$course$/QCM de maths/Première spécialité/Variables aléatoires réelles Variable aléatoire réelle sur un univers fini, loi de
probabilité, notations \{X = a\} et P(X ≤ a), espérance
(linéarité), variance et écart-type, formule de König-Huygens,
modélisation (jeux, gains) et notion de jeu équitable.

]]> Variables aléatoires réelles — Q01 : Qu'est-ce qu'une variable aléatoire ? Dans le cadre du programme (univers fini), qu'est-ce qu'une
variable aléatoire réelle X ?

]]> Variable aléatoire réelle : fonction X : Ω → ℝ. La notation \{X = a\} désigne l'événement
« l'issue obtenue a pour image a », de probabilité
P(X = a).

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Une fonction qui associe un nombre réel à chaque issue de
l'univers

]]> Bonne réponse : X transforme chaque issue en nombre
(un gain, un score, un temps…) : c'est la formalisation au
programme.

]]> Un nombre qui change tout le temps

]]> Trop vague : la variable est une fonction bien
définie sur l'univers ; c'est le résultat de l'expérience
qui est aléatoire, pas la règle d'affectation.

]]> Un événement particulier

]]> Erreur : un événement est un sous-ensemble de
l'univers. La variable aléatoire est une fonction à
valeurs réelles ; \{X = a\}, lui, est un événement.

]]> Une probabilité comprise entre 0 et 1

]]> Erreur : les valeurs de X sont des nombres quelconques
(gains négatifs compris) ; ce sont les P(X = a) qui
sont des probabilités.

]]> Variables aléatoires réelles — Q02 : Compléter une loi de probabilité La variable X prend les valeurs -1, 2 et 5 avec
P(X = -1) = 0{,}5 et P(X = 2) = 0{,}3. Que vaut
P(X = 5) ?

]]> Loi de probabilité de X : la donnée des valeurs xᵢ et
des probabilités pᵢ = P(X = xᵢ), positives et de somme
1. Ici : 0{,}2.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc 0{,}2

]]> Bonne réponse : la somme des probabilités de la loi vaut
1 : P(X = 5) = 1 - 0{,}5 - 0{,}3 = 0{,}2.

]]> 0{,}8

]]> Erreur : 0{,}8 = 0{,}5 + 0{,}3 est la somme des deux
probabilités connues ; la manquante en est le
complément à 1.

]]> 0{,}5

]]> Erreur : rien n'impose d'égaler la première probabilité.
La contrainte est la somme totale : 1.

]]> On ne peut pas savoir

]]> Erreur : la contrainte « somme = 1 » détermine
entièrement la probabilité manquante.

]]> Variables aléatoires réelles — Q03 : Calculer une espérance Avec la loi précédente (-1 avec 0{,}5 ; 2 avec
0{,}3 ; 5 avec 0{,}2), que vaut E(X) ?

]]> E(X) = ∑ xᵢ pᵢ : moyenne des valeurs pondérée par
les probabilités. Ici 1{,}1 : analogie directe avec la
moyenne pondérée des statistiques.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc 1{,}1

]]> Bonne réponse : E(X) = (-1)(0{,}5) + 2(0{,}3) +
5(0{,}2) = -0{,}5 + 0{,}6 + 1 = 1{,}1.

]]> 2

]]> Erreur : 2 = -1 + 2 + 5/3 est la moyenne
non pondérée des valeurs. L'espérance pondère chaque
valeur par sa probabilité.

]]> 6

]]> Erreur : 6 est la somme brute des valeurs, sans les
probabilités.

]]> 0{,}5

]]> Erreur : 0{,}5 est la probabilité la plus grande, pas
l'espérance. Formule : \sum x_i\,p_i = 1{,}1.

]]> Variables aléatoires réelles — Q04 : Interpréter l'espérance X désigne le gain (en euros) à un jeu, avec E(X) =
1{,}1. Quelle interprétation est correcte ?

