$course$/QCM de maths/Première spécialité/Le second degréTrinôme du second degré : forme canonique, discriminant, racines,
factorisation, somme et produit des racines, signe du trinôme,
parabole (sommet, orientation, lectures graphiques).]]>Le second degré — Q01 : Calculer un discriminantQuel est le discriminant du trinôme 2x² - 3x + 1 ?]]>Pour ax² + bx + c : Δ = b² - 4ac. Avec a = 2,
b = -3, c = 1 : Δ = 9 - 8 = 1.]]>1.00.00truetrueabcΔ = 1]]>Bonne réponse : Δ = b² - 4ac = (-3)² - 4 × 2 × 1 = 9 - 8 = 1.]]>Δ = 17]]>Erreur de signe : 9 + 8 = 17 correspond à b² + 4ac. La
formule est b² - 4ac, avec un moins.]]>Δ = -1]]>Erreur : 4ac - b² = -1 inverse les deux termes. C'est
b² qui vient en premier : b² - 4ac = 9 - 8 = 1.]]>Δ = 3]]>Erreur : tu as sans doute utilisé b au lieu de b².
Ici b = -3 donc b² = 9, et Δ = 9 - 8 = 1.]]>Le second degré — Q02 : Calculer les racinesQuelles sont les racines du trinôme 2x² - 3x + 1
(on rappelle que Δ = 1) ?]]>Δ = 1 > 0 : deux racines
x = 3 ± 1/2 × 2, soit x₁ = ½ et
x₂ = 1. Vérification : 2 × 1 - 3 + 1 = 0.]]>1.00.00truetrueabcx₁ = ½ et x₂ = 1]]>Bonne réponse : x = \dfrac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a}
= \dfrac{3 \pm 1}{4}, soit 2/4 = ½
et 4/4 = 1.]]>x₁ = -½ et x₂ = -1]]>Erreur de signe : -b = -(-3) = +3. Le numérateur est
3 ± 1, pas -3 ± 1.]]>x₁ = 1 et x₂ = 2]]>Erreur de dénominateur : tu as divisé par 2 au lieu de
2a = 4. La formule est \dfrac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a}.]]>Le trinôme n'a pas de racine réelle]]>Erreur : Δ = 1 > 0, donc il y a exactement deux
racines réelles distinctes.]]>Le second degré — Q03 : Sommet et forme canoniqueSoit f(x) = (x - 2)² + 3. Quelles sont les coordonnées du
sommet de la parabole représentant f ?]]>Forme canonique f(x) = a(x - α)² + β : le sommet de
la parabole est S(α ; β). Ici α = 2 et
β = 3.]]>1.00.00truetrueabc(2 ; 3)]]>Bonne réponse : sous la forme canonique
a(x - α)² + β, le sommet est (α ; β),
ici (2 ; 3).]]>(-2 ; 3)]]>Erreur de signe classique : dans (x - α)², on lit
α = 2 car x - 2 = x - α. Le signe moins
fait que l'abscisse du sommet est +2.]]>(2 ; -3)]]>Erreur : β = +3 se lit directement, sans changement de
signe. Seul α est affecté par le moins de la formule.]]>(3 ; 2)]]>Erreur d'inversion : α = 2 est l'abscisse et
β = 3 l'ordonnée du sommet, pas l'inverse.]]>Le second degré — Q04 : Signe d'un trinômeLe trinôme x² - 4x + 3 a pour racines 1 et 3.
Sur quel ensemble est-il strictement négatif ?]]>Règle du signe d'un trinôme avec deux racines : signe de a à
l'extérieur des racines, signe opposé entre elles. Ici a = 1 > 0
donc x² - 4x + 3 < 0 exactement sur ]1 ; 3[.]]>1.00.00truetrueabcSur ]1 ; 3[]]>Bonne réponse : a = 1 > 0, donc le trinôme est du signe de
a (positif) à l'extérieur des racines et du signe contraire
(négatif) entre les racines.]]>Sur ]-∞ ; 1[ ∪ ]3 ; +∞[]]>Erreur : c'est là que le trinôme est positif (signe de
a à l'extérieur des racines, avec a = 1 > 0).]]>Sur [1 ; 3]]]>Presque : entre les racines le trinôme est bien négatif,
mais en 1 et 3 il s'annule. « Strictement négatif »
exclut les racines : intervalle ouvert.]]>Nulle part, car a > 0]]>Erreur : a > 0 garantit un signe positif seulement si
Δ < 0. Ici il y a deux racines, donc le trinôme change
de signe.]]>Le second degré — Q05 : Somme et produit des racinesLe trinôme x² - 5x + 6 admet deux racines. Que valent leur
somme S et leur produit P ?]]>Pour ax² + bx + c de racines x₁ et x₂ :
S = x₁ + x₂ = -b/a et P = x₁ x₂ = c/a.
