$course$/QCM de maths/Première spécialité/Trigonométrie Cercle trigonométrique, radian et longueur d'arc, enroulement de
la droite des réels, cosinus et sinus d'un nombre réel, lien
avec le triangle rectangle, valeurs remarquables, relation
cos² x + sin² x = 1, angles associés (opposés,
plus un tour).

]]> Trigonométrie — Q01 : Degrés et radians À combien de radians correspond un angle de 90° ?

]]> Le radian mesure un angle par la longueur d'arc sur le
cercle de rayon 1 : tour complet = 2π, demi-tour = π, quart de tour = π/2. Conversion : x° = x × π/180 rad.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc π/2

]]> Bonne réponse : le tour complet (360°) mesure 2π
radians, donc le quart de tour vaut 2π/4 = π/2.

]]> π

]]> Erreur : π radians est le demi-tour (180°). Le
quart de tour en est la moitié : π/2.

]]> π/4

]]> Erreur : π/4 correspond à 45° (le huitième
de tour).

]]> 90π

]]> Erreur : on ne multiplie pas les degrés par π. La
conversion : 180° = π rad, donc 90° = π/2.

]]> Trigonométrie — Q02 : Enroulement de la droite Sur le cercle trigonométrique, quel point est associé au réel
π/2 par l'enroulement de la droite des réels ?

]]> L'enroulement part de I(1 ; 0) et parcourt le cercle dans
le sens direct (antihoraire) sur une longueur égale au réel :
π/2 → (0 ; 1), π → (-1 ; 0),
2π → retour en I.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Le point de coordonnées (0 ; 1)

]]> Bonne réponse : partant de I(1 ; 0) et parcourant un
quart de tour dans le sens direct (longueur d'arc
π/2), on atteint le sommet du cercle.

]]> Le point de coordonnées (1 ; 0)

]]> Erreur : (1 ; 0) est le point de départ, associé
au réel 0.

]]> Le point de coordonnées (0 ; -1)

]]> Erreur : (0 ; -1) est atteint pour -π/2
(quart de tour dans le sens indirect) ou pour
3π/2.

]]> Le point de coordonnées (1 ; 1)

]]> Erreur : ce point n'est même pas sur le cercle (sa
distance à l'origine vaut √2 ≠ 1).

]]> Trigonométrie — Q03 : Lire cosinus et sinus sur le cercle [Figure : Cercle trigonométrique de centre O. Le point M est sur le
cercle, dans le premier quadrant, repéré par l'angle pi/3
depuis le point I(1 ; 0). Des pointillés relient M à
l'abscisse 1/2 sur l'axe horizontal et à l'ordonnée
racine de 3 sur 2 sur l'axe vertical.]

Sur le cercle trigonométrique ci-dessous, le point M est
associé au réel π/3. Quelles sont ses
coordonnées ?

]]> Définition centrale : le point associé à x a pour
coordonnées (cos x ; sin x). Pour π/3 :
\left(\frac{1}{2}\,;\,\frac{\sqrt{3}}{2}\right).

]]> 1.0 0.0 0 true true abc M\left(\dfrac{1}{2}\,;\,\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)

]]> Bonne réponse : par définition, M(cos x ; sin x) :
les pointillés donnent cosπ/3 = ½
(abscisse) et \sin\frac{\pi}{3} = \frac{\sqrt{3}}{2}
(ordonnée).

]]> M\left(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\,;\,\dfrac{1}{2}\right)

]]> Coordonnées échangées : ce point correspondrait à
π/6 (angle plus proche de l'axe horizontal,
donc grande abscisse et petite ordonnée).

]]> M(π/3 ; 0)

]]> Erreur : π/3 est l'angle (la longueur
d'arc), pas une coordonnée. Les coordonnées du point sont
le cosinus et le sinus.

]]> M(½ ; ½)

]]> Erreur : ce point n'est pas sur le cercle
((½)² + (½)² = ½ ≠ 1). L'ordonnée de M vaut
\frac{\sqrt{3}}{2}.

]]> Trigonométrie — Q04 : Définition de cosinus et sinus Soit M le point du cercle trigonométrique associé au réel
x. Comment sont définis cos x et sin x ?