]]> E(X) : valeur moyenne par répétition, sur un grand nombre
d'expériences. Un jeu d'espérance positive est favorable au
joueur en tendance, sans rien garantir sur une partie.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Sur un grand nombre de parties, le gain moyen par partie
est proche de 1{,}10 euro

]]> Bonne réponse : l'espérance est un gain moyen en
tendance, que les fréquences réalisent sur le long
terme (loi des grands nombres, vue en simulation).

]]> À chaque partie, on gagne exactement 1{,}10 euro

]]> Erreur : aucune partie ne rapporte 1{,}10 euro (les
gains possibles sont -1, 2 et 5) : l'espérance est
une moyenne, pas une valeur garantie.

]]> On gagne dans 1{,}1 partie sur 2

]]> Erreur : l'espérance n'est pas une fréquence de succès
(et « 1{,}1 sur 2 » n'a pas de sens). Elle moyenne
les montants.

]]> Le gain le plus probable est 1{,}10 euro

]]> Erreur : la valeur la plus probable est -1 (probabilité
0{,}5). L'espérance ne coïncide pas avec le mode.

]]> Variables aléatoires réelles — Q05 : Jeu équitable Quand dit-on qu'un jeu d'argent est équitable ?

]]> Jeu équitable : E(gain algébrique) = 0. Capacité
attendue type : ajuster une mise ou un lot pour annuler
l'espérance.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Lorsque l'espérance du gain algébrique (mise déduite) est
nulle

]]> Bonne réponse : en moyenne, ni le joueur ni l'organisateur
ne gagnent : E(X) = 0.

]]> Lorsque toutes les issues sont équiprobables

]]> Erreur : l'équité concerne l'espérance du gain, pas
l'uniformité des probabilités : un jeu peut être
équiprobable et très défavorable.

]]> Lorsqu'on gagne une fois sur deux

]]> Erreur : gagner souvent de petits montants et perdre
rarement de gros peut être défavorable : seul le bilan
moyen (l'espérance) juge l'équité.

]]> Lorsque la mise est faible

]]> Erreur : la modestie de la mise ne dit rien du rapport
entre mise et gains espérés.

]]> Variables aléatoires réelles — Q06 : Ce que mesure la variance Que mesure la variance V(X) d'une variable aléatoire ?

]]> V(X) = E((X - μ)²) avec μ = E(X) :
indicateur de dispersion (toujours positif), dont la racine
σ(X) (écart-type) s'exprime dans l'unité de X.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc La dispersion des valeurs de X autour de son espérance
(moyenne des carrés des écarts)

]]> Bonne réponse : V(X) = E((X - μ)²) :
plus les valeurs s'éloignent de μ en probabilité,
plus la variance est grande.

]]> La valeur moyenne de X

]]> Erreur : la valeur moyenne est l'espérance. La
variance mesure l'étalement autour d'elle.

]]> La probabilité que X dépasse sa moyenne

]]> Erreur : cette probabilité est un autre objet ; la
variance moyenne les carrés des écarts, dépassements
et déficits confondus.

]]> La plus grande valeur possible de X

]]> Erreur : le maximum ne dépend pas des probabilités ; la
variance, si : elle pèse chaque écart par sa probabilité.

]]> Variables aléatoires réelles — Q07 : Formule de König-Huygens Soit X telle que E(X) = 2 et E(X²) = 7. Que vaut
V(X) ?

]]> König-Huygens (au programme) : V(X) = E(X²) - E(X)² :
« moyenne des carrés moins carré de la moyenne ». Toujours
positif : E(X²) ≥ E(X)².

]]> 1.0 0.0 0 true true abc 3

]]> Bonne réponse : König-Huygens : V(X) = E(X²) - (E(X))² = 7 - 4 = 3.

]]> 5

]]> Erreur : 7 - 2 soustrait E(X) au lieu de son
carré : V(X) = E(X²) - E(X)² = 7 - 4.

]]> 45

]]> Erreur : 49 - 4 ? C'est E(X²) = 7 qui est donné, pas
E(X²) = 49. V = 7 - 4 = 3.

