$course$/QCM de maths/Première tronc commun/Modélisation quadratiqueFonctions polynômes de degré 2 : allure de la parabole, axe de
symétrie (obtenu sans formule, par exemple en résolvant
f(x) = c), sommet, tableau de variations, racines et signe
d'une forme factorisée (le discriminant n'est pas au
programme), modèles (trajectoires, chiffre d'affaires).]]>Modélisation quadratique — Q01 : Orientation d'une paraboleLa courbe de la fonction f(x) = -2x² + 3x + 1 est une
parabole. Dans quel sens est-elle tournée ?]]>Allure de la parabole y = ax² + bx + c : a > 0 tournée
vers le haut (sommet minimum), a < 0 tournée vers le bas
(sommet maximum). Premier réflexe de lecture d'un modèle
quadratique.]]>1.00.00truetrueabcVers le bas, car le coefficient de x² est négatif]]>Bonne réponse : le signe du coefficient de x² commande
l'allure : négatif, branches vers le bas, sommet au
plus haut.]]>Vers le haut, car 3 et 1 sont positifs]]>Erreur : seuls le coefficient de x² décide de
l'orientation ; les autres termes déplacent la parabole
sans la retourner.]]>Vers le bas, car la courbe passe par 1 en x = 0]]>La conclusion est bonne mais l'argument non :
l'ordonnée à l'origine positionne la courbe, elle ne dit
rien de son orientation.]]>On ne peut pas savoir sans tracer]]>Erreur : le signe de -2 suffit : parabole tournée vers
le bas, sans aucun tracé.]]>Modélisation quadratique — Q02 : Racines lues sur la parabole[Figure : Repère orthonormé avec une parabole tournée vers le bas, de
sommet (1 ; 4), coupant l'axe des abscisses en x = -1 et
x = 3, et l'axe des ordonnées en y = 3.]
La parabole \mathcal{P} ci-dessous représente une fonction
polynôme de degré 2. Quelles sont ses racines ?
]]>Racines = abscisses des intersections avec l'axe des
abscisses (là où f(x) = 0). Ici -1 et 3 : la fonction
s'écrit d'ailleurs f(x) = -(x + 1)(x - 3).]]>1.00.00truetrueabc-1 et 3]]>Bonne réponse : les racines sont les abscisses des points
où la parabole coupe l'axe des abscisses.]]>1 et 4]]>Erreur : (1 ; 4) sont les coordonnées du sommet.
Les racines se lisent sur l'axe horizontal.]]>3 seulement]]>Incomplet : la parabole traverse l'axe deux fois,
aussi en x = -1, à gauche de l'origine.]]>0 et 3]]>Erreur : en x = 0 la parabole vaut 3 (elle coupe
l'axe des ordonnées) : 0 n'est pas une racine.]]>Modélisation quadratique — Q03 : Axe de symétrie[Figure : Repère orthonormé avec une parabole tournée vers le bas, de
sommet (1 ; 4), coupant l'axe des abscisses en x = -1 et
x = 3, et l'axe des ordonnées en y = 3.]
Pour la même parabole (racines -1 et 3, sommet en
hauteur 4), quel est l'axe de symétrie ?