Ici S = 5, P = 6 (racines 2 et 3).]]>1.00.00truetrueabcS = 5 et P = 6]]>Bonne réponse : S = -b/a = 5 et
P = c/a = 6. Les racines sont d'ailleurs 2 et
3.]]>S = -5 et P = 6]]>Erreur de signe : S = -b/a avec b = -5 donne
S = +5. Le moins de la formule et celui de b se
compensent.]]>S = 6 et P = 5]]>Erreur d'inversion : la somme se lit sur b
(S = -b/a) et le produit sur c (P = c/a).]]>S = 5 et P = -6]]>Erreur de signe sur le produit : P = c/a = 6/1 = 6, sans changement de signe.]]>Le second degré — Q06 : Orientation de la paraboleSoit f(x) = ax² + bx + c avec a < 0. Que peut-on dire de la
parabole représentant f ?]]>Le signe de a donne l'orientation : a > 0 branches vers le
haut (sommet minimum), a < 0 branches vers le bas (sommet
maximum).]]>1.00.00truetrueabcElle est tournée vers le bas et son sommet est un maximum]]>Bonne réponse : quand a < 0, les branches descendent et le
sommet est le point le plus haut de la courbe.]]>Elle est tournée vers le haut et son sommet est un minimum]]>Erreur : c'est la situation a > 0. Le signe de a commande
l'orientation des branches.]]>Elle est tournée vers le bas et son sommet est un minimum]]>Incohérent : si les branches descendent, le sommet est
au-dessus de tout le reste, c'est un maximum.]]>Son orientation dépend du signe de c]]>Erreur : c = f(0) ne fixe que le point d'intersection avec
l'axe des ordonnées. L'orientation dépend uniquement du signe
de a.]]>Le second degré — Q07 : Lire les racines sur la parabole[Figure : Repère orthonormé avec une parabole tournée vers le bas, de
sommet (1 ; 4), coupant l'axe des abscisses en x = -1 et x = 3,
et l'axe des ordonnées en y = 3. C'est la courbe de
f(x) = -x² + 2x + 3.]
La parabole \mathcal{P} ci-dessous représente un trinôme du
second degré f. Quelles sont les racines de f ?
]]>Les racines d'un trinôme sont les abscisses des intersections de
sa parabole avec l'axe des abscisses : ici x = -1 et x = 3.]]>1.00.00truetrueabc-1 et 3]]>Bonne réponse : les racines sont les abscisses des points où
la parabole coupe l'axe des abscisses, ici -1 et 3.]]>1 et 3]]>Erreur de lecture : 1 est l'abscisse du sommet, pas un
point de traversée de l'axe des abscisses. La courbe coupe
l'axe en x = -1, à gauche de l'origine.]]>1 et 4]]>Erreur : (1 ; 4) sont les coordonnées du sommet. Les
racines se lisent sur l'axe des abscisses, là où f
s'annule.]]>3 seulement]]>Oubli : la parabole traverse l'axe des abscisses en deux
points. N'oublie pas l'intersection du côté négatif,
en x = -1.]]>Le second degré — Q08 : Signe de $a$ et de $\Delta$ d'après la courbe[Figure : Repère orthonormé avec une parabole tournée vers le bas, de
sommet (1 ; 4), coupant l'axe des abscisses en x = -1 et x = 3,
et l'axe des ordonnées en y = 3. C'est la courbe de
f(x) = -x² + 2x + 3.]
D'après la parabole \mathcal{P} ci-dessous, quels sont les
signes de a (coefficient dominant) et de Δ
(discriminant) ?
]]>Deux informations graphiques : l'orientation des branches donne le
signe de a (ici vers le bas, a < 0) ; le nombre
d'intersections avec l'axe des abscisses donne le signe de
Δ (ici deux points, Δ > 0).]]>1.00.00truetrueabca < 0 et Δ > 0]]>Bonne réponse : branches vers le bas donc a < 0 ; deux
intersections avec l'axe des abscisses donc deux racines,
donc Δ > 0.]]>a > 0 et Δ > 0]]>Erreur sur a : les branches de la parabole descendent,
donc a < 0.]]>a < 0 et Δ < 0]]>Erreur sur Δ : la courbe coupe l'axe des
abscisses (deux racines réelles), donc Δ > 0.