]]> -3

]]> Impossible : une variance est toujours positive
(moyenne de carrés). L'ordre de la soustraction est
E(X²) - E(X)².

]]> Variables aléatoires réelles — Q08 : De la variance à l'écart-type Une variable aléatoire vérifie V(X) = 9. Que vaut son
écart-type σ(X) ?

]]> σ(X) = √V(X). La variance s'exprime en unités au
carré, l'écart-type dans l'unité de la variable : c'est lui
qu'on interprète.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc 3

]]> Bonne réponse : σ(X) = √V(X) = √9 = 3 :
l'écart-type ramène la dispersion dans l'unité de
X.

]]> 81

]]> Erreur de sens : 81 = 9² élève au carré au lieu de
prendre la racine.

]]> 9

]]> Erreur : 9 est la variance elle-même. L'écart-type en
est la racine carrée : 3.

]]> 4{,}5

]]> Erreur : on ne divise pas par 2 : on prend la racine
carrée, √9 = 3.

]]> Variables aléatoires réelles — Q09 : Linéarité de l'espérance Soit X avec E(X) = 5. Que vaut E(2X + 3) ?

]]> Linéarité (au programme) : E(aX + b) = a E(X) + b.
Exemple d'usage : conversion d'unités, ajout d'un bonus fixe
à un gain.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc 13

]]> Bonne réponse : E(aX + b) = a E(X) + b = 2 × 5 + 3 = 13.

]]> 10

]]> Incomplet : 10 = 2E(X) oublie le décalage +3, qui se
transmet tel quel à l'espérance.

]]> 16

]]> Erreur : 2(5 + 3) = 16 distribue mal : le +3 n'est
pas multiplié par 2. Formule : aE(X) + b.

]]> 25

]]> Erreur : 25 = 5² n'a rien à voir : la transformation
est affine, pas quadratique.

]]> Variables aléatoires réelles — Q10 : Variance de $aX + b$ Soit X avec V(X) = 2. Que vaut V(2X + 3) ?

]]> V(aX + b) = a² V(X) (et σ(aX+b) = |a| σ(X)) :
la constante b translate sans disperser, le facteur a
entre au carré.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc 8

]]> Bonne réponse : V(aX + b) = a² V(X) = 4 × 2 = 8 :
le décalage +3 ne disperse rien, le facteur 2 dilate
les écarts, donc leurs carrés par 4.

]]> 7

]]> Erreur : 2 × 2 + 3 applique la formule de
l'espérance. Pour la variance : a au carré et b
disparaît.

]]> 4

]]> Erreur : 4 = 2 × 2 multiplie par a au lieu de
a². Les écarts doublés donnent des carrés quadruplés.

]]> 11

]]> Erreur : 4 × 2 + 3 = 11 ajoute le décalage ; or
une translation ne change pas la dispersion : V(aX+b) = a²V(X) = 8.

]]> Variables aléatoires réelles — Q11 : Utiliser la notation $P(X \leq a)$ Avec la loi : P(X = -1) = 0{,}5, P(X = 2) = 0{,}3,
P(X = 5) = 0{,}2, que vaut P(X ≤ 2) ?

]]> Passer de la langue au symbole (capacité attendue) :
\{X \leq a\} cumule toutes les valeurs inférieures ou
égales à a. Ici 0{,}5 + 0{,}3 = 0{,}8 (ou 1 - P(X = 5)).

]]> 1.0 0.0 0 true true abc 0{,}8

]]> Bonne réponse : \{X \leq 2\} regroupe les valeurs -1
et 2 : P = 0{,}5 + 0{,}3 = 0{,}8.

]]> 0{,}3

]]> Incomplet : 0{,}3 = P(X = 2) seulement. L'inégalité
large inclut aussi la valeur -1.

]]> 0{,}2

]]> Erreur : 0{,}2 = P(X = 5) = P(X > 2) est la probabilité
de l'événement contraire.

]]> 0{,}5

]]> Incomplet : 0{,}5 = P(X = -1) oublie la valeur 2,
incluse dans X ≤ 2.

