$course$/QCM de maths/Première spécialité/Suites numériques, modèles discrets Modes de génération d'une suite (formule explicite, relation de
récurrence), suites arithmétiques et géométriques : terme
général, sommes 1 + 2 + ⋯ + n et 1 + q + ⋯ + qⁿ,
sens de variation, modélisation d'évolutions discrètes et
intuition de la notion de limite.

]]> Suites numériques, modèles discrets — Q01 : Reconnaître une suite arithmétique Soit (uₙ) définie par u₀ = 2 et uₙ₊₁ = uₙ + 5.
Quelle est la nature de cette suite ?

]]> Suite arithmétique : uₙ₊₁ = uₙ + r (accroissement
constant r) ; suite géométrique : uₙ₊₁ = q × uₙ
(taux constant). Ici : arithmétique, r = 5.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Arithmétique de raison 5

]]> Bonne réponse : on passe d'un terme au suivant en
ajoutant toujours 5 : c'est la définition d'une
suite arithmétique de raison 5.

]]> Géométrique de raison 5

]]> Erreur : géométrique signifierait multiplier par 5 à
chaque étape (uₙ₊₁ = 5uₙ). Ici on ajoute.

]]> Arithmétique de raison 2

]]> Erreur : 2 est le premier terme u₀, pas la
raison. La raison est le nombre ajouté à chaque étape :
5.

]]> Ni arithmétique ni géométrique

]]> Erreur : l'ajout d'une constante à chaque rang est
exactement le modèle arithmétique.

]]> Suites numériques, modèles discrets — Q02 : Terme général d'une suite arithmétique Soit (uₙ) arithmétique de premier terme u₀ = 3 et de
raison r = 2. Que vaut u₁₀ ?

]]> Terme général d'une suite arithmétique (démonstration au
programme) : uₙ = u₀ + n r. Ici u₁₀ = 3 + 10 × 2 = 23. Lien avec les fonctions affines : uₙ = f(n) avec
f(x) = 2x + 3.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc 23

]]> Bonne réponse : uₙ = u₀ + n r, donc
u₁₀ = 3 + 10 × 2 = 23.

]]> 21

]]> Erreur d'indice : 21 = 3 + 9 × 2 utilise la formule
u₀ + (n-1)r, valable pour un premier terme u₁. Avec
u₀, on ajoute n fois la raison.

]]> 3 × 2¹⁰ = 3072

]]> Erreur de modèle : les puissances relèvent des suites
géométriques. Une arithmétique avance par additions :
u₁₀ = 3 + 20.

]]> 30

]]> Erreur : 30 = 3 × 10 multiplie le premier terme par
l'indice. La formule est u₀ + n r = 3 + 20 = 23.

]]> Suites numériques, modèles discrets — Q03 : Terme général d'une suite géométrique Soit (vₙ) géométrique de premier terme v₀ = 5 et de
raison q = 2. Que vaut v₄ ?

]]> Terme général d'une suite géométrique (démonstration au
programme) : vₙ = v₀ × qⁿ. Ici 5 × 2⁴ = 80.
Lien avec l'exponentielle : croissance à taux constant.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc 80

]]> Bonne réponse : vₙ = v₀ × qⁿ, donc
v₄ = 5 × 2⁴ = 5 × 16 = 80.

]]> 40

]]> Erreur d'exposant : 40 = 5 × 2³. De v₀ à
v₄, on multiplie quatre fois par la raison :
q⁴ = 16.

]]> 13

]]> Erreur de modèle : 13 = 5 + 4 × 2 est le calcul
arithmétique. Une géométrique multiplie :
5 × 2⁴.

]]> 625

]]> Erreur : 625 = 5⁴ élève le premier terme à la
puissance. La formule est v₀ × qⁿ : seule la
raison porte l'exposant.

]]> Suites numériques, modèles discrets — Q04 : Reconnaître une suite géométrique Les premiers termes d'une suite sont 3, 6, 12, 24.
Quel modèle reconnaît-on ?

]]> Réflexe de diagnostic : différences constantes →
arithmétique ; rapports constants → géométrique. Ici
chaque terme est le double du précédent : géométrique de
raison 2.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Une suite géométrique de raison 2

]]> Bonne réponse : le rapport de deux termes consécutifs
est constant : 6/3 = 12/6 = 24/12 = 2.

]]> Une suite arithmétique de raison 3

]]> Erreur : les écarts valent 3, 6, 12 : ils ne sont
pas constants. C'est le quotient qui l'est : modèle
géométrique.

