$course$/QCM de maths/Première tronc commun/Variation exponentielle Suites géométriques à termes strictement positifs (récurrence,
terme de rang n, sens de variation, représentation),
fonctions exponentielles x ↦ aˣ (a > 0,
x ≥ 0) : propriétés admises des puissances, exposant
1/n, taux d'évolution moyen, problèmes de seuil,
ordres de grandeur.

]]> Variation exponentielle — Q01 : Reconnaître une croissance exponentielle Un capital placé à intérêts composés de 5\ % par an
est multiplié par 1{,}05 chaque année. La suite des
capitaux annuels est :

]]> Taux d'évolution constant ⇔ suite géométrique
de raison le coefficient multiplicateur (1{,}05 pour
+5\ %). C'est le modèle de toutes les croissances
exponentielles.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Géométrique, de raison 1{,}05

]]> Bonne réponse : un taux d'évolution constant se
traduit par un facteur multiplicatif constant : modèle
géométrique (croissance exponentielle).

]]> Arithmétique, de raison 1{,}05

]]> Erreur : arithmétique signifierait ajouter 1{,}05
euro par an. Ici on multiplie : les intérêts produisent
des intérêts.

]]> Géométrique, de raison 0{,}05

]]> Erreur : multiplier par 0{,}05 effondrerait le capital
à 5\ % de sa valeur. Le coefficient d'une hausse de
5\ % est 1 + 0{,}05 = 1{,}05.

]]> Arithmétique, de raison 5

]]> Erreur : +5 euros par an correspondrait à des intérêts
simples (calculés sur le capital initial seulement).

]]> Variation exponentielle — Q02 : Formule explicite Un capital initial de 2000 euros est multiplié par
1{,}05 chaque année. Quelle formule donne le capital
u(n) après n années ?

]]> Terme de rang n d'une suite géométrique :
u(n) = u(0) × qⁿ. Ici 2000 \times 1{,}05^n :
après 10 ans, environ 3258 euros.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc u(n) = 2000 \times 1{,}05^n

]]> Bonne réponse : n multiplications successives par
1{,}05 se condensent en une puissance : 1{,}05^n.

]]> u(n) = 2000 + 0{,}05\,n

]]> Erreur : cette formule ajoute 5 centimes par an
(modèle linéaire, et mal calibré). Les intérêts composés
multiplient.

]]> u(n) = 2000 \times 0{,}05^n

]]> Erreur : élever 0{,}05 à la puissance écrase le
capital vers 0. Le facteur annuel est 1{,}05.

]]> u(n) = 2000 \times 1{,}05 \times n

]]> Erreur : multiplier par n donne une croissance
linéaire. La répétition du facteur exige une
puissance : 1{,}05^n.

]]> Variation exponentielle — Q03 : Sens de variation Soit la suite géométrique u(n) = 50 \times 0{,}9^n
(termes strictement positifs). Quel est son sens de
variation ?

]]> Suite géométrique à termes positifs : croissante si q > 1,
décroissante si 0 < q < 1, constante si q = 1.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Décroissante, car la raison 0{,}9 est entre 0 et 1

]]> Bonne réponse : multiplier une quantité positive par
0{,}9 la diminue de 10\ % à chaque rang : 50 ;
45 ; 40{,}5…

]]> Croissante, car 50 est positif

]]> Erreur : le premier terme donne l'échelle, pas la
direction. C'est la position de la raison par rapport à
1 qui décide.

]]> Décroissante, car 0{,}9 est négatif

]]> Erreur d'argument : 0{,}9 > 0. La décroissance vient de
0{,}9 < 1 (chaque multiplication réduit), pas d'un
signe négatif.

]]> Constante

]]> Erreur : constante exigerait une raison q = 1. Ici
chaque terme perd 10\ %.

]]> Variation exponentielle — Q04 : L'exposant $\frac{1}{n}$ Que vaut 2^{1/2} (deux à la puissance un demi) ?

]]> Extension des puissances (admise au programme) : a^{1/n} =
racine n-ième de a, seule valeur compatible avec
\left(a^{1/n}\right)^n = a^1. Clé du taux d'évolution
moyen.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc \sqrt{2} \approx 1{,}41

]]> Bonne réponse : a^{1/n} est la racine n-ième de a :
le nombre positif dont la puissance n redonne a.
Contrôle : \left(2^{1/2}\right)^2 = 2^1 = 2.

