$course$/QCM de maths/Première tronc commun/Statistique à deux variables Analyse croisée de deux caractères : tableaux croisés
(caractères qualitatifs), nuage de points (caractères
quantitatifs), point moyen, ajustement affine, interpolation et
extrapolation, esprit critique face aux données.

]]> Statistique à deux variables — Q01 : Représenter deux caractères quantitatifs Quelle représentation graphique est adaptée à l'étude croisée
de deux caractères quantitatifs (par exemple taille et
masse) ?

]]> Choix de représentation : deux qualitatifs → tableau
croisé (ou barres comparées) ; deux quantitatifs → nuage
de points, support de l'ajustement affine.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Un nuage de points

]]> Bonne réponse : chaque individu devient un point (taille
en abscisse, masse en ordonnée) : la forme du nuage révèle
l'éventuel lien entre les deux caractères.

]]> Un diagramme circulaire

]]> Erreur : le diagramme circulaire répartit un seul
caractère qualitatif en secteurs, il ne croise rien.

]]> Un tableau croisé d'effectifs

]]> Erreur : le tableau croisé convient à deux caractères
qualitatifs (ou regroupés en classes). Deux
quantitatifs continus se dispersent en nuage.

]]> Un histogramme

]]> Erreur : l'histogramme décrit la répartition d'un seul
caractère quantitatif regroupé en classes.

]]> Statistique à deux variables — Q02 : Calculer un point moyen Un nuage est constitué des points (1 ; 2), (3 ; 4) et
(5 ; 6). Quelles sont les coordonnées du point moyen
G ?

]]> Point moyen : G(\bar{x}\,;\,\bar{y}), moyennes des
coordonnées (capacité attendue). C'est le « centre de
gravité » du nuage, point de passage naturel d'une droite
d'ajustement.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc G(3 ; 4)

]]> Bonne réponse : \bar{x} = \dfrac{1+3+5}{3} = 3 et
\bar{y} = \dfrac{2+4+6}{3} = 4 : le point moyen a pour
coordonnées les moyennes des abscisses et des
ordonnées.

]]> G(9 ; 12)

]]> Oubli de la division : (9 ; 12) sont les sommes
des coordonnées ; il reste à diviser par l'effectif 3.

]]> G(5 ; 6)

]]> Erreur : (5 ; 6) n'est que le dernier point du nuage.
Le point moyen synthétise tous les points.

]]> G(4 ; 3)

]]> Coordonnées échangées : \bar{x} = 3 (abscisse) et
\bar{y} = 4 (ordonnée).

]]> Statistique à deux variables — Q03 : Lire un nuage ajusté [Figure : Repère avec un nuage de sept points presque alignés,
croissants, de (1 ; 1,5) à (7 ; 4,5). Une droite
d'ajustement rouge d traverse le nuage et passe par le point
moyen G(4 ; 3), marqué en bleu.]

Le nuage ci-dessous est ajusté par la droite d ; le point
bleu est le point moyen G. Quelles sont ses coordonnées ?

]]> Le point moyen se situe au centre du nuage (\bar{x} = 4,
\bar{y} = 3 ici). Un bon ajustement passe par lui (la
droite de Mayer et celle des moindres carrés y passent
exactement).

]]> 1.0 0.0 0 true true abc G(4 ; 3)

]]> Bonne réponse : le point bleu se lit en (4 ; 3), au
cœur du nuage, et la droite d'ajustement passe par lui.

]]> G(3 ; 4)

]]> Coordonnées échangées : abscisse 4 (axe horizontal),
ordonnée 3 (axe vertical).

]]> G(7\,;\,4{,}5)

]]> Erreur : (7\,;\,4{,}5) est le dernier point du nuage,
pas son centre.

]]> G(0 ; 1)

]]> Erreur : (0 ; 1) est l'ordonnée à l'origine de la
droite d, pas le point moyen (qui est au milieu du
nuage).

]]> Statistique à deux variables — Q04 : Interpoler avec l'ajustement Un nuage (abscisses de 1 à 7) est ajusté par la droite
d'équation y = 0{,}5x + 1. Quelle estimation de y pour
x = 3{,}5 ?