]]> Une suite géométrique de raison 3

]]> Erreur : 3 est le premier terme. La raison est le
rapport entre termes consécutifs : 2.

]]> Ni arithmétique ni géométrique

]]> Erreur : le rapport constant 2 signe une suite
géométrique (chaque terme double).

]]> Suites numériques, modèles discrets — Q05 : Sens de variation Soit (uₙ) définie par u_n = 3 \times 0{,}8^n. Quel est le
sens de variation de cette suite ?

]]> Suite géométrique de premier terme positif : croissante si
q > 1, décroissante si 0 < q < 1, constante si q = 1.
Ici q = 0{,}8 : décroissante (modèle des décroissances à
taux constant).

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Décroissante

]]> Bonne réponse : chaque terme est multiplié par
0{,}8 < 1 (et les termes sont positifs) : la suite
diminue à chaque rang.

]]> Croissante

]]> Erreur : multiplier par un nombre entre 0 et 1
réduit une quantité positive : 3 ; 2{,}4 ;
1{,}92…

]]> Constante

]]> Erreur : constante exigerait une raison q = 1. Ici
q = 0{,}8 \neq 1.

]]> Ni croissante ni décroissante

]]> Erreur : le signe de u_{n+1} - u_n = 3 \times 0{,}8^n
\times (0{,}8 - 1) < 0 est constant : décroissance à
chaque rang.

]]> Suites numériques, modèles discrets — Q06 : La somme $1 + 2 + \cdots + n$ Que vaut la somme 1 + 2 + 3 + ⋯ + 100 ?

]]> Formule (démonstration au programme) : 1 + 2 + ⋯ + n = n(n+1)/2. Idée de la preuve : écrire la somme dans
les deux sens et additionner, chaque colonne vaut n + 1.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc 5050

]]> Bonne réponse : 1 + 2 + ⋯ + n = n(n+1)/2,
donc 100 × 101/2 = 5050 (la légende de
Gauss écolier).

]]> 10 100

]]> Oubli de la division par 2 : 100 × 101 compte
chaque paire deux fois (la somme à l'endroit plus la somme
à l'envers).

]]> 5000

]]> Erreur : 5000 = 100 × 100/2. Le second
facteur est n + 1 = 101, d'où 5050.

]]> 4950

]]> Erreur : 4950 = 99 × 100/2 est la somme
1 + ⋯ + 99. Il manque le terme 100.

]]> Suites numériques, modèles discrets — Q07 : Somme de termes d'une suite géométrique Que vaut la somme 1 + 2 + 4 + 8 + ⋯ + 2⁹ ?

]]> Formule (démonstration au programme) : 1 + q + \cdots + q^n
= \dfrac{1 - q^{n+1}}{1 - q} pour q ≠ 1. Avec q = 2,
n = 9 : 2¹⁰ - 1 = 1023.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc 2¹⁰ - 1 = 1023

]]> Bonne réponse : 1 + q + \cdots + q^n =
\dfrac{1 - q^{n+1}}{1 - q}, ici \dfrac{1 - 2^{10}}{1 -
2} = 2^{10} - 1.

]]> 1024

]]> Presque : 1024 = 2¹⁰ est le terme suivant de la
suite. La somme des dix premiers termes vaut un de moins :
1023.

]]> 512

]]> Erreur : 512 = 2⁹ n'est que le dernier terme de la
somme, pas la somme elle-même.

]]> 2046

]]> Erreur : 2046 = 2¹¹ - 2 correspondrait à la somme
2 + 4 + ⋯ + 2¹⁰. Notre somme commence à 1 = 2⁰ et s'arrête à 2⁹.

]]> Suites numériques, modèles discrets — Q08 : Modes de génération d'une suite La suite définie par u₀ = 1 et uₙ₊₁ = 2uₙ + 1 est
donnée par :

]]> Deux grands modes de génération : explicite (uₙ = f(n),
accès direct au rang n) et par récurrence (uₙ₊₁ = f(uₙ), calcul de proche en proche). Passer de l'un à l'autre
est un enjeu du chapitre.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Une relation de récurrence

]]> Bonne réponse : chaque terme se calcule à partir du
précédent : pour connaître u₁₀, on remonte de
proche en proche (ou on cherche une formule explicite).

]]> Une formule explicite

]]> Erreur : une formule explicite donnerait uₙ
directement en fonction de n (comme uₙ = 2ⁿ⁺¹ - 1, qui est d'ailleurs la version explicite de cette
suite).

