$course$/QCM de maths/Première tronc commun/Phénomènes aléatoires Probabilités conditionnelles (tableaux croisés et arbres
pondérés), indépendance de deux événements, répétition
d'épreuves de Bernoulli identiques et indépendantes
(n ≤ 4), tests médicaux et faux positifs, jeux (dont le
problème de Monty Hall), distinction modèle/réalité.

]]> Phénomènes aléatoires — Q01 : Probabilité conditionnelle Que désigne P_A(B) ?

]]> P_A(B) : probabilité de B dans le monde où A est
réalisé. Sur un arbre : pondération de la branche A → B ;
dans un tableau : effectif de A ∩ B divisé par
l'effectif de A.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc La probabilité de B sachant que A est réalisé

]]> Bonne réponse : on restreint l'univers aux cas où A a
eu lieu, et on y mesure les chances de B.

]]> La probabilité que A et B se réalisent ensemble

]]> Erreur : « A et B » se note P(A ∩ B). La
distinction entre P(A ∩ B), P_A(B) et P_B(A) est
un automatisme du programme.

]]> La probabilité de A sachant B

]]> Inversé : l'indice porte la condition. P_A(B)
conditionne par A ; « A sachant B » s'écrit
P_B(A).

]]> La probabilité que A se produise avant B

]]> Erreur : aucune chronologie dans la notation ; seulement
une information supposée acquise (A) et un événement
mesuré (B).

]]> Phénomènes aléatoires — Q02 : Probabilité d'un chemin [Figure : Arbre de probabilité à deux niveaux. Depuis la racine : la
branche du haut mène à A avec 0,3 et la branche du bas à
A-barre avec 0,7. Depuis A : B avec 0,6 et B-barre avec 0,4.
Depuis A-barre : B avec 0,2 et B-barre avec 0,8.]

Sur l'arbre pondéré ci-dessous, quelle est la probabilité de
l'événement A ∩ B (chemin du haut) ?

]]> Règle de l'arbre : multiplier les pondérations le long d'un
chemin. P(A \cap B) = 0{,}3 \times 0{,}6 = 0{,}18.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc 0{,}3 \times 0{,}6 = 0{,}18

]]> Bonne réponse : le long d'un chemin, les pondérations se
multiplient : P(A ∩ B) = P(A) × P_A(B).

]]> 0{,}3 + 0{,}6 = 0{,}9

]]> Erreur : on n'additionne pas le long d'un chemin
(l'addition sert entre chemins différents).

]]> 0{,}6

]]> Incomplet : 0{,}6 est la conditionnelle P_A(B) ;
encore faut-il que A se réalise (\times\,0{,}3).

]]> 0{,}9 \times 0{,}18

]]> Erreur : ce produit ne correspond à aucune règle. Chemin
A puis B : 0{,}3 \times 0{,}6.

]]> Phénomènes aléatoires — Q03 : Événements indépendants Quand dit-on que deux événements A et B sont
indépendants (avec P(B) ≠ 0) ?

]]> Indépendance : P_B(A) = P(A) : l'information « B a eu
lieu » n'apporte rien sur A. Critère équivalent :
P(A ∩ B) = P(A) × P(B).

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Lorsque P_B(A) = P(A)

]]> Bonne réponse : savoir que B s'est réalisé ne change
pas la probabilité de A : c'est la définition du
programme.

]]> Lorsqu'ils ne peuvent pas se réaliser en même temps

]]> Confusion : c'est l'incompatibilité, qui est au
contraire une dépendance très forte (si B arrive, A
devient impossible).

]]> Lorsqu'ils ont la même probabilité

]]> Erreur : l'égalité des probabilités ne dit rien du
lien entre les événements.

]]> Lorsqu'ils concernent deux jours différents

]]> Intuition parfois utile, mais pas une définition : le
critère mathématique est P_B(A) = P(A) (ou le produit
P(A ∩ B) = P(A)P(B)).

]]> Phénomènes aléatoires — Q04 : Vérifier une indépendance On donne P(A) = 0{,}4, P(B) = 0{,}5 et P(A \cap B) =
0{,}2. Les événements A et B sont-ils indépendants ?

]]> Critère du produit : A et B indépendants
⇔ P(A ∩ B) = P(A) P(B). Ici
0{,}2 = 0{,}4 \times 0{,}5 : indépendants.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Oui, car 0{,}4 \times 0{,}5 = 0{,}2 = P(A \cap B)

]]> Bonne réponse : le produit des probabilités égale la
probabilité de l'intersection : indépendance vérifiée.