]]> 1

]]> Erreur : 2⁰ = 1, mais l'exposant vaut ici
½, pas 0 : 2^{1/2} = \sqrt{2}.

]]> 2/2 = 1

]]> Erreur : l'exposant fractionnaire n'est pas une
division de la base. La règle des puissances impose
\left(2^{1/2}\right)^2 = 2 : c'est √2.

]]> 1{,}5

]]> Erreur : 1{,}5^2 = 2{,}25 \neq 2. La valeur exacte est
\sqrt{2} \approx 1{,}414.

]]> Variation exponentielle — Q05 : Propriétés de $a^x$ Pour a > 0 et x, y ≥ 0, que vaut
aˣ × aʸ ?

]]> Les fonctions exponentielles x ↦ aˣ héritent des
règles des puissances : aˣ aʸ = aˣ⁺ʸ,
(aˣ)ʸ = aˣʸ, a⁰ = 1.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc aˣ⁺ʸ

]]> Bonne réponse : la règle des puissances entières
s'étend (elle est admise) aux exposants réels : produit
des puissances = somme des exposants.

]]> aˣʸ

]]> Erreur : le produit des exposants correspond à
(aˣ)ʸ, la puissance de puissance.

]]> 2aˣ⁺ʸ

]]> Erreur : aucun facteur 2 n'apparaît :
aˣ aʸ = aˣ⁺ʸ tout court.

]]> aˣ + aʸ

]]> Erreur : le produit des puissances ne devient pas
une somme de puissances ; ce sont les exposants qui
s'additionnent.

]]> Variation exponentielle — Q06 : Taux d'évolution moyen Une grandeur a augmenté de 21\ % en deux ans. Quel est le
taux d'évolution annuel moyen ?

]]> Taux moyen sur n périodes : le coefficient global élevé à
la puissance 1/n (racine n-ième). Ici
1{,}21^{1/2} = 1{,}1 : +10\ % par an. Jamais de
division du taux global.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc 10\ % par an, car 1{,}1^2 = 1{,}21

]]> Bonne réponse : le taux moyen est celui qui, répété deux
fois, reproduit l'évolution globale : coefficient
1{,}21^{1/2} = 1{,}1, soit +10\ % par an.

]]> 10{,}5\ \% par an, la moitié de 21\ %

]]> Le piège de la division : les taux ne se moyennent pas
arithmétiquement, car ils se composent par produit.
Vérifie : 1{,}105^2 = 1{,}221 \neq 1{,}21.

]]> 21\ % par an

]]> Erreur : 21\ % est le taux global sur deux ans,
pas le taux annuel.

]]> 4{,}58\ \% par an

]]> Erreur : ce serait environ le taux moyen d'une hausse de
21\ % étalée sur... plus d'années. Sur deux ans :
\sqrt{1{,}21} = 1{,}1, soit 10\ %.

]]> Variation exponentielle — Q07 : Un autre taux moyen Le chiffre d'affaires d'une entreprise a été multiplié par
1{,}44 en deux ans. Quel taux annuel moyen cela
représente-t-il ?

]]> Même méthode : coefficient moyen = 1{,}44^{1/2} = 1{,}2,
taux moyen = 20\ %. L'exposant 1/n du programme
sert exactement à cela.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc +20\ % par an, car 1{,}44^{1/2} = 1{,}2

]]> Bonne réponse : \sqrt{1{,}44} = 1{,}2 : deux hausses
successives de 20\ % reconstituent bien
1{,}2 \times 1{,}2 = 1{,}44.

]]> +22\ % par an, car 44 ÷ 2 = 22

]]> Le piège de la division : 1{,}22^2 = 1{,}4884 \neq
1{,}44. Le taux moyen passe par la racine carrée du
coefficient global.

]]> +44\ % par an

]]> Erreur : +44\ % est l'évolution totale sur deux
ans, pas annuelle.

]]> +1{,}2\ \% par an

]]> Confusion : 1{,}2 est le coefficient annuel moyen ;
le taux correspondant est sa partie au-delà de 1 :
20\ %.

]]> Variation exponentielle — Q08 : Décroissance par demi-vie Un échantillon radioactif perd la moitié de ses noyaux à
chaque demi-vie. Quelle proportion des noyaux initiaux
reste-t-il après trois demi-vies ?

