renversement : P_B(A) = P(A ∩ B)/P(B), où
P(B) sort des probabilités totales : l'enchaînement
arbre → totales → renversement est LE schéma des sujets
(tests médicaux, contrôles qualité…).

]]> 1.0 0.0 0 true true abc \dfrac{0{,}18}{0{,}32} = 0{,}5625

]]> Bonne réponse : P_B(A) = P(A ∩ B)/P(B) :
même intersection, nouveau dénominateur : le
conditionnement se renverse en changeant de monde de
référence.

]]> 0{,}6, comme P_A(B)

]]> Le piège central du chapitre : P_B(A) ≠ P_A(B) en
général : les deux partagent le numérateur mais pas le
dénominateur.

]]> 0{,}18

]]> Division oubliée : 0{,}18 est l'intersection ; la
conditionnelle la rapporte à P(B) = 0{,}32.

]]> 1 - 0{,}6 = 0{,}4

]]> Erreur : le complémentaire de P_A(B) est
P_A(\bar{B}), pas P_B(A) : renverser exige de
repasser par l'intersection.

]]> Probabilités conditionnelles et indépendance — Q18 : Le paradoxe du test de dépistage Une maladie touche 1\ % de la population. Un test détecte
99\ % des malades, mais sonne à tort chez 5\ % des
personnes saines. Une personne a un test positif : quelle
est environ la probabilité qu'elle soit malade ?

]]> Le paradoxe des tests : quand la maladie est rare, la masse
des faux positifs domine. Toujours calculer
P(\text{malade} \mid \text{positif}) par l'arbre :
intersection sur total des positifs : ici ⅙,
loin des 99\ % intuitifs.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Environ ⅙ : les faux positifs des 99\ %
de sains noient les vrais positifs

]]> Bonne réponse : vrais positifs : 0{,}01 \times 0{,}99
\approx 0{,}0099 ; faux positifs : 0{,}99 \times
0{,}05 = 0{,}0495 : ratio \frac{0{,}0099}{0{,}0594}
= \frac{1}{6} : la rareté de la maladie renverse
l'intuition.

]]> 99\ % : le test est fiable à 99\ %

]]> Le renversement fautif : 99\ % est
P(\text{positif} \mid \text{malade}) : la question
demande l'inverse, P(\text{malade} \mid
\text{positif}), écrasé par la rareté de la maladie.

]]> 95\ %

]]> Erreur : 95\ % est le taux de silence chez les
sains : sans rapport direct : le calcul complet passe
par les probabilités totales.

]]> 50\ % : malade ou pas, deux cas équiprobables

]]> Erreur d'équiprobabilité : les deux cas n'ont pas du
tout le même poids (1\ % contre 99\ % au départ) :
l'arbre pondéré tranche : environ 17\ %.

]]>