$course$/QCM de maths/Première tronc commun/Variation linéaire Suites arithmétiques (définition par récurrence, terme de rang
n, sens de variation, représentation graphique) et fonctions
affines (taux d'accroissement, coefficient directeur) :
modéliser les croissances à accroissement constant, résoudre
des problèmes de seuil.

]]> Variation linéaire — Q01 : Reconnaître une croissance linéaire Un livret rapporte des intérêts simples : chaque année,
le capital augmente de 20 euros exactement. La suite des
capitaux annuels est :

]]> Croissance linéaire = accroissement constant = suite
arithmétique (u(n+1) = u(n) + r). À opposer à la
croissance exponentielle (taux constant, suite géométrique).

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Arithmétique, de raison 20

]]> Bonne réponse : un accroissement constant en valeur
absolue (+20 euros par an) est la signature du modèle
arithmétique (croissance linéaire).

]]> Géométrique, de raison 20

]]> Erreur : géométrique signifierait multiplier par 20
chaque année. Ici on ajoute un montant fixe.

]]> Géométrique, de raison 1{,}20

]]> Erreur : \times\,1{,}20 modéliserait des intérêts
composés de 20\ %. Les intérêts simples ajoutent
toujours le même montant : modèle arithmétique.

]]> Ni l'une ni l'autre

]]> Erreur : « +20 chaque année » est exactement la
définition d'une suite arithmétique de raison 20.

]]> Variation linéaire — Q02 : Terme de rang donné Un abonnement coûte 500 euros à l'ouverture (rang 0)
puis 200 euros par mois : u(n) = 500 + 200n. Combien
a-t-on dépensé au total au rang n = 12 ?

]]> Formule explicite d'une suite arithmétique :
u(n) = u(0) + n × r. Elle donne directement le terme
de rang n, sans dérouler tous les rangs intermédiaires.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc 2900 euros

]]> Bonne réponse : u(12) = 500 + 200 × 12 = 500 + 2400 = 2900 euros.

]]> 8400 euros

]]> Erreur : 700 × 12 multiplie la somme 500 + 200
par 12. Seul le terme mensuel est multiplié par n :
500 + 200 × 12.

]]> 2700 euros

]]> Erreur d'indice : 500 + 200 × 11 = 2700
correspond au rang 11. Au rang 12 : 2900.

]]> 700 euros

]]> Erreur : 700 = u(1) est la dépense au premier mois.
Pour n = 12, la formule donne 2900.

]]> Variation linéaire — Q03 : Sens de variation Soit la suite arithmétique définie par u(n+1) = u(n) - 3
et u(0) = 100. Quel est son sens de variation ?

]]> Suite arithmétique de raison r : croissante si r > 0,
décroissante si r < 0, constante si r = 0. Parallèle
exact avec le coefficient directeur des fonctions affines.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Décroissante, car la raison -3 est négative

]]> Bonne réponse : chaque terme perd 3 : 100, 97,
94… Le signe de la raison commande tout.

]]> Croissante, car u(0) = 100 est grand

]]> Erreur : le premier terme fixe le point de départ, pas la
direction. C'est la raison -3 < 0 qui fait
descendre la suite.

]]> Constante

]]> Erreur : constante exigerait une raison nulle. Ici on
retire 3 à chaque rang.

]]> Croissante puis décroissante

]]> Erreur : une suite arithmétique garde le même sens de
variation du début à la fin (ses points sont alignés).

]]> Variation linéaire — Q04 : Représentation graphique d'une suite arithmétique On représente les termes d'une suite arithmétique par les
points de coordonnées (n ; u(n)). Qu'observe-t-on ?

]]> Suite arithmétique ↔ points alignés (version
discrète de la fonction affine). Ce lien visuel permet de
reconnaître une croissance linéaire sur un graphique.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Des points alignés sur une droite

]]> Bonne réponse : l'accroissement constant r joue le rôle
d'un coefficient directeur : les points (n ; u(0) + rn) suivent la droite y = rx + u(0).