]]> La définition d'une suite arithmétique

]]> Erreur : la présence du facteur 2 devant uₙ sort du
modèle arithmétique (uₙ₊₁ = uₙ + r).

]]> La définition d'une suite géométrique

]]> Erreur : le +1 sort du modèle géométrique (uₙ₊₁ = q uₙ). C'est un mélange des deux (suite
arithmético-géométrique, étudiée en terminale).

]]> Suites numériques, modèles discrets — Q09 : Modéliser un placement Un capital de 1000 euros est placé à 3\ % d'intérêts par
an (intérêts composés). On note Cₙ le capital après n
années. Quelle est la nature de la suite (Cₙ) ?

]]> Automatisme central (au programme) : une évolution à taux
fixe se modélise par une suite géométrique de raison le
coefficient multiplicateur. +3\ % par an :
C_n = 1000 \times 1{,}03^n.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Géométrique de raison 1{,}03

]]> Bonne réponse : chaque année, le capital est multiplié par
1{,}03 (coefficient multiplicateur de +3\ %) :
C_{n+1} = 1{,}03\,C_n.

]]> Arithmétique de raison 30

]]> Erreur : +30 euros par an vaudrait pour des intérêts
simples (toujours calculés sur 1000). Composés, les
intérêts produisent des intérêts : modèle multiplicatif.

]]> Géométrique de raison 0{,}03

]]> Erreur : multiplier par 0{,}03 réduirait le capital à
3\ % de sa valeur ! Le coefficient d'une hausse de
3\ % est 1 + 0{,}03 = 1{,}03.

]]> Géométrique de raison 3

]]> Erreur : raison 3 signifierait tripler chaque année. Le
taux se convertit en coefficient : 1{,}03.

]]> Suites numériques, modèles discrets — Q10 : Taux d'évolution équivalent Une population augmente de 10\ % par an pendant deux ans.
Quel est le taux d'évolution global sur les deux ans ?

]]> Évolutions successives (automatisme) : on multiplie les
coefficients. n années à +10\ % : coefficient
1{,}1^n : c'est exactement le lien entre taux fixe et suite
géométrique.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc +21\ %

]]> Bonne réponse : les coefficients se multiplient :
1{,}1 \times 1{,}1 = 1{,}21, soit +21\ % (les
10\ % de la deuxième année portent sur une base déjà
augmentée).

]]> +20\ %

]]> Le piège additif : les taux ne s'additionnent pas. La
deuxième hausse s'applique à la population déjà
augmentée : 1{,}1^2 = 1{,}21.

]]> +121\ %

]]> Confusion : 1{,}21 est le coefficient ; le taux
d'évolution en est la partie au-delà de 1 : 21\ %.

]]> +12\ %

]]> Erreur : aucun calcul ne mène à 12\ %. Deux hausses de
10\ % composées : 1{,}1 \times 1{,}1 = 1{,}21.

]]> Suites numériques, modèles discrets — Q11 : Conjecturer une limite Soit uₙ = 1/n pour n ≥ 1 : les termes valent
1 ; 0{,}5 ; 0{,}33\ldots ; 0{,}25… Que peut-on
conjecturer sur le comportement de (uₙ) quand n devient
très grand ?

]]> Sensibilisation à la limite (au programme, sans
formalisation) : observer numériquement le comportement des
termes pour n grand. 1/n tend vers 0,
qⁿ (0<q<1) aussi, n² devient arbitrairement grand.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Les termes se rapprochent de 0 : la suite semble tendre
vers 0

]]> Bonne réponse : u_{1000} = 0{,}001,
u_{10^6} = 0{,}000001 : les termes s'écrasent vers 0
sans jamais l'atteindre. (La formalisation de la limite
attendra la terminale.)

]]> La suite tend vers 1

]]> Erreur : 1 n'est que le premier terme. La suite
s'en éloigne dès le rang 2 et continue de descendre.

]]> Les termes finissent par devenir négatifs

]]> Erreur : 1/n reste strictement positif pour
tout n ≥ 1 : la suite s'approche de 0 par valeurs
positives.

]]> La suite n'a aucun comportement prévisible

]]> Erreur : la décroissance vers 0 est parfaitement
régulière : c'est l'exemple type d'une suite qui « tend
vers » une valeur.

]]> Suites numériques, modèles discrets — Q12 : Suite définie par un motif Pour n ≥ 1, on note uₙ = n² le nombre de carreaux
d'un carré de côté n : 1, 4, 9, 16… Cette suite
est-elle arithmétique ou géométrique ?