]]> Non, car 0{,}4 \neq 0{,}5

]]> Erreur : on ne compare pas P(A) et P(B) entre elles,
mais P(A ∩ B) au produit P(A)P(B).

]]> Non, car A et B peuvent se réaliser ensemble

]]> Contresens : pouvoir se réaliser ensemble est
nécessaire à l'indépendance (des incompatibles non
triviaux ne sont jamais indépendants).

]]> On ne peut pas répondre sans arbre pondéré

]]> Erreur : les trois nombres suffisent au critère du
produit ; l'arbre n'est qu'une représentation possible.

]]> Phénomènes aléatoires — Q05 : Test de dépistage et faux positifs Sur 1000 personnes, 100 sont porteuses d'un virus. Un
test détecte 90 des 100 porteurs, mais il est aussi
positif, à tort, pour 90 des 900 non-porteurs. Parmi les
personnes testées positives, quelle est la proportion de
porteurs réels ?

]]> Situation phare du programme (tests médicaux) : construire le
tableau croisé, puis conditionner par le résultat du
test : P_{\text{positif}}(\text{porteur}) =
\frac{90}{180} = 50\ \%, bien loin des 90\ % de
sensibilité du test.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc 50\ %

]]> Bonne réponse : positifs = 90 + 90 = 180, dont 90
porteurs : 90/180 = 50\ %. Un test positif ne
vaut ici qu'une chance sur deux, à cause des faux
positifs nombreux chez les non-porteurs.

]]> 90\ %

]]> Inversion du conditionnement : 90\ % est la
proportion de positifs parmi les porteurs
(90/100), pas de porteurs parmi les positifs
(90/180).

]]> 9\ %

]]> Erreur : 9\ % = 90/1000 est la part des vrais
positifs dans la population entière ; la question
restreint aux 180 positifs.

]]> 18\ %

]]> Erreur : 18\ % = 180/1000 est la proportion de tests
positifs dans la population, pas la composition du groupe
des positifs.

]]> Phénomènes aléatoires — Q06 : Répéter une épreuve de Bernoulli Une opération réussit avec la probabilité 0{,}9. On la
répète 3 fois de façon indépendante. Quelle est la
probabilité de 3 réussites ?

]]> Répétition d'épreuves de Bernoulli identiques et
indépendantes : la probabilité d'une liste d'issues est le
produit. Trois succès : p³.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc 0{,}9^3 = 0{,}729

]]> Bonne réponse : par indépendance, les probabilités du
chemin réussite-réussite-réussite se multiplient :
0{,}9 \times 0{,}9 \times 0{,}9.

]]> 0{,}9 \times 3 = 2{,}7

]]> Impossible : une probabilité ne dépasse pas 1.
Répéter multiplie les probabilités entre elles, pas par
le nombre d'essais.

]]> 0{,}9

]]> Erreur : 0{,}9 vaut pour une réussite. En exiger
trois consécutives est plus difficile : 0{,}729.

]]> 0{,}27

]]> Erreur : 0{,}27 = 0{,}9 \times 0{,}3 ? Le calcul
correct élève 0{,}9 au cube : 0{,}729.

]]> Phénomènes aléatoires — Q07 : Taille de l'arbre On représente par un arbre la répétition de 4 épreuves de
Bernoulli. Combien l'arbre compte-t-il de chemins complets ?

]]> Arbre d'une répétition de n épreuves à deux issues :
2ⁿ chemins. Le programme limite à n ≤ 4 pour garder
les arbres lisibles : 16 chemins au plus.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc 2⁴ = 16

]]> Bonne réponse : chaque épreuve double le nombre de
chemins (succès ou échec) : 2 × 2 × 2 × 2 = 16 listes de résultats possibles.

]]> 8

]]> Erreur : 8 = 2³ correspond à 3 épreuves. Pour 4
niveaux : 2⁴ = 16.

]]> 4

]]> Erreur : 4 est le nombre d'épreuves (la profondeur
de l'arbre), pas le nombre de chemins.

]]> 24

]]> Erreur : 24 = 4! compterait des ordres d'objets
distincts. Ici chaque niveau offre 2 branches :
2⁴.