]]> Pour tout réel x : M(cos x ; sin x) sur le cercle
trigonométrique. Conséquence immédiate : -1 ≤ cos x ≤ 1 et -1 ≤ sin x ≤ 1.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc cos x est l'abscisse de M et sin x son ordonnée

]]> Bonne réponse : c'est la définition du programme, qui
étend le cosinus et le sinus à tous les réels.

]]> cos x est l'ordonnée de M et sin x son abscisse

]]> Rôles échangés : le cosinus est l'abscisse
(horizontale). Vérifie en x = 0 : le point (1 ; 0)
donne bien cos 0 = 1 et sin 0 = 0.

]]> cos x est la longueur de l'arc parcouru

]]> Erreur : la longueur d'arc est le réel x lui-même
(c'est le principe du radian). Le cosinus en est
l'abscisse du point d'arrivée.

]]> cos x et sin x ne sont définis que pour
x ∈ [0 ; 2π]

]]> Erreur : l'enroulement fonctionne pour tout réel (on peut
faire plusieurs tours, ou tourner en sens inverse) :
cosinus et sinus sont définis sur ℝ.

]]> Trigonométrie — Q05 : Une valeur remarquable Que vaut sinπ/4 ?

]]> Valeurs remarquables (dans l'ordre π/6,
π/4, π/3) : sinus ½,
\frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2} : et cosinus dans
l'ordre inverse. En π/4, symétrie : \cos = \sin =
\frac{\sqrt{2}}{2}.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc \dfrac{\sqrt{2}}{2}

]]> Bonne réponse : à 45°, le point du cercle est sur la
bissectrice : abscisse et ordonnée égales, valant
\dfrac{\sqrt{2}}{2} (démonstration au programme).

]]> ½

]]> Erreur : ½ est sinπ/6 (ou
cosπ/3). Pour π/4 :
\dfrac{\sqrt{2}}{2} \approx 0{,}707.

]]> \dfrac{\sqrt{3}}{2}

]]> Erreur : \dfrac{\sqrt{3}}{2} est sinπ/3
(angle plus ouvert, ordonnée plus haute).

]]> 1

]]> Erreur : le sinus n'atteint 1 qu'au quart de tour
complet, x = π/2.

]]> Trigonométrie — Q06 : La relation $\cos^2 x + \sin^2 x = 1$ Soit x ∈ [0 ; π/2] tel que
\sin x = 0{,}6. Que vaut cos x ?

]]> cos² x + sin² x = 1 (théorème de Pythagore sur le
cercle de rayon 1). On en tire l'un connaissant l'autre, au
signe près, tranché par le quadrant.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc 0{,}8

]]> Bonne réponse : \cos^2 x = 1 - 0{,}36 = 0{,}64, et sur
[0 ; π/2] le cosinus est
positif : \cos x = 0{,}8.

]]> 0{,}4

]]> Erreur : 1 - 0{,}6 = 0{,}4 soustrait les valeurs au
lieu de leurs carrés. La relation est
cos² x + sin² x = 1.

]]> \pm 0{,}8

]]> Incomplet : l'équation du carré donne bien deux
candidats, mais l'hypothèse x ∈ [0 ; π/2] (premier
quadrant) force le cosinus positif.

]]> 0{,}64

]]> Presque : 0{,}64 est cos² x. Il reste à prendre la
racine : \cos x = 0{,}8.

]]> Trigonométrie — Q07 : Ajouter un tour Le réel 9π/4 est associé au même point du cercle
que lequel de ces réels ?

]]> Deux réels correspondent au même point si et seulement si leur
différence est un multiple de 2π (nombre entier de
tours). 9π/4 = π/4 + 2π : d'où
cos9π/4 = cosπ/4.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc π/4

]]> Bonne réponse : 9π/4 = π/4 + 2π : un tour complet de plus, même point d'arrivée.

]]> π/2

]]> Erreur : 9π/4 - π/2 = 7π/4, qui n'est pas un multiple de 2π :
points différents.

]]> 3π/4

]]> Erreur : l'écart vaut 6π/4 = 3π/2,
pas un tour complet.

]]> -π/4

]]> Erreur : 9π/4 - (-π/4) = 10π/4 = 5π/2 : pas un multiple
de 2π. (-π/4 est le symétrique de π/4,
pas le même point.)

