$course$/QCM de maths/Première spécialité/Calcul vectoriel et produit scalaire Produit scalaire : projection orthogonale, formule avec le
cosinus, expression en base orthonormée, caractérisation de
l'orthogonalité, bilinéarité, développement de
\|u⃗ + v⃗\|², formule d'Al-Kashi, ensemble des
points M tels que MA⃗ · MB⃗ = 0.

]]> Calcul vectoriel et produit scalaire — Q01 : Produit scalaire en coordonnées Dans un repère orthonormé du plan, on donne
u⃗(2 ; 3) et v⃗(1 ; -2). Que vaut
u⃗ · v⃗ ?

]]> En base orthonormée : u⃗ · v⃗ = xx' + yy'.
Ici -4 < 0 : l'angle entre les deux vecteurs est obtus.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc -4

]]> Bonne réponse : u⃗ · v⃗ = xx' + yy' = 2 × 1 + 3 × (-2) = 2 - 6 = -4.

]]> 8

]]> Erreur de signe : 3 × (-2) = -6, pas +6. Total :
2 - 6 = -4.

]]> (2 ; -6)

]]> Erreur de nature : le produit scalaire est un nombre
(un scalaire, d'où son nom), pas un vecteur.

]]> 4

]]> Erreur : le résultat est bien 4 en valeur absolue, mais
négatif : 2 - 6 = -4 (l'angle entre les vecteurs
est obtus).

]]> Calcul vectoriel et produit scalaire — Q02 : Caractériser l'orthogonalité À quelle condition deux vecteurs non nuls u⃗ et
v⃗ sont-ils orthogonaux ?

]]> \vec{u} \perp \vec{v} \Leftrightarrow \vec{u} \cdot \vec{v}
= 0 (via cosπ/2 = 0). En coordonnées :
xx' + yy' = 0.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc u⃗ · v⃗ = 0

]]> Bonne réponse : la nullité du produit scalaire est la
caractérisation de l'orthogonalité : c'est son utilité
première.

]]> u⃗ · v⃗ = 1

]]> Erreur : la valeur 1 n'a rien de spécial. L'angle droit
correspond à cosπ/2 = 0, donc à un produit
scalaire nul.

]]> u⃗ = -v⃗

]]> Erreur : des vecteurs opposés sont colinéaires
(angle plat), le contraire de perpendiculaires.

]]> \|u⃗\| = \|v⃗\|

]]> Erreur : l'égalité des longueurs ne dit rien de l'angle.
L'orthogonalité se teste par u⃗ · v⃗ = 0.

]]> Calcul vectoriel et produit scalaire — Q03 : Formule avec le cosinus Soient u⃗ et v⃗ tels que \|u⃗\| = 3,
\|v⃗\| = 4 et l'angle entre eux vaut
π/3. Que vaut u⃗ · v⃗ ?

]]> u⃗ · v⃗ = \|u⃗\| \|v⃗\| cos(u⃗ , v⃗). Avec cosπ/3 = ½ : 6. Choisir la formule adaptée aux données
(normes et angle, coordonnées, ou projection) est la capacité
clé.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc 6

]]> Bonne réponse : u⃗ · v⃗ = \|u⃗\| \|v⃗\|cosθ = 3 × 4 × ½ = 6.

]]> 12

]]> Oubli du cosinus : 12 = \|u⃗\| \|v⃗\|
correspondrait à des vecteurs colinéaires de même sens
(cos 0 = 1). Ici cosπ/3 = ½.

]]> 6√3

]]> Erreur : tu as utilisé \sin\dfrac{\pi}{3} =
\dfrac{\sqrt{3}}{2}. Le produit scalaire fait intervenir
le cosinus.

]]> 0

]]> Erreur : le produit scalaire ne s'annule que pour un angle
droit ; or π/3 ≠ π/2.

]]> Calcul vectoriel et produit scalaire — Q04 : Signe du produit scalaire Que peut-on dire du signe de u⃗ · v⃗ selon
l'angle θ entre les deux vecteurs (non nuls) ?

]]> Lecture géométrique du signe : u⃗ · v⃗ du
signe de cosθ. Aigu : positif ; droit : nul ; obtus :
négatif. La projection orthogonale raconte la même chose
(projeté du même côté ou non).