]]> Phénomènes aléatoires — Q08 : « Au moins une » réussite On lance 3 fois une pièce équilibrée. Quelle est la
probabilité d'obtenir au moins un pile ?

]]> Réflexe « au moins un » : passer par l'événement contraire
« aucun ». P = 1 - (1-p)ⁿ ; ici 1 - ⅛ = ⅞.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc 1 - (½)³ = ⅞

]]> Bonne réponse : le contraire de « au moins un pile » est
« aucun pile » (trois faces), de probabilité
(½)³ = ⅛.

]]> ⅛

]]> Erreur : ⅛ est la probabilité du
contraire (aucun pile). Il reste à la retrancher de
1.

]]> ½

]]> Erreur : sur trois lancers, obtenir au moins un pile est
très probable (7 chemins favorables sur 8), bien plus
que ½.

]]> ⅜

]]> Erreur : ⅜ est la probabilité d'exactement
un pile. « Au moins un » cumule un, deux ou trois
piles : ⅞.

]]> Phénomènes aléatoires — Q09 : Deux dés indépendants On lance deux dés équilibrés. Quelle est la probabilité
d'obtenir un double six ?

]]> Épreuves indépendantes : les probabilités se multiplient.
Double six : 1/36 (le fameux problème du grand-duc
de Toscane repose sur ce type de compte).

]]> 1.0 0.0 0 true true abc 1/36

]]> Bonne réponse : les lancers sont indépendants :
⅙ × ⅙ = 1/36.

]]> 1/12

]]> Erreur : ⅙ + ⅙ = 2/6 ou
1/12 ? Ni l'un ni l'autre : les deux exigences
simultanées se multiplient : 1/36.

]]> 2/6

]]> Erreur : additionner les probabilités correspond à
« l'un ou l'autre » (et encore, pour des événements
incompatibles). Ici il faut six et six.

]]> ⅙

]]> Erreur : ⅙ est la probabilité d'un six sur
un dé. Le second six divise encore par 6.

]]> Phénomènes aléatoires — Q10 : Pierre-feuille-ciseaux Au jeu pierre-feuille-ciseaux, votre adversaire joue chaque
coup au hasard (les trois gestes équiprobables). Quelle est
la probabilité que vous gagniez la manche ?

]]> Modéliser le jeu : 9 couples équiprobables, 3 gagnants,
3 perdants, 3 nuls : P(gain) = ⅓.
Compter les issues favorables avant de conclure.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc ⅓

]]> Bonne réponse : quel que soit votre geste, un seul des
trois gestes adverses vous fait gagner (un autre perd, le
troisième annule) : ⅓.

]]> ½

]]> Erreur : « gagner ou pas » ne fait pas une chance sur
deux : il y a trois issues (gain, perte, égalité),
équiprobables face à un adversaire aléatoire.

]]> ⅑

]]> Erreur : ⅑ est la probabilité d'un couple
précis de gestes. Gagner regroupe trois couples
favorables sur neuf : 3/9 = ⅓.

]]> ⅔

]]> Erreur : ⅔ est la probabilité de ne pas
gagner (perdre ou faire égalité).

]]> Phénomènes aléatoires — Q11 : Le problème de Monty Hall Trois portes : une cache un lot, deux sont perdantes. Vous en
choisissez une ; l'animateur, qui sait où est le lot, ouvre
une autre porte, perdante, puis vous propose de changer.
Quelle est la probabilité de gagner si vous changez de
porte ?

]]> Monty Hall (au programme) : garder gagne avec ⅓,
changer avec ⅔. L'ouverture d'une porte perdante
par un animateur informé ne rééquilibre pas les chances :
une simulation en Python le vérifie de façon éclatante.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc ⅔

]]> Bonne réponse : votre premier choix gagne avec
probabilité ⅓ ; dans les ⅔ de cas
restants, le lot est derrière l'autre porte fermée, et
changer gagne. La stratégie « changer » double les
chances.

]]> ½, car il reste deux portes

]]> Le piège historique : les deux portes restantes ne sont
pas équiprobables, car l'animateur a utilisé son
information pour ouvrir une porte perdante. Votre porte
initiale reste à ⅓.

]]> ⅓

]]> Erreur : ⅓ est la probabilité de gagner en
gardant sa porte initiale. Changer récupère les
⅔ complémentaires.

]]> Impossible à déterminer

]]> Erreur : le modèle est parfaitement déterminé (choix
uniforme du lot, animateur informé) et la simulation le
confirme : ⅔ en changeant.