]]> Trigonométrie — Q08 : Angles opposés Que vaut sin(-π/6) ?

]]> Angles opposés : cos(-x) = cos x et sin(-x) = -sin x
(symétrie par rapport à l'axe des abscisses sur le cercle).

]]> 1.0 0.0 0 true true abc -½

]]> Bonne réponse : les points associés à x et -x sont
symétriques par rapport à l'axe des abscisses : même
cosinus, sinus opposés. sinπ/6 = ½, donc sin(-π/6) = -½.

]]> ½

]]> Erreur : c'est le cosinus qui résiste au changement de
signe de l'angle. Le sinus (l'ordonnée) bascule sous
l'axe : -½.

]]> -\dfrac{\sqrt{3}}{2}

]]> Erreur de valeur : \dfrac{\sqrt{3}}{2} est le sinus de
π/3, pas de π/6.

]]> \dfrac{\sqrt{3}}{2}

]]> Double erreur : mauvaise valeur remarquable et signe
oublié. sin(-π/6) = -½.

]]> Trigonométrie — Q09 : Lien avec le triangle rectangle Dans un triangle rectangle, l'angle aigu θ a un côté
adjacent de longueur 3 et une hypoténuse de longueur 5.
Que vaut cosθ ?

]]> Cohérence avec le collège (au programme) : pour un angle aigu,
la définition du cercle redonne
cosθ = adjacent/hypoténuse et
sinθ = opposé/hypoténuse. Ici :
triangle 3-4-5.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc ⅗

]]> Bonne réponse : cosθ = côté adjacent/hypoténuse = ⅗ (et le
troisième côté vaut 4 : sinθ = ⅘).

]]> ⅘

]]> Erreur : ⅘ est le sinus (côté opposé,
qui vaut 4 par Pythagore, sur hypoténuse).

]]> 5/3

]]> Fraction renversée : un cosinus reste entre -1 et 1 ;
l'hypoténuse, plus grande, va au dénominateur.

]]> ¾

]]> Erreur : ¾ divise l'adjacent par l'opposé
(ce serait la tangente inverse…). Le cosinus rapporte à
l'hypoténuse : ⅗.

]]> Trigonométrie — Q10 : Placer un réel sur le cercle Dans quel quadrant du cercle trigonométrique se trouve le
point associé au réel 5π/6, et quels sont les
signes de son cosinus et de son sinus ?

]]> Placer un réel : le comparer aux multiples de
π/2. 5π/6 ∈ ]π/2 ; π[ : deuxième quadrant, \cos\frac{5\pi}{6} =
-\frac{\sqrt{3}}{2} < 0 et sin5π/6 = ½ > 0.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Deuxième quadrant (en haut à gauche) : cos < 0 et
sin > 0

]]> Bonne réponse : π/2 < 5π/6 < π :
entre le quart et le demi-tour. Abscisse négative,
ordonnée positive.

]]> Premier quadrant : cos > 0 et sin > 0

]]> Erreur : le premier quadrant s'arrête à π/2 = 3π/6 ; or 5π/6 le dépasse.

]]> Troisième quadrant : cos < 0 et sin < 0

]]> Erreur : le troisième quadrant commence à π = 6π/6, pas encore atteint par
5π/6.

]]> Deuxième quadrant : cos > 0 et sin < 0

]]> Signes inversés : en haut à gauche du cercle, l'abscisse
(cosinus) est négative et l'ordonnée (sinus)
positive.

]]> Trigonométrie — Q11 : Pourquoi $\cos\frac{\pi}{4} = \sin\frac{\pi}{4}$ ? Comment justifier que cosπ/4 = sinπ/4 ?

]]> L'angle π/4 est sur la bissectrice du premier quadrant :
abscisse = ordonnée. En injectant dans cos² x + sin² x = 1 : 2cos²π/4 = 1, d'où \cos\frac{\pi}{4} =
\frac{\sqrt{2}}{2}.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Le point associé à π/4 est sur la bissectrice
y = x : son abscisse égale son ordonnée

]]> Bonne réponse : à mi-chemin du quart de tour, le point est
sur la droite y = x. Avec cos² + sin² = 1, chaque
coordonnée vaut \frac{\sqrt{2}}{2} (démonstration au
programme).