]]>L'axe de symétrie passe au milieu des racines (ou de tout
couple de points de même hauteur : méthode f(x) = c du
programme) : x = -1+3/2 = 1. Le sommet est dessus.]]>1.00.00truetrueabcLa droite verticale x = 1, à mi-chemin des racines]]>Bonne réponse : par symétrie, l'axe passe au milieu
des racines : -1 + 3/2 = 1, et par le sommet.]]>La droite horizontale y = 4]]>Erreur : l'axe de symétrie d'une parabole est vertical (4 est la hauteur du sommet, pas un axe).]]>La droite x = 2]]>Erreur : 2 n'est pas le milieu de -1 et 3
(-1+3/2 = 1). Attention au signe de la racine
négative.]]>L'axe des ordonnées]]>Erreur : l'axe des ordonnées (x = 0) ne partage pas la
parabole en deux moitiés symétriques ici (racines -1
et 3 non symétriques par rapport à 0).]]>Modélisation quadratique — Q04 : Sommet sans formuleUne fonction polynôme de degré 2 a pour racines 2 et 8,
et sa parabole est tournée vers le haut. En quelle abscisse
son minimum est-il atteint ?]]>Méthode du programme : l'abscisse du sommet est le milieu
des racines (ou de deux antécédents d'une même valeur). Ici
x = 5 : les paraboles se dominent par symétrie, pas par
formules.]]>1.00.00truetrueabcEn x = 5, milieu des racines]]>Bonne réponse : le sommet est sur l'axe de symétrie, à
mi-chemin des racines : 2 + 8/2 = 5. Aucune
formule à mémoriser : la symétrie suffit.]]>En x = 6, car 8 - 2 = 6]]>Erreur : 6 est l'écart entre les racines. Le
sommet est à leur milieu : 2+8/2 = 5.]]>En x = 2, la première racine]]>Erreur : aux racines, la fonction vaut 0 ; entre elles,
elle descend jusqu'au creux, atteint au milieu 5.]]>Impossible à dire sans le discriminant]]>Erreur : le discriminant n'est pas au programme, et pour
cause : la symétrie de la parabole donne le sommet
sans aucun calcul de ce type.]]>Modélisation quadratique — Q05 : Racines d'une forme factoriséeSoit f(x) = 2(x - 1)(x - 5). Quelles sont les racines de
f ?]]>Forme factorisée a(x - x₁)(x - x₂) : les racines x₁
et x₂ se lisent directement (produit nul). Ici 1 et
5.]]>1.00.00truetrueabc1 et 5]]>Bonne réponse : un produit est nul quand un facteur est
nul : x - 1 = 0 ou x - 5 = 0.]]>-1 et -5]]>Erreur de signe : x - 1 = 0 donne x = +1. Les
racines sont les valeurs qui annulent les facteurs.]]>2, 1 et 5]]>Erreur : le facteur constant 2 ne s'annule jamais, il
ne fournit pas de racine (il règle l'ouverture de la
parabole).]]>1 et -5]]>Erreur sur la seconde : x - 5 = 0 ⇒ x = +5.]]>Modélisation quadratique — Q06 : Signe d'une forme factoriséeToujours avec f(x) = 2(x - 1)(x - 5), sur quel intervalle
f(x) est-il strictement négatif ?]]>Signe d'un polynôme de degré 2 factorisé : du signe de a à
l'extérieur des racines, du signe contraire entre
elles. Ici : négatif sur ]1 ; 5[.]]>1.00.00truetrueabcSur ]1 ; 5[]]>Bonne réponse : entre les racines, les deux facteurs
sont de signes contraires : produit négatif (le
coefficient 2 > 0 ne change rien au signe).]]>Sur ]-∞ ; 1[]]>Erreur : avant 1, les deux facteurs sont négatifs :
produit positif.]]>Sur ]5 ; +∞[]]>Erreur : après 5, les deux facteurs sont positifs :
produit positif.]]>Nulle part, car 2 > 0]]>Erreur : le facteur 2 positif n'empêche pas le produit
(x-1)(x-5) d'être négatif entre les racines.]]>Modélisation quadratique — Q07 : Associer expression et courbeQuelle est l'allure de la courbe de f(x) = x² + 3 ?]]>Formes de référence (capacité attendue) : x ↦ ax²
(sommet à l'origine), x ↦ ax² + c (sommet
(0 ; c)), x ↦ a(x - x₁)(x - x₂) (racines
lisibles). Ici : sommet (0 ; 3), pas de racine.]]>1.00.00truetrueabcUne parabole tournée vers le haut, de sommet
(0 ; 3) sur l'axe des ordonnées]]>Bonne réponse : c'est la parabole de x² translatée de
3 vers le haut : sommet (0 ; 3), axe de symétrie
x = 0.]]>Une parabole de sommet (3 ; 0)]]>Erreur : le +3 agit sur les ordonnées (décalage
vertical), pas sur les abscisses. Sommet (0 ; 3).]]>Une parabole coupant l'axe des abscisses en -3 et 3]]>Erreur : x² + 3 ≥ 3 > 0 pour tout x : cette