]]> Toutes les suites ne sont pas arithmétiques ou géométriques !
Les suites de motifs (nombres figurés) en donnent des exemples
naturels : uₙ = n² a des accroissements arithmétiques
(2n+1 : les nombres impairs), mais n'est ni arithmétique ni
géométrique.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Ni l'une ni l'autre : les écarts (3, 5, 7…) et les
quotients varient

]]> Bonne réponse : les différences uₙ₊₁ - uₙ = 2n + 1
croissent, et les rapports 4/1 ≠ 9/4
varient : aucun des deux modèles ne convient.

]]> Arithmétique, car les termes augmentent régulièrement

]]> Erreur : « augmenter régulièrement » ne suffit pas :
l'arithmétique exige un écart constant. Ici les écarts
3, 5, 7 grandissent.

]]> Géométrique, car 4 = 4 × 1

]]> Erreur : le rapport suivant vaut \dfrac{9}{4} = 2{,}25
\neq 4 : le quotient n'est pas constant.

]]> Arithmétique de raison 3

]]> Erreur : l'écart 3 ne tient qu'entre u₁ et u₂ ;
ensuite 9 - 4 = 5. Une seule vérification ne suffit
jamais.

]]> Suites numériques, modèles discrets — Q13 : Ni arithmétique, ni géométrique La suite définie par uₙ = n² est-elle arithmétique ou
géométrique ?

]]> Beaucoup de suites ne sont d'aucun des deux modèles : le
test (différence constante ? quotient constant ?) doit être
vérifié sur tous les rangs, et un seul contre-exemple
suffit à réfuter.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Ni l'une ni l'autre : les différences valent 1, 3, 5, … et les quotients varient aussi

]]> Bonne réponse : u₁ - u₀ = 1 mais u₂ - u₁ = 3 :
pas de raison additive ; u₂/u₁ = 4 mais
u₃/u₂ = 9/4 : pas de raison
multiplicative.

]]> Arithmétique de raison 2

]]> Erreur : u₁ - u₀ = 1 ≠ u₂ - u₁ = 3 : la
différence n'est pas constante (elle augmente de 2 à
chaque pas, mais ce n'est pas la définition).

]]> Géométrique de raison n

]]> Erreur de concept : une raison est une constante :
un quotient qui dépend de n disqualifie la suite.

]]> Les deux à la fois

]]> Erreur : seules les suites constantes (non nulles)
cumulent les deux statuts : n² n'est ni l'un ni
l'autre.

]]> Suites numériques, modèles discrets — Q14 : Retrouver raison et premier terme Une suite arithmétique vérifie u₃ = 11 et u₇ = 23. Que
valent la raison r et u₀ ?

]]> Entre deux termes d'une suite arithmétique : u_q = uₚ + (q - p)r, d'où r = u_q - uₚ/q - p : une pente,
exactement comme pour une droite. Puis on remonte à u₀.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc r = 3 et u₀ = 2

]]> Bonne réponse : de u₃ à u₇ : 4 pas pour +12,
donc r = 3 ; puis u₀ = u₃ - 3r = 11 - 9 = 2.

]]> r = 12 et u₀ = 11

]]> Erreur : 12 est l'écart total sur 4 rangs : la
raison est l'écart par pas : 12/4 = 3.

]]> r = 3 et u₀ = 11

]]> Erreur : 11 = u₃, pas u₀ : il faut reculer de
trois pas : 11 - 9 = 2.

]]> r = 4 et u₀ = -1

]]> Erreur : 4 est le nombre de pas entre u₃ et
u₇, pas la raison (23 - 11/7 - 3 = 3).

]]> Suites numériques, modèles discrets — Q15 : Somme de termes en progression arithmétique Que vaut la somme 5 + 8 + 11 + … + 35 (termes en
progression arithmétique de raison 3) ?

]]> Somme arithmétique = (nombre de termes) × (premier +
dernier)/2 : la méthode de Gauss. Deux pièges : compter les
termes (écarts + 1) et diviser la somme des extrêmes par
2.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc 220 : onze termes de moyenne 5 + 35/2 = 20

]]> Bonne réponse : nombre de termes : 35 - 5/3 + 1 = 11 ; somme = nombre de termes × moyenne des
extrêmes : 11 × 20 = 220.

]]> 200 : dix termes de moyenne 20

]]> Terme manquant : 35 - 5/3 = 10 compte les
écarts, pas les termes : il y en a 10 + 1 = 11 (le
piège du « +1 »).