]]> Des points sur une courbe qui monte de plus en plus vite

]]> Erreur : l'accélération est la signature des suites
géométriques (croissance exponentielle). Le modèle
arithmétique avance à pas constant : alignement.

]]> Une droite continue

]]> Nuance importante : une suite est discrète, sa
représentation est un ensemble de points isolés (alignés),
pas un trait continu.

]]> Des points disposés au hasard

]]> Erreur : la régularité du pas r produit au contraire un
alignement parfait.

]]> Variation linéaire — Q05 : Taux d'accroissement d'une fonction affine Soit la fonction affine f(x) = 2x + 3. Quand x augmente
de 1, de combien varie f(x) ?

]]> Fonction affine f(x) = mx + p : accroissement constant
m par unité de x (coefficient directeur de la droite).
Version continue de la suite arithmétique.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc De +2 : le taux d'accroissement est le coefficient
directeur

]]> Bonne réponse : f(x+1) - f(x) = 2(x+1) + 3 - 2x - 3 = 2 : variation constante, égale au coefficient de x.

]]> De +3

]]> Erreur : 3 est l'ordonnée à l'origine (la valeur en
x = 0), pas la variation par unité.

]]> De +5

]]> Erreur : 5 = f(1) est une valeur de la fonction,
pas son accroissement (qui vaut f(1) - f(0) = 5 - 3 = 2).

]]> Cela dépend de la valeur de x

]]> Erreur : c'est le propre des fonctions affines :
l'accroissement par unité est constant (c'est même ce
qui les caractérise).

]]> Variation linéaire — Q06 : Degrés Celsius et Fahrenheit La conversion s'écrit F = 1{,}8\,C + 32. Quelle
température Fahrenheit correspond à 20 degrés Celsius ?

]]> Modèle affine typique (au programme) : F = 1{,}8C + 32
combine un facteur d'échelle (1{,}8) et un décalage
d'origine (32). 20 °C = 68 °F.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc 68 degrés Fahrenheit

]]> Bonne réponse : 1{,}8 \times 20 + 32 = 36 + 32 = 68.

]]> 52 degrés Fahrenheit

]]> Erreur : 20 + 32 = 52 oublie le facteur 1{,}8
appliqué aux Celsius.

]]> 36 degrés Fahrenheit

]]> Incomplet : 1{,}8 \times 20 = 36, mais il reste à
ajouter le décalage +32.

]]> 93{,}6 degrés Fahrenheit

]]> Erreur : 1{,}8 \times (20 + 32) ajoute avant de
multiplier. La formule multiplie d'abord : 1{,}8C + 32.

]]> Variation linéaire — Q07 : Problème de seuil linéaire Avec u(n) = 500 + 200n (dépense cumulée au rang n), à
partir de quel rang la dépense dépasse-t-elle 2000
euros ?

]]> Problème de seuil (capacité attendue) : résoudre
l'inéquation 500 + 200n > 2000, puis prendre le premier
rang entier convenable : n = 8.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc À partir de n = 8

]]> Bonne réponse : 500 + 200n > 2000 \Leftrightarrow n >
7{,}5 : le premier rang entier au-delà est n = 8
(u(8) = 2100).

]]> À partir de n = 7

]]> Erreur : u(7) = 1900 < 2000 : le seuil n'est pas encore
franchi au rang 7.

]]> À partir de n = 7{,}5

]]> Erreur de nature : un rang est un entier ; la
solution n > 7{,}5 de l'inéquation s'arrondit au
premier entier supérieur : 8.

]]> Jamais : la suite est bornée

]]> Erreur : une suite arithmétique de raison positive
dépasse tout seuil (croissance sans plafond, quoique
lente).

]]> Variation linéaire — Q08 : Intérêts simples ou composés ? Quelle est la différence entre intérêts simples et intérêts
composés ?