]]> Décroissance exponentielle type (datation au carbone 14) :
après n demi-vies, il reste (½)ⁿ
de la quantité initiale. Trois demi-vies : ⅛.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc ⅛

]]> Bonne réponse : (½)³ = ⅛ : moitié, puis quart, puis huitième.

]]> ⅙

]]> Erreur : ½ × 3 au dénominateur ? Les
moitiés se composent par produit :
(½)³ = ⅛.

]]> ⅓

]]> Erreur : perdre la moitié trois fois ne laisse pas un
tiers, mais un huitième (chaque moitié porte sur le
reste).

]]> 0 : tout a disparu

]]> Erreur : une décroissance exponentielle ne s'annule
jamais exactement : il reste toujours une fraction
(ici 12{,}5\ \%).

]]> Variation exponentielle — Q09 : Problème de seuil exponentiel Une population de bactéries double chaque heure. Elle
compte 100 individus à l'instant initial. Au bout de
combien d'heures dépasse-t-elle 1500 individus ?

]]> Seuil exponentiel (capacité attendue) : dérouler les
puissances (100 × 2ⁿ) jusqu'à franchir le seuil, à
la main, au tableur ou par calculatrice : n = 4.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc 4 heures

]]> Bonne réponse : 100 → 200 → 400 → 800 → 1600 :
après 4 doublements, 100 × 2⁴ = 1600 > 1500
(et 800 < 1500 après 3).

]]> 15 heures

]]> Erreur de modèle : 15 = 1500/100 raisonne
linéairement. Le doublement répété va beaucoup plus
vite : 4 heures suffisent.

]]> 3 heures

]]> Erreur : 100 × 2³ = 800 < 1500 : le seuil n'est
pas encore franchi.

]]> 8 heures

]]> Erreur : après 8 heures, 100 × 2⁸ = 25 600 :
le seuil de 1500 est dépassé depuis longtemps
(dès la quatrième heure).

]]> Variation exponentielle — Q10 : Ordre de grandeur d'un doublement répété Une quantité double 10 fois de suite. Par quel facteur
global est-elle environ multipliée ?

]]> Estimer les ordres de grandeur exponentiels (capacité
attendue) : 2¹⁰ = 1024 ≈ 10³. L'intuition
linéaire (« × 20 ») sous-estime massivement les
croissances exponentielles.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Environ 1000, car 2¹⁰ = 1024

]]> Bonne réponse : dix doublements font 2¹⁰ = 1024 ≈ 10³. Ordre de grandeur précieux : « dix
doublements ≈ un facteur mille ».

]]> 20, car 2 × 10

]]> L'erreur linéaire type : les doublements se multiplient
entre eux, ils ne s'additionnent pas :
2¹⁰ ≈ 1000, cinquante fois plus que 20.

]]> 100

]]> Erreur : 100 = 10² sous-estime : 2¹⁰ = 1024,
soit environ 10³.

]]> 512

]]> Presque : 512 = 2⁹ correspond à neuf doublements.
Le dixième porte à 1024.

]]> Variation exponentielle — Q11 : Exponentiel contre linéaire Une population croît de 2\ % par an (exponentiel) ; ses
ressources alimentaires croissent d'une quantité fixe par an
(linéaire). D'après ce modèle (dit de Malthus), que se
passe-t-il à long terme ?

]]> Modèle de Malthus (au programme) : géométrique contre
arithmétique. À long terme, l'exponentielle l'emporte
toujours sur le linéaire, quel que soit le taux. D'où
l'importance de reconnaître la nature d'une croissance.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc La population finit toujours par croître plus vite que
les ressources

]]> Bonne réponse : toute croissance exponentielle (même à
petit taux) finit par dépasser n'importe quelle
croissance linéaire : les courbes se croisent
inévitablement.

]]> Les ressources gardent l'avantage si leur croissance
annuelle est assez grande

]]> Erreur : un ajout constant, aussi généreux soit-il, est
tôt ou tard rattrapé par la multiplication répétée :
l'exponentielle gagne toujours à long terme.

]]> Les deux croissances restent proportionnelles

]]> Erreur : leurs formes diffèrent radicalement (droite
contre courbe qui s'accélère) : l'écart se creuse au lieu
de rester proportionnel.