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Positif si θ est aigu, nul si θ est droit,
négatif si θ est obtus

]]> Bonne réponse : le signe du produit scalaire est celui de
cosθ : positif avant π/2, nul à
π/2, négatif au-delà.

]]> Toujours positif, comme toute « multiplication » de
longueurs

]]> Erreur : le facteur cosθ peut être négatif :
deux vecteurs « qui se tournent le dos » ont un produit
scalaire négatif.

]]> Positif si les deux vecteurs sont dans le même quadrant

]]> Erreur : les quadrants n'ont rien à voir : seul compte
l'angle entre les vecteurs (aigu ou obtus).

]]> Le signe dépend uniquement des normes

]]> Erreur : les normes sont toujours positives ; le signe
vient exclusivement du cosinus de l'angle.

]]> Calcul vectoriel et produit scalaire — Q05 : Utiliser la bilinéarité Sachant que u⃗ · v⃗ = 3, que vaut
(2u⃗) · (3v⃗) ?

]]> Bilinéarité : (au⃗) · (bv⃗) = ab (u⃗ · v⃗) et distributivité sur les sommes. Ici :
6 × 3 = 18.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc 18

]]> Bonne réponse : par bilinéarité, les facteurs sortent :
(2u⃗) · (3v⃗) = 2 × 3 × (u⃗ · v⃗) = 6 × 3 = 18.

]]> 6

]]> Erreur : 6 = 2 × 3 oublie le produit scalaire
initial. Les trois nombres se multiplient :
2 × 3 × 3 = 18.

]]> 9

]]> Erreur : seul un des deux facteurs a été sorti
(3 × 3). Chaque coefficient sort : 2 × 3 × 3.

]]> 3

]]> Erreur : les coefficients 2 et 3 ne disparaissent
pas : le produit scalaire est linéaire en chacun de
ses arguments.

]]> Calcul vectoriel et produit scalaire — Q06 : Développer $\|\vec{u} + \vec{v}\|^2$ Soient \|u⃗\| = 2, \|v⃗\| = 3 et
u⃗ · v⃗ = 1. Que vaut
\|u⃗ + v⃗\|² ?

]]> Identité fondamentale : \|u⃗+v⃗\|² = \|u⃗\|² + 2 u⃗·v⃗ + \|v⃗\|².
Lue à l'envers, elle définit le produit scalaire à partir
des normes (polarisation).

]]> 1.0 0.0 0 true true abc 15

]]> Bonne réponse : \|u⃗+v⃗\|² = \|u⃗\|² + 2 u⃗·v⃗ + \|v⃗\|² = 4 + 2 + 9 = 15.

]]> 13

]]> Oubli du double produit : 4 + 9 = 13 ne vaudrait que
pour des vecteurs orthogonaux (Pythagore). Ici
2 u⃗·v⃗ = 2 s'ajoute.

]]> 25

]]> Erreur : 25 = (2+3)² additionne les normes avant le
carré, ce qui supposerait des vecteurs colinéaires de
même sens. La formule exacte passe par le produit
scalaire.

]]> 14

]]> Erreur : le double produit vaut 2 × 1 = 2, pas
1 : total 4 + 2 + 9 = 15.

]]> Calcul vectoriel et produit scalaire — Q07 : Formule d'Al-Kashi Dans un triangle ABC, on donne AB = 3, AC = 4 et
\widehat{A} = \dfrac{\pi}{3}. Que vaut BC ?

]]> Al-Kashi (démonstration au programme, par le produit
scalaire) : a^2 = b^2 + c^2 - 2bc\cos\widehat{A} : le
« Pythagore généralisé » aux triangles quelconques. Ici
BC = √13.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc BC = √13

]]> Bonne réponse : Al-Kashi : BC^2 = AB^2 + AC^2 -
2 \times AB \times AC \times \cos\widehat{A} = 9 + 16 -
24 \times \dfrac{1}{2} = 13.

]]> BC = 5

]]> Erreur : 25 = 9 + 16 est le calcul de Pythagore,
valable seulement pour un angle droit en A. Ici
\widehat{A} = \frac{\pi}{3} : le terme correctif
-2bccos A retranche 12.

]]> BC = √37

]]> Erreur de signe : 9 + 16 + 12 = 37 ajoute le terme au
lieu de le retrancher. La formule porte un moins :
b² + c² - 2bccos A.