]]> Parce que cos x = sin x pour tout x

]]> Erreur : cosinus et sinus diffèrent presque partout
(cos 0 = 1 ≠ 0 = sin 0). L'égalité en π/4
vient de la symétrie particulière de cet angle.

]]> Parce que les deux valent ½

]]> Erreur de valeur : elles valent \dfrac{\sqrt{2}}{2}
\approx 0{,}707. (Et (½)² + (½)² = ½ ≠ 1 :
le point ne serait pas sur le cercle.)

]]> C'est une convention sans justification

]]> Erreur : tout se démontre : symétrie du demi-quart de
tour (triangle rectangle isocèle) plus la relation
cos² + sin² = 1.

]]> Trigonométrie — Q12 : Le sens de parcours Quel point du cercle trigonométrique est associé au réel
-π/2 ?

]]> Convention : sens direct (antihoraire) pour les réels
positifs, sens indirect pour les négatifs.
-π/2 → (0 ; -1) : cohérent avec
cos(-π/2) = 0 et
sin(-π/2) = -1.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc (0 ; -1) : un quart de tour dans le sens indirect
(horaire)

]]> Bonne réponse : les réels négatifs s'enroulent dans le
sens indirect (celui des aiguilles d'une montre) :
quart de tour vers le bas.

]]> (0 ; 1)

]]> Erreur de sens : (0 ; 1) correspond à
+π/2 (sens direct). Le signe moins renverse
le sens de parcours.

]]> (-1 ; 0)

]]> Erreur : (-1 ; 0) correspond à π (ou -π) : un
demi-tour, pas un quart.

]]> (1 ; 0)

]]> Erreur : (1 ; 0) est le point de départ (réel 0, ou
tout multiple de 2π).

]]> Trigonométrie — Q13 : La valeur $\sin\dfrac{\pi}{3}$ Que vaut sinπ/3 ?

]]> Le trio à mémoriser : π/6, π/4, π/3 donnent pour sinus \frac{1}{2},
\frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2} (et les mêmes
valeurs en cosinus, dans l'ordre inverse).

]]> 1.0 0.0 0 true true abc \dfrac{\sqrt{3}}{2}

]]> Bonne réponse : à 60°, le point du cercle est haut :
grand sinus \frac{\sqrt{3}}{2}, petit cosinus
½.

]]> ½

]]> Échange : ½ est cosπ/3 (ou
sinπ/6) : à 60° le point est plus haut
que large.

]]> \dfrac{\sqrt{2}}{2}

]]> Erreur : \frac{\sqrt{2}}{2} appartient à
π/4 (45°), l'angle de l'égalité
sinus-cosinus.

]]> √3

]]> Trop grand : un sinus reste entre -1 et 1 ; or
\sqrt{3} \approx 1{,}73. Le bon rapport est
\frac{\sqrt{3}}{2}.

]]> Trigonométrie — Q14 : Cosinus de l'angle opposé Pour tout réel x, que vaut cos(-x) ?

]]> cos(-x) = cos x (cosinus pair), sin(-x) = -sin x
(sinus impair) : la symétrie par rapport à l'axe des
abscisses du cercle. Chaque formule d'angle associé EST une
symétrie du cercle : les visualiser plutôt que les réciter.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc cos x

]]> Bonne réponse : les points d'abscisses curvilignes x
et -x sont symétriques par rapport à l'axe
horizontal : même abscisse, donc même cosinus.

]]> -cos x

]]> Erreur : c'est le sinus qui change de signe
(sin(-x) = -sin x) : la symétrie horizontale
préserve l'abscisse.

]]> sin x

]]> Erreur : l'échange cosinus/sinus vient de
π/2 - x (angles complémentaires), pas de
l'opposé.

]]> 1 - cos x

]]> Erreur : aucune formule d'angle associé ne fait
apparaître de « 1 - » : les transformations donnent
±cos ou ±sin.

]]> Trigonométrie — Q15 : Cosinus de $\pi - x$ Pour tout réel x, que vaut cos(π - x) ?

]]> π - x (symétrie verticale) : cos bascule, sin
tient ; π + x (symétrie centrale) : les deux basculent ;
-x (symétrie horizontale) : sin bascule, cos tient.
Trois symétries, tout le jeu des angles associés.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc -cos x

]]> Bonne réponse : π - x est le symétrique de x par
rapport à l'axe vertical : l'abscisse change de
signe, l'ordonnée est conservée (sin(π - x) = sin x).