]]> Le modèle ne permet aucune conclusion

]]> Erreur : le modèle conclut nettement (c'est sa force et
sa limite : la réalité peut ensuite dévier du modèle,
mais lui est sans ambiguïté).

]]> Variation exponentielle — Q12 : Le facteur de reproduction d'une épidémie Au début d'une épidémie, chaque malade en contamine en
moyenne 3 (facteur de reproduction R₀ = 3). En partant
d'un cas, combien de nouveaux cas le modèle prévoit-il à
la quatrième génération de contaminations ?

]]> Modèle géométrique d'une épidémie naissante (au programme) :
cas à la génération n = R₀ⁿ. Avec R₀ = 3 :
croissance explosive (81 à la génération 4, près de
60 000 à la dixième) : d'où l'enjeu de faire passer
R₀ sous 1.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc 3⁴ = 81

]]> Bonne réponse : chaque génération multiplie par 3 :
1 → 3 → 9 → 27 → 81 : suite géométrique de
raison R₀.

]]> 3 × 4 = 12

]]> L'erreur linéaire : les contaminations se multiplient de
génération en génération, elles ne s'additionnent pas :
3⁴ = 81.

]]> 4³ = 64

]]> Base et exposant échangés : le facteur 3 se répète
4 fois : 3⁴, pas 4³.

]]> 27

]]> Presque : 27 = 3³ est la troisième génération. La
quatrième triple encore : 81.

]]> Variation exponentielle — Q13 : La puissance $a^0$ Pour a > 0, que vaut a⁰ ?

]]> a⁰ = 1 : le point de départ de toute croissance
exponentielle (V₀ × a⁰ = V₀ : au temps zéro, la
valeur initiale). Les courbes y = aˣ passent toutes par
(0\ ;\ 1).

]]> 1.0 0.0 0 true true abc 1

]]> Bonne réponse : a⁰ = 1 pour tout a > 0 : cohérent
avec la règle des quotients : aⁿ/aⁿ = a⁰ = 1.

]]> 0

]]> Erreur : l'exposant 0 ne signifie pas « rien » mais
« produit vide » : la valeur neutre est 1.

]]> a

]]> Décalage : a = a¹ : l'exposant 0 descend d'un cran
en dessous : 1.

]]> Cela dépend de a

]]> Erreur : 2⁰ = 1, 10⁰ = 1, 0{,}5^0 = 1 : la
valeur est universelle (pour a > 0).

]]> Variation exponentielle — Q14 : Trois années de croissance Une population augmente de 2\ % chaque année. Par quel
nombre est-elle multipliée au bout de 3 ans ?

]]> Croissance à taux constant : Vₙ = V₀ × (1 + t)ⁿ :
la durée en exposant. L'écart avec l'addition des taux
(6{,}12\ \% contre 6\ %) : les fameux intérêts
composés.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc 1{,}02^3 \approx 1{,}0612

]]> Bonne réponse : chaque année multiplie par 1{,}02 :
trois années enchaînées : 1{,}02 \times 1{,}02 \times
1{,}02, soit un peu PLUS que +6\ %.

]]> 1{,}06 exactement

]]> Addition des taux : 3 × 2\ % = 6\ % néglige
les intérêts composés : le vrai facteur est 1{,}02^3
\approx 1{,}0612.

]]> 3 \times 1{,}02 = 3{,}06

]]> Erreur : multiplier par 3 triplerait la population :
les évolutions s'enchaînent en puissance, pas en
produit par le nombre d'années.

]]> 1{,}02 + 3

]]> Erreur : aucune addition entre coefficient et durée : la
durée devient l'exposant : 1{,}02^3.

]]> Variation exponentielle — Q15 : Deux baisses de $10\ \%$ Une valeur baisse de 10\ % par an pendant deux ans.
Quelle est la baisse totale ?

]]> Baisses répétées : multiplier les coefficients (0{,}9^n),
puis convertir en taux (1 - 0{,}81 = 19\ \%). Les baisses
successives s'amortissent : on ne peut jamais perdre plus de
100\ % !

]]> 1.0 0.0 0 true true abc 19\ %, car 0{,}9^2 = 0{,}81

]]> Bonne réponse : deux années à \times 0{,}9 : 0{,}81,
soit -19\ % : la deuxième baisse porte sur une valeur
déjà réduite, elle retire donc un peu moins.