]]> Variables aléatoires réelles — Q12 : Espérance d'une loterie Une loterie vend 100 billets à 1 euro ; un seul billet
gagne un lot de 50 euros. Soit X le gain algébrique d'un
acheteur d'un billet. Que vaut E(X) ?

]]> Modélisation type : gain algébrique = lot - mise. Loi :
49 avec 1/100, -1 avec 99/100 :
E(X) = -0{,}50 euro : la moitié de la mise part en moyenne
à l'organisateur.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc -0{,}50 euro : le jeu est défavorable au joueur

]]> Bonne réponse : X vaut 49 (lot moins mise) avec
probabilité 0{,}01, et -1 avec probabilité 0{,}99 :
E(X) = 0{,}49 - 0{,}99 = -0{,}5.

]]> +0{,}50 euro

]]> Erreur de signe : le joueur perd en moyenne. La
recette (100 euros) dépasse le lot (50 euros) : la
différence se répartit sur les joueurs.

]]> 0 : le jeu est équitable

]]> Erreur : l'équité exigerait un lot de 100 euros
(recette entière redistribuée). Avec 50 euros :
E(X) = -0{,}5.

]]> -1 euro

]]> Erreur : -1 serait la perte certaine sans aucun
lot. La petite chance de gagner relève l'espérance à
-0{,}5.

]]> Variables aléatoires réelles — Q13 : Compléter une loi X prend les valeurs 0, 1, 2 avec P(X = 0) =
0{,}3 et P(X = 1) = 0{,}45. Que vaut P(X = 2) ?

]]> Toute loi de probabilité vérifie ∑ P(X = xᵢ) = 1 : la
première vérification à faire sur un tableau, et l'outil
pour compléter une case manquante.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc 0{,}25

]]> Bonne réponse : les probabilités d'une loi somment à
1 : 1 - 0{,}3 - 0{,}45 = 0{,}25.

]]> 0{,}75

]]> Soustraction incomplète : 1 - 0{,}3 + 0{,}45 mélange
les signes : on retire les deux probabilités
connues.

]]> 0

]]> Erreur : la somme 0{,}3 + 0{,}45 = 0{,}75 \neq 1 : il
manque 0{,}25, qui revient à la valeur 2.

]]> Impossible à déterminer

]]> Erreur : la contrainte « somme = 1 » détermine
entièrement la probabilité manquante.

]]> Variables aléatoires réelles — Q14 : Espérance d'un dé X est le résultat d'un dé équilibré à six faces. Que vaut
E(X) ?

]]> Cas équiprobable : l'espérance est la moyenne simple des
valeurs. E(X) = 3{,}5 montre aussi qu'une espérance n'est
pas forcément une valeur atteignable : aucun dé
n'affiche 3{,}5.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc 3{,}5

]]> Bonne réponse : \dfrac{1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6}{6} =
\dfrac{21}{6} = 3{,}5 : la moyenne des faces,
équiprobables.

]]> 3

]]> Erreur : 3 serait la « valeur du milieu » arrondie
vers le bas : la moyenne exacte des six faces est
3{,}5.

]]> 6

]]> Erreur : 6 est la valeur maximale, pas la moyenne
de long terme.

]]> 21

]]> Division oubliée : 21 est la somme des faces : chaque
face pèse ⅙ : moyenne 3{,}5.

]]> Variables aléatoires réelles — Q15 : Espérance de $2X + 3$ X a pour espérance E(X) = 5. Que vaut E(2X + 3) ?

]]> E(aX + b) = aE(X) + b : la linéarité, appliquée
mécaniquement. Usage type : conversion d'unités, gain après
frais fixes, mise initiale.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc 13

]]> Bonne réponse : E(aX + b) = aE(X) + b = 2 × 5 + 3 = 13 : la moyenne suit la transformation affine.

]]> 10

]]> Constante oubliée : 2E(X) = 10, puis le décalage +3
s'ajoute : 13.