]]> cos x

]]> Erreur : la symétrie verticale renverse l'abscisse :
cos2π/3 = -cosπ/3 = -½, pas +½.

]]> -sin x

]]> Erreur : pas d'échange cosinus/sinus ici (réservé à
π/2 - x) : le supplémentaire donne
-cos x.

]]> sin x

]]> Erreur : sin x est la valeur de sin(π - x) : le
sinus est conservé par cette symétrie, le cosinus
bascule.

]]> Trigonométrie — Q16 : Mesure principale Quelle est la mesure principale (dans ]-π\ ;\ π]) de
l'angle 17π/4 ?

]]> Mesure principale : retirer (ou ajouter) des multiples de
2π jusqu'à tomber dans ]-π\ ;\ π]. Astuce :
écrire la fraction en quarts de tour (16π/4 = 4π = deux tours) rend le calcul mental.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc π/4

]]> Bonne réponse : 17π/4 = 4π + π/4 : deux tours complets, puis
π/4 : même point du cercle.

]]> 3π/4

]]> Erreur de soustraction : 17π/4 - 4π = 17π - 16π/4 = π/4 (retirer
16π/4, pas 14π/4).

]]> 17π/4 est déjà principale

]]> Erreur : \frac{17\pi}{4} \approx 4{,}25\pi > \pi :
hors de ]-π\ ;\ π] : il faut retirer des tours.

]]> -π/4

]]> Signe : après retrait de 2 tours (4π), il reste
+π/4, déjà dans l'intervalle : aucune raison
de basculer en négatif.

]]> Trigonométrie — Q17 : Calculer $\sin\dfrac{7\pi}{6}$ Que vaut sin7π/6 ?

]]> Méthode générale : décomposer l'angle par rapport à π ou
π/2 (7π/6 = π + π/6),
appliquer la formule d'angle associé, conclure avec la
valeur remarquable. Placer mentalement le point sur le
cercle valide le signe.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc -½

]]> Bonne réponse : 7π/6 = π + π/6 : symétrie centrale : sin(π + x) = -sin x = -½ (point dans le troisième
quadrant, sous l'axe).

]]> ½

]]> Signe : au-delà de π, le point passe sous l'axe
des abscisses : le sinus devient négatif.

]]> -\dfrac{\sqrt{3}}{2}

]]> Valeur : l'angle de référence est π/6, de
sinus ½ (\frac{\sqrt{3}}{2} appartient à
π/3).

]]> 7/6

]]> Erreur : un sinus reste dans [-1\ ;\ 1] : on
décompose l'angle (π + π/6) et on applique
la symétrie.

]]> Trigonométrie — Q18 : Coordonnées d'un point du cercle Quelles sont les coordonnées du point du cercle
trigonométrique associé au réel 2π/3 ?

]]> Point associé à x : (cos x\ ;\ sin x) : ici
2π/3 = π - π/3 : cosinus basculé,
sinus conservé. Réflexe de contrôle : quadrant 2 = (−, +).

]]> 1.0 0.0 0 true true abc \left(-\dfrac{1}{2}\ ;\ \dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)

]]> Bonne réponse : coordonnées = (cos\ ;\ sin) :
deuxième quadrant : cosinus négatif (-½),
sinus positif (\frac{\sqrt{3}}{2}).

]]> \left(\dfrac{1}{2}\ ;\ \dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)

]]> Signe du cosinus : 2π/3 > π/2 : le
point a dépassé la verticale : abscisse négative (ce
point-là est celui de π/3).

]]> \left(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\ ;\ -\dfrac{1}{2}\right)

]]> Coordonnées échangées et signe déplacé : l'abscisse est
le cosinus (-½), l'ordonnée le sinus
(+\frac{\sqrt{3}}{2}).

]]> \left(-\dfrac{\sqrt{3}}{2}\ ;\ \dfrac{1}{2}\right)

]]> Valeurs échangées : l'angle de référence π/3
donne cos = ½ (au signe près) et \sin =
\frac{\sqrt{3}}{2} : pas l'inverse.

]]>