]]> Interpoler : utiliser l'équation d'ajustement pour estimer
y en un x situé dans l'intervalle des observations.
Ici y = 0{,}5 \times 3{,}5 + 1 = 2{,}75.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc y \approx 2{,}75

]]> Bonne réponse : 0{,}5 \times 3{,}5 + 1 = 2{,}75. Comme
3{,}5 est dans la plage des données (1 à 7),
c'est une interpolation, plutôt fiable.

]]> y \approx 4{,}5

]]> Erreur de calcul : 0{,}5 \times 3{,}5 = 1{,}75, puis
+1 : 2{,}75.

]]> y \approx 3{,}5

]]> Erreur : tu as recopié x. Il faut appliquer la formule
de la droite : y = 0{,}5x + 1.

]]> Aucune estimation possible : 3{,}5 n'est pas une valeur
observée

]]> Erreur : c'est précisément l'intérêt de l'ajustement :
estimer des valeurs non observées à l'intérieur de la
plage des données.

]]> Statistique à deux variables — Q05 : Extrapoler avec prudence Avec le même ajustement y = 0{,}5x + 1 (données observées
pour x de 1 à 7), que dire de l'estimation en
x = 20 ?

]]> Extrapoler : estimer hors de la plage observée. Le calcul
est mécanique, l'interprétation exige la prudence : plus on
s'éloigne des données, plus l'hypothèse de linéarité devient
fragile.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Le calcul donne y = 11, mais c'est une extrapolation
loin des données : à interpréter avec prudence

]]> Bonne réponse : la formule s'applique
(0{,}5 \times 20 + 1 = 11), mais rien ne garantit que la
tendance linéaire persiste si loin de la plage observée.

]]> y = 11, une valeur aussi sûre que les autres

]]> Erreur : hors de la plage des données, le modèle peut
cesser d'être valable (saturation, rupture de tendance) :
l'extrapolation est par nature moins fiable.

]]> y = 21

]]> Erreur de calcul : 0{,}5 \times 20 + 1 = 11, pas 21.

]]> Aucun calcul possible au-delà de x = 7

]]> Erreur : le calcul reste possible (la droite se
prolonge) ; c'est sa fiabilité qui se discute. La
bonne attitude : calculer et nuancer.

]]> Statistique à deux variables — Q06 : Interpolation ou extrapolation ? Des données sont observées pour des années allant de 2010 à
2020. Estimer la valeur en 2015 puis en 2030 à l'aide
d'un ajustement, c'est respectivement :

]]> Interpolation : estimation à l'intérieur de la plage des
observations (fiabilité correcte). Extrapolation : au-delà
(fiabilité décroissante avec la distance aux données).

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Interpoler (2015, dans la plage), puis extrapoler
(2030, hors plage)

]]> Bonne réponse : à l'intérieur de l'intervalle des données
on interpole ; au-delà, on extrapole (avec les
réserves qui s'imposent).

]]> Extrapoler puis interpoler

]]> Définitions inversées : « inter » signifie entre les
données, « extra » en dehors.

]]> Interpoler dans les deux cas

]]> Erreur : 2030 est hors de la période observée
(2010-2020) : c'est une extrapolation.

]]> Extrapoler dans les deux cas

]]> Erreur : 2015 est à l'intérieur de la période
observée : c'est une interpolation.

]]> Statistique à deux variables — Q07 : Lire un tableau croisé Une enquête croise « pratique d'un sport » et « genre » :
80 filles dont 48 sportives, 70 garçons dont 42
sportifs. La proportion de sportifs est-elle différente selon
le genre ?

]]> Analyse croisée de deux caractères qualitatifs : comparer les
fréquences conditionnelles dans chaque groupe.
48/80 = 42/70 = 60\ % : même proportion.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Non : 60\ % dans les deux groupes
(48/80 = 42/70 = 0{,}6)

]]> Bonne réponse : les deux fréquences conditionnelles
valent 60\ % : sur ces données, la pratique sportive ne
dépend pas du genre.

]]> Oui : 48 sportives contre 42 sportifs

]]> Erreur : comparer des effectifs bruts est trompeur
quand les groupes n'ont pas la même taille. On compare des
fréquences : 48/80 et 42/70.

]]> Oui : les filles sont plus nombreuses

]]> Erreur : l'effectif total des groupes (80 contre 70)
ne dit rien de la proportion de sportifs dans chacun.