]]> Phénomènes aléatoires — Q12 : Le modèle et la réalité Pour étudier un dé trouvé dans un grenier, on choisit le
modèle équiprobable (P(six) = ⅙). Ce choix
se démontre-t-il ?

]]> Point d'insistance du programme : distinguer le modèle
probabiliste abstrait de la situation réelle. Le modèle est
une hypothèse (symétrie, ou fréquences observées via la loi
des grands nombres) : on le valide ou on le rejette, on ne le
démontre pas.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Non : une loi de probabilité est une hypothèse de
modélisation ; on peut la mettre à l'épreuve par
l'expérience, pas la démontrer

]]> Bonne réponse : l'équiprobabilité se choisit
(symétrie supposée du dé) et se confronte aux
fréquences observées (loi des grands nombres) : si elles
s'en écartent durablement, on révise le modèle.

]]> Oui : six faces, donc un sixième chacune,
mathématiquement prouvé

]]> Erreur : le nombre de faces ne prouve rien (un dé pipé a
aussi six faces). L'équiprobabilité est une hypothèse sur
l'objet réel, pas un théorème.

]]> Oui, en lançant le dé exactement 6 fois

]]> Erreur : six lancers ne montrent presque rien (les
fréquences y fluctuent énormément). Et même un grand
nombre de lancers teste le modèle sans le démontrer.

]]> Non : les probabilités ne s'appliquent pas aux objets
réels

]]> Trop fort : elles s'y appliquent très bien, précisément
via un modèle dont on évalue la pertinence.

]]> Phénomènes aléatoires — Q13 : Probabilité du contraire La probabilité qu'il pleuve demain est estimée à 0{,}35.
Quelle est la probabilité qu'il ne pleuve pas ?

]]> P(\bar{A}) = 1 - P(A) : la règle du complément, valable
partout (y compris dans les mondes conditionnés). Souvent le
chemin le plus court vers une probabilité difficile à
calculer en direct.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc 0{,}65

]]> Bonne réponse : P(\bar{A}) = 1 - P(A) = 1 - 0{,}35 :
les deux éventualités se partagent la certitude.

]]> 0{,}35

]]> Erreur : un événement et son contraire n'ont la même
probabilité qu'à 0{,}5 : ici le complément vaut
0{,}65.

]]> -0{,}35

]]> Impossible : aucune probabilité n'est négative : le
contraire se calcule par 1 - 0{,}35.

]]> On ne peut pas savoir

]]> Erreur : « pleuvoir » et « ne pas pleuvoir » couvrent
tout sans recouvrement : leurs probabilités somment
exactement à 1.

]]> Phénomènes aléatoires — Q14 : Somme des branches d'un nœud D'un nœud d'un arbre partent deux branches de probabilités
0{,}6 et p. Que vaut p ?

]]> Règle de l'arbre : à chaque nœud, les branches sortantes
somment à 1. Premier contrôle sur tout arbre donné,
premier outil pour compléter un arbre à trous.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc 0{,}4

]]> Bonne réponse : les branches issues d'un même nœud
couvrent toutes les suites possibles : leur somme vaut
1 : p = 1 - 0{,}6.

]]> 0{,}6

]]> Erreur : rien n'impose l'égalité des branches : c'est la
somme à 1 qui contraint : 0{,}4.

]]> 1{,}6

]]> Impossible : une probabilité ne dépasse pas 1 :
l'addition était à faire en sens inverse (1 - 0{,}6).

]]> N'importe quelle valeur entre 0 et 1

]]> Erreur : la règle de cohérence de l'arbre fixe p sans
liberté : 0{,}4.

]]> Phénomènes aléatoires — Q15 : Probabilité d'une réunion On donne P(A) = 0{,}5, P(B) = 0{,}3 et P(A \cap B) =
0{,}1. Que vaut P(A ∪ B) ?

]]> P(A ∪ B) = P(A) + P(B) - P(A ∩ B) : le diagramme en
patates rend la correction évidente. Cas particulier :
incompatibles (P(A ∩ B) = 0) : addition simple.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc 0{,}7

]]> Bonne réponse : 0{,}5 + 0{,}3 - 0{,}1 : la zone
commune, comptée deux fois par l'addition, se retranche
une fois.

]]> 0{,}8

]]> Double comptage : les issues de A ∩ B figurent dans
P(A) ET dans P(B) : l'addition brute les compte deux
fois.