]]> Deux modèles d'évolution au cœur du programme : intérêts
simples → arithmétique (linéaire) ; intérêts composés
→ géométrique (exponentiel). Le chapitre suivant explore
le second.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Simples : même montant ajouté chaque année (linéaire) ;
composés : même pourcentage appliqué chaque année
(exponentiel)

]]> Bonne réponse : les intérêts simples se calculent
toujours sur le capital initial (suite arithmétique) ;
les composés sur le capital courant (suite
géométrique).

]]> Simples : petits montants ; composés : gros montants

]]> Erreur : la distinction porte sur le mécanisme de
calcul, pas sur la taille des sommes.

]]> Les deux reviennent au même à long terme

]]> Erreur : c'est tout le contraire : à long terme, les
composés (exponentiels) creusent un écart de plus en plus
grand sur les simples (linéaires).

]]> Composés : les intérêts sont versés deux fois par an

]]> Erreur : « composés » signifie que les intérêts
produisent eux-mêmes des intérêts, quelle que soit la
fréquence de versement.

]]> Variation linéaire — Q09 : Offre, demande et point d'équilibre L'offre est modélisée par y = 2x + 1 et la demande par
y = -x + 10 (x : prix unitaire). En quel prix x
l'offre égale-t-elle la demande (point d'équilibre) ?

]]> Modèle affine de l'offre et de la demande (au programme) :
le point d'équilibre est l'intersection des deux droites.
Égaler les expressions : x = 3, y = 7.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc x = 3

]]> Bonne réponse : 2x + 1 = -x + 10 ⇔ 3x = 9 ⇔ x = 3 (et la quantité d'équilibre vaut
y = 7).

]]> x = 9

]]> Oubli de la division : 3x = 9 donne x = 3, pas
x = 9.

]]> x = 7

]]> Confusion : 7 est l'ordonnée du point d'équilibre
(la quantité), pas le prix x.

]]> Il n'y a pas d'équilibre : les droites sont parallèles

]]> Erreur : les pentes 2 et -1 diffèrent : les droites
se coupent en exactement un point.

]]> Variation linéaire — Q10 : Coefficient directeur par deux points Une droite passe par les points (2 ; 5) et
(6 ; 13). Quel est son coefficient directeur ?

]]> Automatisme du programme : m = y_B - y_A/x_B - x_A = 2 : la droite monte de 2 par pas de 1 vers la
droite.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc 2

]]> Bonne réponse : m = 13 - 5/6 - 2 = 8/4 = 2.

]]> ½

]]> Fraction renversée : la variation des ordonnées
(8) se divise par celle des abscisses (4).

]]> 8

]]> Incomplet : 8 est la variation vertic ale totale ; le
coefficient la rapporte à l'avancée horizontale (4) :
2 par unité.

]]> 18

]]> Erreur : 13 + 5/6 - 2 additionne au lieu de
soustraire au numérateur. Formule :
y_B - y_A/x_B - x_A.

]]> Variation linéaire — Q11 : Impôt et taux marginal Un barème d'impôt prévoit : 0\ % jusqu'à 10 000 euros
de revenu, puis 30\ % sur la partie au-delà de
10 000 euros. Quel est l'impôt pour un revenu de
15 000 euros ?

]]> Modèle affine par morceaux (au programme) : chaque taux
s'applique à sa tranche. Impôt = 0{,}3 \times (15\,000 -
10\,000) = 1500 euros ; le taux moyen effectif vaut
10\ %, bien moins que le taux marginal de 30\ %.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc 1500 euros : 30\ % des 5000 euros au-dessus du
seuil

]]> Bonne réponse : le taux marginal de 30\ % ne
s'applique qu'à la tranche au-delà de 10 000 euros :
0{,}3 \times 5000 = 1500.

]]> 4500 euros : 30\ % de tout le revenu

]]> L'erreur répandue sur les impôts : le taux d'une tranche
ne s'applique jamais à tout le revenu, seulement à la
partie située dans la tranche.

]]> 3000 euros

]]> Erreur : 30\ % de 10 000 calcule sur la mauvaise
partie : la première tranche est à 0\ %, la taxation
porte sur les 5000 euros excédentaires.