]]> On ne peut pas comparer des groupes de tailles différentes

]]> Erreur : c'est exactement le rôle des fréquences
conditionnelles : rendre comparables des groupes d'
effectifs différents.

]]> Statistique à deux variables — Q08 : Qualitatif ou quantitatif ? Dans un fichier de données sur des communes, on relève :
la région, la population, l'altitude et le type d'habitat
(rural/urbain). Quels caractères sont quantitatifs ?

]]> Quantitatif : valeurs numériques où moyenne et écart ont un
sens. Qualitatif : modalités (catégories). Le choix des
représentations et des traitements en découle.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc La population et l'altitude

]]> Bonne réponse : ce sont des nombres sur lesquels les
calculs ont un sens (moyennes, écarts). Région et type
d'habitat sont des catégories : qualitatifs.

]]> La région et le type d'habitat

]]> Inversé : ce sont les caractères qualitatifs
(des catégories sans arithmétique naturelle).

]]> Tous les quatre

]]> Erreur : additionner des régions n'a pas de sens. Seuls
population et altitude sont numériques.

]]> Seulement la population

]]> Incomplet : l'altitude est aussi une grandeur numérique
mesurable, donc quantitative.

]]> Statistique à deux variables — Q09 : À quoi sert un ajustement affine ? Que permet un ajustement affine d'un nuage de points ?

]]> L'ajustement affine est un modèle : il résume la tendance
(si elle est raisonnablement linéaire) et permet d'estimer.
Il n'exige aucune théorie des moindres carrés au programme :
l'usage prime.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Résumer une tendance à peu près linéaire et estimer des
valeurs non observées

]]> Bonne réponse : la droite condense le lien entre les deux
caractères et sert d'outil de prévision (interpolation,
extrapolation prudente). Plusieurs méthodes existent (au
jugé, Mayer, moindres carrés), sans théorie exigée.

]]> Faire passer une droite par tous les points du nuage

]]> Erreur : des données réelles ne sont jamais parfaitement
alignées ; la droite passe au plus près des points,
pas dessus.

]]> Prouver que le premier caractère cause le second

]]> Erreur : un ajustement décrit une association, jamais
une causalité (voir la question suivante !).

]]> Remplacer les données par des valeurs exactes

]]> Erreur : le modèle simplifie, il ne corrige pas les
données. Les estimations restent des approximations.

]]> Statistique à deux variables — Q10 : Le point moyen au tableur Les ordonnées d'un nuage occupent la plage B2:B8 d'une
feuille de calcul. Quelle formule de tableur calcule
\bar{y}, l'ordonnée du point moyen ?

]]> Le tableur est l'outil du chapitre (capacité attendue) :
MOYENNE pour \bar{x} et \bar{y}, graphique « nuage de
points » pour visualiser, courbe de tendance pour ajuster.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc =MOYENNE(B2:B8)

]]> Bonne réponse : la fonction MOYENNE d'un tableur
additionne la plage et divise par l'effectif : exactement
\bar{y}.

]]> =SOMME(B2:B8)

]]> Incomplet : la somme n'est pas divisée par le nombre de
valeurs. (On pourrait écrire =SOMME(B2:B8)/7, mais
MOYENNE est directe.)

]]> =MAX(B2:B8)

]]> Erreur : MAX renvoie la plus grande valeur, pas la
moyenne.

]]> =B2+B8/2

]]> Double erreur : seules deux cellules sont utilisées, et
la priorité des opérations divise seulement B8 par 2.

]]> Statistique à deux variables — Q11 : Corrélation et causalité Sur un nuage de points, la consommation de glaces et le
nombre de coups de soleil (relevés mois par mois) sont
fortement liés : le nuage est presque aligné. Peut-on
conclure que manger des glaces cause des coups de soleil ?

]]> Esprit critique (objectif central du programme) : corrélation
≠ causalité. Devant un lien statistique, chercher les
explications alternatives : facteur commun, coïncidence,
causalité inversée.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Non : une association statistique n'est pas une
causalité ; ici l'ensoleillement estival explique les
deux

]]> Bonne réponse : un facteur commun (l'été) fait varier les
deux grandeurs ensemble. Le lien observé est réel, la
causalité directe est illusoire.

]]> Oui : le nuage aligné prouve la relation de cause à effet

]]> Erreur classique : l'alignement mesure une
association. Cause commune, hasard ou causalité
inverse restent possibles.