]]> 440

]]> Division oubliée : 11 × 40 prend la somme des
extrêmes au lieu de leur moyenne : diviser par 2.

]]> 40

]]> Erreur : 5 + 35 = 40 n'additionne que les deux bouts :
la formule multiplie leur moyenne par le nombre de
termes.

]]> Suites numériques, modèles discrets — Q16 : Variation par la différence Une suite vérifie uₙ₊₁ - uₙ = 2n + 1 pour tout n.
Que peut-on en conclure ?

]]> Méthode reine pour les variations : étudier le signe de
uₙ₊₁ - uₙ. Positif pour tout n : croissante ;
négatif : décroissante. (Pour les suites à termes positifs,
comparer \frac{u_{n+1}}{u_n} à 1 marche aussi.)

]]> 1.0 0.0 0 true true abc La suite est strictement croissante, car 2n + 1 > 0
pour tout n ≥ 0

]]> Bonne réponse : la différence uₙ₊₁ - uₙ est
positive à chaque rang : chaque terme dépasse le
précédent : croissance stricte (sans connaître u₀ !).

]]> La suite est arithmétique de raison 2n + 1

]]> Erreur : une raison doit être constante : ici la
différence grandit avec n : croissante oui,
arithmétique non.

]]> On ne peut rien dire sans connaître u₀

]]> Erreur : le sens de variation ne dépend que du signe
des différences : u₀ fixe le point de départ, pas
la pente.

]]> La suite est décroissante

]]> Signe mal lu : 2n + 1 ≥ 1 > 0 : les différences
sont toutes positives : la suite monte.

]]> Suites numériques, modèles discrets — Q17 : Dépassement de seuil Un capital de 1 000 euros est placé à 5\ % par an
(suite c_n = 1000 \times 1{,}05^n). À partir de quelle
année dépasse-t-il 2 000 euros, sachant que
1{,}05^{14} \approx 1{,}98 et 1{,}05^{15} \approx
2{,}08 ?

]]> Recherche de seuil pour une suite géométrique : premier n
tel que qⁿ dépasse le rapport visé : par balayage
(calculatrice ou boucle while c < 2000). La réponse est le
PREMIER rang qui franchit, à vérifier des deux côtés.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Au bout de 15 ans

]]> Bonne réponse : il faut 1{,}05^n > 2 : encore
1{,}98 < 2 au rang 14, et 2{,}08 > 2 au rang
15 : premier dépassement à n = 15.

]]> Au bout de 14 ans

]]> Lecture trop rapide : 1000 \times 1{,}98 = 1980 <
2000 : le seuil n'est pas encore franchi au rang 14.

]]> Au bout de 20 ans : 5\ % × 20 = 100\ %

]]> Raisonnement linéaire sur un phénomène multiplicatif :
les intérêts composés s'accumulent plus vite : le
doublement arrive dès 15 ans.

]]> Jamais : le capital croît de moins en moins

]]> Contresens : la croissance géométrique de raison > 1
s'accélère en valeur absolue : tout seuil finit par
tomber.

]]> Suites numériques, modèles discrets — Q18 : Le cas mixte $u_{n+1} = 2u_n + 3$ La suite définie par u₀ = 1 et uₙ₊₁ = 2uₙ + 3
est-elle arithmétique ou géométrique ?

]]> uₙ₊₁ = auₙ + b (avec a ≠ 1, b ≠ 0) : suite
arithmético-géométrique : aucun des deux modèles purs.
Le test numérique sur trois termes suffit toujours à le
montrer. (Leur étude complète attend la terminale.)

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Ni l'une ni l'autre : les premiers termes 1, 5, 13, 29 n'ont ni différence ni quotient constants

]]> Bonne réponse : différences 4, 8, 16 (variables),
quotients 5, 2{,}6, 2{,}23 (variables aussi) : le
mélange « fois 2 plus 3 » sort des deux modèles
purs.

]]> Géométrique de raison 2

]]> Le +3 gâche tout : u₁/u₀ = 5 ≠ 2 :
sans le terme additif, elle serait géométrique ; avec,
elle ne l'est plus.

]]> Arithmétique de raison 3

]]> Le × 2 gâche tout : u₁ - u₀ = 4 ≠ 3 : le
doublement rompt la régularité additive.

]]> Arithmétique ET géométrique

]]> Erreur : cumuler les deux exigerait une suite constante ;
celle-ci explose (1, 5, 13, 29, …).

]]>