]]> 20\ %

]]> Addition des taux : presque, mais faux : 0{,}9 \times
0{,}9 = 0{,}81 \neq 0{,}80 : le point d'écart est la
baisse « évitée » sur la partie déjà perdue.

]]> 81\ %

]]> Confusion : 81\ % est ce qui reste, pas ce qui
disparaît : la baisse est le complément : 19\ %.

]]> 1\ %

]]> Erreur : 1\ % est l'écart entre 20\ % (addition
naïve) et 19\ % (réalité) : la baisse totale est
bien 19\ %.

]]> Variation exponentielle — Q16 : Capital à intérêts composés Un capital de 1 000 euros est placé à 4\ % par an
(intérêts composés). Que vaut-il après 2 ans ?

]]> Intérêts composés : Cₙ = C₀ × (1 + t)ⁿ : le modèle
exponentiel du placement. La différence avec les intérêts
simples (C₀(1 + nt), modèle linéaire) grandit avec les
années.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc 1\,081{,}60 euros

]]> Bonne réponse : 1000 \times 1{,}04^2 = 1000 \times
1{,}0816 : la deuxième année rapporte des intérêts sur
les intérêts (1{,}60 euro de plus que 2 × 40).

]]> 1 080 euros

]]> Intérêts simples : 2 × 40 euros ignore les
intérêts produits par les premiers intérêts : composés,
on obtient 1\,081{,}60.

]]> 1 008 euros

]]> Erreur d'échelle : 4\ % de 1 000 vaut 40 euros
par an, pas 4 : après deux ans composés :
1\,081{,}60.

]]> 2 080 euros

]]> Erreur : le capital ne double pas en deux ans à
4\ % : chaque année multiplie par 1{,}04, pas par
2.

]]> Variation exponentielle — Q17 : Le duel à long terme Modèle A : +1 000 par an (linéaire). Modèle B :
+1\ % par an (exponentiel), départ 10 000. Que
dire du long terme ?

]]> Loi générale : toute exponentielle (raison > 1) finit par
dépasser toute suite linéaire, quel que soit le handicap de
départ. Le croisement peut être lointain : c'est la morale
des placements, des épidémies et des dettes.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc B finit toujours par dépasser A : une croissance
exponentielle dépasse tôt ou tard toute croissance
linéaire

]]> Bonne réponse : les gains de B grossissent avec la
valeur (1\ % d'une somme qui enfle), ceux de A
restent figés à 1 000 : l'exponentielle gagne le
marathon, même partie très lentement.

]]> A gagne toujours : 1 000 est plus grand que 1\ %
de 10 000

]]> Vrai au départ (1 000 > 100), faux à terme : quand la
valeur de B atteint 100 000, son gain annuel rejoint
les 1 000 de A… puis les dépasse sans retour.

]]> Ils restent à égalité de rythme

]]> Erreur : l'un ajoute une constante, l'autre un
pourcentage croissant : les rythmes divergent
inexorablement.

]]> Impossible à dire sans la durée exacte

]]> Erreur : le résultat asymptotique est un théorème : SANS
connaître la date de croisement, on sait qu'elle existe.

]]> Variation exponentielle — Q18 : Deux demi-vies du carbone 14 Le carbone 14 perd la moitié de sa quantité tous les
5 730 ans (demi-vie). Quelle proportion reste-t-il après
11 460 ans (deux demi-vies) ?

]]> Décroissance par demi-vie : quantité restante = (½)ⁿ après n demi-vies : le
modèle exponentiel de la datation au carbone 14. Jamais
zéro : chaque période divise, elle ne soustrait pas.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc 25\ % : la moitié de la moitié

]]> Bonne réponse : chaque demi-vie multiplie par
½ : deux demi-vies : (½ )² = ¼.

]]> 0\ % : deux moitiés font un tout

]]> Addition des baisses : faux : la deuxième moitié porte
sur ce qui reste : on ne descend jamais à zéro, on
divise par 2 à chaque période.

]]> 50\ %

]]> Une seule demi-vie : 11 460 = 2 × 5 730 : DEUX
périodes se sont écoulées : ¼.

]]> 75\ %

]]> Confusion : 75\ % est la proportion disparue :
il en reste 25\ %.

]]>