]]> Oui, si la droite d'ajustement est croissante

]]> Erreur : le sens de la pente indique le sens de
l'association, pas son mécanisme.

]]> Non, car les nuages de points ne montrent jamais rien

]]> Trop fort : le nuage montre bel et bien un lien
statistique ; c'est son interprétation causale qui
demande d'autres arguments.

]]> Statistique à deux variables — Q12 : L'ajustement affine est-il toujours pertinent ? Un nuage de points dessine une courbe nettement incurvée (en
forme de parabole). Que penser d'un ajustement affine de
ce nuage ?

]]> Valider un modèle (compétence modéliser) : commencer par
regarder la forme du nuage. Ligne droite → ajustement
affine ; courbure → modèles quadratique ou exponentiel
des chapitres suivants.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Il est mal adapté : la tendance n'est pas linéaire, un
autre modèle serait préférable

]]> Bonne réponse : la droite écraserait la courbure et
fausserait les estimations. On choisit le modèle d'après
la forme du nuage (quadratique ou exponentiel, vus
dans la suite du programme).

]]> Il convient toujours : toute tendance se résume par une
droite

]]> Erreur : ajuster par une droite un phénomène courbé
produit des estimations systématiquement biaisées (trop
hautes ou trop basses selon la zone).

]]> Il suffit d'enlever les points qui dérangent

]]> Erreur méthodologique grave : supprimer des données pour
sauver un modèle inverse la démarche scientifique.

]]> Le tableur choisit toujours le bon modèle automatiquement

]]> Erreur : l'outil trace ce qu'on lui demande. Le choix et
la validation du modèle restent une décision humaine,
au vu du nuage.

]]> Statistique à deux variables — Q13 : Calculer un taux d'évolution Une valeur passe de 40 à 50. Quel est le taux
d'évolution ?

]]> Taux d'évolution : t = \dfrac{V_{\text{arrivée}} -
V_{\text{départ}}}{V_{\text{départ}}} : toujours la valeur
initiale au dénominateur. Lien : coefficient multiplicateur
= 1 + t.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc +25\ %

]]> Bonne réponse : \dfrac{50 - 40}{40} = \dfrac{10}{40} =
0{,}25 : la variation se rapporte à la valeur de
départ.

]]> +20\ %

]]> Mauvaise base : 10/50 divise par la valeur
d'arrivée : le taux d'évolution se calcule sur la
valeur initiale.

]]> +10\ %

]]> Confusion : 10 est la variation absolue (en
unités) : le taux la rapporte à 40 : un quart.

]]> +125\ %

]]> Confusion : 125\ % = 50/40 est le rapport
final/initial (le coefficient) : le taux en retire
les 100\ % de départ : +25\ %.

]]> Statistique à deux variables — Q14 : Lire un coefficient multiplicateur Un prix est multiplié par 1{,}08. Quelle évolution cela
représente-t-il ?

]]> Coefficient = 1 + t : traduire dans les deux sens sans
hésiter : \times 1{,}08 \leftrightarrow +8\ \% ; \times
0{,}92 \leftrightarrow -8\ \%. Tout le chapitre repose sur
cette conversion.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Une hausse de 8\ %

]]> Bonne réponse : 1{,}08 = 1 + 0{,}08 : la part
au-dessus de 1 est le taux de hausse.

]]> Une hausse de 108\ %

]]> Erreur : 108\ % est la valeur finale en proportion
de l'initiale : la hausse proprement dite est l'écart
à 100\ % : 8\ %.

]]> Une baisse de 8\ %

]]> Sens inversé : une baisse a un coefficient inférieur
à 1 (\times 0{,}92 pour -8\ %).

]]> Une hausse de 1{,}08\ \%

]]> Confusion : 1{,}08 est le multiplicateur, pas un
pourcentage : l'écart à 1 donne le taux.

]]> Statistique à deux variables — Q15 : Prédire avec la droite d'ajustement Un nuage de points est ajusté par la droite y = 0{,}5x +
1. Quelle valeur de y le modèle prévoit-il pour x = 10 ?

]]> Utiliser un ajustement : substituer x dans l'équation de
la droite. La valeur obtenue est une estimation du
modèle : fiable en interpolation, fragile en extrapolation.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc y = 6

]]> Bonne réponse : 0{,}5 \times 10 + 1 = 6 : le modèle
sert exactement à ça : produire une valeur estimée pour
un x donné.