]]> 0 euro, car le revenu dépasse à peine le seuil

]]> Erreur : dès que le revenu dépasse 10 000 euros, la
partie excédentaire est imposée : 1500 euros ici.

]]> Variation linéaire — Q12 : Linéaire ou pas ? Parmi ces quatre évolutions annuelles, laquelle relève d'un
modèle linéaire (suite arithmétique) ?

]]> Test de reconnaissance : « + le même montant » →
linéaire ; « × le même facteur » (ou ± le même
pourcentage) → exponentiel. Diagnostic indispensable
avant tout choix de modèle.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Une forêt gagne 50 hectares chaque année

]]> Bonne réponse : accroissement constant en valeur
absolue (+50 ha/an) : croissance linéaire, suite
arithmétique de raison 50.

]]> Une population augmente de 2\ % chaque année

]]> Erreur : un taux constant (\times 1{,}02) définit
une croissance exponentielle (suite géométrique).

]]> Un capital est multiplié par 1{,}5 chaque année

]]> Erreur : multiplication répétée : modèle géométrique
(exponentiel), pas linéaire.

]]> Une quantité perd la moitié de sa valeur chaque année

]]> Erreur : × ½ répété est une
décroissance exponentielle (demi-vie), pas linéaire.

]]> Variation linéaire — Q13 : Avancer de terme en terme Une suite vérifie u₀ = 20 et uₙ₊₁ = uₙ + 5. Que
vaut u₃ ?

]]> Suite arithmétique : uₙ = u₀ + n × r (ici 20 + 5n). Le rang n compte le nombre de pas effectués
depuis u₀ : source du décalage classique d'une unité.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc 35

]]> Bonne réponse : trois pas de +5 depuis 20 : 25,
30, 35 (ou directement 20 + 3 × 5).

]]> 40

]]> Un pas de trop : u₃ est atteint en trois étapes
depuis u₀ (40 serait u₄).

]]> 60

]]> Erreur : 20 × 3 multiplie le terme initial : la
suite AJOUTE 5 par étape, elle ne multiplie pas.

]]> 25

]]> Arrêt prématuré : 25 = u₁ : il reste deux pas
jusqu'à u₃.

]]> Variation linéaire — Q14 : Pente négative Que dire de la fonction affine f(x) = -3x + 12 ?

]]> Modèle linéaire : le coefficient directeur est le taux
d'accroissement constant : m > 0 croissance, m < 0
décroissance, et |m| donne la vitesse. Tout est dans la
pente.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Elle est décroissante : chaque unité de plus sur x
fait perdre 3 à f(x)

]]> Bonne réponse : le coefficient directeur -3 est le
taux de variation : négatif, la droite descend, à
vitesse constante.

]]> Elle est croissante, car 12 est positif

]]> Mauvais paramètre : 12 est la valeur de départ (en
x = 0) : le sens de variation se lit sur le
coefficient de x.

]]> Elle est décroissante seulement pour x > 4

]]> Erreur : une droite garde la même pente partout : elle
descend AVANT et APRÈS 4 (4 est juste là où elle
traverse zéro).

]]> Elle n'est ni croissante ni décroissante

]]> Erreur : seule une fonction constante (m = 0)
échappe au classement : ici m = -3 : décroissante.

]]> Variation linéaire — Q15 : Deux tarifs à comparer Tarif A : 30 euros d'abonnement plus 2 euros par séance.
Tarif B : 5 euros par séance sans abonnement. À partir de
combien de séances le tarif A devient-il avantageux ?

]]> Comparer deux modèles linéaires : égaler les expressions
(point d'indifférence), puis raisonner sur les pentes : la
droite la moins pentue finit toujours par passer dessous. Le
schéma des choix d'abonnement, forfaits, locations.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc À partir de 11 séances (les deux tarifs s'égalent à
x = 10)

]]> Bonne réponse : 30 + 2x = 5x \iff x = 10 : égalité à
10 séances (50 euros), et au-delà l'abonnement
l'emporte (3 euros économisés par séance
supplémentaire).