parabole ne coupe jamais l'axe des abscisses (aucune
racine).]]>Une droite de pente 3]]>Erreur : le terme x² impose une courbe parabolique,
pas une droite.]]>Modélisation quadratique — Q08 : Trajectoire paraboliqueLa hauteur d'un ballon est modélisée par h(t) = -5t² + 10t (h en mètres, t en secondes). À quel instant la
hauteur est-elle maximale, et que vaut-elle ?]]>Modèle physique type : h(t) = -5t(t - 2), racines 0 et
2 (décollage et retour au sol), sommet au milieu
(t = 1, h = 5 m). La parabole capture la montée puis la
chute.]]>1.00.00truetrueabcÀ t = 1 s, hauteur 5 m]]>Bonne réponse : h(t) = -5t(t - 2) s'annule en 0 et
2 : sommet au milieu, t = 1, et h(1) = -5 + 10 = 5 m.]]>À t = 2 s, hauteur 10 m]]>Erreur : à t = 2 le ballon retombe au sol
(h(2) = 0) : c'est la seconde racine, pas le sommet.]]>À t = 1 s, hauteur 10 m]]>Erreur de hauteur : h(1) = -5 × 1 + 10 × 1 = 5 m (10 est le coefficient, pas la hauteur maximale).]]>La hauteur augmente sans fin]]>Erreur : le coefficient -5 < 0 tourne la parabole vers
le bas : montée puis descente, avec un maximum au
sommet.]]>Modélisation quadratique — Q09 : Axe de symétrie par la méthode $f(x) = c$Soit f(x) = x² - 6x + 2. En résolvant f(x) = 2, on
trouve x = 0 ou x = 6. Qu'en déduit-on pour l'axe de
symétrie de la parabole ?]]>Méthode explicite du programme (aucune formule attendue) :
résoudre f(x) = c pour un c commode (ici c = 2, le
terme constant : x² - 6x = 0 se factorise en x(x-6)),
puis prendre le milieu des solutions : axe x = 3,
sommet (3 ; f(3)) = (3 ; -7).]]>1.00.00truetrueabcC'est la droite x = 3, milieu des deux antécédents de
2]]>Bonne réponse : 0 et 6 ont la même image : ils sont
symétriques par rapport à l'axe, qui passe donc en
x = 0 + 6/2 = 3 (méthode du programme, sans
formule).]]>C'est la droite x = 6]]>Erreur : 6 est l'un des deux antécédents ; l'axe
passe à mi-chemin entre les deux : x = 3.]]>C'est la droite y = 2]]>Erreur : y = 2 est la droite horizontale utilisée
pour couper la parabole ; l'axe de symétrie, lui, est
vertical.]]>On ne peut rien en déduire]]>Erreur : c'est précisément la méthode attendue : deux
antécédents d'une même valeur encadrent symétriquement
l'axe.]]>Modélisation quadratique — Q10 : Tableau de variationsUne fonction polynôme de degré 2 a un coefficient de x² négatif et son sommet en x = 2. Quel est son tableau
de variations ?]]>Tableau de variations d'un degré 2 : monotone de part et
d'autre du sommet. a < 0 : croissante puis décroissante
(maximum au sommet) ; a > 0 : l'inverse (minimum).]]>1.00.00truetrueabcCroissante sur ]-∞ ; 2], décroissante sur
[2 ; +∞[]]>Bonne réponse : parabole tournée vers le bas : la
fonction monte jusqu'au sommet (x = 2), qui est son maximum, puis redescend.]]>Décroissante puis croissante]]>Erreur : ce profil (descendre puis remonter) correspond
à un coefficient positif (sommet minimum).]]>Croissante sur tout ℝ]]>Erreur : aucun polynôme de degré 2 n'est monotone sur
ℝ : la parabole change toujours de sens à son
sommet.]]>Décroissante sur ]-∞ ; 2], car le coefficient
est négatif]]>Erreur de lecture : le coefficient négatif met le sommet en haut : avant lui, la fonction monte.]]>Modélisation quadratique — Q11 : Chiffre d'affaires et prixLe chiffre d'affaires d'un produit vendu au prix unitaire
p est modélisé par R(p) = p (100 - 2p) (en euros).
Quel prix maximise le chiffre d'affaires ?]]>Modèle économique du programme : R(p) = p(100 - 2p), nul
en 0 et 50, maximal au milieu p = 25. La parabole
exprime le compromis prix-volume.]]>1.00.00truetrueabcp = 25 euros]]>Bonne réponse : R s'annule en p = 0 et p = 50
(racines de la forme factorisée) : le maximum est au
milieu, p = 25, avec R(25) = 25 × 50 = 1250
euros.]]>p = 50 euros]]>Erreur : à 50 euros, plus personne n'achète
(100 - 2 × 50 = 0) : chiffre d'affaires nul.