]]> y = 10{,}5

]]> Erreur : 10 + 0{,}5 additionne au lieu de
multiplier : 0{,}5x signifie 0{,}5 \times x.

]]> y = 5

]]> Constante oubliée : 0{,}5 \times 10 = 5, puis le +1
du modèle s'ajoute.

]]> Impossible : il faut la valeur observée

]]> Contresens : le modèle sert justement à estimer en
l'absence d'observation : c'est une prévision, pas une
mesure.

]]> Statistique à deux variables — Q16 : $+10\ \%$ puis $-10\ \%$ Une valeur subit une hausse de 10\ % puis une baisse de
10\ %. Revient-elle à son niveau initial ?

]]> Hausse puis baisse de même taux : toujours une perte nette
(1{,}1 \times 0{,}9 = 0{,}99) : les deux évolutions
portent sur des bases différentes. Multiplier les
coefficients, jamais additionner les taux.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Non : 1{,}1 \times 0{,}9 = 0{,}99 : il manque
1\ %

]]> Bonne réponse : la baisse s'applique à une valeur plus
haute : elle retire davantage que la hausse n'avait
ajouté : bilan -1\ %.

]]> Oui : +10 et -10 s'annulent

]]> Le réflexe additif : faux : les taux ne s'additionnent
pas car ils ne portent pas sur la même base : le produit
des coefficients donne 0{,}99.

]]> Non : elle finit 1\ % au-dessus

]]> Sens de l'écart : 0{,}99 < 1 : la valeur finit EN
DESSOUS de son niveau initial.

]]> Cela dépend de la valeur de départ

]]> Erreur : le bilan \times 0{,}99 vaut pour toute valeur
initiale : les coefficients se moquent du montant.

]]> Statistique à deux variables — Q17 : Écart entre observation et modèle Le modèle y = 0{,}5x + 1 prévoit y = 4 pour x = 6,
mais la valeur observée est 4{,}2. Comment appeler et
interpréter la différence ?

]]> Écart (résidu) = observé − prédit : petits écarts non
systématiques = modèle pertinent ; écarts grands ou tous du
même signe = modèle à revoir. Juger un ajustement, c'est
regarder ses écarts.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc L'écart au modèle vaut +0{,}2 : l'observation dépasse
légèrement la prévision, le modèle reste bon

]]> Bonne réponse : un ajustement ne prétend pas passer par
tous les points : de petits écarts (résidus) sont
normaux : leur taille mesure la qualité du modèle.

]]> Une erreur de calcul : le modèle devrait donner
exactement 4{,}2

]]> Contresens : la droite résume le nuage, elle ne le
traverse pas point par point : l'écart fait partie du
jeu.

]]> La preuve que le modèle est faux et doit être jeté

]]> Excessif : 0{,}2 sur 4 (5\ %) est un petit
écart : on rejette un modèle sur des écarts
systématiques ou grands, pas sur un résidu isolé.

]]> Une extrapolation abusive

]]> Hors sujet : x = 6 est dans la zone des données
(interpolation) : la question porte sur l'écart
observation/prévision, pas sur le domaine.

]]> Statistique à deux variables — Q18 : Le point moyen et la droite d'ajustement Quelle propriété relie le point moyen G(\bar{x}\ ;\
\bar{y}) du nuage et la droite d'ajustement ?

]]> Propriété d'ancrage : la droite d'ajustement passe par
G(\bar{x}\ ;\ \bar{y}). Usage pratique : vérifier une
équation de droite proposée (substituer G), ou tracer la
droite depuis G avec la pente.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc La droite d'ajustement passe par le point moyen G

]]> Bonne réponse : la droite pivote autour du « centre de
gravité » du nuage : connaître G et la pente suffit à
la tracer.

]]> G est toujours le point le plus haut du nuage

]]> Erreur : G est le point moyen : il occupe le
centre du nuage, pas son sommet.

]]> G est un point observé du nuage

]]> Erreur : G est calculé (moyennes des deux
coordonnées) : il ne coïncide généralement avec aucune
observation réelle.

]]> Aucune : le point moyen ne sert qu'aux statistiques à
une variable

]]> Erreur : en statistique à deux variables, G est
l'ancre de l'ajustement : la droite passe par lui.

]]>