]]> 0{,}15

]]> Erreur : 0{,}5 \times 0{,}3 calcule autre chose (une
intersection sous indépendance) : la réunion se calcule
par la formule additive corrigée.

]]> 0{,}9

]]> Erreur : 0{,}5 + 0{,}3 + 0{,}1 AJOUTE l'intersection
au lieu de la retirer.

]]> Phénomènes aléatoires — Q16 : L'arbre du tirage sans remise Une urne contient 4 jetons rouges et 6 noirs. On tire
deux jetons sans remise. Quelle est la probabilité de la
deuxième branche « rouge sachant rouge au premier tirage » ?

]]> Sans remise : chaque niveau de l'arbre se recalcule avec
l'urne mise à jour (numérateur ET dénominateur diminuent
pour la couleur tirée). C'est le mécanisme des probabilités
conditionnelles en acte.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc 3/9 : il reste 3 rouges parmi 9 jetons

]]> Bonne réponse : le premier jeton rouge est sorti : l'urne
contient 9 jetons dont 3 rouges : les branches du
deuxième niveau se recalculent.

]]> 4/10 : la même qu'au premier tirage

]]> Remise fantôme : sans remise, l'urne change après chaque
tirage : conserver 4/10 décrirait un tirage
AVEC remise.

]]> 4/9

]]> Numérateur non actualisé : le rouge tiré n'est plus dans
l'urne : il reste 3 rouges (le dénominateur 9,
lui, est correct).

]]> 3/10

]]> Dénominateur non actualisé : l'urne n'a plus que 9
jetons après le premier tirage.

]]> Phénomènes aléatoires — Q17 : Fréquence simulée et probabilité On simule 10 000 lancers d'une punaise : elle retombe
pointe en l'air 3 470 fois. Que peut-on en tirer ?

]]> Deux sources de probabilités : le modèle (symétries,
équiprobabilité justifiée) et la fréquence (grands
échantillons, loi des grands nombres). La simulation relie
les deux : la fréquence se stabilise autour de la
probabilité.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Une estimation : P(\text{pointe en l'air}) \approx
0{,}35, d'autant plus fiable que le nombre d'essais est
grand

]]> Bonne réponse : pour un objet sans symétrie, pas
d'équiprobabilité théorique : la fréquence observée sur
un GRAND échantillon est la meilleure estimation
disponible.

]]> Rien : seule une formule théorique donne une probabilité

]]> Erreur : quand la symétrie manque (punaise, punaise !),
l'approche fréquentiste est la voie légitime : la
fréquence se stabilise vers la probabilité.

]]> P = 0{,}5 : pointe en l'air ou pas, deux issues

]]> Équiprobabilité décrétée : les 3 470 sur 10 000
la contredisent : deux issues n'ont pas forcément le
même poids.

]]> P = 0{,}347 exactement

]]> Trop précis : la fréquence estime la probabilité
avec une marge : une nouvelle série de 10 000 lancers
donnerait un nombre voisin, pas identique.

]]> Phénomènes aléatoires — Q18 : Indépendants ou incompatibles ? Deux événements A et B ont des probabilités non nulles.
S'ils sont incompatibles (A ∩ B = ∅),
peuvent-ils être indépendants ?

]]> Incompatibles (probabilités non nulles) ⇒
dépendants : l'un exclut l'autre, information maximale.
L'indépendance se teste (P(A ∩ B) = P(A)P(B)),
elle ne se lit pas sur un diagramme.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Non : l'incompatibilité donne P(A ∩ B) = 0 ≠ P(A) × P(B)

]]> Bonne réponse : incompatibles = ne JAMAIS ensemble :
savoir A réalisé interdit B : c'est une dépendance
extrême, tout le contraire de l'indépendance.

]]> Oui : incompatibles et indépendants sont synonymes

]]> Confusion de vocabulaire : incompatibles = pas en même
temps ; indépendants = ne s'influencent pas : deux
notions non seulement différentes, mais opposées ici.

]]> Oui, si leurs probabilités sont égales

]]> Erreur : l'égalité des probabilités ne répare rien :
P(A)P(B) > 0 alors que P(A ∩ B) = 0 : le test
échoue toujours.

]]> Cela dépend de l'expérience

]]> Erreur : le calcul tranche dans tous les cas : 0 ≠ P(A)P(B) dès que les probabilités sont non nulles.

]]>