]]> BC = 13

]]> Oubli de la racine : 13 est BC². La longueur vaut
\sqrt{13} \approx 3{,}6.

]]> Calcul vectoriel et produit scalaire — Q08 : L'ensemble des points $M$ tels que $\overrightarrow{MA} \cdot \overrightarrow{MB} = 0$ Soient A et B deux points distincts du plan. Quel est
l'ensemble des points M vérifiant
MA⃗ · MB⃗ = 0 ?

]]> MA⃗ · MB⃗ = 0 ⇔ M voit [AB] sous un angle droit
⇔ M appartient au cercle de diamètre
[AB]. Version vectorielle du théorème du cercle de Thalès.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Le cercle de diamètre [AB]

]]> Bonne réponse : la nullité du produit scalaire signifie
que le triangle AMB est rectangle en M (ou que M est
en A ou B) : c'est le cercle de diamètre [AB]
(démonstration au programme).

]]> La médiatrice de [AB]

]]> Erreur : la médiatrice est l'ensemble des points
équidistants de A et B (MA = MB), une autre
condition.

]]> La droite (AB)

]]> Erreur : sur la droite (AB) (hors segment), les
vecteurs MA⃗ et MB⃗
sont colinéaires : produit scalaire non nul (sauf en A
et B).

]]> Le cercle de centre A passant par B

]]> Erreur : ce cercle correspond à la condition MA = AB.
Notre condition parle d'un angle droit en M :
cercle de diamètre [AB].

]]> Calcul vectoriel et produit scalaire — Q09 : Produit scalaire par les normes Soient \|u⃗\| = 3, \|v⃗\| = 4 et
\|u⃗ + v⃗\| = 5. Que vaut
u⃗ · v⃗ ?

]]> Polarisation : u⃗·v⃗ = ½( \|u⃗+v⃗\|² - \|u⃗\|² - \|v⃗\|²).
Le triplet 3-4-5 redonne Pythagore : produit scalaire
nul, vecteurs orthogonaux.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc 0 : les vecteurs sont orthogonaux

]]> Bonne réponse : u⃗·v⃗ = ½( \|u⃗+v⃗\|² - \|u⃗\|² - \|v⃗\|² ) = 25 - 9 - 16/2 = 0. Le triangle
3-4-5 est rectangle !

]]> 12

]]> Erreur : 12 = 3 × 4 supposerait un angle nul.
La formule de polarisation donne 25 - 25/2 = 0.

]]> 25

]]> Erreur : 25 est \|u⃗+v⃗\|², une étape du
calcul, pas le produit scalaire.

]]> 5

]]> Erreur : aucune formule ne donne 5. Polarisation :
½(25 - 9 - 16) = 0.

]]> Calcul vectoriel et produit scalaire — Q10 : Retrouver un angle Soient u⃗ et v⃗ tels que
u⃗ · v⃗ = -6, \|u⃗\| = 2 et
\|v⃗\| = 6. Que vaut l'angle θ entre les deux
vecteurs ?

]]> cosθ = u⃗·v⃗/\|u⃗\| \|v⃗\| : ici -½, donc θ = 2π/3. Le produit scalaire mesure les angles sans
rapporteur.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc θ = 2π/3

]]> Bonne réponse : \cos\theta = \dfrac{\vec{u}\cdot\vec{v}}
{\|\vec{u}\|\,\|\vec{v}\|} = \dfrac{-6}{12} =
-\dfrac{1}{2}, donc θ = 2π/3
(120°).

]]> θ = π/3

]]> Erreur de signe : cosθ = -½, négatif :
l'angle est obtus. π/3 correspond à
+½.

]]> θ = π/2

]]> Erreur : l'angle droit exigerait un produit scalaire
nul ; ici il vaut -6.

]]> cosθ = -6

]]> Impossible : un cosinus reste entre -1 et 1. Il faut
diviser par le produit des normes : -6/12 = -½.

]]> Calcul vectoriel et produit scalaire — Q11 : Déterminer un paramètre Pour quelle valeur de k les vecteurs u⃗(3 ; k) et
v⃗(2 ; -1) sont-ils orthogonaux ?

]]> Méthode : écrire la condition u⃗ · v⃗ = 0 et
résoudre. 6 - k = 0 ⇒ k = 6. (Ne pas confondre
avec le déterminant, qui teste la colinéarité.)