C'est une racine, pas le sommet.]]>Le plus cher possible]]>Erreur : augmenter le prix fait fuir les acheteurs (le
facteur 100 - 2p chute) : le modèle quadratique capture
ce compromis, avec un optimum intermédiaire.]]>p = 100 euros]]>Erreur : à ce prix, la demande modélisée est négative :
hors du domaine pertinent. L'optimum est à mi-chemin des
racines 0 et 50.]]>Modélisation quadratique — Q12 : Quand choisir un modèle quadratique ?Quel phénomène appelle naturellement une modélisation par
une fonction polynôme de degré 2 ?]]>Choisir le modèle d'après le comportement : constant →
constante ; accroissement fixe → affine ; taux fixe
→ exponentiel ; montée puis descente →
quadratique. C'est la carte mentale du programme.]]>1.00.00truetrueabcUne grandeur qui croît puis décroît (ou l'inverse), avec
un maximum ou un minimum]]>Bonne réponse : l'intérêt du degré 2 est la non-monotonie : un sommet unique entre une montée et
une descente (trajectoire, chiffre d'affaires, population
sur un temps court).]]>Une grandeur qui augmente du même montant chaque année]]>Erreur : accroissement constant = modèle linéaire
(affine, suite arithmétique).]]>Une grandeur qui double à intervalles réguliers]]>Erreur : doublement répété = croissance exponentielle (suite géométrique, fonction
aˣ).]]>Une grandeur constante]]>Erreur : une constante se modélise… par une constante.
Le degré 2 sert aux phénomènes qui se retournent.]]>Modélisation quadratique — Q13 : Ordonnée à l'origine d'une forme factoriséeSoit f(x) = (x - 1)(x - 5). Où la parabole coupe-t-elle
l'axe des ordonnées ?]]>Intersection avec l'axe des ordonnées : calculer f(0)
(unique). Intersections avec l'axe des abscisses : les
racines (ici 1 et 5). Deux axes, deux questions
distinctes.]]>1.00.00truetrueabcEn y = 5, car f(0) = (-1)(-5) = 5]]>Bonne réponse : l'axe des ordonnées correspond à x = 0 : on évalue f(0), produit des deux parenthèses :
(-1) × (-5) = +5.]]>En y = -5]]>Signe : (-1) × (-5) = +5 : le produit de deux
négatifs est positif.]]>En y = 1 et y = 5]]>Confusion d'axes : 1 et 5 sont les racines, sur
l'axe des abscisses : l'axe des ordonnées se coupe en un
seul point, f(0).]]>En y = 0]]>Erreur : f(0) = 5 ≠ 0 : la parabole ne passe pas
par l'origine.]]>Modélisation quadratique — Q14 : Sommet au milieu des racinesLa parabole f(x) = (x - 1)(x - 5) a pour racines 1 et
5. Quelle est l'abscisse de son sommet ?]]>L'axe de symétrie passe au milieu des racines : x_S = x₁ + x₂/2 : la voie la plus rapide vers le sommet
quand la forme factorisée est donnée (la valeur du sommet
s'obtient ensuite : f(3) = -4).]]>1.00.00truetrueabc3 : le milieu des racines]]>Bonne réponse : par symétrie, le sommet se trouve à
mi-chemin des racines : 1 + 5/2 = 3.]]>4 : la moyenne pondérée vers la grande racine]]>Erreur : la parabole est parfaitement symétrique : le
sommet est au milieu exact : 3.]]>5]]>Erreur : 5 est une racine (f(5) = 0) : le sommet est
entre les deux racines, pas dessus.]]>6 : la somme des racines]]>Division oubliée : le milieu est la demi-somme :
6/2 = 3.]]>Modélisation quadratique — Q15 : Signe avec parabole renverséeSoit f(x) = -(x - 2)(x - 6). Sur quel intervalle f
est-elle positive ?]]>Signe d'un trinôme factorisé : signe de a à l'extérieur
des racines, signe opposé entre elles. Ici a < 0 : négatif
dehors, positif dedans. Toujours tester une valeur pour
confirmer.]]>1.00.00truetrueabcSur [2\ ;\ 6] : entre les racines]]>Bonne réponse : le signe moins retourne la parabole
(branches vers le bas) : elle passe AU-DESSUS de l'axe
entre ses racines : positive sur [2\ ;\ 6].]]>À l'extérieur des racines]]>Valable pour a > 0 : ici le coefficient est négatif :
les positions s'inversent : positive ENTRE les racines.]]>Nulle part : le signe moins rend tout négatif]]>Erreur : testez x = 4 : -(2)(-2) = +4 > 0 : le
moins retourne la parabole sans l'enterrer.]]>Partout]]>Erreur : au-delà des racines (x = 0 : -(-2)(-6) = -12), la fonction plonge : positive seulement entre 2
et 6.]]>Modélisation quadratique — Q16 : Les solutions de $f(x) = c$ par symétrieUne parabole a son axe de symétrie en x = 3. L'équation
f(x) = c admet une solution x = 1. Quelle est l'autre ?]]>Méthode f(x) = c : les solutions vont par paires
symétriques autour de l'axe, et leur milieu EST l'axe.