Δ < 0 correspondrait à une parabole entièrement d'un
côté de l'axe.]]>a < 0 et Δ = 0]]>Erreur : Δ = 0 signifierait que la parabole touche
l'axe des abscisses en un seul point (racine double). Ici
elle le traverse en deux points distincts.]]>Le second degré — Q09 : Cas $\Delta < 0$Soit f(x) = ax² + bx + c avec Δ < 0. Que peut-on en
déduire ?]]>Si Δ < 0, le trinôme n'a pas de racine réelle : sa
parabole ne coupe jamais l'axe des abscisses, donc il garde un
signe constant, celui de a.]]>1.00.00truetrueabcLe trinôme garde le signe de a pour tout réel x]]>Bonne réponse : sans racine réelle, le trinôme ne peut pas
changer de signe : il reste du signe de a sur tout
ℝ.]]>Le trinôme est strictement positif pour tout réel x]]>Incomplet : c'est vrai seulement si de plus a > 0. Avec
a < 0 et Δ < 0, le trinôme est toujours négatif.]]>Le trinôme admet une racine double]]>Erreur : la racine double correspond à Δ = 0. Avec
Δ < 0, il n'y a aucune racine réelle.]]>Le trinôme change de signe en x = -b/2a]]>Erreur : -b/2a est l'abscisse du sommet, pas un
point de changement de signe. Sans racine, aucun changement
de signe n'est possible.]]>Le second degré — Q10 : Factoriser un trinômeQuelle est la forme factorisée de x² - x - 6 ?]]>Racines de x² - x - 6 : Δ = 1 + 24 = 25,
x = 1 ± 5/2, soit 3 et -2. D'où la
factorisation a(x - x₁)(x - x₂) = (x - 3)(x + 2).]]>1.00.00truetrueabc(x - 3)(x + 2)]]>Bonne réponse : les racines sont 3 et -2 (avec
Δ = 25), donc
x² - x - 6 = (x - 3)(x - (-2)) = (x-3)(x+2).]]>(x + 3)(x - 2)]]>Erreur de signes : ce produit se développe en
x² + x - 6. Vérifie toujours le terme en x après
factorisation.]]>(x - 6)(x + 1)]]>Erreur : ce produit vaut x² - 5x - 6. Le produit des
racines doit valoir -6 et leur somme 1 : c'est
3 et -2, pas 6 et -1.]]>(x - 2)(x - 3)]]>Erreur : ce produit vaut x² - 5x + 6, dont le terme
constant est +6. Ici il faut un produit de racines égal à
-6, donc deux racines de signes opposés.]]>Le second degré — Q11 : Résoudre une inéquation du second degréQuel est l'ensemble des solutions de l'inéquation
x² - 2x - 8 < 0 ?]]>Δ = 4 + 32 = 36, racines 2 ± 6/2 = 4 et
-2. Avec a > 0, le trinôme est strictement négatif entre ses
racines : S = ]-2 ; 4[.]]>1.00.00truetrueabc]-2 ; 4[]]>Bonne réponse : les racines sont -2 et 4
(Δ = 36), et comme a = 1 > 0, le trinôme est
négatif strictement entre ses racines.]]>]-∞ ; -2[ ∪ ]4 ; +∞[]]>Erreur de règle : à l'extérieur des racines, le trinôme est
du signe de a = 1 > 0, donc positif. La partie négative
est entre les racines.]]>[-2 ; 4]]]>Attention au strict : l'inégalité est < 0, or le trinôme
s'annule en -2 et 4. Ces bornes sont donc exclues :
intervalle ouvert.]]>]2 ; 4[]]>Erreur de calcul des racines : x = 2 ± 6/2
donne 4 et -2, pas 2. Reprends la formule
x = \dfrac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a}.]]>Le second degré — Q12 : Extremum d'un trinômeSoit f(x) = 2x² - 8x + 1. Quel est l'extremum de f sur
ℝ, et en quelle valeur de x est-il atteint ?]]>L'extremum d'un trinôme est atteint en x = -b/2a = 2 ;
f(2) = -7. Le signe de a (2 > 0) indique que la parabole
est tournée vers le haut : c'est un minimum.]]>1.00.00truetrueabcUn minimum égal à -7, atteint en x = 2]]>Bonne réponse : x = -b/2a = 8/4 = 2 et
f(2) = 8 - 16 + 1 = -7. Comme a = 2 > 0, c'est un
minimum.]]>Un maximum égal à -7, atteint en x = 2]]>Erreur d'orientation : a = 2 > 0, la parabole est tournée
vers le haut, son sommet est donc un minimum.]]>Un minimum égal à 1, atteint en x = 0]]>Erreur : 1 = f(0) est l'ordonnée à l'origine, pas
l'extremum. Le sommet est en x = -b/2a = 2.]]>Un minimum égal à -7, atteint en x = -2]]>Erreur de signe : -b/2a = --8/4 = +2.
Le moins de la formule et celui de b = -8 se compensent.]]>