]]> 1.0 0.0 0 true true abc k = 6

]]> Bonne réponse : u⃗ · v⃗ = 6 - k = 0 ⇔ k = 6. Vérification :
(3 ; 6) · (2 ; -1) = 6 - 6 = 0.

]]> k = -6

]]> Erreur de signe : l'équation est 3 × 2 + k × (-1) = 6 - k = 0, donc k = +6.

]]> k = 3/2

]]> Erreur : 3/2 rendrait les vecteurs
colinéaires (\det = 3 \times (-1) - k \times 2 = 0
donne k = -3/2… vérifie ton critère). Pour
l'orthogonalité, on annule le produit scalaire.

]]> k = 0

]]> Erreur : avec k = 0, u⃗ · v⃗ = 6 ≠ 0 : pas orthogonaux.

]]> Calcul vectoriel et produit scalaire — Q12 : Transformer $\overrightarrow{MA} \cdot \overrightarrow{MB}$ Soit I le milieu de [AB]. Quelle transformation de
l'expression MA⃗ · MB⃗
est correcte (pour tout point M) ?

]]> Transformation au programme :
MA⃗ · MB⃗ = MI² - AB²/4 (I milieu). On y lit le cercle de diamètre
[AB] : produit nul ⇔ MI = AB/2.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc MA⃗ · MB⃗ = MI² - AB²/4

]]> Bonne réponse : en insérant I par Chasles,
(MI⃗ + IA⃗) · (MI⃗ + IB⃗) se développe
en MI² - IA², et IA = AB/2.

]]> MA⃗ · MB⃗ = MI² + AB²/4

]]> Erreur de signe : IA⃗ et
IB⃗ sont opposés : leur produit
scalaire vaut -IA², d'où le moins.

]]> MA⃗ · MB⃗ = MA² + MB²

]]> Erreur : la somme des carrés des distances relève d'une
autre identité (théorème de la médiane). Le produit
scalaire se transforme en MI² - IA².

]]> MA⃗ · MB⃗ = MI² - AB²

]]> Erreur de facteur : c'est IA² = (AB/2 )² = AB²/4 qui se retranche, pas
AB².

]]> Calcul vectoriel et produit scalaire — Q13 : Un produit scalaire en coordonnées Soient u⃗(3\ ;\ -1) et v⃗(2\ ;\ 4). Que vaut
u⃗ · v⃗ ?

]]> En repère orthonormé : u⃗ · v⃗ = xx' + yy' :
produits coordonnée à coordonnée, puis somme. Le résultat
est un réel (positif, négatif ou nul).

]]> 1.0 0.0 0 true true abc 2

]]> Bonne réponse : xx' + yy' = 3 × 2 + (-1) × 4 = 6 - 4 = 2.

]]> 10

]]> Signe : (-1) × 4 = -4, à soustraire : 6 - 4 = 2.

]]> (6\ ;\ -4)

]]> Erreur de nature : le produit scalaire est un
nombre, pas un vecteur : on additionne les produits
de coordonnées.

]]> 14

]]> Croisement : 3 × 4 + (-1) × 2 = 10… non
plus : la formule apparie x avec x' et y avec
y', sans croiser.

]]> Calcul vectoriel et produit scalaire — Q14 : Norme d'un vecteur Que vaut la norme du vecteur u⃗(3\ ;\ 4) ?

]]> \|u⃗\| = √x² + y² : Pythagore en habits
vectoriels. Lien avec le produit scalaire : \|u⃗\|² = u⃗ · u⃗.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc \|u⃗\| = 5

]]> Bonne réponse : √3² + 4² = √25 = 5 : le
triangle 3-4-5 (Pythagore).

]]> \|u⃗\| = 7

]]> Erreur : 3 + 4 = 7 additionne les coordonnées : la
norme additionne leurs carrés puis prend la racine.

]]> \|u⃗\| = 25

]]> Racine oubliée : 25 = \|u⃗\|² est le carré
scalaire : la longueur vaut 5.

]]> \|u⃗\| = 12

]]> Erreur : 3 × 4 = 12 multiplie les coordonnées :
rien à voir avec la longueur.

]]> Calcul vectoriel et produit scalaire — Q15 : Produit scalaire de vecteurs colinéaires u⃗ et v⃗ sont colinéaires de même sens,
avec \|u⃗\| = 2 et \|v⃗\| = 5. Que vaut
u⃗ · v⃗ ?