]]> Dès la première séance : l'abonnement fait gagner de
l'argent

]]> Erreur : à 1 séance : 32 euros contre 5 : les
30 euros fixes pèsent lourd au départ : l'abonnement
se rentabilise avec le volume.

]]> Jamais : B est toujours moins cher

]]> Erreur : B grimpe de 5 par séance contre 2 pour A :
les droites se croisent (à x = 10) et A passe dessous.

]]> À partir de 6 séances

]]> Contrôle : à 6 séances : 42 euros (A) contre 30
(B) : B gagne encore : l'égalité n'arrive qu'à 10.

]]> Variation linéaire — Q16 : Coût d'un abonnement Une salle de sport coûte 25 euros d'inscription puis 3
euros par séance. Quel est le coût total pour 10
séances ?

]]> Modèle affine du coût : C(x) = (fixe) + (taux) × x : la structure de tous les tarifs à
abonnement. La partie fixe se paie une fois, le taux à
chaque unité.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc 55 euros

]]> Bonne réponse : C(x) = 25 + 3x, et C(10) = 25 + 30 = 55 : partie fixe + partie proportionnelle.

]]> 30 euros

]]> Partie fixe oubliée : 3 × 10 = 30 ne compte que
les séances : l'inscription s'ajoute.

]]> 280 euros

]]> Erreur : (25 + 3) × 10 fait payer l'inscription
à chaque séance : elle ne se paie qu'une fois.

]]> 250 euros

]]> Erreur : 25 × 10 multiplie la partie fixe : la
formule est 25 + 3 × 10.

]]> Variation linéaire — Q17 : Retrouver la fonction affine Une fonction affine vérifie f(2) = 7 et f(5) = 16.
Quelle est son expression ?

]]> Affine par deux valeurs : 1) taux m = f(b) - f(a)/b - a ; 2) constante via l'un des points ; 3)
contrôle avec l'autre. Le même calcul que la droite par deux
points : c'en est une.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc f(x) = 3x + 1

]]> Bonne réponse : taux = 16 - 7/5 - 2 = 3,
puis f(2) = 7 donne 6 + b = 7, b = 1. Contrôle :
f(5) = 16 ✓.

]]> f(x) = 3x + 7

]]> Ordonnée bâclée : 7 est f(2), pas f(0) : la
constante se calcule : 7 - 3 × 2 = 1.

]]> f(x) = 9x + 3

]]> Taux faux : 9 est l'écart des images seul : le taux le
divise par l'écart des antécédents (3) : m = 3.

]]> f(x) = 7/2x

]]> Proportionnalité supposée à tort : \frac{7}{2}
\times 5 = 17{,}5 \neq 16 : une fonction affine
générale a aussi une constante b.

]]> Variation linéaire — Q18 : Le tableau est-il linéaire ? Un tableau donne : f(0) = 3, f(1) = 5, f(2) = 7,
f(3) = 10. Un modèle linéaire (affine) convient-il ?

]]> Test du modèle linéaire : différences constantes à pas
constant (f(x+1) - f(x) identiques). Test du modèle
exponentiel : quotients constants. Deux tests, deux
mondes : LA distinction structurante de l'année.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Non : les accroissements valent +2, +2, puis +3 :
le dernier casse la régularité

]]> Bonne réponse : un modèle affine exige des
accroissements constants à pas égal : le passage de
7 à 10 (+3) dévie : le modèle est au mieux
approximatif.

]]> Oui : les valeurs augmentent régulièrement

]]> Trop vague : « augmenter » ne suffit pas : il faut
augmenter du MÊME montant à chaque pas, et +3 ≠ +2.

]]> Oui : quatre points sont toujours alignés

]]> Erreur : deux points sont toujours alignés, trois ou
plus rarement : ici le quatrième sort de la droite des
trois premiers.

]]> Non : il faudrait des accroissements multiplicatifs
constants

]]> Confusion de modèle : le quotient constant caractérise
le modèle exponentiel : le linéaire se teste par les
différences.

]]>