Cette symétrie remplace le discriminant dans le programme du
tronc commun.]]>1.00.00truetrueabcx = 5 : le symétrique de 1 par rapport à 3]]>Bonne réponse : les deux solutions de f(x) = c se font
face autour de l'axe : 1 est à distance 2 de l'axe,
l'autre aussi : 3 + 2 = 5.]]>x = -1]]>Symétrie par rapport à 0 : la parabole se reflète
autour de x = 3, pas autour de l'axe des ordonnées.]]>x = 3]]>Erreur : 3 est l'axe lui-même : les solutions
l'encadrent (sauf si c est la valeur du sommet, cas
d'une solution unique).]]>Il n'y en a pas d'autre]]>Erreur : 1 ≠ 3 n'est pas sur l'axe : son reflet
5 donne la même image : deuxième solution garantie.]]>Modélisation quadratique — Q17 : L'enclos d'aire maximaleAvec 20 mètres de grillage, on forme un rectangle dont un
côté mesure x : l'aire vaut A(x) = x(10 - x). Quelle
valeur de x maximise l'aire ?]]>Optimisation quadratique sans dérivée : racines du produit
(0 et 10), sommet au milieu (5). À périmètre fixé, le
rectangle optimal est le carré : conclusion à retenir comme
point de contrôle.]]>1.00.00truetrueabcx = 5 : le sommet de la parabole, au milieu des
racines 0 et 10]]>Bonne réponse : A s'annule en 0 et 10 : le maximum
est au milieu, x = 5 (un carré de 25 m²) : la
symétrie fait tout le travail.]]>x = 10 : le côté le plus long possible]]>Erreur : A(10) = 10 × 0 = 0 : rectangle écrasé :
maximiser un côté tue l'autre.]]>x = 20]]>Erreur : 20 est le grillage TOTAL : le demi-périmètre
vaut 10, et x ne peut pas le dépasser.]]>Aucune : plus x grandit, plus l'aire grandit]]>Erreur : le produit x(10 - x) monte puis redescend
(parabole renversée) : le pic est en x = 5.]]>Modélisation quadratique — Q18 : La balle retombeLa hauteur d'une balle est modélisée par h(t) = -5t² + 10t (en mètres, t en secondes). Quand retombe-t-elle au
sol, et quelle hauteur maximale atteint-elle ?]]>Trajectoire parabolique : factoriser pour les racines
(départ, retombée), sommet au milieu pour l'apogée. Trois
informations physiques lues sur une seule factorisation :
le modèle quadratique en action.]]>1.00.00truetrueabcAu sol à t = 2 s ; hauteur maximale 5 m à t = 1 s]]>Bonne réponse : h(t) = -5t(t - 2) : racines 0
(départ) et 2 (retombée) ; sommet au milieu t = 1 :
h(1) = 5 m.]]>Au sol à t = 10 s ; hauteur maximale 10 m]]>Erreur : factoriser donne -5t(t - 2) : la deuxième
racine est 2, pas 10 (et h(1) = 5, pas 10).]]>Elle ne retombe jamais : le temps n'a pas de racine]]>Erreur : h(2) = -20 + 20 = 0 : le modèle prévoit la
retombée à 2 secondes.]]>Au sol à t = 2 s ; hauteur maximale 10 m à t = 1 s]]>Valeur du sommet fausse : h(1) = -5 + 10 = 5 m (le
coefficient -5 écrase la moitié du 10t).]]>