]]> u⃗ · v⃗ = \|u⃗\|\|v⃗\|cosθ :
même sens (θ = 0) : produit des normes ; sens
opposés : l'opposé ; orthogonaux : zéro. Les trois repères
mentaux du produit scalaire.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc 10

]]> Bonne réponse : angle nul, cos 0 = 1 : le produit
scalaire atteint son maximum \|u⃗\|\|v⃗\| = 10.

]]> -10

]]> Sens : -10 correspond aux vecteurs colinéaires de sens
contraires (cos π = -1).

]]> 0

]]> Erreur : 0 signe l'orthogonalité : des vecteurs
alignés donnent au contraire le produit scalaire
extrême.

]]> 7

]]> Erreur : 2 + 5 = 7 additionne les normes : la formule
les multiplie (avec le cosinus, ici égal à 1).

]]> Calcul vectoriel et produit scalaire — Q16 : Al-Kashi en action Dans un triangle, b = 3, c = 5 et l'angle entre eux vaut
60°. Que vaut le côté opposé a ?

]]> Al-Kashi : a^2 = b^2 + c^2 - 2bc\cos\widehat{A} :
Pythagore corrigé par l'angle. Angle aigu : on retranche ;
obtus : on ajoute ; droit : correction nulle : Pythagore
redevient exact.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc a = √19, car a² = 9 + 25 - 2 × 3 × 5 × ½

]]> Bonne réponse : Al-Kashi : a² = b² + c² - 2bccos 60° = 34 - 15 = 19.

]]> a = √34

]]> Pythagore appliqué à tort : 34 = 9 + 25 vaudrait pour
un angle droit ; à 60°, le terme correctif
-2bccos 60° = -15 s'impose.

]]> a = √49 = 7

]]> Signe du correctif : 34 + 15 = 49 correspondrait à
cos = -½ (120°) : à 60°, on
retranche.

]]> a = 2

]]> Erreur : \sqrt{19} \approx 4{,}36 : contrôle de
cohérence : a doit rester entre c - b = 2 (exclu) et
c + b = 8.

]]> Calcul vectoriel et produit scalaire — Q17 : Retrouver l'angle par le cosinus Soient u⃗(1\ ;\ 2) et v⃗(3\ ;\ 1). Que vaut
l'angle entre u⃗ et v⃗ ?

]]> Protocole : produit scalaire en coordonnées, normes, puis
\cos\theta = \frac{\vec{u}\cdot\vec{v}}
{\|\vec{u}\|\|\vec{v}\|}, et reconnaissance de la valeur
remarquable (\frac{\sqrt{2}}{2} \to 45°).

]]> 1.0 0.0 0 true true abc 45°, car \cos\theta = \dfrac{5}{\sqrt{5}\sqrt{10}} =
\dfrac{1}{\sqrt{2}}

]]> Bonne réponse : u⃗ · v⃗ = 3 + 2 = 5,
normes √5 et √10 : \cos\theta =
\frac{5}{\sqrt{50}} = \frac{\sqrt{2}}{2} : 45°.

]]> 60°

]]> Valeur croisée : \cos 60° = \frac{1}{2} = 0{,}5, or le
calcul donne \frac{\sqrt{2}}{2} \approx 0{,}71 :
c'est 45°.

]]> 90°

]]> Erreur : le produit scalaire vaut 5 ≠ 0 : les
vecteurs ne sont pas orthogonaux.

]]> 5°

]]> Erreur : 5 est le produit scalaire, pas un angle :
il faut le diviser par le produit des normes puis
reconnaître le cosinus.

]]> Calcul vectoriel et produit scalaire — Q18 : Produit scalaire par projection H est le projeté orthogonal de C sur la droite (AB),
et H appartient à la demi-droite [AB). Que vaut
AB⃗ · AC⃗ ?

]]> Formule du projeté : AB⃗ · AC⃗ = AB⃗ · AH⃗ = ± AB × AH (signe selon la
position de H par rapport à A). La vision géométrique du
produit scalaire : longueur × ombre portée.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc AB × AH

]]> Bonne réponse : la projection remplace
AC⃗ par son ombre
AH⃗ sur la droite (AB) : produit des
longueurs, positif car H est du côté de B.