]]> 16

]]> Erreur : 2 × (5 + 3) = 16 applique le facteur à
la constante aussi : le +3 est ajouté après la
multiplication.

]]> 2E(X) + 3X

]]> Erreur d'objet : une espérance est un nombre : X
ne peut pas subsister dans le résultat.

]]> Variables aléatoires réelles — Q16 : Gain net d'un jeu payant Un jeu coûte 2 euros. On gagne 10 euros avec probabilité
0{,}1, sinon rien. Que vaut l'espérance du gain net
(gain moins mise) ?

]]> Gain net = gain brut − mise : E(net) = E(brut) - mise (linéarité !). Jeu équitable
\iff E(\text{net}) = 0. Les jeux d'argent réels sont tous
à espérance négative pour le joueur.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc -1 euro : le jeu est défavorable au joueur

]]> Bonne réponse : gain brut espéré = 10 \times 0{,}1 =
1 euro ; net : 1 - 2 = -1 euro : en moyenne, le
joueur perd un euro par partie.

]]> +1 euro

]]> Mise oubliée : 1 euro est le gain brut moyen : il
faut retrancher les 2 euros de mise : -1.

]]> 0 : le jeu est équitable

]]> Erreur : équitable exigerait un gain brut moyen égal à
la mise (2 euros) : ici il ne vaut que 1 euro.

]]> 8 euros

]]> Erreur : 10 - 2 = 8 est le net en cas de victoire
seulement : l'espérance pondère par 0{,}1 (et -2
pèse 0{,}9).

]]> Variables aléatoires réelles — Q17 : Variance par König-Huygens X prend les valeurs 0 et 2 avec P(X = 0) = P(X = 2)
= 0{,}5. Que vaut V(X) ?

]]> König-Huygens : V(X) = E(X²) - [E(X)]² : calculer les
deux moments, soustraire dans le bon ordre. Garde-fou : V ≥ 0 toujours.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc 1 : E(X²) - E(X)² = 2 - 1

]]> Bonne réponse : E(X) = 1, E(X^2) = 0 \times 0{,}5 +
4 \times 0{,}5 = 2 : V(X) = 2 - 1² = 1 (écart-type
1 : les valeurs sont à distance 1 de la moyenne).

]]> 0 : la loi est symétrique

]]> Confusion : la symétrie centre la moyenne, elle
n'annule pas la dispersion : seules les variables
constantes ont une variance nulle.

]]> 2

]]> Soustraction oubliée : 2 = E(X²) : König-Huygens
retranche le carré de la moyenne : 2 - 1 = 1.

]]> -1

]]> Impossible : une variance est toujours positive (moyenne
de carrés d'écarts) : un résultat négatif signale une
erreur de calcul.

]]> Variables aléatoires réelles — Q18 : Même espérance, risques différents Deux placements ont la même espérance de gain, mais le
placement A a un écart-type de 2 euros et le placement B
de 50 euros. Comment interpréter ?

]]> Le couple (E\ ;\ σ) résume une variable aléatoire :
tendance ET dispersion. À espérance égale, l'écart-type
départage : c'est la définition quantitative du risque
(finance, assurance, files d'attente).

]]> 1.0 0.0 0 true true abc B est beaucoup plus risqué : mêmes gains moyens, mais
résultats bien plus dispersés

]]> Bonne réponse : l'espérance dit la tendance,
l'écart-type mesure les fluctuations : B peut gagner ou
perdre gros, A reste près de la moyenne : le « risque »
est dans σ.

]]> B rapporte plus en moyenne

]]> Erreur : les espérances sont égales par hypothèse :
l'écart-type ne déplace pas la moyenne, il l'entoure
d'incertitude.

]]> A et B sont identiques : même espérance

]]> Réducteur : deux lois peuvent partager leur moyenne et
différer du tout au tout en dispersion : c'est
exactement ce que la variance capture.

]]> A est plus risqué : un petit écart-type cache des
surprises

]]> Contresens : petit σ = résultats concentrés
autour de la moyenne = peu de surprises : le risque
croît avec l'écart-type.

]]>