]]> AB × AC

]]> Projection oubliée : AB × AC vaudrait pour des
vecteurs alignés : en général, seule la composante
projetée AH compte.

]]> AB × HC

]]> Mauvais segment : HC est la partie perpendiculaire,
celle qui ne contribue en rien au produit scalaire.

]]> 0, car H est un projeté orthogonal

]]> Confusion : l'orthogonalité est entre (CH) et (AB) :
le produit AB⃗ · AC⃗, lui, capte la partie alignée AH ≠ 0.

]]> Calcul vectoriel et produit scalaire — Q19 : Paramètre d'orthogonalité Pour quelle valeur de m les vecteurs u⃗(2\ ;\ m) et
v⃗(3\ ;\ -1) sont-ils orthogonaux ?

]]> Orthogonalité \iff xx' + yy' = 0 : avec un paramètre,
cette condition devient une équation à résoudre. Le contrôle
final : u⃗(2\ ;\ 6) · v⃗(3\ ;\ -1) = 6 - 6 = 0 ✓.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc m = 6

]]> Bonne réponse : \vec{u} \cdot \vec{v} = 6 - m = 0 \iff
m = 6 : l'orthogonalité se traduit en équation, d'une
inconnue ici.

]]> m = -6

]]> Signe : u⃗ · v⃗ = 2 × 3 + m × (-1) = 6 - m : s'annule pour m = +6.

]]> m = ⅔

]]> Confusion avec la colinéarité : ⅔ sortirait
d'une proportionnalité : l'orthogonalité annule le
produit scalaire.

]]> Aucune valeur ne convient

]]> Erreur : l'équation 6 - m = 0 a une solution : en
dimension 2, on peut toujours ajuster une coordonnée
pour créer l'angle droit.

]]> Calcul vectoriel et produit scalaire — Q20 : Produit scalaire par les normes On connaît \|u⃗\| = 3, \|v⃗\| = 2 et
\|u⃗ + v⃗\| = 4. Que vaut u⃗ · v⃗ ?

]]> Identité de polarisation : u⃗ · v⃗ = ½(\|u⃗+v⃗\|² - \|u⃗\|² - \|v⃗\|²) : le produit scalaire se lit dans
trois longueurs : aucune coordonnée, aucun angle
nécessaires.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc 3/2, car u⃗ · v⃗ = 16 - 9 - 4/2

]]> Bonne réponse : \|u⃗+v⃗\|² = \|u⃗\|² + 2u⃗·v⃗ + \|v⃗\|² : isoler :
u⃗·v⃗ = 16 - 13/2 = 3/2.

]]> 3

]]> Division par 2 oubliée : le développement contient
2 u⃗ · v⃗ : après isolation, on divise
par 2.

]]> 16

]]> Erreur : 16 = \|u⃗+v⃗\|² est le point de
départ, pas la réponse : il faut lui retirer les carrés
des normes puis diviser par 2.

]]> 6

]]> Erreur : 6 = \|u⃗\|\|v⃗\| serait le produit
scalaire de vecteurs colinéaires de même sens : ici
les normes imposent un angle (cosinus ¼).

]]> Calcul vectoriel et produit scalaire — Q21 : Al-Kashi à l'envers : trouver l'angle Un triangle a pour côtés a = 7, b = 5, c = 8. Que
vaut l'angle \widehat{A} (opposé au côté a) ?

]]> Forme inversée d'Al-Kashi : \cos\widehat{A} = \frac{b^2 +
c^2 - a^2}{2bc} : l'angle opposé au côté isolé au
numérateur. Trois côtés connus = tous les angles
accessibles.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc 60°, car \cos\widehat{A} = \dfrac{25 + 64 - 49}{2
\times 5 \times 8} = \dfrac{1}{2}

]]> Bonne réponse : Al-Kashi inversé : \cos\widehat{A} =
\frac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc} = \frac{40}{80} =
\frac{1}{2} : angle de 60°.

]]> 30°

]]> Valeur croisée : \cos 30° = \frac{\sqrt{3}}{2} \approx
0{,}87 \neq 0{,}5 : le calcul donne ½,
donc 60°.

]]> 90°

]]> Test de Pythagore : 5² + 8² = 89 ≠ 49 : pas
d'angle droit en A (le cosinus calculé, 0{,}5, n'est
pas nul).

]]> Impossible sans les angles du triangle

]]> Erreur : trois côtés déterminent entièrement le
triangle : Al-Kashi en extrait chaque angle.

]]> Calcul vectoriel et produit scalaire — Q22 : L'ensemble $\overrightarrow{AM} \cdot \vec{u} = 0$ A est un point et u⃗ un vecteur non nul. Quel est
l'ensemble des points M tels que AM⃗ · u⃗ = 0 ?

]]> Lignes de niveau du chapitre : AM⃗ · u⃗ = 0 : droite (normale u⃗) ;
MA⃗ · MB⃗ = 0 : cercle
de diamètre [AB] ; AM = r : cercle. Reconnaître la
structure avant de calculer.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc La droite passant par A de vecteur normal u⃗

]]> Bonne réponse : AM⃗ doit rester
orthogonal à u⃗ : M décrit la droite passant
par A perpendiculaire à la direction de u⃗.

]]> La droite passant par A dirigée par u⃗

]]> Contresens : sur cette droite, AM⃗ est
colinéaire à u⃗ : produit scalaire maximal
(en valeur absolue), pas nul.

]]> Le cercle de centre A

]]> Erreur : un cercle sortirait d'une condition de
distance (AM = r) ; ici la condition est
d'orthogonalité : une droite.

]]> Le seul point A

]]> Trop pauvre : A convient (AA⃗ = 0⃗), mais tout point de la perpendiculaire aussi :
l'ensemble est une droite entière.

]]> Calcul vectoriel et produit scalaire — Q23 : L'identité du parallélogramme Que vaut \|u⃗ + v⃗\|² + \|u⃗ - v⃗\|² ?

]]> Identité du parallélogramme : la somme des carrés des deux
diagonales égale la somme des carrés des quatre côtés.
Démonstration en deux lignes par développement : l'archétype
du calcul vectoriel efficace.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc 2\|u⃗\|² + 2\|v⃗\|²

]]> Bonne réponse : en développant les deux carrés, les
doubles produits +2u⃗·v⃗ et
-2u⃗·v⃗ s'annulent : restent les carrés,
deux fois chacun.

]]> 0

]]> Erreur : une somme de carrés de normes ne s'annule que
si tout est nul : les doubles produits se compensent,
pas les carrés.

]]> 4 u⃗ · v⃗

]]> C'est la différence des deux carrés qui isole le
produit scalaire : \|u⃗+v⃗\|² - \|u⃗-v⃗\|² = 4u⃗·v⃗.

]]> 2\|u⃗\|² - 2\|v⃗\|²

]]> Signe : les deux développements donnent
+\|v⃗\|² : la somme totale les additionne, sans
soustraction.

]]> Calcul vectoriel et produit scalaire — Q24 : Peut-on simplifier par $\vec{u}$ ? On sait que u⃗ · v⃗ = u⃗ · w⃗
avec u⃗ ≠ 0⃗. Peut-on conclure v⃗ = w⃗ ?

]]> Pas de « division » par un vecteur : \vec{u} \cdot \vec{v}
= \vec{u} \cdot \vec{w} \iff \vec{u} \perp (\vec{v} -
\vec{w}). Le produit scalaire ne voit que l'ombre portée
sur u⃗ : deux vecteurs différents peuvent projeter la
même ombre.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Non : cela signifie seulement que \vec{u} \perp
(\vec{v} - \vec{w})

]]> Bonne réponse : l'égalité équivaut à u⃗ · (v⃗ - w⃗) = 0 : la différence peut être
n'importe quel vecteur orthogonal à u⃗, pas
seulement le vecteur nul.

]]> Oui : on simplifie par u⃗ comme avec des nombres

]]> Le piège exact : le produit scalaire n'est pas une
multiplication de nombres : il « écrase » la composante
orthogonale, qui reste donc libre : pas de
simplification.

]]> Oui, si u⃗ est unitaire

]]> Erreur : la norme de u⃗ ne change rien : même
unitaire, u⃗ ignore tout ce qui lui est
orthogonal.

]]> Non, sauf si v⃗ et w⃗ sont opposés

]]> Erreur : le cas d'égalité n'a rien à voir avec des
opposés : la conclusion correcte est l'orthogonalité de
u⃗ et v⃗ - w⃗.

]]>